Estatística Aplicada ás Análises Contábeis 05.

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Estatística Aplicada às Análises 
Contábeis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Claudia Lorena Juliato Araújo 
 
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Conversa Inicial 
 
 
Estabelecer níveis de confiança para 
delimitar resultados seguros, além de 
supor possíveis resultados com base 
em dados já estabelecidos. 
 
Nesta rota de aprendizagem, vamos trabalhar com intervalos de 
confiança e testes de hipóteses, além da delimitação de amostras, de suma 
importância para a confiabilidade dos resultados de pesquisas. 
Contextualizando 
Saber se os resultados de uma pesquisa são confiáveis ou se estão 
dentro dos parâmetros de aceitabilidade é de suma importância para que um 
conjunto de resultados tenha credibilidade. A suposição de valores e a 
delimitação de uma amostragem correta também fazem parte de resultados 
aceitáveis e seguros na interpretação correta dos dados e dos resultados 
alcançados com as pesquisas. 
Os intervalos de confiança, os testes de hipóteses e o dimensionamento 
das amostras são ferramentas para dar credibilidade aos resultados de dados 
estatísticos. 
 
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Mas o que é intervalo de confiança? 
E o que é teste de hipóteses? 
 
Os intervalos de confiança e os testes de hipóteses constituem um 
ingrediente essencial para a tomada de decisões estatísticas. Basicamente, 
esses conceitos trabalham com dados que fornecerão confiabilidade para os 
valores encontrados nas pesquisas e nos resultados estatísticos. 
Os intervalos de confiança, assim como os testes de hipóteses, estão 
intimamente associados à curva normal, sendo ela a base e a estruturação 
desses conceitos. 
Podemos ter intervalos de confiança e testes de hipóteses para variáveis 
discretas e contínuas, aos quais chamaremos de intervalos de confiança e 
testes de hipóteses para médias e para proporção, respectivamente. 
Pesquise 
Pesquise sobre intervalos de confiança, testes de hipóteses e 
dimensionamento de amostra. 
Agora, responda: 
Qual a importância dos intervalos de confiança para a credibilidade de 
uma pesquisa? 
E dos testes de hipóteses? 
 
 
 
 
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Tema 1 – Intervalo de Confiança para Médias 
 
 
Um intervalo é um limite entre dois valores. 
 
Um intervalo de confiança é um limite entre dois valores onde se 
encontra a quantidade de valores confiáveis para uma determinada amostra 
estudada. 
Seu uso se dá pela importância de analisar a confiabilidade dos valores 
que estão sendo analisados. 
Quanto menor o intervalo de confiança, maior a confiabilidade dos 
resultados. 
Podemos calcular um intervalo de confiança para dois casos diferentes: 
quando o desvio padrão populacional é conhecido e quando o desvio padrão 
amostral é desconhecido. 
Quando o desvio padrão é conhecido, calculamos o valor do intervalo de 
confiança usando a tabela z da curva normal. 
Quando o desvio padrão é desconhecido, calculamos o valor do 
intervalo de confiança usando a tabela t de Student. 
 
DESVIO PADRÃO 
CONHECIDO 
IC = �̅� ± 𝒛 .
𝝈
√𝒏
 Tabela z da curva normal 
DESVIO PADRÃO 
DESCONHECIDO 
IC = �̅� ± 𝒕 .
𝝈
√𝒏
 Tabela t de Student 
 
Tabela z da curva normal: 
 
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Tabela t de Student: 
 
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Obs.: G.L (graus de liberdade) = n – 1 
Vejamos alguns exemplos de intervalos de confiança para médias com 
desvio padrão conhecido e para desvio padrão desconhecido. 
 
 
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1) O tamanho médio de certa peça é de 19,9 cm com desvio padrão 
de 5,73 cm. O gerente do setor dessa indústria tomou uma amostra de 36 
peças para verificar a padronização dela. Construa um intervalo de confiança 
de 95%. 
Solução: 
Trata-se de um intervalo de confiança com desvio padrão conhecido, 
logo utilizaremos a tabela z da curva normal. 
Como o intervalo é de 95%, teremos 47,5% de área para cada lado da 
curva e o valor a ser buscado na tabela z é de 0,4750 no meio da tabela. Esse 
valor nos fornece um escore reduzido de 1,96. Então, o intervalo será: 
IC = 19,9 ±
5,73
√36
 
IC = (18,02 ; 21,77) 
2) De um determinado paciente são tomadas 24 amostras de sua 
pressão arterial ao longo de certo dia, hora a hora. Os resultados estão 
apresentados na tabela a seguir. Determine um intervalo de confiança de 99%. 
 
112 107 109 105 
98 96 100 114 
115 112 110 108 
98 97 98 100 
102 105 103 104 
98 97 99 100 
 
Solução: 
Trata-se de um intervalo de confiança com desvio padrão desconhecido. 
Nesse caso, utilizaremos a tabela t de Student. 
Calculando a média e o desvio padrão, teremos 103,625 para média e 
5,96 para o desvio padrão. 
Com 99% de confiança e G.L = n – 1 = 24 – 1 = 23, teremos um t = 2,5. 
Então, o intervalo será de: 
 
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IC = 19,9 ±
5,73
√36
 
IC = (18,02 ; 21,77) 
O intervalo de confiança de 99% é uma variação de 18,02 cm a 21,77 
cm para essas peças.
Tema 2 – Intervalo de Confiança para Proporção e Taxa 
 
 
No intervalo de confiança para 
proporção, o que muda é o tipo 
da variável. 
 
 
Intervalo de confiança para proporção 
No caso de intervalo de confiança para proporção, o tipo da variável é o 
que muda. Ao contrário do intervalo de confiança para proporção, no qual a 
variável é contínua, ou seja, vem de um processo de medição, aqui a variável é 
discreta, ou seja, vem de um processo de contagem. Mais ainda, é uma 
variável que se estabelece dentro de uma probabilidade. Nesse caso, estamos 
trabalhando com uma variável do tipo probabilidade e esta é a média da 
proporção. 
 
p̅ =
x
n
 
 
O desvio padrão nesse caso é dado por: 
 
Sp̅ = √
p̅.q̅
n
 
 
Em que q̅ = 1 - p̅ 
 
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E o intervalo de confiança para proporção fica: 
IC = p̅ ± z . √
p̅. q̅
n
 
 
Vejamos um exemplo. 
1) Em uma amostra aleatória de 600 itens, observou-se que 58 deles 
tinham algum tipo de não conformidade. Determine um intervalo com 95% de 
confiança. 
Solução: 
Estamos trabalhando com 47,5% de área para cada lado, e, nesse caso, 
o valor de z na tabela da curva normal é de z = 1,96. 
Precisamos calcular o desvio padrão, mas, para isso, precisamos da 
média. 
Vejamos todos os elementos de que precisamos, então: 
 
p̅ =
58
600
= 0,0967 
 
q̅ = 1 – 0,0967 = 0,9033 
 
Sp̅ = √
0,0967.0,9033
600
= 0,012066 
 
 
IC = 0,0967 ± 1,96 . √
0,0967.0,9033
600
 
 
IC = ( 0,07305; 0,1203 ) 
 
 
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Logo, o intervalo de confiança para peças com não conformidades será 
de 7,3% a 12,03%. 
 
Intervalo de Confiança para Taxa 
No caso de intervalo de confiança para taxa, a variável é do tipo da 
distribuição de Poisson, ou seja, uma variável que ocorre como uma taxa de 
variação. Estamos falando da ocorrência de um evento por unidade de medida 
ou por unidade de tempo, e representamos essa variável por λ. 
A ocorrência de um evento por unidade de tempo ou de medida é a 
média. 
Seu desvio padrão é dado por: 
 
√
λ
n
 
 
O intervalo de confiança para taxa é dadopor: 
 
IC = λ ± z . √
λ
n
 
Vejamos um exemplo. 
1) No processo de fabricação de portas de um certo automóveis, 81 
peças foram escolhidas aleatoriamente para verificação de quantas não 
conformidades apareciam em cada peça. Construa um intervalo de 95% de 
confiança para a quantidade de defeitos por peça. Os defeitos por porta são 
dados a seguir: 
 
 
 
1 2 0 2 2 0 0 1 1 
 
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2 2 1 1 0 2 1 0 1 
3 1 1 0 0 0 1 0 2 
0 0 1 1 0 1 1 0 2 
0 2 1 2 2 1 2 2 3 
1 1 2 1 1 1 2 1 1 
1 2 2 2 2 3 2 1 1 
2 0 2 1 1 3 3 2 0 
2 3 2 2 2 2 2 2 0 
 
A média λ será 
106
81
= 1,31 
A confiança de 95% é dada pelo escore reduzido de 1,96 da tabela z. 
Então o intervalo de confiança será de: 
 
IC = 1,31 ± 1,96 . √
1,31
81
 
 
IC = (1,06; 1,56) 
 
Logo, o intervalo com 95% de confiança para as não conformidades por 
peça produzida é de 1,06 a 1,56 não conformidades por peça. 
Tema 3 – Dimensionamento de Amostra 
 
 
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Para que os resultados de uma pesquisa 
tenham um alto grau de confiabilidade, é 
importante sabermos dimensionar a 
amostra com a qual se vai estudar. 
 
Os bons e confiáveis resultados de uma pesquisa dependem de vários 
fatores, dentre eles de um bom dimensionamento da amostra. 
Quanto mais confiável a amostragem, melhores serão os resultados 
obtidos com as estatísticas em questão. 
A amostra é um subconjunto da população. Para que uma amostra 
tenha significado e possa representar uma população, seus elementos devem 
ter a mesma chance de ocorrência que os da população. 
O método que escolhe os elementos de uma população que pertencerão 
a uma amostra é denominado de Método da Amostragem Probabilística, que 
consiste em selecionar indivíduos da população de forma que todos eles 
tenham a mesma chance de ocorrência. 
Como uma amostra não representa em todos os seus efeitos uma 
população em toda a sua integridade, devemos considerar uma margem de 
erro de representatividade. Esse erro é chamado de Erro Amostral. 
Podemos determinar o tamanho de uma amostra em quatro situações 
diferentes: 
 
 
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Para essas quatro situações, temos as seguintes fórmulas para seus 
respectivos cálculos. 
Determinação da amostra para média 
com população infinita ou 
desconhecida. 
n = (
z .σ
e
)
2
 
Determinação 
de amostra com 
base na média
com população 
conhecida
com população 
desconhecida
Determinação de 
amostra com base 
na proporção
com população 
conhecida
com população 
desconhecida
 
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Determinação da amostra para média 
com população finita ou conhecida. 
 
𝐧 = 
𝐍 . 𝐳𝟐 . 𝛔𝟐
(𝐍 − 𝟏). 𝐞𝟐 + 𝛔𝟐. 𝐞𝟐
 
Determinação da amostra para 
proporção com população infinita ou 
desconhecida. 
 
𝐧 = 
𝒛𝟐. �̅�. �̅�
𝒆𝟐
 
Determinação da amostra para 
proporção com população finita ou 
conhecida. 
𝐧 = 
𝐍 . �̅� . �̅� . 𝐳𝟐
�̅� . �̅� . 𝐳𝟐 + (𝐍 − 𝟏). 𝐞𝟐
 
 
Em que: 
n = amostra 
N = população 
z = escore reduzido da tabela normal 
σ = desvio padrão populacional 
e = erro amostral 
�̅� = média amostral da proporção 
�̅� = 1 − �̅� 
 
Vejamos alguns exemplos práticos. 
1) Uma pesquisa pretende ser realizada para determinar os gastos 
com lazer das famílias dos funcionários de uma empresa. O responsável pela 
pesquisa deseja ter 95% de confiança de que a média da amostra está no 
máximo com um erro de ± R$ 75,00 da média real dos gastos com lazer 
dessas famílias. Um estudo prévio indica que o desvio padrão pode ser igual a 
R$ 520,00. Nessas condições, qual o tamanho da amostra necessária? 
Solução: 
95% equivale a um escore reduzido de z = 1,96 
e = 75 
 
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σ = 520 
Nessas condições e sabendo que a população é desconhecida, teremos: 
𝐧 = (
1,96 . 520
75
)
2
= 𝟏𝟖𝟒, 𝟔𝟕 
Para uma pesquisa confiável, será necessário entrevistar 184 pessoas. 
2) Em uma população de 2000 pessoas, sabe-se que a média 
proporcional é de 75%, com erro amostral de 5%. Determine uma amostra 
segura com 90% de confiança. 
Solução: 
90% equivale a um escore reduzido de z = 1,645 
e = 5% = 0,05 
N = 2000 
�̅� = 0,75 
�̅� = 1 − 0,75 = 0,25 
Nessas condições, teremos: 
𝐧 = 
𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟕𝟓 . 𝟎, 𝟐𝟓 . 𝟏, 𝟔𝟒𝟓𝟐
𝟎, 𝟕𝟓 . 𝟎, 𝟐𝟓 . 𝟏, 𝟔𝟒𝟓𝟐 + (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏). 𝟎, 𝟎𝟓𝟐
= 𝟏𝟖𝟒, 𝟑𝟑 
 
Logo, uma amostragem segura para essa pesquisa será de 184 
indivíduos. 
Tema 4 – Testes de Hipóteses para Médias 
 
 
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É verdadeiro ou falso? 
 
 
Os testes de hipóteses fazem parte da Estatística Inferencial e servem 
para avaliar se determinada afirmação sobre os parâmetros da população 
também servem para seus valores amostrais. 
Em geral, os testes de hipóteses servem para verificar se, a partir de 
valores considerados padrão, novos dados amostrais se adequam ou não aos 
tomados como certos e verdadeiros. 
Para isso, devemos estabelecer as chamadas hipóteses nula e 
alternativa. 
A hipótese nula (H0) é a hipótese da igualdade entre o valor a ser 
testado e o valor padrão. Chama-se hipótese nula, pois o princípio é que não 
haja diferença entre a média padrão e a da amostra estudada. 
A hipótese alternativa (H1) é a hipótese que irá ser contraposta, é a 
possibilidade da não veracidade da hipótese nula. Pode ser valor maior, menor 
ou diferente do valor padrão. 
H0 : μ=μ 
 
 
 
 μ >μ 
H1 : μ<μ 
 
 μ≠μ 
 
 
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 Além das hipóteses nula e alternativa, um teste de hipótese é composto 
das regiões críticas chamadas de aceitação e de rejeição. São essas regiões 
que decidirão se um teste de hipótese terá sua hipótese nula aceita ou não. As 
regiões de aceitação e de rejeição são delimitadas pelo z crítico, valor este na 
tabela z da curva normal de acordo com a confiança estabelecida. 
 
 
 
Também há de ser considerado o teste em si, que é o valor que será 
estabelecido entre o que é padrão e o que se está sendo testado. Esse cálculo 
é chamado de z teste e dado por fórmula específica. 
 
Zteste =
média amostral − média populacional
desvio padrão
√n
 
 
Feito isso, devemos verificar dentro das regiões de aceitação e de 
rejeição onde o valor do z teste se encaixa. Se ele se encaixar na área de 
aceitação, concluímos que H0 é verdadeiro. Se cair na região de rejeição, 
concluímos que H0 é falso. Quando H0 é verdadeira e a rejeitamos, 
cometemos um erro do Tipo I, se H0 é falsa e aceitamos, cometemos um erro 
Tipo II. A saber: 
 
 
 
H0 Verdadeiro H0 Falso 
 
Aceitar H0 Conclusão Erro Tipo II 
 
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correta 
Rejeitar H0 Erro Tipo I Conclusão 
correta 
 
Após todas essas verificações, podemos afirmar se os valores amostrais 
se adequam aos valores padrão ou não, podendo encerrar a interpretação do 
teste de hipótese. 
Em resumo, é possível colocarmos os passos para a formulação de um 
teste de hipótese. 
1º) Formular H0 e H1. 
2º) Determinar o valor crítico (valor de z na tabela). 
3º) Delimitar as regiões de aceitação e de rejeição. 
4º) Calcular z teste. 
5º) Aceitar ou rejeitar H0. 
 
Vejamos algunsexemplos práticos. 
1) Um comprador de peças acha que estas já não possuem a 
mesma qualidade, pois o tamanho médio delas sempre foi de 100 mm com 
desvio padrão de 5 mm. Uma amostra de 100 peças, escolhidas ao acaso, 
acusou tamanho médio de 98 mm. Ao nível de significância de 5%, pode-se 
afirmar que o tamanho médio das peças diminui? 
Solução: 
Seguindo os passos para formulação de um teste de hipótese: 
1º) H0 : média = 100 mm 
 H1 : média < 100 mm 
2º) Como a significância é de 5%, a confiança é de 95%. Para isso, 
temos um escore reduzido z de 1,96. 
 
 
 
 
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3º) 
 
 
 
4º) Calcular z teste: 
Zteste =
98 − 100
5
√100
= −4 
5º) – 4 está dentro da área de rejeição, logo H0 é falso. 
Tema 5 – Teste de Hipótese para Proporção 
 
 
Uma proporção é uma parte de um 
contexto maior. 
 
Os testes de hipóteses para proporção, em sua essência, têm a mesma 
base que os testes de hipóteses para médias. 
Nesse caso, a diferença é no tipo de variável. 
As hipóteses continuam as mesmas: 
 
 
 
Região de 
Rejeição 
Região de 
Aceitação 
-1,96 
 
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H0 : p̅=p 
 
 
 
 p̅ >p 
H1 : p̅<p 
 
 p̅≠p 
 
 A região crítica também será delimitada da mesma forma, com o valor 
de significância subtraído de 100% e procurando-se o valor no centro da tabela 
z. 
A delimitação das regiões de aceitação e de rejeição também fica a 
mesma. 
Em sua essência, a fórmula do z teste permanece muito parecida, 
vejamos: 
Zteste =
p̅ − p
√
p . q
n
 
 
Vejamos alguns exemplos práticos. 
1) Pesquisa revela que 85% dos usuários de certa marca são fiéis a esta. 
Amostra de 200 pessoas selecionadas ao acaso acusou uma fidelidade no 
produto de 162 pessoas. A um nível de 5%, podemos dizer que a afirmação da 
pesquisa inicial é verdadeira? 
Solução: 
1º) H0 : p = 0,85 
 H1 : p < 0,85 
p̅ = 162/200 = 0,81 
2º) Com significância de 5%, tem-se uma confiança de 95% que na 
tabela z equivale a um valor de z de 1,96. 
 
 
 
 
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3º) 
 
 
4º) Calcular z teste: 
Zteste =
0,81 − 0,85
√0,85 . 0,15
200
= −1,58 
 
5º) -1,58 está dentro da área de aceitação, logo H0 é verdadeiro e a 
pesquisa inicial procede. 
Trocando Ideias 
Que tal agora você se aventurar pelo dimensionamento de amostra e 
buscar outras formas de dimensionar uma amostragem a partir de uma 
população conhecida? 
São várias as formas de determinar o tamanho de uma amostra. 
Procure essas formas diferentes. 
Síntese 
Nesta rota de aprendizagem, você conheceu um pouco sobre aplicações 
da curva normal, com os conceitos de intervalo de confiança, testes de 
hipóteses e dimensionamento de amostra. Vimos que muitos estudos 
estatísticos se baseiam e têm como base a curva normal. Para se ter a certeza 
de que os dados serão de confiabilidade, é importante conhecer uma boa 
amostragem. A verificação de que esses dados se fundamentam ou não 
Região de 
Aceitação 
-1,96 
Região de 
Rejeição 
 
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também é de suma importância. Essas constatações são feitas por meio dos 
testes de hipóteses. 
 
 
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Referências 
COSTA, G. G de O. Curso de estatística básica: teoria e prática. São Paulo: 
Atlas, 2011. 
 
SPIEGEL, M. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993. 
 
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2002. 
 
DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2006. 
 
LEVIN, J. Estatística aplicada a ciências humanas. São Paulo: Harbra, 1985.