4 Limites no infinito

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Limite no infinito 
 
Exemplo: Considere as funções abaixo: 
x
xf 1)(  
O que acontece com a imagem de f(x), quando os valores de x crescem ou decrescem 
para valores muito grandes? 
Solução: 
Vamos tabelar alguns valores de x e f(x), para os dois casos e verificar o que ocorre com 
os valores da imagem, quando x cresce e decresce. 
 
x x
xf 1)( 
 
x x
xf 1)( 
 
-1 -1 1 1 
-4 
4
1 4 4
1 
-10 
10
1 10 10
1 
-100 
100
1 100 100
1 
-500 
500
1 500 500
1 
-1000 
310
1 1000 310
1 
410 410
1 410 410
1 
100010 100010
1
 
100010 100010
1 
 
Podemos observar, pelos valores tabelados, na tabela acima, que a medida que x 
“cresce” ou “decresce” para valores muito grandes, f(x) se “aproxima” cada vez mais 
de zero, isto é: 
0)(lime0)(lim 

xfxf
xx
 
 
Definição formal do limite no infinito 
 
Definição 1: Considere uma função f definida em um intervalo (a,  ), o limite de f(x) 
quando x cresce indefinidamente, é L, escrito por 
Lxf
x


)(lim 
Se     LxfNxN sequetal0,0 
 
Definição 2: Considere uma função f definida em um intervalo ( a, ), o limite de f(x) 
quando x decresce indefinidamente, é L, escrito por 
Lxf
x


)(lim 
Se     LxfNxN sequetal0,0 
 
Observação 
As propriedades e resultados de limite quando “ ax  ” continuam válidos quando 
substituímos por “ x ” e “ x ”. 
 
Proposição 1: Se Nr então 
a-) 01lim 
 rx x
 
b-) 01lim 
 rx x
 
 
Tipos de Indeterminações 
 
    00 0;;1;0;;;
0
0


  
 
Método para retirar indeterminação 

 para funções racionais 
 
É bastante útil ao se trabalhar com limites no infinito de funções racionais. Então, para 
isso dividimos o numerador e o denominador pela variável independente elevada à 
maior potência que apareça na fração. 
 
Observação 
O limite “infinito” para valores da função quando a variável independente se aproxima 
do infinito também pode ser considerado por meio das seguintes definições: 


)(lim;)(lim;)(lim;)(lim xfxfxfxf
xxxx
 
 
Exemplos: 
Calcule os limites abaixo: 
a) 
52
34lim


 x
x
x
 
b) 
14
52lim 3
2


 x
xx
x
 
c) 
3 3 37
5lim
 x
x
x
 
d) 
52
43lim
2 

 x
x
x
 
e) 
52
43lim
2 

 x
x
x
 
f) 
5
1lim
2 

 x
x
x
 
g) 
1
lim
2
 x
x
x
 
h) 
25
1lim 34
5


 xx
x
x
 
i) 
53
2lim
2


 x
xx
x
 
j) 
1
1lim 2
3


 x
x
x
 
k) 32 37lim xx
x


 
 
Exercício 
 
1-)Calcule os limites abaixo: 
a) 
12
13lim 2
3


 xx
xx
x
 Resp:  
b) 
1
1lim
2 

 x
x
x
 Resp: 0 
c) 1lim 2 

xx
x
 Resp: 0 
d) 31lim 

xx
x
 Resp: 0 
e) 
5
lim 3
2
 x
x
x
 Resp: 0 
f) 
13
32lim 2
2


 xx
xx
x
 Resp: 
3
1 
g) 
23
1lim
2


 x
x
x
 Resp: 
3
1 
h) 
4 4 53
8lim
 x
x
x
 Resp: 
4 3
8 
i) 100101
99100
lim
xx
xx
x 


 Resp: 0 
j) 
16
165lim 2
3


 xx
xx
x
 Resp:  
 2-)Calcule o limite xxxx
x


lim . 
 Resp: 1