Continuidade - Calculo

Prévia do material em texto

Continuidade de funções
Definição 1: Seja f uma função real e 
, onde
 é um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos. Então, f é contínua em x = a, se:
f(a) está definida;
 existe;
Se a função f não se verifica qualquer das condições da definição então f é descontínua em x = a.
Exemplos:
1-)Considere a função 
A função f é contínua em x = 1 ?
2-) Considere a função 
Ache A e B tais que f seja uma função contínua em R ?
3-)A função f definida como: 
é contínua em x = c ?
4-)A função 
 é uma função contínua em todo conjunto de seu domínio?
Propriedades
Sejam f e g funções contínuas em x = a, então vale as seguintes propriedades:
 é uma função contínua em x = a.
 é uma função contínua em x = a. (
é uma constante)
 é uma função contínua em x = a.
 é uma função contínua em x = a, se 
.
Continuidade de algumas funções
Os polinômios são funções contínuas em R.
As funções racionais são funções contínuas em todo seu domínio.
As funções raízes são contínuas em todo o seu domínio.
Exemplo: Mostre que as funções abaixo são contínuas no ponto dado:
 a = 4
 a = 1
Continuidade num intervalo
Uma função f é dita ser contínua em um subconjunto 
, se f é contínua em cada ponto de A. Se f é contínua A e 
 então f é contínua em B.
Definição 2: Seja 
 uma função definida no intervalo 
. A função f é contínua em [a,b], se:
f é contínua em (a,b);
 existe e 
;
 existe e 
;
Observação
As condições 2 e 3 são chamadas de continuidades laterais, à direita e à esquerda, respectivamente.
Exemplos:
1-)Determine o intervalo (ou reunião de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
Mostre que f é contínua nesse intervalo.
2-)Determine o intervalo (ou reunião de intervalos) em que a função a seguir é contínua:
Mostre que f é contínua nesse intervalo.
3-)Mostre que a função 
 é contínua no intervalo [-1,1]. 
Teorema do valor intermediário
Se 
 é uma função contínua no intervalo 
 e 
 (ou 
 ) então existe 
 tal que f(c) = d.
Observação
O teorema do valor intermediário estabelece que a reta y = k deve interceptar a curva cuja equação é y = f(x) no ponto (c, k) onde c está entre a e b. 
Exemplo: Dada a função f definida por: 
Ache um número c no intervalo (2,5) tal que f(c) = 1.
Conseqüência do teorema do valor intermediário
Se 
 é uma função contínua no intervalo 
 e 
 então existe 
 tal que f(c) = 0.
Exemplo: Mostre que existe uma raiz da equação 
 entre 1 e 2.
Exercícios
1-)Verifique se a função 
 é contínua em R. Caso não seja, indique os pontos onde ela é descontínua.
2-)Verifique se as funções abaixo são contínuas e esboce o gráfico da função correspondente:
3-)Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
 , no ponto x = 0
 , no ponto x = - 1
 , no ponto x = 1
4-)Sejam f e g funções contínuas tais que f(1)=2 e 
. Calcule o valor de 
. Qual é o valor de g(1)?
5-)Mostre que a função 
 é contínua no intervalo 
.
6-)Determine o domínio das funções abaixo e explique por que a função é contínua em todo o seu domínio.
a)
b) 
	
7-)Verifique se as equações abaixo admitem, pelo menos uma raiz real:
_1492112631.unknown
_1492116756.unknown
_1492196309.unknown
_1492197640.unknown
_1492198503.unknown
_1492198937.unknown
_1492199155.unknown
_1492199474.unknown
_1492198994.unknown
_1492198671.unknown
_1492198085.unknown
_1492198151.unknown
_1492198208.unknown
_1492197844.unknown
_1492197308.unknown
_1492197569.unknown
_1492197292.unknown
_1492117469.unknown
_1492119511.unknown
_1492119619.unknown
_1492117791.unknown
_1492119146.unknown
_1492117630.unknown
_1492117097.unknown
_1492117158.unknown
_1492117046.unknown
_1492116372.unknown
_1492116486.unknown
_1492116496.unknown
_1492116485.unknown
_1492116246.unknown
_1492116296.unknown
_1492116191.unknown
_1492111824.unknown
_1492112222.unknown
_1492112380.unknown
_1492112592.unknown
_1492112242.unknown
_1492112137.unknown
_1492112175.unknown
_1492111997.unknown
_1492110846.unknown
_1492111163.unknown
_1492111537.unknown
_1492111129.unknown
_1492110719.unknown
_1492110822.unknown
_1492110412.unknown