96_PDFsam_(Análise Real 1) Elon Lages Lima - Análise Real (vol 1) (Livro fino) 1-IMPA (2009)

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86 Funções Contínuas Cap. 7 
Exemplo 14. O Teorema 12 implica que 1/x em Ir, bem como x/Ixl 
e sen(1/x) em ER -- {O}, não são uniformemente contínuas. 
5 Exercícios 
Seção 1: Definição e primeiras propriedades 
1. Sejam f,g: X —> IR contínuas no ponto a E X. Prove que são 
contínuas no ponto a as funções cp, : X —> IR, definidas por cp(x) =-
max{f(x),g(x)} e iP(x) = min{ f (x), g(x)} para todo x E X. 
2. Sejam f , g: X —> IR contínuas. Prove que se X é aberto então o 
conjunto A = {x E X; f (x) g(x)} é aberto e se X é fechado 
então o conjunto F = {x e X; f (x) = g(x)} é fechado. 
3. Uma função f: X —> IR diz-se semi-contínua superiormente (scs) 
no ponto a E X quando, para cada e> f (a) dado, existe 6 > O tal 
que x E X, x — al < 6 implicam f(x) < c. Defina função semi-
contínua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f é contínua 
no ponto a se, e somente se, é scs e sci nesse ponto. Prove que se 
f é scs, g é sci no ponto a e f (a) < g(a) então existe 6 > O tal que 
x E X, ix — al <8 = f(x) < g(x). 
4. Seja f: IR —> IR contínua. Prove que se f(x) = O para todo x E X 
então f(x) = O para todo x E X. 
5. Prove que f: IR —> IR é contínua se, e somente se, para todo X c IR, 
tem-se f (X) c f (X). 
6. Sejam f , g: X —> IR contínuas no ponto a. Suponha que, em cada 
vizinhança V de a, existam pontos x, y tais que f(x) < g(x) e 
f (y) > g(y). Prove que f (a) = g(a). 
7. Seja f: X —> IR descontínua no ponto a E X. Prove que existe 
E> O com a seguinte propriedade: ou se pode achar uma seqüência 
de pontos xr, E X com limx, = a e f(x) > f (a) + E para todo 
n E N ou acha-se (yn) com yn E X, limyn = a e f (y,i) < f (a) —E 
para todo 77, E N. 
1 
3, 
3 
Seção 5 
Seção 2: Funções contínuas num intervalo 
_Exercícios 87 
1. Uma função f: X —> IR diz-se localmente constante quando todo 
ponto de X possui uma vizinhança V tal que f é constante em 
V n X. Prove que toda função f: IR, localmente constante 
num intervalo /, é constante. 
2. Seja f: I —› IR uma função monótona, definida no intervalo /. Se 
a imagem f(I) é um intervalo, prove que f é contínua. 
3. Diz-se que uma função f: I —› IR, definida no intervalo I, tem a 
propriedade do valor intermediário quando a imagem f (J) de todo 
intervalo Jcié um intervalo. Mostre que a função f: IR —> 
dada por f (x) = sen(1/x) se x 0ef (0) = O, tem a propriedade 
do valor intermediário, embora seja descontínua. 
4. Seja f: 1 --> R uma função com a propriedade do valor inter-
mediário. Se, para cada c E IR, existe apenas um número finito de 
pontos x E I tais que f (x) = c, prove que f é contínua. 
5. Seja f: [0,1] —> IR contínua, tal que f (0) = f(1). Prove que existe 
x E [0,1/2] tal que f (x) = f (x + 1/2). Prove o mesmo resultado 
com 1/3 em vez de 1/2. Generalize. 
Seção 3: Funções contínuas em conjuntos compactos 
1. Seja f: IR —> R contínua, tal que limr_>+„a f (x) = limx_>_,, f (x) = 
+oo. Prove que existe xo E IR tal que f(x0) < f (x) para todo 
T E R. 
2. Seja f : IR—>R contínua, com lim f (x)=+co e lim f (x)= o o. 
x—H-00 x—r—ce 
Prove que, para todo c E IR dado, existe entre as raízes x da 
equação f (x) =- c uma cujo módulo lxi é mínimo. 
3. Prove que não existe uma função contínua f: [a, b] --> R que as-
suma cada um dos seus valores f (x), x E [a, b], exatamente duas 
vezes. 
4. Uma função f: IR —> IR diz-se periódica quando existe p E IR+ 
tal que f (x + p) = f (x) para todo x E IR. Prove que toda 
função contínua periódica f: IR —> IR é limitada e atinge seus 
valores máximo e mínimo, isto é, existem xo, x1 E IR tais que 
f (xo) < f (x) < f (xi) para todo x E IR. 
88 Funções Contínuas Cap. 7 
5. Seja f: X —> R contínua no conjunto compacto X. Prove que, 
para todo E > O dado, existe ke > O tal que x, y E X, ly — x1 > 
E =» If (y) — f(x)1 < ke ly — xl. (Isto significa que f cumpre a 
condição de Lipschitz contanto que os pontos x, y não estejam 
muito próximos.) 
Seção 4: Continuidade uniforme 
1. Se toda função contínua f: X —> IR é uniformemente contínua, 
prove que o conjunto X é fechado porém não necessariamente com-
pacto. 
2. Mostre que a função contínua f : R —> R, dada por f(x) = sen(x2), 
não é uniformemente contínua. 
3. Dada f : X --> IR uniformemente contínua, defina cp: X —> IR pondo 
cp(x) = f(x) se x E X é um ponto isolado e cp(x) = limy_>x f (y) 
se x E X'. Prove que ço é uniformemente contínua e w(x) = f(x) 
para todo x E X. 
4. Seja f: IR —> R contínua. Se existem hm f(x) e lim f(x), 
x-+-1-co x-4-00 
prove que f é uniformemente contínua. Mesma conclusão vale se 
existem os limites de f(x) — x quando x —> ±oo. 
5. Sejam f, g: X —> IR uniformemente contínuas. Prove que f + g é 
uniformemente contínua. O mesmo ocorre com o produto f • g, 
desde que f e g sejam limitadas. Prove que cp,11): X --> IR, dadas 
por cp(x) = max{ f (x), g(x)} e '40(x) = min{ f (x), g (x)} x E X são 
uniformemente contínuas.