Apostila 01 estatistica 12

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Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Daniel Vieira Ferreira 
danielvieiraf@hotmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estude; para que possa dar um passo na vida, pois 
é um dote que não se gasta 
um direito que não se perde e a 
liberdade que não se limita. 
 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
 
A Natureza da Estatística: 
 Panorama histórico 
 Método estatístico 
 Coleta de Dados 
 Critica dos Dados 
 Exposição ou apresentação dos dados 
 Análise dos resultados 
 A Estatística nas empresas 
 
Medidas de Tendência 
 População e Amostras 
 A Média 
 A Média Ponderada 
 A Mediana 
 Outros Quantis 
 A Moda 
 Descrição de dados agrupados 
 Distribuição de Freqüência 
 
Séries Estatísticas 
 Tabelas 
 Séries históricas, Cronológicas, Temporais ou marchas. 
 Séries Geográficas, espaciais, territoriais ou de localização. 
 Séries específicas ou categóricas. 
 Séries conjugadas (Tabelas de dupla entrada) 
 Dados Absolutos ou dados relativos 
 Os Índices ( Econômicos) 
 Os coeficientes 
 As Taxas 
 
Gráficos Estatísticos 
 Tabelas 
 Diagramas 
 Gráficos polar 
 Cartograma 
 Pictograma 
 Histograma 
 Gráfico de Setor 
 Polígono de freqüência 
 
Distribuição de Freqüência 
 Tabela Primitiva Rol 
 Elementos de uma distribuição de freqüência 
 Número de Classe. Intervalos de Classe 
 Tipos de Freqüência 
 
Medidas de dispersão ou de variabilidade 
 Amplitude Total 
 Dados não-agrupados 
 Dados Agrupados 
 Variância. Desvio Padrão 
 Coeficiente de Variação 
 
Medidas de Assimetria, Medidas de Curtose 
 Assimetria 
 Curtose (Coeficiente) 
 3 
Probabilidade 
 Introdução 
 Experimento aleatório 
 Espaço Amostral 
 Eventos 
 Eventos Complementares 
 Eventos independentes 
 Eventos mutuamente exclusivos 
 
Distribuição Binomial e Normal 
 Variável aleatória 
 Distribuição binomial 
 Distribuição de probabilidade 
 Distribuição normal. Curva normal 
 
Correlação e Regressão 
 Introdução 
 Correlação 
 Correlação Linear 
 Relação funcional e relação estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
1- Introdução 
 
Estatística é a ciência que se ocupa da obtenção de informações (...) com a 
finalidade de através de resultados probabilísticos adequados, inferir de uma amostra 
para a população (...), e eventualmente mesmo prever a evolução futura de um 
fenômeno. Em outras palavras, é um instrumento de leitura de informação, e da sua 
transformação em Conhecimento. 
 
De forma mais clara: 
 
Estatística é a ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar 
dados numéricos ou não (informações) com o objetivo de tomar melhores decisões. Nas 
áreas médicas e biológicas coletam dados de pessoas, de animais experimentais e de 
fenômenos físicos e químicos. Interessam aos pesquisadores dessas áreas dados sobre 
mortalidade infantil, eficiência de medicamentos, incidência de doenças, causas de 
morte etc. Os dados referem-se a variáveis, que são classificadas, em estatística, como 
qualitativas, ordinais, e quantitativas. 
 No moderno ambiente administrativo e econômico global, qualquer pessoa pode 
ter acesso a uma enorme quantidade de informações estatísticas. Os gerentes e 
tomadores de decisão mais bem-sucedidos são aqueles capazes de entender a 
informação e usá-la eficazmente. 
 A estatística lida com modelos não determinísticos, ou seja, com situações em 
que os mecanismos do sistema não são conhecidos, e portanto a previsão de resultados 
esta envolta com certo grau de incerteza, a qual é quantificada probabilisticamente. 
Exemplos: 
 Em uma lavoura de café, o produtor deseja ter uma idéia, com alto grau de 
confiança, se o nível de infestação de alguma praga é tal que justifique medidas de 
controle; deseja-se saber se uma nova droga tem alta probabilidade de cura no 
tratamento de uma doença; No lançamento de uma nova variedade de milho, deseja-se 
saber se ela supera a produtividade as variedades já existentes 
 
1- A Estatística no gerenciamento da produção 
 
 A moderna produção industrial está assentada na chamada Qualidade Total, 
pela qual todas as etapas do processo produtivo são acompanhadas e gerenciadas, 
possibilitando o diagnósticos preciso de problemas e a minimização da relação custo - 
beneficio. Uma das maneiras utilizadas de se gerenciar a produção é o chamado 
Controle Estatístico de Qualidade, pelo qual procedimentos de amostragem são 
empregados tanto na linha de produção quanto no recebimento de matérias – primas, 
para a verificação se estas ou produtos fabricados atendem a especificações de 
qualidade. 
 Não somente na produção industrial, mas também na produção agrícola e na 
saúde o controle de qualidade é muito utilizado. Para estudar o efeito do flúor sobre a 
prevenção de cáries em crianças, é melhor submeter uma amostra de crianças a exames 
periódicos minuciosos, do que examinar rapidamente todas as crianças antes, e 
determinado tempo após o uso do flúor. 
 
 
 
2- Fases dos métodos estatísticos 
 5 
 
 Podemos distinguir no método estatístico as seguintes fases: 
 
Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo, existem 
diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados 
finais do estudo. Essas etapas ou operações são chamadas fases do trabalho estatístico e 
são de âmbito da estatística descritiva. 
 
As fases principais são as seguintes: 
 
- Definição do problema 
- Planejamento 
- Coleta de Dados 
- Apuração dos Dados 
- Análise e Interpretação de Dados 
 
3.1- Definição do Problema. 
 
 A primeira fase do trabalho estatístico consiste em definição ou formulação 
correta do problema a ser estudado. Além de considerar detidamente o problema objeto 
do estudo, o analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo 
e análagos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas vezes, ser 
encontrada nesses últimos. Um fabricante de sabonete, que deseja lançar um produto 
novo no mercado, poderia estar interessado em um estudo sobre a característica dos 
consumidores atuais. Não havendo estudos semelhantes, ele deverá formular o problema 
com base em sua própria experiência. Uma lista de fatores relevantes deverá resultar 
dessa investigação preliminar: número de unidades consumidas por família em cada 
ano, número médio de pessoas que compõe cada família, número de membros adultos 
da família, as marcas preferidas e assim por diante. Saber exatamente aquilo que se 
pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema. 
 
 
3.2- Planejamento 
 
O passo seguinte, após a definição do problema, compreende a fase do 
planejamento, que consiste em se determinar o procedimento necessário para 
resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto 
objeto do estudo. Que dados deverão ser obtidos? Como se deve obtê-los? É preciso 
planejar o trabalho a ser realizado, tendo em vista objetivo que se pretende atingir. 
Mais especificamente, na fase do planejamento a preocupação maior reside na 
escolha das perguntas, bem como sua correta formulação, qualquer que seja a 
modalidade de coleta dos dados. 
É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob esse 
aspecto, pode haver dois tipos de levantamento: 
1. Levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo 
universo. 
2. Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial. 
Outros elementos importantesque devem ser tratados nessa mesma fase são o 
cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos para as várias 
fases, os custos envolvidos, o exame das informações disponíveis, o 
delineamento da amostra, a forma como serão escolhidos os dados e assim por 
diante. Os livros mais específicos sobre pesquisa de mercado poderão ser 
consultados, caso o leitor tenha maior interesse nesse assunto. 
 6 
 
 
 
3.3- Coletas de dados 
 
 Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características 
mensuráveis do fenômeno coletivamente típicos. Que se quer pesquisar, damos inicio a 
coleta dos dados numéricos necessários à sua descrição. 
 
 3.3.1- A coleta pode ser direta e indireta. 
 
 A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registros 
obrigatórios (nascimentos, casamentos e óbitos, importação e exportação de 
mercadorias) elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma determinada 
instituição ou, ainda, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através de 
inquéritos e questionários, como é o caso das notas de verificação e de exames, do 
censo demográfico etc. 
 
 
 
3.3.2- A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo 
em: 
 
 Contínua (registro) _ Quando feita continuamente, tal como a de nascimento e 
óbitos e a de freqüência dos alunos de aula; 
 Periódica _ Quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos ( 
de 10 em 10 anos) e as avaliações mensais dos alunos; 
 Ocasional_ Quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma 
conjuntura ou a uma emergência, como no caso de epidemias ou situação de um 
candidato em uma eleição etc. 
 
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) 
e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com fenômenos estudados. 
Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita 
através de dados colhidos por uma coleta direta. 
 
3.4 - Apurações dos dados 
Antes de começar a analisar os dados, é conveniente que lhes seja dado algum 
tratamento prévio, a fim de torná-los mais expressivos. A quarta etapa do processo é , 
então, a da apuração ou sumarização, que consiste em resumir os dados, através de sua 
contagem e agrupamento. É um trabalho de condensação e de tabulação dos dados, que 
chegam ao analista de forma desorganizada, tornando impossível a tarefa de aprender 
todo o seu significado pela simples leitura. 
3.5 – Apresentação dos dados 
A apresentação ou exposição dos dados observados constitui a quinta fase do 
método estatístico. 
Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente: 
 7 
 
3.5.1 - Apresentação Tabular 
A apresentação tabular é uma apresentação numérica dos dados. Consiste em 
dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo algumas 
regras práticas adotadas pelos diversos sistemas estatísticos. As tabelas têm a vantagem 
de conseguir expor, sistematicamente e em um só local, os resultados sobre determinado 
assunto, de modo a se obter uma visão global mais rápida daquilo que se pretende 
analisar. 
3.5.2 - Apresentação Gráfica 
A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação 
geométrica. Embora a apresentação tabular seja de extrema importância, no sentido de 
facilitar a análise a analise numérica dos dados, não permite ao analista obter uma visão 
tão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua variação como conseguida através de um 
gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS 
 A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e também a mais 
delicada. Nesta etapa, o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada 
essencialmente ao calculo de medidas cuja finalidade principal é descrever o fenômeno. 
Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso por números – resumos, 
que evidenciam características particulares desse conjunto. O significado exato de cada 
um dos valores obtidos através do calculo das várias medidas estatísticas disponíveis 
deve ser bem interpretado 
 
01) Exercícios 
 
a)O que é estatística? 
b)Cite as fases do método estatístico. 
c)Para você o que coletar dados? 
d)Cite três ou mais atividades do planejamento empresarial em que a estatística se 
faz necessária. 
 
3- População e Amostra. (Estatística indutiva e descritiva) 
 Ao coletar os dados referentes às características de um grupo de objetos ou 
indivíduos, tais como as alturas e pesos dos pacientes em um hospital ou os números 
de parafusos defeituosos ou não produzidos por uma fábrica em um certo dia, o 
conjunto de hibrido de milho disponíveis no mercado definem uma população, a 
qual é descrita por características de interesse econômico. É muitas vezes impossível 
ou impraticável observar todo o grupo, denominado população ou universo, 
examina-se uma pequena parte chamada amostra. 
 9 
 Uma população pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto de alunos de 
uma escola. Infinitas, como o número de vezes que se pode jogar um dado. 
 Para certas finalidades, as populações finitas muito grandes são consideras 
infinitas. Como exemplos, considere as pessoas do sexo masculino, com mais de 35 
anos de idade, residentes na cidade de São Paulo. O número dessas pessoas é 
matematicamente finito, mas tão grande que um pesquisador, ao analisar uma 
amostra de 500 pessoas, pode considerar a população como infinita. 
 Quando são coletadas informações de toda a população, diz-se que foi feito um 
recenseamento. Censo é o conjunto de dados obtidos através de recenseamento. 
Quando são coletadas informações de apenas parte da população, diz-se que foi 
amostragem. Amostra é tanto a parte retirada da população para estudo como, 
também, o conjunto de dados obtidos nessa parte da população. 
 Se uma amostra é representativa de uma população, conclusões importantes 
sobre a população podem ser inferidas de sua analise. A parte da estatística que trata 
das condições sob as quais essas inferências são válidas chama-se estatística 
indutiva ou inferência estatística. 
 As características que descrevem a população são chamadas variáveis, e um 
valor observado com relação a uma variável é chamado dado ou observação, sejam 
eles provenientes de censos ou de amostras. 
VARIÁVEL Características pela qual deseja-se que a população seja descrita, ou 
pela decisões acerca da população são tomadas. 
 
DADO Observação ou realização referente a uma variável. Pode estar contido em 
um censo ou uma amostra. 
 
Tabela 1.1 Classificação quanto à natureza das variáveis. 
Variáveis 
QUALITATIVA QUANTITATIVAS 
Nominais Ordinais Discreta Continuas 
 
Uma variável é qualitativa nominal quando os dados podem ser distribuídos 
em categorias mutuamente exclusivas. Assim, sexo é uma variável qualitativa 
porque permite distinguir duas categorias, masculino e feminino. Também são 
qualitativas as variáveis cor, causa morte, grupo sangüíneo, variedade de sementes, 
etc. 
Uma variável é ordinal quando os dados podem ser distribuídos em categorias 
mutuamente exclusivos que têm ordenação natural. Assim, grau de instrução é uma 
variável ordinal porque as pessoas podem ser distribuídas em categorias 
mutuamente exclusivas, na seguinte ordem: primário, secundário e superior. 
Também são ordinais as variáveis aparência, status social, estagio da doença etc. 
Uma variável é quantitativa quando é expressa por números. São variáveis 
quantitativas: idade, estatura, peso corporaletc. Uma variável que pode assumir 
teoricamente qualquer valor entre duas observações quaisquer chama-se variável 
continua; de outro modo denomina-se variável discreta. 
 10 
Exemplo 1. O número N de crianças, em uma determinada família, que pode 
assumir qualquer um dos valores 0,1,2,3,... mas não pode ser 2,5 ou 3,485, é uma 
variável discreta 
Exemplo 2. A altura H de um indivíduo que pode ser 1,65 metros, 1,662 metros 
ou 1,6722 metros, conforme a precisão da medida, é uma variável continua. 
Os dados que podem ser descritos por meio de uma variável discreta ou contínua 
são chamados dados discretos ou contínuos, respectivamente. O número de 
crianças em cada uma das 1000 famílias é um exemplo de dados discretos, enquanto 
o peso de 100 estudantes universitários é um exemplo de dados contínuos. Em geral, 
as medições dão origem a dados contínuos, enquanto as enumerações ou contagens 
resultam em dados discretos. 
 
4- Arredondamento de dados 
O resultado do arrendodamento de um número como 72,8 para o inteiro mais 
próximo é 73, posto que 72,8 está mais próximo de 73 do que de 72. Semelhante, 
72,8146 está mais próximo de 72,81 do que de 72,82. 
Ao arrendondar 72,465 para o centésimo mais próximo, entretanto, deparamo-
nos com um dilema pois 72,465 dista igualmente de 72,46 e de 72,47. Usa-se, na 
pratica, em casos, aproximar para o número par que precede o 5. Assim, 72,465 é 
arredondamento para 72,46, 183,575 é arredondado para 183,58 e 116.500.000, 
arrendodado para as unidade as unidades de milhões mais próximas, é 116.000.000. 
Esta prática é especialmente valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados 
por arrendodamento, quando se trata de grande número de operações. 
 
5- Notação Científica 
Ao escrever número, especialmente que comportem muitos zeros, antes ou 
depois da vírgula, é conveniente empregar a notação cientifica que utiliza as 
potência de 10. 
EXEMPLO 1. 10
1 
= 10; 10
2 
= 10 X 10 = 100; 10
5
 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 
100000 
10
8
 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 100.000.000. 
 
EXEMPLO 2. 10
0
 = 1; 10
-1
 = 0,1; 10
-2
 = 0,01; 10
-5
= 0,00001. 
 
EXEMPLO 3. 864.000.000 = 8,64 X 10
8
; 0,00003416 = 3,416 X 10
-5
. 
 
A notação cientifica é muitas vezes útil no cálculo, especialmente para a 
localizar a vírgula. Usam-se as seguintes regras: 
 
(10
p
)(10
q
) = 10
p+q 
 
 
 
 
 
 
2.0) Exercícios 
 
01) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas: 
 
a) Universo: alunos de uma escola. 
Variável: cor dos cabelos. 
Resp. Qualitativa 
 
qp
q
p
10
10
10
 11 
b) Universo: Casais residentes em uma cidade. 
Variável: número de filhos. 
Resp. Quantitativa discreta 
 
c) Universo: as jogadas de um dado. 
Variável: o ponto obtido em cada jogada. 
Resp. Quantitativa discreta 
 
d) Universo: Peças produzidas por certa máquina. 
Variável: número de peças produzidas por hora. 
 Resp. Quantitativa discreta 
 
e) Universo: Peças produzidas por certa máquina 
Variável: diâmetro externo. 
Resp. Quantitativa contínua 
 
 
 
 
 
 
02) Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são continuas, Nominais e 
ordinais: 
 
a) População: Alunos de uma cidade. 
Variável: cor dos olhos. 
 
b) P.: estação meteorológica de uma cidade. 
 V.: precipitação pluviométrica, durante um ano. 
 
c) P.: Bolsa de Valores de São Paulo 
v.: número de ações negociadas. 
 
d) P.: funcionários de uma empresa. 
 V.: salários. 
 
e) P.: Pregos produzidos por uma máquina 
V.: comprimento. 
 
 Técnicas de Amostragem 
 
 Definida a população , é preciso estabelecer a técnica de amostragem, isto é o 
procedimento que será adotado para escolher os elementos que irão compor a amostra. 
Conforme a técnica utilizada, tem-se um tipo de amostra. 
 
7.1- Amostra casual Simples 
 
 A amostra casual simples é composta pro elementos retirados ao acaso da 
população. Então todo elemento da população tem igual probabilidade de ser escolhido 
para a amostra. Um exemplo ajuda a entender essa técnica da amostragem. 
 Imagine que um professor quer obter uma amostra casual simples dos alunos de 
sua escola. Para isso, pode organizar um sorteio com fichas numeradas, de zero a nove. 
Para fazer o sorteio, o professor retira uma ficha de uma urna e anota o número. Esse 
número será o primeiro dígito do número do aluno que será sorteado para a amostra. 
Feito isso, o professor recoloca a ficha na urna, mistura, retira outra ficha e anota o 
número, que será o segundo dígito do número do aluno que será sorteado para a 
amostra. Esse procedimento deve ser repetido até que sejam retirados todos os dígitos 
do número do aluno sorteado. 
 12 
 
 
7.2- Amostra Sistemática 
 
 Na amostra sistemática os elementos são escolhidos não por acaso, mas por um 
sistema. No exemplo, o professor terá organizado uma amostra sistemática se, em lugar 
de sortear os alunos, chamar para amostra todo aluno com número terminado em 
determinado dígito. 
 
 
7.3 – Amostras Estratificadas 
 
A amostra estratificada é composta por elementos provenientes de todos os 
estratos da população. No exemplo, se o professor considera que alunos de diferentes 
séries apresentam reais diferenças, cada série é estrato. O professor deve, então, obter 
uma amostra final estratificada. 
Devem ser obtidas amostras estratificadas sempre que a população for 
constituída por diferentes amostras, cada bairro é um estrato. Para obter uma amostra de 
pessoas dessa cidade, seria razoável obter uma amostra de cada bairro e depois reunir as 
informações numa amostra estratificada. Exemplo AMOSTRA DE SOLO. 
 
 
7.4 - Amostra de conveniência 
 
A amostra de conveniência é formada por elementos que o pesquisador reuniu 
simplesmente porque dispunha deles. Então, se o professor tomar os alunos de sua 
classe como amostra de toda a escola, estará usando uma amostra de conveniência. 
Os estatísticos têm muitas restrições ao uso de amostras de conveniência. 
Mesmo assim, as amostras de conveniência são comuns na área de saúde, onde se fazem 
pesquisas com pacientes de uma só clínica ou de um só hospital. Mas ainda, as amostras 
de conveniência constituem, muitas vezes, a única maneira de estudar determinado 
problema. 
De qualquer forma o pesquisador que utiliza amostras de conveniência precisa 
de muito senso crítico. Os dados podem ser tendenciosos. Por exemplo, para estimar a 
probabilidade de morte por desidratação não de deve recorrer aos dados de um hospital . 
Como só são internados os casos graves, é possível que a mortalidade entre 
pacientes internados seja muito maior do que pacientes não-internados. 
Conseqüentemente, a amostra de conveniência constituída, neste exemplo, por pacientes 
internados no hospital , seria tendenciosa. 
Finalmente, o pesquisador que trabalha com amostras sempre pretende fazer 
inferência, isto é estender os resultados da amostra para toda a população. Então é 
muito importante caracterizar bem a amostra apenas para a população de onde a amostra 
proveio. 
 
 
 
 
 
 
3) Exercícios 
 
 
a) Os prontuários dos pacientes de um hospital estão organizados em um 
arquivo, por ordem alfabéticas. Qual é a maneira mais rápida de amostra 1/3 
do total de prontuários? 
 
 
 
 13 
b) Um pesquisador tem dez gaiolas que contêm, cada uma, seis ratos. Como o 
pesquisador pode selecionar dez ratos para uma amostra? 
 
 
 
 
c) Para levantar dados sobre o número de filhos por casal, em uma comunidade, 
um pesquisador organizou um questionário que enviou, pelo correio, a todas 
as residências. A resposta ao questionário era facultativa, pois o pesquisador 
não tinha condições de exigir a resposta. Nesse questionárioperguntava-se o 
número de filhos por casal morador na residência. Você acha que os dados 
assim obtidos têm algum tipo de tendenciosidade. 
 
 
 
 
d) Um pesquisador pretende levantar dados sobre o número de moradores por 
domicilio, usando a técnica de amostragem sistemática. Para isso, o 
pesquisador visitará cada domicilio selecionado. Se nenhuma pessoa estiver 
presente na ocasião da visita, o pesquisador excluirá o domicilio da amostra. 
Esta ultima determinação introduz tendenciosidade. Por quê? 
 
 
 
 
 
e) Muitas pessoas acreditam que as famílias se tornaram menores. Suponha 
que, para estudar essa questão, foi selecionada uma amostra de 2000 casais e 
perguntou-se quantos filhos eles tinham, quantos filhos tinham seus pais e 
quantos filhos tinham seus avós. O procedimento introduz tendenciosidade 
nos dados. Por quê? 
 
 
 
6- Somatório 
 
 A matemática fornece ainda outra noção de grande utilidade para estatística: o 
somatório. O operador somatório facilita sobremaneira a indicação e a formação de 
medidas, bem como algumas operações algébricas desenvolvidas pela estatística. 
 
 Para designar somatório, utiliza-se a letra grega sigma maiúscula: 
.
 
 O símbolo deve ser lido como “somatório de” ou “soma de “. Assim, por 
exemplo, seja o seguinte conjunto de números: X ={3,6,9,12,15}. A soma desses 
números será indicada por: 
 
5
1
451512963
i
xi
 
 
 A expressão 
5
1i
ix
 deve ser lida da seguinte maneira: “somatório de 
ix
, variando 
de 1 a 5”. 
 
 Define-se, genericamente: 
 
 14 
n
n
i
i xxxxx ...321
1
 
 
 O 1 e o n indicam, respectivamente, o limite inferior e o superior do somatório, 
representando o numero de ordem da primeira e da ultima parcela a serem somadas. 
 Em um teste de matemática, aplicado em uma classe com 20 alunos, chegou-se 
aos seguintes resultados: 
 
6 10 9 2 8 
3 7 4 6 5 
1 9 7 10 8 
0 9 6 6 9 
 
4)Calcular: 
 
5
1
1
2
2
5
1
18
14
7
1
10
6
5
1
20
1
)
)
)
)
)
)
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
xg
xf
xe
xd
xc
xb
xa
 
 
Observação: A expressão i = {1,2,3,...,n} indica os valores assumidos pelo 
índice i, sendo lida da seguinte forma: “i variando de 1 até n”. 
 
 
 
 
 
 8.1- Propriedades dos somatórios 
 
 Operar com somatório requer o conhecimento de algumas propriedades,regras e 
definições, as quais serão desenvolvidas aqui sob a designação genérica de propriedade 
dos somatórios. 
 
1- O somatório de uma constante é igual ao produto do numero de termos pela 
constante: 
 15 
 
n
i
anaaaaa
1
....
 
 
Exemplo: 
 
5
1
2045444444
i
x
 
 
2- O somatório do produto de uma constante por uma variável que depende do 
somatório é igual ao produto da constante pelo somatório da variável. 
 
 
n
i
i
n
i
i xaax
11 
 
n
i
inn
n
i
i xaaxxxaaxaxaxax
1
2121
1
)...(...
 
 
Tabela 1 
 
ordem do valor, i Valor xi 
1 3 
2 6 
3 9 
4 12 
5 15 
 
 
 
 
3 – Propriedade distributiva do somatório em relação à adição algébrica 
 
 
n
i
i
n
i
ii
n
i
i yxyx
111
)(
 
 
Exemplo: 
 
Tabela 2 
Ordem do valor i xi yi xi + yi 
1 3 2 5 
2 6 4 10 
3 9 6 15 
4 12 8 20 
5 15 10 25 
45
5
1i
ix
 16 
 
75)(3045
5
1
5
1
5
1
i
i
i
i
i
i
i yxyx
 
 
4 – O quadrado da soma é diferente da soma dos quadrados 
 
2
2
1
i
n
i
i xx
Exemplos: 
 
Tabela 3 
Ordem do valor i xi x²i 
1 4 16 
2 6 36 
3 8 64 
116643616
32418
3
1
2
2
2
3
1
i
i
i
i
x
x
 
 
7- Séries Estatísticas 
 
9.1- TABELAS 
 
Um dos objetivos da estatística é sistematizar os valores que uma variável podem 
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E 
isto ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, quer 
irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudos, 
permitindo-nos determinações administrativas e pedagógicas mais coerentes e 
cientificas. 
 
Tabelas é um quadro que resume um conjunto de observações. 
 
Uma tabela compõe-se de : 
 
a. CORPO – Conjunto de linhas e colunas que contêm informações sobre a 
variável em estudo; 
b. CABEÇALHO – Parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas; 
c. COLUNA INDICADORA – Parte da tabela que especifica o conteúdo das 
linhas; 
d. LINHAS – Retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de 
dados que inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; 
e. CASA OU CELULA – Espaço destinado a um só número; 
f. TÍTULO – Conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo 
às perguntas: O que?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela. 
 
 17 
Cabeçalho 
Coluna 
Indicadora 
Rodapé 
Título 
Cabeçalho 
Coluna numérica 
 Linhas 
Casa 
ou 
Célula 
Há ainda que considerar os elementos complementares da tabela, que são as 
fontes, as notas e as chamadas, colocados, de preferência, no seu rodapé. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a resolução 886 da Fundação IBGE, nas casas ou cédulas 
devemos colocar: 
 Um traço horizontal (-) quando o valor é zero, não só quanto à natureza das 
coisas, como quanto ao resultado do inquérito; 
 Três pontos (...) quando não temos os dados; 
 Um ponto de interrogação(?) quando temos dúvida quanto a exatidão de 
determinado valor; 
 Zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade 
utilizada. Se os valores são expressos em numerais decimais, precisamos 
acrescentar à parte decimal um número correspondente de zeros (0,0; 0,00; 
0,000;...). 
 
 
 
-Séries Estatísticas 
 
Denominamos séries estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um 
conjunto de dados estatístico em função da época, do local ou da espécie. 
Daí, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três 
elementos ou fatores: o tempo, o espaço e a espécie. 
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, 
geográfica e especifica. 
 
9.2-Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas 
 
Produção de Café 
Brasil - 1978-82 
Anos Produção (1000 
t) 
1978 2.535 
1979 2.666 
1980 2.122 
1981 3.750 
1982 2.007 
Fonte: IBGE. 
Corpo 
 18 
Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo 
intervalos de tempo variável. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: Associação nacional para difusão Adubos e 
Corretivos Agrícolas. 
 
 
9.3-Séries Geográficas, espaciais, territoriais ou de localização 
 
Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados 
segundo regiões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Produção de fertilizantes fosfatados - Brasil 
1985-89 
Anos Quantidade (t) 
1985 3.570.115 
1986 4.504.201 
1987 5.448.835 
1988 4.373.226 
1989 4.024.813 
 19 
 
 
 
 
9.4-Séries específicas ou categóricas 
 
Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados 
segundo especificações ou categorias. 
 
Rebanhos Brasileiros2002 
Espécie Quantidade (1000 cabeças) 
Bovinos 139.599 
Bubalinos 1.181 
Eqüinos 5.855 
Asininos 1.304 
Muares 1.984 
Suínos 32.121 
Ovinos 20.085 
Caprinos 11.313 
Coelhos 909 
Fonte: IBGE 
 
 
 
9.5-Séries Conjugadas Tabela de Dupla Entrada 
 
Muitas vezes temos a necessidade de apresentar, em uma única tabela, a 
variação de valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou 
mais séries. 
Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla 
entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma 
horizontal (linhas) e uma vertical (Coluna). 
Exemplo: 
 
Telefones Instalados - 1998 - 2000 
Região 1998 1999 2000 
Norte 373.312 403.034 457.741 
Nordeste 1440.531 1567.879 1700.467 
Sudeste 8435.564 8867.432 8673.66 
Sul 2106.145 2192.763 2282.581 
Centro - 
Oeste 803.013 849.401 944.075 
Total 13158.57 13880.51 14058.52 
Fonte: IBGE 
 
 
10- Distribuição de Freqüências 
 20 
 
Na primeira parte de nossos estudos, ao demonstramos as formas de 
apresentação de dados numéricos, foi mencionada a apresentação tabular das séries 
estatísticas. Um das vantagens das tabelas estatísticas é a de condensar, de forma 
consistente, as informações necessárias ao estudo desejado. Isto porque, 
freqüentemente, o estudo de um determinado fenômeno requer a coleta de uma grande 
massa de dados numéricos, difícil de ser tratada se esses dados não forem organizados e 
condensados em uma tabela. No caso específicos das seriações, acontece normalmente 
que, ao coletar os dados referentes ao fenômeno objeto de estudo, o analista se defronta 
com valores que se repetem algumas vezes, sugerindo suas apresentações através de 
tabelas onde somente apareçam valores distintos uns dos outros. Essa providência 
favorece evidentemente uma análise e interpretação mais rápida da natureza e 
comportamento do fenômeno observado. 
 
 
 
10.1-Dados Brutos 
 
Feita a coleta, os dados originais ainda não se encontram prontos para análise, 
por não estarem numericamente organizados. Por essa razão, costuma-se chamá-lo de 
dados brutos. Tornando-se, por exemplo, as alturas dos alunos em uma sala de aula e 
anotando-se os resultados em uma lista da qual constem os nomes dos alunos em ordem 
alfabética, ninguém garantirá que os valores correspondentes às alturas observarão uma 
determinada ordem numérica, crescente ou decrescente. Mais provável é que estejam 
desorganizados, uma vez que a ordem das alturas não corresponde necessariamente à 
ordem alfabética. A lista de alturas é, portanto, uma lista de dados brutos, que são 
aqueles valores a que se chegou pela simples coleta, sem qualquer preocupação quanto à 
sua ordenação. 
 
Na Tabela 2.1, estão relacionados os valores correspondentes ao consumo de 
energia elétrica, medido em quilowatts-hora, em um grupo de 50 usuários. 
 
Tabela 2.1 
Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 Usuário Particulares - KWH 
58 62 80 57 8 126 136 96 144 19 
90 86 38 94 82 75 148 114 131 28 
66 95 121 158 64 105 118 73 83 81 
50 92 60 52 89 58 10 90 94 74 
9 75 72 157 125 76 88 78 84 36 
 
 
Como pode ser observado, as criticas estão dispostas de forma desordenadas. Em 
razão disso, pouca informação se consegue obter inspecionando os dados anotados. 
Mesmo uma informação tão simples como a de saber os consumos máximos e mínimo 
requer um certo exame dos dados da tabela. 
 
10.2-ROL 
 
 21 
O rol é uma lista em que valores estão dispostos em uma determinada ordem, 
crescente ou decrescente. Dispondo os dados de acordo com o consumo, obtém-se uma 
ordenação da tabela 2.1 
 
Tabela 2.2 
Consumo Mensal de Energia Elétrica, por 50 
Usuário Particulares - KWH 
3 58 75 89 118 
8 58 76 90 121 
10 60 78 90 125 
19 62 80 92 126 
28 64 81 94 131 
36 66 82 94 136 
38 72 83 95 144 
50 73 84 96 148 
52 74 86 105 157 
57 75 88 114 158 
 
 
Essa classificação dos dados proporciona algumas vantagens concretas com 
relação à sua forma original. Em primeiro lugar, ela torna possível visualizar, de forma 
bem ampla, as variações de consumo, uma vez que os valores extremos são percebidos 
de imediato. Em segundo lugar , é possível observar se uma tendência de concentração 
dos valores na faixa de 50 – 90 KWH. apesar de o rol propiciar ao analista mais 
informações e com menos esforços de concentração do que os dados brutos, ainda assim 
persiste o problema de analise ter que se basear nas 50 observações individuais. O 
problema se agravará quando o número de dados for grande. 
As tabelas de freqüência são representações nas quais os valores se apresentam 
em correspondência com suas repetições, evitando-se assim que eles apareçam mais de 
uma vez na tabela, como ocorre com o rol. 
Uma empresa de instrumentos de precisão esta interessada em saber o número 
de aparelhos defeituosos rejeitados pela seção encarregada pelo controle da qualidade. 
As estatísticas, fornecidas Por seção, referem-se ao período de 1971-1974. 
 
 
Tabela 2.3 - Empresa x 
Número Mensal de Aparelhos Defeituosos 
Mês/Ano J F M A M J J A S O N D 
1971 6 2 5 6 0 8 7 6 3 4 5 8 
1972 10 9 7 6 3 4 6 4 5 4 0 1 
1973 3 6 7 9 3 1 4 6 5 3 5 4 
1974 7 2 5 8 6 4 2 5 1 6 5 2 
 
 
Os dados brutos, apresentados na tabela 2.3, não informam muita coisa sobre o 
fenômeno “números de aparelhos com defeitos”, sendo difícil extrair deles muitas 
conclusões, sem esforços de concentração. Observa-se, entretanto, que os valores que 
constam da tabela aparecem repetidos, como o 0 (zero), por exemplo, que aparece duas 
 22 
vezes. Esse fato irá sugerir, naturalmente, que condensem todos os resultados em uma 
tabela, estabelecendo a correspondência entre o valor individual e o respectivo número 
de vezes que ele foi observado. 
O número de observações ou repetições de um valor ou de uma modalidade, em 
levantamento qualquer, é chamado freqüência desse valor ou dessa modalidade. Uma 
tabela de freqüência é uma tabela onde se procura fazer corresponder os valores 
observados da variável em estudo e as respectivas freqüências. A tabela de freqüências 
proporciona uma apresentação esteticamente mais vantajosa dos dados, facilitando 
ainda a verificação do comportamento do fenômeno. É possível, por outro lado, com a 
utilização de uma tabela de freqüência, a obtenção de estatísticas (medidas) com menos 
calculo, e, conseqüentemente, em menos tempo do que se esse trabalho fosse realizado a 
partir dos dados brutos em classe. 
 
 
 
10.3-Distribuição de Freqüência de Dados Tabulados 
Não – Agrupados em classe 
 
 Utilizando os dados da tabela 2.3, é possível construir uma tabela de 
freqüências de valores não-agrupados em classe, ou seja, uma tabela onde os valores da 
variável aparecem individualmente. Este tipo de apresentação é utilizado para 
representar uma variável discreta ou descontinua. O exemplo é dado pela tabela 2.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2.4 - Empresa X 
Número Mensal de Aparelhos Defeituosos 
j 
Números 
de 
aparelhos 
com 
defeitos 
(xj) 
Contagem 
ou 
Tabulação 
Número de 
Meses (fi) 
 
1 0 II 2 
2 1 III 3 
3 2 IIII 4 
4 3 IIIII 5 
5 4 IIIIIII 7 
6 5 IIIIIIII 8 
7 6 IIIIIIIII 9 
8 7 IIII 4 
9 8 III 3 
 23 
10 9 II 2 
11 10 I 1 
 
 11
1
48
j
fi
 
 
 
 
 
Na primeira coluna, encabeçada pelo índice j, aparecem os números 
correspondentes à ordem dos valores da variável. O índice j será utilizado, nesta apostila 
sempre que estiver trabalhandocom tabelas de freqüência (dados agrupados). Para 
operar com os dados brutos, usar-se-á o índice i. 
 
Na segunda coluna, encabeçada por xj, são anotados os valores da variável. 
 
A terceira coluna é uma coluna auxiliar, utilizada para que se possa processar a 
contagem dos valores repetidos, sem grande esforço. 
 
A última coluna, encabeçada por fj, apresenta as freqüências, que são os 
resultados numéricos provenientes da contagem. A soma das freqüências é sempre igual 
ao número total de valores observados: 
 
k
j
nfi
1
 
 
K é o extremo superior do intervalo de valores do índice j. 
Fj é o número de observações de um valor 
N é o número total de valores observados 
 
Normalmente, depois de construída, a tabela apresentará apenas as colunas 
encabeçadas por xj e fj. 
 
 
10.4-Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em classes 
 
Muitas vezes, mesmo com o risco de se sacrificar algum detalhe manifestado na 
ordenação de valores individuais, há vantagem em resumir os dados originais em uma 
distribuição de freqüências, onde os valores observados não mais aparecerão 
individualmente, mas agrupados em classes. 
Quando a variável objeto do estudo for continua, será sempre conveniente 
agrupar os valores em classes. Se, por outro lado, a variável for discreta e o número de 
valores representativos dessa variável for muito grande, recomenda-se o agrupamento 
dos dados em classes. Neste último caso, o procedimento visa a evitar certos 
inconvenientes, como: 
a. Grande extensão da tabela, dificultando, tanto quanto os dados brutos, a 
leitura e a interpretação dos resultados apurados. 
b. Aparecimento de diversos valores da variável com freqüência nula. 
c. Impossibilidade ou dificuldade de visualização do comportamento do 
fenômeno como um todo, bem como a sua variação. 
 
 24 
Um teste de estatística, contendo 100 perguntas do tipo certo-errado, foi aplicado 
em uma turma de 500 estudantes. A tabela 2.5 apresenta os resultados do teste. 
 
 
 
Tabela 2.5 
Resultados do Teste de Estatística 
Classe 
Notas 
Freqüências 
(fi) 
0 _ 10 5 
10 _ 20 15 
20 _ 30 20 
30 _ 40 45 
40 _ 50 100 
50 _ 60 130 
60 _ 70 100 
70 _ 80 60 
80 _ 90 15 
90 _ 100 10 
 10
500
ij
fj
 
 
10.5-Elementos de uma distribuição de Freqüências 
 
Para construir uma tabela de freqüência, é necessário conhecer alguns termos 
próprios e de uso corrente, bem como o procedimento técnico mais adequado. Esses 
termos serão listados a seguir. 
 
10.6-Freqüência simples ou absoluta (fi) 
 
A freqüência simples absoluta de uma classe ou de um valor individual é o 
número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor. A freqüência 
simples absoluta, ou simplesmente freqüência, é simbolizada pela letra fi. Na tabela 5: 
 
F1 = 5 
F2 = 15 
F3 = 20 
 . 
nfi
 
 . 
 . 
F10 = 10 
 
Como vimos, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados. 
 
10.7-Freqüência relativa (fri) 
 
São os valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência total: 
 25 
 
fi
fi
fri
 
Logo, freqüência relativa da terceira classe, em nosso exemplo da (tabela 2.5), é: 
%404,0
500
20
3
3
3 fr
f
f
fr
i
 Evidentemente 
1fri
ou 100% 
 
 Nota: O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar 
as comparações. 
 
10.8-Freqüência acumulada (Fai) 
 
 É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do 
intervalo de uma dada classe: 
Fk = f1 + f2 + f3 + ... +fk 
Ou 
Fk = 
kif i ,...2,1 
 
10.9-Freqüência acumulada relativa (fra%) 
 
 É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da 
distribuição: 
 
i
i
f
F
Fri
 
 
 
 
 
Exemplo 
Tabela 2.5.1 
Resultados do Teste de 
Estatística 
Classe 
Notas 
Freqüências 
(fi) 
Freqüência 
Relativa (fri) 
Freqüência 
Relativa 
Percentual 
(%) 
Freqüência 
Acumulada 
(fai) 
Freqüência 
Relativa 
Percentual 
(%) 
0 _ 10 5 0,01 1% 5 1% 
10 _ 20 15 0,03 3% 20 4% 
20 _ 30 20 0,04 4% 40 8% 
30 _ 40 45 0,09 9% 85 17% 
40 _ 50 100 0,2 20% 185 37% 
50 _ 60 130 0,26 26% 315 63% 
60 _ 70 100 0,2 20% 415 83% 
70 _ 80 60 0,12 12% 475 95% 
80 _ 90 15 0,03 3% 490 98% 
90 _ 100 10 0,02 2% 500 100% 
 26 
 500 1 100% 
 
 
11-Amplitude Total: At 
 
 A amplitude total ou intervalo total é a diferença entre o maior e o menor valor 
observado da variável em estudo. Se, por exemplo, no teste que deu origem a tabela 2.5, 
a maior nota tivesse sido 97 e a menor 1, a amplitude total do conjunto de valores 
observados seria: 
 
 At = 97 – 1 = 96 
 
 A amplitude total do exemplo da tabela 2.1, por outro lado, será: At = 158 – 8 = 
150 
 
12-Classe 
 
 Classe de freqüência, ou, simplesmente, classe, é a cada um dos grupos, de 
valores em que subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da 
variável. 
 Uma determinada classe pode ser identificada por seus extremos ou pela ordem 
em que ela se encontra na tabela (valor do índice j). Na tabela 2.5: 
 
Classe 0 – 10 ou primeira classe (i = 1) 
Classe 80 – 90 ou nona classe (i = 9) 
 
 O número de classes, em uma distribuição, é representado por k. É importante 
que a distribuição conte com um número adequado de classes. Se esse número for 
escasso, os dados originais ficarão tão comprimidos que pouca informação se poderá 
extrair da tabela. Se, por outro lado, forem utilizadas muitas classes, haverá algumas 
com freqüência nula e prejudicial à interpretação do fenômeno como um todo. 
 Para determinar o número de classes há diversos métodos. A regra de sturges, 
um dos métodos, estabelece que o número de classes é igual a: 
 
 K = 
n
10log3,31
 onde K = número de classes 
 N = número de observações 
 
 
Gerando como conseqüência de definição a tabela de Sturges 
 
Regra de Sturges 
n fj 
 3 -5 3 
 6 - 
11 4 
 12 -
22 5 
 23 - 
46 6 
 27 
 47 - 
90 7 
 91 - 
181 8 
 181 - 
362 9 
 
Exemplo: 
 
A) Se o número de observações for 500: 
N = 500 
K = 1 + 3,3 log
500
 
Log
500
 = 2,69897 
K = 1 + ( 3,3 x 2,69897) = 1 + 8,906601 
K = 9,906601 ou arredondando k = 10 
 
B) Se n = 50 
K = 1 + 3,3 log
50
 
K = 1 + (3,3 x 1,69897) = 1 + 5,606601 = 6,606601 
K = 7 
 
12.1-LIMITES DE CLASSES 
 
a) Limite Superior e Limite Inferior 
 
Os Limites de classe são seus valores extremos. A segunda classe do exemplo da 
tabela 2.5 tem como limites os valores 10 e 20. O valor 10 é denominado limite inferior 
ou limite mínimo de classe, enquanto o valor 20 é denominado limite superior. 
Os valores 0 a 100, por representarem, respectivamente, o limite inferior da 
primeira classe e o superior da última, são também denominados limite inferior e limite 
superior da distribuição. 
Para a construção de uma tabela de freqüências é muito importante a escolha dos 
limites das classes, de forma que seus pontos médios coincidam, tanto quanto possível 
com a concentração dos valores reais. Além disso, é recomendável que os limites de 
classe sejam representados por números inteiros. 
 
12-2) Ponto médio de uma classe 
 
O ponto médio ou valor médio de classe é o valor que representa, para efeito de 
calculo de certamedidas. Na distribuição de freqüências com valores agrupados em 
classes, considera-se que os resultados incluídos em cada classe distribuem-se 
uniformemente por seu intervalo. Por essa razão, a escolha do ponto médio para 
representar todos os valores de uma classe é o procedimento mais coerente, uma vez 
que esse ponto, por suas características, deve ser eqüidistante dos limites de classe. 
Para obter o ponto médio de uma classe, basta acrescentar ao seu limite inferior 
a metade da amplitude do intervalo de classe. Esse procedimento pode ser adotado, 
qualquer que seja a representação tabular escolhida. Assim, por exemplo, o ponto médio 
da primeira classe da distribuição da tabela 2.5 será determinado como segue: 
 
Primeira classe: 0 – 10 
 28 
Amplitude do intervalo: 10 
Média do intervalo 
5
2
100
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Tabela 2.6 
Classe fi 
Ponto 
médio(xi) 
2,50 a 2,59 1 2,55 
2,59 a 2,68 2 2,64 
2,68 a 2,77 7 2,73 
2,77 a 2,86 4 2,82 
2,86 a 2,95 2 2,91 
 16 
 
 
13-Roteiro para a elaboração de uma tabela de Frequencia com Dados 
Agrupados em classes 
 
Para a construção de uma tabela de freqüência, é conveniente adotar-se um 
roteiro que embora baseado em critérios relativamente arbitrários, facilita e torna mais 
operacional o trabalho de quem irá montar a tabela. O roteiro proposto consta dos 
seguintes passos: 
 
a) Lista de dados brutos que pode ou não ser transformada em rol. 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados 
 
At = Maior valor do Conjunto – Menor valor do Conjunto 
c) Escolher o número de classe (k). Alguns autores propõem que se escolha 
arbritariamente entre um mínimo de cinco e um máximo de vinte classes, 
ressaltando, todavia, que, quanto maior o número de observações, maior 
deverá ser o número de classes e vice-versa. Obs A tabela de sturges é uma 
possibilidade de utilização. 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe. A amplitude do intervalo de 
classe será igual ao quociente entre a amplitude total da série e o número de 
classes escolhido. 
 
Amplitude do Intervalo de Classe = 
k
At
 
Muitas vezes, ao efetuar a divisão acima, pode-se chegar a um resultado não 
muito conveniente, sob o aspecto de montagem das classes. Neste caso, convém 
arredondar o número correspondente ã amplitude do intervalo de classe a que se chegou 
para um número mais adequado, que facilite os cálculos (arredondamento arbitrário). 
e) Determinar os limites das classes, escolhendo-se preferencialmente números 
inteiros. 
 29 
f) Construir a tabela de freqüência, conforme sugerido anteriormente. 
 
 
Exercícios 
 
01) A tabela abaixo representa os salários pagos a 100 operários da empresa 
GLT & CIA. 
 
Determinar: 
a) Freqüência absoluta acumulada, freqüências simples relativa e freqüência 
acumulada. 
Número de 
salários 
mínimos 
Número de 
operários (fi) 
0 _ 2 40 
2 _ 4 30 
4_6 10 
6_8 15 
8_10 5 
Total 100 
 
b) Quantos operários ganham até dois salários mínimos? 
c) Quantos operários ganham até 6 salários mínimos exclusive? 
d) Qual a porcentagem de operários com salários entre 6 e 8 salários mínimos? 
e) Qual a porcentagem de operários com salários inferior a 4 salários mínimos? 
f) Caracterize o tipo de tabela? 
 
 
02) A Tabela de freqüência abaixo apresenta 4 falhas de construção. Quais 
são? 
 
classes (fi) 
0 -|2 80 
 4 -|6 0 
6 -|8 10 
 8 -|10 10 
 100 
 
 
03) Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice 
pluviométrico em determinados municípios do Estado: 
 
Milímetros de chuva 
144 152 159 160 
160 151 157 146 
154 145 141 150 
142 146 142 141 
 30 
141 150 143 158 
 
Determine: 
 
a) Caracterize a variável utilizada. 
b) Determinar o número de classes pela regra de sturges. 
c) Construir a tabela de freqüência absoluta simples. 
d) Determinar as freqüências absolutas acumuladas. 
e) Determinar as freqüências simples relativas. 
f) Determinar as freqüências relativas acumuladas. 
g) Defina a tabela? 
 
04) Os dados abaixo representam a distribuição de espessuras de 100 folhas 
de tabaco: 
 
2,01 2,08 1,96 3,04 2,01 3,18 1,94 2,19 2,24 2,18 
2,59 1,96 2,29 3,18 2,09 1,96 2,06 2,18 2,05 2,04 
2,43 1,56 1,94 3,15 2,35 2,08 2,56 2,17 1,96 1,59 
2,22 2,34 2,24 1,95 2,01 3,12 3,03 3,12 2,04 1,66 
1,87 2,49 3,12 2,24 1,76 3,20 2,38 1,58 1,89 1,98 
1,89 1,71 2,42 1,62 1,97 2,18 1,69 3,14 2,18 3,06 
2,40 1,96 3,01 2,19 2,25 1,45 1,93 2,06 1,83 1,84 
1,91 2,11 1,78 2,36 2,33 3,17 2,03 1,87 3,11 2,17 
1,72 1,62 1,99 1,64 1,54 2,26 1,86 2,09 1,74 1,92 
2,36 1,82 2,02 2,25 1,75 3,15 3,18 1,99 1,76 2,51 
 
 
a) Construir o rol. 
b) Forme uma distribuição de freqüência com intervalos de classe. 
c) Construa a tabela com suas respectivas freqüências e ponto médio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
Apresentação Gráfica 
 
 A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. 
A principal vantagem de um gráfico sobre a tabela prende-se ao fato de que ele permite 
conseguir uma visualização imediata da distribuição dos valores observados. Propiciam 
os gráficos uma idéia preliminar mais satisfatória da concentração e dispersão dos 
valores, uma vez que através deles os dados estatísticos se apresentam em termos de 
grandezas visualmente interpretáveis. Por outro lado, os fatos essencias e as relações 
que poderiam ser difícieis de reconhecer em massas de dados estatístcos podem ser 
observados mais claramente através dos gráficos. 
 Existem normas nacionais para a construção de gráficos, ditadas pela fundação 
IBGE. Assim, todo gráfico deve apresentar título e escala. O título pode ser colocado 
tanto acima como abaixo do gráfico. As escalas devem crescer da esquerda para a 
direita, e de baixo para cima. As legendas explicativas devem ser colocadas, de 
preferência, à direita do gráfico. 
 
 
 13) Gráficos de Barras 
 O gráfico de barras é usado para apresentar variaveis qualitativas ou ordinais. 
Para fazer uma gráfico de barras, primeiro se traça o sistema de eixos cartesianos. 
Depois colocam-se, no eixo das abscissas ( ou das ordenadas ) as categorias da variavel 
em estudo. Em seguida, constroem-se barras retangulares com base no eixo das 
abscissas ( ou ordenadas ) e altura ( ou comprimento ) igual à frequência, ou a 
frequência. 
 Observe os dados da tabela 1.1 estão apresentados em gráficos de barras na 
figura 1.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: IBGE, Diretoria de pesquisa de Assistência Médico - Sanitária 
 
 
Tabela 1.1 
Internações em estabelecimentos de saúde, por espécie 
de clinica - 1992 
Espécie de clínica Freqüência 
Freqüência 
Relativa (%) 
Médica 6457.923 32,51(%) 
Ginecologia e 
Obstetrícia 
3918.308 19,73(%) 
Cirurgia 3031.075 15,26 (%) 
Pediatria 2943.939 14,82(%) 
Outras 3.513.186 17,69(%) 
 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Curvas de Frequência 
 
 Curvas de frequência aparecem, na prática, sob diversas formas características 
como as indicadas na figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
(a) Curvas de frequência simétrica ou em forma de sino. Caracterizam-se pelo fato 
de as observações equidistantes do ponto central máximo terem a mesma 
frequência. 
 Um exemplo importante é a curva normal. 
(b) Nas curvas de frequência moderadamente assimétrica ou inclinadas, a cauda da 
curva de um lado da ordenada é mais longa do queoutro. Se o ramo mais 
alongado fica à direita, a curva é dita inclinada para a direita, ou de assimetria 
positiva, enquanto, se ocorre o inverso, diz-se que a curva é inclinada para a 
esquerda ou de assimetria negativa. 
(c) Na curva de frequência em forma de de J, ou J invertido, o ponto de ordenada 
máximas ocorre em uma das extremidades. 
(d) Uma curva de frequência em forma de U tem ordenadas máximas em ambas as 
extremidades. 
(e) Uma curva de frequência bimodal tem dois máximos. 
(f) Uma curva de frequência multimodal tem mais de dois máximos. 
 
Exemplo 
Tabela 1.2 
 
Cães Adultos anestesiados e após laparotomia, 
segundo a pressão arterial, milímetros de mercúrio 
Classe Ponto Médio Freqüência 
80_90 85 1 
90_100 95 4 
100_110 105 16 
110_120 115 8 
120_130 125 9 
130_140 135 7 
140_150 145 3 
150_160 155 1 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Medidas de Tendência Central 
Introdução 
O estudo que fizemos sobre a distribuição de frequência, até agora, permite-nos 
descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. 
Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada 
distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda se há 
uma distribuição por igual. 
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, 
isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se 
expressem através de números, que permitam traduzir essas tendências. Esses 
conceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são as: 
a. medidas de posição; 
b. medidas de variabilidade ou dispersão; 
c. medidas de assimetria; 
 35 
d. medidas de curtose. 
 
Dentro os elementos típicos, destacamos, neste capítulo, as medidas de posição 
_ estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição 
da distribuição em relação ao eixo horizontal(eixo das abscissas). 
 As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central 
que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderam, em geral, 
a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendencia central. 
Destacamos: 
a. a média aritmética; 
b. a mediana; 
c. a moda 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: 
 
a. própria mediana; 
b. os quartis; 
c. os percentis. 
 
01) Média aritmética (
x
) 
 
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias, porém 
em nossos estudos iremos limitar às mais importantes: a média aritmética. 
 
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável 
pelo número deles: 
n
xi
X
 
 sendo: 
 
x
 a média aritmética 
 
ix
 .os valores da variável; 
 n. o número de valores 
1.1) Dados não-agrupados 
 Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, 
determinamos a média aritmética simples. 
Exemplo: 
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, 
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para a produção média da semana. 
diaLx /14
7
98
7
12181615131410
 
 36 
As vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de 
dados que ela representa. É o que acontece quando temos os valores 2, 3, 4, 7, e 
9, para os quais a média é 5. Esse será o número representativo dessa série de 
valores, embora não esteja representado nos dados originais. Neste caso, 
costumamos dizer que a média não tem existência concreta. 
1.2) Desvio em relação a média 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de 
um conjunto de valores e a média aritmética. 
Designamos o desvio por 
id
, temos: 
xxd ii
 
Para o exemplo dado anteriormente, temo: 
21412
41418
21416
11415
11413
01414
41410
777
666
555
444
333
222
111
dxxd
dxxd
dxxd
dxxd
dxxd
dxxd
dxxd
 
1.3) Propriedades da média 
Propriedade 01 Soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é 
nula: 
0
1
k
i
id
 ex: 7
1i
id
= -4 + 0 + (-1) + 1 + 2 + 4 + (- 2) = 0 
Propriedade 02 Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a de 
todos os valores de uma variavél, a média do conjunto fica aumentada(ou 
dimuída) dessa constatnte: 
cxycxy ii
 
Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos: 
122
182
162
152
132
142
102
7
6
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
v
y
 7
1i
iy
 
16214
7
14201817151612
 
 37 
Propriedade 03 Multiplicando-se( ou dividindo-se) todos os valores de uma 
variável por uma constante ( c ), a média do conjunto fica multiplicada( ou 
dividida) por essa constante: 
cxycxy ii ..
 ou 
c
x
yy
c
x
i
i
 
 
2) Média aritmética Ponderada 
 Às vezes, associam-se os números 
KXXX ,..., 21
 a certos fatores de 
ponderação ou pesos 
kwww ,...,, 21
, que dependem do significado ou importância 
atribuída aos números. Nesse caso 
w
wx
www
xwxwxw
x
k
kk
...
...
21
2211
 
Exemplo: Se o exame final, em um curso, tem peso 3 e as provas correntes 
peso 1, e um estudante tem grau 85 naquele exame e 70 e 90 nas provas, seu 
grau médio é: 
83
5
415
311
)85)(3()90)(1()70)(1(
x
 
2.1) Dados agrupados 
 2.1.1. Sem Intervalos de classe 
 Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, 
tomando para a variável o número de filhos do sexo masculino: 
 
Tabela 1.3 
N* de Meninos fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 
 Neste caso, com as frequências são números indicadores da intensidade 
de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos 
leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
i
ii
f
fx
x
 
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma 
coluna correspondente aos produtos 
ii fx
: 
 
 38 
Tabela 1.4 
N* de Meninos fi xifi 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
Total 34 78 
 
Temos, então: 
78ii fx
 e 
34if
 
Logo: 
3,229,2
34
78
x
f
fx
x
i
ii
 isto é 2,3 meninos 
 
Exercício 01 
Complete o esquema para o cálculo da média da distribuição e identifique a 
média 
Temos: 
 
Tabela 1.5 
xi fi xifi 
1 2 2 
 2 4 
3 6 
4 8 
5 3 
 6 1 
Total= 
 
 
 39 
2.1.2.) Com intervalos de classe 
 Neste caso convencionamos que todos os valores incluidos em um 
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e 
determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: 
i
ii
f
fx
x
 
 
Ex. 01 
Tabela 1.5 
k Estaturas (cm) fi 
1 150_154 4 
2 154_158 9 
3 158_162 11 
4 162_166 8 
5 166_170 5 
6 170_174 3 
 40 
Tabela 1.6 
k 
Estaturas 
(cm) fi xi xifi 
1 150_154 4 152 608 
2 154_158 9 156 1404 
3 158_162 11 160 1760 
4 162_166 8 164 1312 
5 166_170 5 168 840 
6 170_174 3 172 516 
 Total = 40 6440 
 
 
Como, neste caso: 
i
ii
i
ii
f
fx
x
f
fx
40
,6440
 Temos: 
161
40
6440
x
 
 
 40 
Ex. 02 
Intervalo fi fri(%) fa fra% Xi xifi 
0.40 _ 3,4 10 25% 10 25% 1.9 19 
3,4 _ 6,4 10 25% 20 50 4.9 49 
6,4 _ 9,4 10 25% 30 75 7.9 79 
9,4 _ 12,4 2 5% 32 80 10.9 21.8 
12,4 _ 15,4 3 7.5% 35 87.5 13.9 41.7 
15,4 _ 18,4 410% 39 97.5 16.9 67.6 
18,4_21,40 1 2.50% 40 100 19.9 19.9 
Total = 40 100% 298 
45,7
40
298
:
,
40
298
x
temos
f
fx
x
f
fx
i
ii
i
ii
 
Exercício 02 
01) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da 
distribuição de frequência: 
 
Tabela 2 
Intervalo de Classe fi xi xifi 
450_550 8 
550_650 10 
650_750 11 
750_850 16 
850_950 13 
950_1050 5 
1050_1150 1 
TOTAL = 
Logo: 
......
...
...
x
 
2.1.3.) Processo breve 
Com o intuito de eliminarmos o grande número de cálculos que às vezes se 
apresentam na determinação da média, empregamos o que denominamos 
processo breve ( em oposição ao processo usado anteriormente – processo 
longo), baseado em uma mudança da variável x por outra y, tal que: 
 41 
h
xx
y ii
0
 
Onde x0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente dentre os 
pontos médios da distribuição – de preferência o de maior frequência. 
Fazemos essa mudança de variável, de acordo com a segunda e a terceira 
propriedades da média, ela resulta dimimuida de x0 e dividida por h; mas 
isso pode ser compensado somando x0 ã média da nova variável e, ao 
mesmo tempo, multiplicando-a por h. Resulta, então, a fórmula modificada: 
i
ii
f
hfy
xx 0
 
 Assim, para a distribuição da tabela 1.5 tomando para o valor de x0 o 
ponto médio de maior frequência (se bem que podemos tomar qualquer dos 
valores do ponto médio), isto é: 
X0 = 160 
Como h = 4, ( Intervalos de Classe) temos para valores da nova variável: 
3
4
12
4
160172
2
4
8
4
160168
1
4
4
4
160164
0
4
0
4
160160
1
4
4
4
160156
2
4
8
4
160152
6
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
y
 
Vamos, então, calcular a média da distribuição da tabela 1.5 pelo processo 
breve. 
 Começamos por completar a tabela dada com as colunas correspondentes 
aos pontos médios (xi), aos valores da nova (yi) e aos produtos yifi. 
 
k 
Estaturas 
(cm) fi xi yi yifi 
1 150_154 4 152 -2 -8 
2 154_158 9 156 -1 -9 
3 158_162 11 160 0 0 
4 162_166 8 164 1 8 
5 166_170 5 168 2 10 
6 170_174 3 172 3 9 
 Total = 40 10 
Temos, então, 
cmx
x
vem
f
hfy
xx
dosubstituin
h
f
fy
x
i
ii
i
ii
161
1611160
40
410
160
:
4
40
10
160
0
0
 
Notas : 
 processo breve, com a nova variável definida por nós, só pode ser usado em 
distribuições que apresentam intervalos de classe de mesma amplitude. 
 O processo breve pode, também, ser aplicado para a distribuição sem 
intervalos de classe, bastando fazer h = 1 
 
 42 
Resumo 
Fases para o cálculo da média pelo processo breve: 
a. Abrimos uma coluna para os valores xi. 
b. Escolhemos um dos pontos médios ( de preferência o de maior frequência para o 
valor x0. 
c. Abrimos uma coluna para os valores de yi e escrevemos zero na linha 
correspondente à classe onde se encontra o valor de x0; a sequência -1,-2,-3,…, logo 
acima do zero, e a sequência 1,2,3,…, logo abaixo. 
d. Abrimos uma coluna para os valores do produto yifi, conservando os sinais + ou -, e 
em sequida algebricamente esses produtos. 
e. Aplicamos a fórmula. 
Exemplo : 
Dados os dados abaixo. Faça uma tabela de distribuição de frequência, 
gráfico (histograma) e calcule a média dos valores. 
Rol 
1,45 1,71 1,86 1,95 2,01 2,08 2,18 2,29 2,49 3,12 
1,54 1,72 1,87 1,96 2,01 2,08 2,19 2,33 2,51 3,12 
1,56 1,74 1,87 1,96 2,01 2,09 2,19 2,34 2,56 3,14 
1,58 1,75 1,89 1,96 2,02 2,09 2,22 2,35 2,59 3,15 
1,59 1,76 1,89 1,96 2,03 2,11 2,24 2,36 3,01 3,15 
1,62 1,76 1,91 1,96 2,04 2,17 2,24 2,36 3,03 3,17 
1,62 1,78 1,92 1,97 2,04 2,17 2,24 2,38 3,04 3,18 
1,64 1,82 1,93 1,98 2,05 2,18 2,25 2,40 3,06 3,18 
1,66 1,83 1,94 1,99 2,06 2,18 2,25 2,42 3,11 3,18 
1,69 1,84 1,94 1,99 2,06 2,18 2,26 2,43 3,12 3,20 
 
b) Amp= 3,20 - 1,45 = 1,75 
c) K = 8 
d)Int.de classe 1,75/8 = 0,22 
e) Cálculo da média 
 
5
22,0
210,3
8
4
22,0
288,2
7
3
22,0
266,2
6
2
22,0
244,2
5
1
22,0
222,2
4
0
22,0
22
3
1
22,0
278,1
2
2
22,0
256,1
1
y
y
y
y
y
y
y
y
 
 43 
Portanto: 
2046,22046,02
100
22,093
2
0
x
fi
hyif i
xx
 
 
Média = 2,2046 
 
K Int. de Classe (fi) (fri%) (fa) (fra%) Xi yi yifi 
1 1,45_1,67 9 9.0% 9 9% 1,56 
2 1,67_1,89 14 14% 23 23% 1,78 
3 1,89_2,11 31 31% 54 54% 2,00 
4 2,11_2,33 17 17% 71 71% 2,22 
5 2,33_2,55 11 11% 82 82% 2,44 
6 2,55_2,77 2 2% 84 84% 2,66 
7 2,77_2,99 0 0 84 84% 2,88 
8 2,99_3,21 16 16% 100 100% 3,10 
 Total = 100 100.0% 12 93 
 
Yi = diferença entre o intervalo médio e o de maior frequência, sobre os intervalos de 
classe. 
Yifi = Produto entre a frequencia simples e yi 
Emprego da média 
 A média é utilizada quando: 
 Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade; 
 Houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior. 
3) A Moda (MO) 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequênciia em uma série de 
valores. 
 Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais 
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. 
3.1) Dados não – agrupados 
 Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: 
basta, de acordo com a definição procurar o valor que mais se repete. 
 A série de dados: 
 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 
 
 44 
Tem moda igual a 10. 
 
 Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, 
nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. É o caso da série: 
 
 3, 5, 8, 10, 12, 13 
 Que não apresenta moda (amodal). 
 Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. 
Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série: 
 
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 
 
 Temos duas modas: 4 e 7 (bimodal) 
3.2) Dados agrupados 
3.2.1. Sem intervalos de classe 
 
 Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: 
basta fixar o valor da variável de maior frequência. 
 Na distribuição da tabela 1.3 abaixo, à frequência máxima (12) corresponde o 
valor 3 da variável. Logo: 
 
Mo = 3 
 
Tabela 1.3 
N* de Meninos fi 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 
 
 
 45 
3.2.2. Com intervalo de classe 
 
 A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela 
definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está 
compreendido entre os limites da classe modal. 
 O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tornar o ponto 
médio da classe modal. 
 Damos a esse valor a denominação de moda bruta 
 
 Temos, então: 
 
2
supinf ll
Mo
 
 
 Assim, para a distribuição: 
Temos que a classe modal é k = 3, l* = 158 e L* 162. 
 
Tabela 1.5 
k Estaturas (cm) fi 
1 150_154 4 
2 154_158 9 
3 158_162 11 
4 162_166 8 
5 166_170 5 
6 170_174 3 
 40 
 
2
.sup.inf ll
Mo
 
cmMo
Mo
160
160
2
320
2
162158 
3.3) Fórmula Czuber para obtenção da moda 
 
 Há, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por 
exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber: 
 
*
21
1
inf h
dd
d
lMo
 
Na qual: 
 
 46 
 Limite inf. _ é o da classe modal; 
 h* é a amplitude da classe modal; 
 D1 = Frequência (anterior); 
 D2 = frequência (Posterior). 
Sendo : 
 F* a frequência simples da classemodal; 
 F (ant) a frequência simples da classe anterior à classe modal; 
 F(post) a frequência simples da classe posterior à classe modal. 
Assim, para a distribuição da tabela 1.5, temos: 
 
D1 = 11 – 9 = 2 e D2 = 11 – 8 = 3 
Donde: 
 
Mo = 158 +
6,1596,1158
5
8
158
32
42
1584
32
2
 
 
Logo: Mo = 159,6 cm 
 
3.3) As expressões gráficas da moda 
 
 Na curva de frequência, a moda é o valor que corresponde, no eixo das 
abscissas, ao ponto de ordenada máxima. Assim, podemos ter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
Emprego da moda 
 A moda é utilizada: 
 Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; 
 Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
 
4). A mediana (Md) 
 A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra 
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em 
outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem 
de grandezas, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
4.1) Dados não-agrupados 
 
Dada uma série de valores, como, por exemplo: 
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6,16,9 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da 
ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 
 2, 5, 6, 9, 10, 13,15, 16, 18 
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de 
elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que, 
nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo. 
Temos, então: 
Md = 10 
 Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, 
por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores 
centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. 
 Assim, a série de valores; 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 
 Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12 logo: 
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de 
elementos da série, o valor mediano será: 
- o termo de ordem 
2
1n
, se n for ímpar; 
- a média aritmética dos termos de ordem 
1
22
n
e
n
, se n for par. 
Notas: 
- O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, como 
vimos. Quando o número de elemntos da série é ímpar, há coincidência. O 
mesmo não acontece, porém, quando esse número for par. 
- A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
 48 
- A mediana, como vimos, depende da posição e não dos elementos na série 
ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e a média ( que 
deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana 
pode ser constatada através dos exemplos a seguir: 
 
2065,13,10,7,5
1015,13,10,7,5
x
x
md = 10 para os dois casos. 
 
4.2) Dados agrupados 
 
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da 
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-
agrupados, implicando, porém, a determinação prévia das frequências 
acumuladas. Ainda aqui temos que determinar um valor tal que divida a 
distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. 
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um 
dos extremos, é dada por: 
 
2
fi
 
4.2.1) Sem intervalos de classe 
 
 Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada 
imediatamente superior ã metade da soma das frequências. A mediana será 
aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada. 
 Tomemos a distribuição relativa à tabela 1.3, completando-a com a 
coluna correspondente ã frequência acululada: 
 
Tabela 1.3 
N* de Meninos fi fa 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
 
34
 
Sendo:
17
2
34
2
fi 
A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao 
valor 2 da váriavel, sendo este o valor mediano. Logo: 
Md = 2 meninos 
 49 
Nota: 
 
- No caso de existir uma frequência acumulada (fa), tal que: 
2
fi
fa
 
A mediana será dada por: 
 
2
1ii xxmd , isto é, a mediana será aritmética entre o valor da variável 
correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte. 
 
Exemplo: 
Tabela 1.4 
xi fi fa 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
 
8
 
 
Temos: 
34
2
8
fa
 logo: 
5,15
2
31
2
1615
Md
 
 
4.2.2) Com intervalos de classe 
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto de intervalo em está 
compreendida a mediana. 
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana 
- classe mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à 
frequência acumulada imediatamente superior a
2
fi
. 
Feito isso, um problema de interpolação* ( Interpolação é a inserção de uma 
determinada de valores entre dois números dados.) resolve a questão, admitindo-se, 
agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de classe. 
Assim, considerando a distribuição da tabela 1.5, acrescida das frequências 
acumuladas: 
 
 50 
 
 
Tabela 1.5 
k Estaturas(cm) fi fa 
1 150_154 4 4 
2 154_158 9 13 
3 158_162 11 24 
4 162_166 8 32 
5 166_170 5 37 
6 170_174 3 40 
 
40
 
Temos:
20
2
40
2
fi 
Como há 24 valores incluindo nas três primeiras classes da distribuição e como 
pretendemos determinar o valor que ocupa o 20* lugar, a partir do início da série, 
vemos que este deve estar localizado na terceira classe (k = 3) uniformenete 
distribuídas. 
Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos 
tomar, a partir do limite inferior, a distância: 
4
11
7
4
11
1320
 
E a mediana será dada por: 
54,16054,2158
11
28
1584
11
7
158Md
 
Logo: Md = 160,5 cm 
Na prática, seguimos os seguintes passos: 
1) Determinamos as frequências acumuladas. 
2) Calculamos 
2
fi 
3) Marcamos a classe correspondente à frequnência acumulada imediatamente 
superior à 
2
fi - classe mediana- e, em seguida, empregamos a fórmula: 
*
*)(
*
2
f
hantfa
lMd
fi
 na qual: 
l* é o limite inferior da classe mediana; 
fa(ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
 51 
f* é a frequência simples da classe mediana; 
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
4.3) Emprego da Mediana: 
a- desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais: 
b- há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; 
c- a variavél em estudo salário. 
5) As separatrizes 
 Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição 
central. No entanto, ela apresenta uma outra caracteristica, tão importante quanto a 
primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de 
valores. 
 Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas 
individualmente,não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana 
relativamente à sua segunda caracteristica, já que se baseiam em sua posição na 
série. Essas medidas – os quartis, os percentis e os decis – são, juntamente com a 
mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 
 5.1) Os quartis 
 Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes 
iguais. 
Há, portanto, três quartis: 
a. O primeiro quartil(q1) – Valor situado de tal modo na série que uma quarta 
parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes