Lista Matrizes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
A´LGEBRA LINEAR
CET065
Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares
Aluno(a):
Professores: Erikson Alexandre / Jaqueline Azevedo / Jarbas Fernandes / Mariana Pinheiro / Rodrigo
von Flach
I - Matrizes
(1) Sejam: A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[
−2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
, D = [ 2 −1 ], E =
 1 03 −1
4 2

e F =
[
1 0
0 1
]
. Calcule, quando possı´vel:
(a) A+ B
(b) B+ F
(c) A · C
(d) C · A
(e) Et + (−A)
(f) C · D+ 2E− At
(g) Ct · E− 3D
(h) E · F+ At − Bt
(2) Dadas as matrizes A =
[
aij
]
2×2, tal que aij =
{
i+ j , se i = j
0 , se i 6= j e B =
[
bij
]
2×2, tal que
bij = 2i− 3j, enta˜o A+ B e´ igual a:
(a)
[
−1 4
−1 −2
]
(b)
[
1 −4
−1 −2
]
(c)
[
−1 4
1 2
]
(d)
[
1 −4
1 2
]
(e)
[
1 4
1 2
]
(3) Sendo as matrizes M = [mij]2×3, N = [nij]a×b, P = [pij]c×4, Q = [qij]d×e, e´ possı´vel determinar
M+ N, N · P e P−Q, se:
(a) b− a = c− d
(b) a = b = c = d = e− 1
(c) b = a+ 1, c = d = e = 4
(d) a · b = 6, a+ 1 = b = c = d = e− 1
(e) b = c = d =
a+ c
2
(4) O valor de x para que
[
−2 x
3 1
]
·
[
1 −1
0 1
]
seja uma matriz sime´trica e´:
(a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3
(5) Dadas A =
1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
, B =
1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
. Mostre que AC =
AB.
(6) Sejam A, B e C matrizes tais que A 6= 0 e os produtos AB e AC esta˜o bem definidos. Suponha
que AB = AC. Responda:
(a) B = C?;
(b) Se existir uma matriz Y tal que YA = I, em que I e´ a matriz identidade, enta˜o B = C?
1
2
(7) Sejam A e B matrizes quadradas. Explique por que, em geral, (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 e
(A+ B)(A− B) 6= A2 − B2.
(8) Uma matriz A de ordem n e´ dita ser idempotente se A2 = A.
a) Mostre que se AB = A e BA = B enta˜o A e B sa˜o idempotentes.
b) Mostre que
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
 e´ idempotente.
(9) Calcule o determinante da matriz
 1 −2 5−7 4 3
8 0 −3

a) Pela definic¸a˜o
b) Em relac¸a˜o a` segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.
(10) Sejam A, B e C matrizes quadradas tais que AB = BA = 0, AC = A e CA = C. Mostre que:
(a) ACB = CBA;
(b) A2 − B2 = (A− B)(A+ B);
(c) (A± B)2 = A2 + B2.
(11) Uma matriz quadrada A e´ ortogonal quando A e´ inversı´vel e A−1 = At.
(a) Determine se possı´vel x e y em R a fim de que a matriz A =
[ √
2 x
y
√
2
]
seja ortogonal.
(b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e´ ortogonal.
(12) Seja A =
[
3 −2
−4 3
]
. Determine a matriz B de modo que B2 = A.
(13) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
(a) A =
 1 4 0 02 2 1 0
0 0 0 1

(b) B =
 1 −1 0−2 2 0
0 1 0

(c) C =
[
1 −3 2 −1
2 −1 2 −2
]
(d) D =
 0 1 32 1 4
2 3 3

(e) E =
 3 00 0
0 2

(14) Reduza as matrizes abaixo a` forma escalonada reduzida por linhas e determine o posto e a nuli-
dade das mesmas.
(a) A =
 1 1 1 31 0 −1 1
0 1 2 2

(b) B =
[
1 −4
3 2
]
(c) C =
 6 3 −4−4 1 −6
1 2 −5

(d) D =
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

3
(15) Seja θ ∈ [0,pi] e considere a matriz Aθ =
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
]
a) Calcular Aθ .Aδ
b) Calcular A0 e A−θ
c) Determinar Det(A0) e se possı´vel calcular A−10
(16) Usando as operac¸o˜es elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo sa˜o inversı´veis e,
em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(a) A =
[
1 3
2 7
]
; (b) B =
 2 5 14 1 2
0 4 1
; (c) C =
 1 2 60 1 5
2 3 7
; (d) D = [ 1 2
3 4
]
;
(e) E =
 4 2 34 5 6
7 8 8
; (f) F =

1 3 7 −1
−7 −1 −8 6
5 0 2 −2
7 1 1 1
; (g) G =

−2 0 1 0
−5 −1 3 3
2 0 2 1
−5 −1 0 2
.
(17) Calcule o determinante das matrizes abaixo. Quais destas matrizes sa˜o inversı´veis? Calcule a
inversa das matrizes inversı´veis.
(a) A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
; (b) B =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
; (c) C =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
.
(18) Determine, se possı´vel, o valor de x para que a matriz A =
 0 2x 1x2 0 −x
x+ 1 x3 0
 seja:
(a) sime´trica (b) antissime´trica
(19) Mostre que:
(a) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB e´ sime´trica se, e somente se, AB = BA.
(b) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o sime´tricas, para todo escalar k.
(c) Se A e B sa˜o antissime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o antissime´tricas, para todo escalar k.
(d) Para toda matriz A de ordem n, a matriz A + At e´ sime´trica e a matriz A − At e´ antis-
sime´trica.
(20) Seja A = [aij] uma matriz antissime´trica. Demonstre que os elementos da diagonal principal sa˜o
todos nulos, ou seja, aii = 0 para i = 1, . . . , n.
(21) Seja A uma matriz idempotente de ordem n. Prove que B = I − A e´ uma matriz idempotente.
(22) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = A e BA = B. Mostre que A e B
sa˜o matrizes idempotentes.
(23) Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
(a) se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz sime´trica.
(b) se A e´ uma matriz antissime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz antissime´trica.
4
(24) Utilizando as propriedades de trac¸o, mostre que na˜o existem matrizes A e B, de ordem n, tais
que AB− BA = I.
(25) Considere a matriz real A dada por A =
[
a b
c d
]
com ad− bc 6= 0.
a)Mostre que:
A−1 = 1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
.
b) O que podemos concluir se ad− bc = 0? Justifique sua resposta.
(26) Prove que toda matriz quadrada A e´ a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz antis-
sime´trica.
(27) Ilustre exercı´cio anterior usando a matriz A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
.
(28) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =
[
1 1
0 0
]
.
(29) Para cada nu´mero real α consideremos a matriz: Tα =
[
cos α − sin α
sin α cos α
]
. Mostre que:
(a) TαTβ = T(α+β)
(b) T−α = Ttα
(30) Mostre que uma matriz A e´ inversı´vel se, e somente se, At e´ inversı´vel. Conclua que as operac¸o˜es
de inversa˜o e de transposic¸a˜o comutam, ou seja, [At]−1 = [A−1]t, quando A e´ inversı´vel.
(31) Considere as seguintes matrizes inversı´veis:
A =
 1 1 11 1 1
0 1 2
 B =
 1 1 00 1 0
0 0 1
 C =
 1 2 10 1 2
1 1 1
 .
a) Encontre a extressa˜o de X tal que BAX=C
b)Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item anterior.
(32) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversı´veis:
A =
 1 1 12 1 2
1 2 a
 B =
 3 7 61 5 6
1 1 b
 .
(33) Seja A uma matriz invertı´vel. Prove que, para qualquer escalar λ na˜o-nulo,
(λA)−1 = 1
λ
A−1.
5
(34) Deˆ exemplos, se possı´vel, de matrizes satisfazendo as condic¸o˜es dadas abaixo. OBS: Considere
N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A.
a)B2×3, p(B) = 2; b)D2×4, p(D) = 3; c)C3×2, p(C) = 3; d)F2×3, N(F) = 2;
e)G4×3, N(G) = 0; f )H3×3, N(H) = 0; g)J3×3, p(J) = 2.
(35) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B invertı´vel. Mostre que
tr(B−1AB) = tr(A).
6
II - Sistemas Lineares
(36) Resolva os seguintes sistemas:
(a) S1 =

x+ 2y− z = 2
2x− y+ 3z = 9
3x+ 3y− 2z = 3
(b) S2 =

2x− 3y+ z = 2
3x+ 2z = 0
5y− 2w = −5
y− z+ w = −4
(c) S3 =
{
x− y− z = 4
x− y+ z = 2
(d) S4 =

x+ 2y− 3z = 0
2x+ 4y− 2z = 2
3x+ 6y− 4z = 3
(37) Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo, considerando o corpo dos nu´meros complexos.
{
2x+ (i− 1)y+ w = 0
3y− 2iz+ 5w = 0
(38) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares
S =

3x− 5y+ 12z− w = −3
x+ y+ 4z− w = −6
2y+ 2z+w = 5
(a) Determine a soluc¸a˜o do sistema;
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 no sistema acima, e enta˜o discuta a soluc¸a˜o do novo
sistema em func¸a˜o do paraˆmetro real k;
(c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogeˆneo, isto e´, todos os termos indepen-
dentes, das varia´veis, sa˜o iguais a zero. Adicione a equac¸a˜o 2z− y− 2w = 0 neste sistema
homogeˆneo, e enta˜o obtenha a sua soluc¸a˜o.
(39) Suponha que as matrizes das questo˜es (13) e (14) representam matrizes dos corficientes de siste-
mas de equac¸o˜es lineares homogeˆneos. Determine o conjunto soluc¸a˜o destes sistemas.
(40) Considere o sistema
(∗)
{
x+ 6y− 8z = 1
2x+ 6y− 4z = 0
(a) Escreva o sistema (∗) na sua forma matricial;
(b) Verifique que a matriz X1 =

1
1
3
0
 e´ soluc¸a˜o do sistema (∗);
7
(c) Resolva o sistema (∗) e verifique que toda soluc¸a˜o e´ da forma X = λ ·
−42
1
+

1
1
3
0
, em que
λ ∈ R;
(d) Verifique que X0 = λ ·
−42
1
 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo associado ao sistema (∗).
(e) Conclua que o conjunto soluc¸a˜o do sistema (∗) e´ dado pelo conjunto-soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo associado somado com uma soluc¸a˜o particular de (∗).
(41) Mostre que toda matriz soluc¸a˜o de um sistema linear AX = B e´ a soma de uma soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo associado AX = 0 com uma soluc¸a˜o particular de AX = B. Sugesta˜o: Siga
os passos abaixo:
(i) Mostre que se X0 e´ soluc¸a˜o de AX = 0 e X1 e´ soluc¸a˜o de AX = B, enta˜o X0 + X1 e´ soluc¸a˜o
de AX = B;
(ii) Verifique que se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es de AX = B, enta˜o X1 + X2 e´ soluc¸a˜o de AX = 0
(iii) Use (i) e (ii) para concluir o desejado.
(42) Um bio´logo colocou treˆs espe´cies de bacte´ria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,
onde elas sera˜o alimentadas por treˆs fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia sera˜o
colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada
bacte´ria consome um certo nu´mero de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela
abaixo.Quantas bacte´rias de cada espe´cie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir
todo o alimento?
Alimento Bacte´ria 1 Bacte´ria 2 Bacte´ria 3
A 2 2 4
B 1 2 0
C 1 3 1
(43) A tabela abaixo da´ a quantidade de proteı´na, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rac¸o˜es
R1, R2 e R3.
Rac¸a˜o Proteı´na Carboidrato Gordura
R1 0,1 0,2 0,3
R2 0,1 0,3 0,4
R3 0,1 0,1 0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rac¸o˜es deve ser dada a um animal que precisa receber
0,7 Kg de proteı´na, 1,1 Kg de carboidrato e 1,8 Kg de gordura?
(b) Qual o custo mı´nimo para alimentar um animal, sabendo-se que os prec¸os das rac¸o˜es R1, R2
e R3 sa˜o R$ 1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente?
8
(44) A empresa K produz caminho˜es e avio˜es. Para produzir um caminha˜o, a empresa K necessita
de uma tonelada de ac¸o, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avia˜o,
necessita de 50 toneladas de ac¸o, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as
matrizes A =
 1 5040 1000
2 50
 e X = ( x1
x2
)
onde x1 e´ o nu´mero de caminho˜es produzidos e
x2 e´ o nu´mero de avio˜es produzidos. Interprete o produto AX. Se y1 e´ o custo de cada tonelada
de ac¸o, y2 e´ o custo de cada quilo de borracha e y3 e´ o custo de cada meˆs de trabalho, qual e´ o
custo de um caminha˜o e de um avia˜o? Como representar o custo matricialmente por meio de um
produto da forma BY onde Y =
 y1y2
y3
? Qual o significado de AtY?
(45) Seja Ct o nu´mero de crianc¸as na I´ndia no inı´cio do ano t e At o nu´mero de adultos na I´ndia no
inı´cio do ano t. Durante um dado ano, 5% de todas as crianc¸as se tornam adultos e 1% de todas
as crianc¸as morrem. Tambe´m, durante um dado ano, 3% de todos os adultos morrem. Escreva a
matriz
(
Ci+1
Ai+1
)
em func¸a˜o da matriz
(
Ci
Ai
)
.
(46) Usando apenas as teorias dos sistemas de equac¸o˜es lineares e de escalonamento gaussiano, pro-
cure balancear, de forma mı´nima, a seguinte equac¸a˜o quı´mica, ou seja, determine os valores de
x, y, z e w inteiros positivos, na expressa˜o abaixo:
xAl(OH)3 + yH2SO4 −→ zAl2(SO4)3 + wH2O
(47) Construir o polinoˆmio interpolador quadra´tico dos pontos A = (1, 4), B = (−1, 10), C = (2, 7).
(48) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possı´vel e determinado
S =

3x− 7y = a
x+ y = b
5x− 3y = 5a = 2b
x+ 2y = a+ b− 1
(49) Calcule o valor de k para que o sistema linear homogeˆneo admita apenas soluc¸o˜es pro´prias.
S =

x− y− z = 0
x− 2y− 2z = 0
2x+ ky+ z = 0
(50) Discuta, segundo o paraˆmetro m, os seguintes sistemas lineares:
(a) S1 =

x+ y+ z = 0
x− y+mz = 2
mx+ 2y+ z = −1
(b) S2 =

mx+ y− z = 4
x+my+ 2z = 0
y− z = 2
Bom Estudo!