Critérios de Convergência de Séries

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Crite´rios de convergeˆncia
Soˆnia F. Lopes Toffoli
Londrina, 7 de Agosto de 2014
1 Procedimento para determinac¸a˜o de convergeˆncia
Teste do ene´simo
termo
lim
n→∞ an = 0 -
Na˜o
A se´rie
∑
an diverge
Sim
?
Teste da se´rie
geome´trica
S = a+ ar + ar2 + ... -Sim
S = a/(a− r) se |r| < 1
S diverge se |r| ≥ 1
Na˜o
?
Teste da se´rie
hiper-harmoˆnica
S=
∑
1
np =1 +
1
2p +
1
3p + ... -
Sim S converge se p > 1
S diverge se p ≤ 1
Na˜o
?
Convergeˆncia
absoluta
∑ |an| converge?
Teste de comparac¸a˜o
Teste da integral
Teste da raiz
Teste da raza˜o
-Sim
A se´rie
∑
an converge
absolutamente
Na˜o
?
Teste da se´rie
alternada
S =
∑
(−1)n an
e
an+1 < an ?
-Sim
S converge se lim an = 0
S diverge se lim an 6= 0
Na˜o
?
E´ necessa´rio estudar me´todos mais avanc¸ados
ou experimentar me´todos nume´ricos.
2 Alguns testes de convergeˆncia 2
2 Alguns testes de convergeˆncia
2.1 Teste de comparac¸a˜o
Para decidir se a se´rie
∞∑
n=1
an converge
ou diverge, comparamos com outra se´rie,
∞∑
n=1
bn, no qual conhecemos seu comporta-
mento.
1. Se 0 ≤ an ≤ bn e
∞∑
n=1
bn converge, a
se´rie
∞∑
n=1
an tambe´m converge.
2. Se 0 ≤ bn ≤ an e
∞∑
n=1
bn diverge, a
se´rie
∞∑
n=1
an tambe´m diverge.
2.2 Teste de comparac¸a˜o com li-
mite
1. lim
n→∞
an
bn
= L com L finito e positivo
(0 < L <∞).
Enta˜o as duas se´ries
∑
an e
∑
bn
convergem ou as duas se´ries diver-
gem.
2. lim
n→∞
an
bn
= 0 e
∞∑
n=1
bn converge enta˜o
a se´rie
∞∑
n=1
an tambe´m converge.
3. lim
n→∞
an
bn
=∞ e
∞∑
n=1
bn diverge enta˜o a
se´rie
∞∑
n=1
an tambe´m diverge.
2.3 Teste da integral
Seja f uma func¸a˜o contı´nua, decrescente e
com valores positivos para x ≥ j tal que
f(n) = an. Enta˜o a se´rie
∞∑
n=j
an converge se
e somente se a integral impro´pria
∫ ∞
j
f(x) dx
Converge.
Relembrando que integral impro´pria acima
converge se o limite
∫ ∞
j
f(x) dx = lim
b→∞
∫ b
j
f(x) dx
e´ finito.
2.4 Teste da raza˜o
Seja a se´rie
∞∑
n=1
an com an na˜o nulo. Supo-
nha que
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L
Enta˜o
1. A se´rie converge absolutamente se
L < 1
2. A se´rie diverge se L > 1
3. Nenhuma conclusa˜o pode ser obtida
se L = 1
2.5 Teste da raiz
Seja a se´rie
∞∑
n=1
an com an na˜o nulo. Supo-
nha que
lim
n→∞
n
√
|an| = L
Enta˜o
1. A se´rie converge absolutamente se
L < 1
2. A se´rie diverge se L > 1
3. Nenhuma conclusa˜o pode ser obtida
se L = 1
	Procedimento para determinação de convergência
	Alguns testes de convergência
	Teste de comparação
	Teste de comparação com limite
	Teste da integral
	Teste da razão
	Teste da raiz