Funções reais de n variáveis (UFBA)

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2017­5­12 Funções reais de n variáveis
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Funções reais de n variáveis
Índice
Definição 1 Exemplo 1 Exemplo 2 Definição 2
Exemplo 3 Definição 3 Exemplo 4 Exemplo 5
 
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Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo
f: D  R com D  Rn = R  .... R.
Ou seja, uma função cujo domínio D (ou D(f)) é um subconjunto de Rn e seu contra­domínio
é R.
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Exemplo 1:
1.1 f: R2  R
(x , y) | 2x + 3y
D = R , é uma função real de duas variáveis.(é também uma função linear)
1.2 f: R3  R
(x, y, z) | x2 + 3y +z
D = R3, é uma função real de três variáveis (é também uma função polinomial)
1.3 f : R3 – { (0,0,0) } R
D = R3 – { (0,0,0) }  R 3 é uma função real de três variáveis. (é também uma função
racional, isto é, 
quociente de duas funções polinomiais)
Usamos, também, a notação ( mais resumida) para representar funções reais de n variáveis;
y = f ( x1, ....., x n)
Neste caso D (f ) é o conjunto D ( f ) = {(x1, ..., x n)  Rn;  f (x1,...., x n)  R }
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Exemplo 2: Determine e represente geometricamente os domínios das funções
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2.1 f (x, y) = 3x 2 + 1
D (f ) = R2
 Representação gráfica
Figura 1
 
x 2 + y 2 + 1 = 0, não tem solução, logo D (f ) = R 2.
Representação gráfica: Figura 1
x 2 + y 2 = 0. Como x 2  0 e y 2  0 então x 2 + y 2 = 0  x 2 = 0 e y 2 = 0  x = 0 e y =
0. 
Logo D(f ) = R 2 – {(0,0)}.
Representação gráfica
 
D (f ) = {(x, y)  R 2; x – y  0}, ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz.
Representação gráfica
 
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D (f ) = {(x, y)  R 2; x 2 > y}
Representação gráfica
Tomemos a parábola y = x2 (figura a seguir). Fixando x = x0 , a solução da inequação
x02 > y é o conjunto de todos os pontos da reta x = x0 situados abaixo do ponto (x0, x02) da
parábola. Portanto D(f) é a região do plano abaixo da parábola.
D(f)
 
Representação gráfica
equivalente a x – y > 0 e y – 1 > 0 ou x ­ y < 0 ou y – 1 < 0. Vamos então estudar o sinal de
cada um dos termos x – y  e  y –1.
x ­ y:
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Seja a reta x – y = 0 (figura a seguir). Fixando x = x0 , a solução da inequação
x0 – y > 0 é o conjunto de todos os pontos da reta x = x0 situados abaixo (observe que o
coeficiente de y é  menor que 0) do ponto (x0, x0) (da reta x – y) . Da mesma forma a
solução de x0 – y < 0 é o conjunto dos pontos da reta x = x0  acima do ponto (x0, x0)
 
y –1: O sinal deste termo está indicado na figura a seguir
Na figura a baixo temos a representação gráfica de D(f)
 
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D(f) = {(x,y)  R2; x2 + y2  ­1 ou x2 + y2  1}, ou melhor, como x2 + y2  ­1 não ocorre
para nenhum  (x,y)  R2, D(f) = {(x,y)  R2; x2 + y2  1}.
Representação gráfica
(x,y) é tal que x2 + y2  1 se, e somente se, a distancia deste ponto à origem é maior ou igual
a 1. 
Logo D(f) é a região do plano formada pelo círculo e por seu exterior.
                                                  D(f)
Representação gráfica
Tomemos a elípse
x02 + y2/4 ­1  0 do 2o grau em y, cujas raízes da equação correspondente são
é o conjunto de todos os pontos da reta x = x0 iguais ou situados entre os pontos da elípse
Portanto D(f) é a região do plano que inclui a elipse e seu interior
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D(f)
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Gráfico
Definição 2: Dado uma função f: D  B seu gráfico é o conjunto {(a, f (a); a  D}.
No caso de funções reais de uma variável temos:
f: D  R; D  R seu gráfico é uma curva do R2.
Para uma função de duas variáveis
f: D  R, D  R 2
(x, y)  f (x, y)
O gráfico da função f é uma superfície de R3.
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Exemplo 3: A esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 é uma superfície de R3 que não é gráfico de função z
= f(x,y).
Da equação da esfera tem­se,
D (f) = D (g) = {(x, y)  R 2; x 2 + y 2  1} (O círculo x 2 + y 2 = 1 e seu interior)
O gráfico de f é a semi­esfera superior (z  0) e o gráfico de g é a semi­esfera inferior
(z  0).
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Curvas de nível
Um recurso auxiliar para esboçar gráficos são as curvas de nível da função.
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Definição 3: Dados uma função z = f (x, y) e k  R , a curva de nível de f em z = k é o 
conjunto { ( x, y )  R2; f ( x, y) = k }. Ou seja, é o conjunto dos elementos do domínio de f
 que possuem imagens igual a k. É também a intersecção do gráfico de f com o plano 
(paralelo a XOY ) de equação z = k
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Exemplo 4: Determine e esboce a curva de nível de f (x, y) = y/x em z = 2.
A curva de nível é o conjunto dos pontos ( x, y )  R2 que satisfazem a
2 = y/x  y = 2x com x  0. Ou seja, trata­se da reta de equação y =2x exceto o ponto (0,0)
Representação gráfica:
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Exemplo 5: Dada a função
determine e represente seu domínio e as suas curvas de nível.
D(f) = {( x, y )  R2; y  ­1 e y  1 } (ou seja, todo o plano exceto as retas y = 1 e y = ­1).
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Curvas de nível
Seja a equação x/(y2 –1) = k que é equivalente a x = k(y2 –1 ) com y  1 e y  ­1 .
Para k  0, temos a parábola x = k(y2 –1) com exceção dos pontos (0, ­1) e (0, 1 )
Para k = 0 temos x = 0 com y  1 e y  ­1 , ou seja, o eixo OY exceto os pontos (0,1)  e  (0,
­1).
Representação gráfica:
k  0 k < 0
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