Cálculo - exercícios de derivadas

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA
CAMPUS VITO´RIA DA CONQUISTA
CURSO: . PERI´ODO: . SEMESTRE: 2013-2
DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. TURNO: .
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS.
ALUNO (a): .
Lista de Exerc´ıcios - Derivadas
1. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que e´ paralela a` reta 8x− y + 3 = 0.
2. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2− 13x2 que e´ perpendicular a` reta x− y = 0.
3. Se
f ′′(x) = lim
∆x→0
f ′ (x+∆x)− f ′(x)
∆x
ache f ′′(x) se f(x) = ax2 + bx.
4. Seja f uma func¸a˜o definida por f(x) = ln x. Fac¸a um esboc¸o cuidadoso do gra´fico de f e abaixo dele
esboce o gra´fico de f ′. Observando os gra´ficos, voceˆ pode sugerir uma fo´rmula para f ′(x)?
5. Usando a definic¸a˜o, determine a func¸a˜o primeira derivada e as derivadas nos pontos indicados.
(a) f(x) = x2 − 1, f ′(0) e f ′(1)
(b) f(x) = x2 − 3x+ 6, f ′(−1) e f ′(2)
(c) f(x) =
1
x
, f ′
(
1
3
)
e f ′(3)
(d) f(x) = sen (x), f ′(0), f ′
(pi
2
)
e f ′(pi)
6. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois de t
segundos e´ dada por y = 10t− 4, 9t2. Encontre a velocidade quando t = 2.
7. O deslocamento (em metros) de uma part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta e´ dado pela equac¸a˜o do
movimento s = 1/t2, onde t e´ medido em segundos. Encontre a velocidade da part´ıcula nos instantes
t = a, t = 1, t = 2 e t = 3.
8. Determine se existe ou na˜o f ′(0).
(a) f(x) =
 x sen
1
x
, se x 6= 0
0 , se x = 0
(b) f(x) =
 x2 sen
1
x
, se x 6= 0
0 , se x = 0
9. Seja f(x) = 3
√
x.
(a) Se a 6= 0, usando a definic¸a˜o de derivada no ponto, encontre f ′(a).
(b) Mostre que f ′(0) na˜o existe.
(c) Mostre que y = 3
√
x tem uma reta tangente vertical em (0 , 0).
10. Mostre que a func¸a˜o f(x) = |x− 6| na˜o e´ diferencia´vel em 6. Encontre uma fo´rmula para f ′ e esboce
seu gra´fico.
11. Seja f(x) = x|x|.
(a) Para quais valores de x f e´ diferencia´vel?
(b) Encontre uma fo´rmula para f ′.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f .
12. Usando a definic¸a˜o, verifique se as func¸o˜es a seguir sa˜o deriva´veis em a e, em caso afirmativo, determine
f ′(a).
(a) f(x) = 2x− 3, a = 1
(b) f(x) = 2x2 − 5, a = −1
(c) f(x) =
√
x− 1, a = 1
(d) f(x) = x2 · |x| − 1, a = 0
13. Em que ponto da curva y = x2 + 8 a inclinac¸a˜o da tangente e´ 16? Escreva a equac¸a˜o dessa reta
tangente.
14. Se f(x) = 2x2 − x3, encontre f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) e f (4) (x). Trace f, f ′, f ′′ e f ′′′ em uma u´nica
tela. Os gra´ficos sa˜o consistentes com as interpretac¸o˜es geome´tricas destas derivadas?
15. As derivadas a` esquerda e a` direita de f em um valor x0 sa˜o definidas por
f ′−(x0) = lim
h→0−
f (x0 + h)− f(x0)
h
e
f ′+(x0) = lim
h→0+
f (x0 + h)− f(x0)
h
se esses limites existirem. Enta˜o f ′(x0) existe se, e somente se, essas derivadas unilaterais existirem
e forem iguais.
(a) Encontre f ′−(4) e f
′
+(4) para a func¸a˜o
f(x) =

0 , se x ≤ 0
5− x , se 0 < x < 4
1
5− x , se x ≥ 4
(b) Esboce o gra´fico de f .
(c) Onde f e´ descont´ınua?
(d) Onde f na˜o e´ diferencia´vel?
16. Lembre-se de que uma func¸a˜o f e´ chamada par se f(−x) = f(x) para todo x em seu domı´nio e,
ı´mpar se f(−x) = −f(x) para cada um destes x. Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(b) A derivada de uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o par.
17. Se f for uma func¸a˜o diferencia´vel e g(x) = xf(x), use a definic¸a˜o de derivada para mostrar que
g′(x) = xf ′(x) + f(x).
18. Encontre a derivada de cada uma das func¸o˜es.
(a) f(x) = 2x4 − 3x2 + 5x− 2
(b) f(x) =
3
2x
+ 2x( 5
√
x3)− 2√
x
(c) f(x) = (3x5 − 1)(2− x4)
(d) f(s) =
√
3(s3 − s2)
(e) f(t) =
t3 − 3t
t5 − 5t (t
2 − 2t)
(f) f(x) =
x3
ex
+
ex
x3
(g) f(x) = x2 sen (x)− ln (x) cos (x)
(h) f(θ) = 2
cot(θ)
1− sen (θ)
19. Suponha que a curva y = x4 + ax3 + bx2 + cx + d tenha uma reta tangente quando x = 0 com
equac¸a˜o y = 2x+1 e, uma reta tangente quando x = 1 com equac¸a˜o y = 2−3x. Encontre os valores
de a, b, c e d.
20. Para quais valores de a e b a reta 2x+ y = b e´ tangente a` para´bola y = ax2 quando x = 2?
21. Se f(x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g′(0) = 5. E´ correto dizer que f ′(0) e´:
(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10
22. Encontre um polinoˆmio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
23. Encontre as derivadas das func¸o˜es dadas.
(a) f(x) = (3x5 − 1)10(2− x4)
(b) f(t) =
(t3 − 3t)3
(t5 − 5t)5
(c) f(s) = ln (e5s−3)
(d) f(x) =
1
2
ln (7x2 − 4)
(e) f(x) = ex
2
+ 4
(f) f(θ) = 2 cos (2θ2 − 3θ + 1)
(g) f(θ) = 2 cos 2(θ) sen (θ)
(h) f(θ) = sen 2(θ) + cos 2(θ)
(i) f(x) = ln
(
x+ 1
ex
)
(j) f(x) = ln ( sen 2(x))
(k) f(x) = arctg (x2 + 1)
(l) f(θ) = e arcsen (θ)
24. Usando a regra da cadeia, determine y′, sendo:
(a) y = (3x+ 5)50
(b) y =
(
4x3 + 3x− 1)7
(c) y = (6− 3x)8
(d) y =
(
3x2 + 4
)5
(e) y =
1
x3 + 3x2 − 6x+ 4
(f) y =
(
x2 + 1
)2 (
x3 − 2x)2
(g) y = sec 2
((
x3 − 6)3)
(h) y =
(3x− 6)−1
(x+ 3)−2
(i) y =
(
3x− 2
2x+ 1
)8
(j) y =
1
x (x+ 1)
(k) y =
(
x−2 + 3x−4 + 7x−5
)−8
(x2 + x−2)−4 (x−1)
25. Seja f uma func¸a˜o deriva´vel e g(x) = exf (3x+ 1). Calcule g′(0) se f(1) = 2 e f ′(1) = 3.
26. Seja F (x) = f (g(x)) em que f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis. Se g(3) = 6, g′(3) = 4 e f ′(6) = 7, determine
F ′(3).
27. A curva y = 1/
(
1 + x2
)
e´ chamada bruxa de Maria Agnesi.
(a) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente e uma equac¸a˜o da reta normal para essa curva no ponto(−1 , 12).
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gra´fico da curva e das retas tangente e normal no mesmo plano.
28. Calcule a derivada de:
(a) y = 3
√
3x− 1
(b) z(x) = ln (x2 − 6)
(c) f(t) = e4t
3
(d) f(t) = ln (sec (x))
(e) y = cos [tg (3− 5x)]
(f) y = sen (x2 − 2x)
(g) f(t) = e
4t3
t+4
(h) y =
√−3− 7x cos (−15x)
(i) y = sec
[
log2
(
4
√
x3 −√2
)]
29. Calcule as derivadas das func¸o˜es:
(a) y = 5x−1
(b) y = (10x + 10−x)2
(c) y = log5
(
x2
)
(d) y = x log4 (x)− x
(e) y = ln
(
x
x+ 1
)
(f) y = ln ( cos (x))
(g) y = ln (10x)
(h) y = ln (log (x))
(i) y = sen (ex)
(j) y = ex sen (ln (x))
(k) y = sen( sen( senx))
(l) y =
√
x+
√
x+
√
x
30. Calcule y′ se:
(a) y =
√
1− tg 2(x)
(b) y =
√
2− cos 2(x)
(c) y =
1
cos (2x)
(d) y = sen
(x
3
)
(e) y = x cotg (2x)
(f) y =
(
1− cos 5
(x
3
))2
(g) y = sec 3(2x2)
(h) y = tg
(√
1− x2)
(i) y = (cossec (2x)− cotg (x))2
(j) y = cos 2(
√
x)
(k) y =
sen (2x)
1 + cos (2x)
(l) y = 3
√
sen (t2)
(m) y = sen
(
1
x2
)
(n) y = tg
(
sec (x2)
)
(o) y = sec 2
(
1
x2
)
(p) y = cotg
(
sec (x2)
)
(q) y = loga (ln (x))
(r) y = ln (loga (x))
31. Encontre:
(a)
d99
dx99
( senx) (b)
d35
dx35
(x senx)
32. Encontre constantes A e B de forma que a func¸a˜o y = A sen x + B cos x satisfac¸a a equac¸a˜o
diferencial y′′ + y′ − 2y = senx.
33. Mostre que a func¸a˜o y = e2x (A cos3x+B sen3x) satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′ − 4y′ + 13y = 0.
34. Se y = f(u) e u = g(x), onde f e g sa˜o func¸o˜es duas vezes deriva´veis, mostre que
d2y
dx2
=
d2y
du2
(
du
dx
)2
+
dy
du
d2u
dx2
35. Ache
∂y
∂x
por derivac¸a˜o impl´ıcita:
(a) x2 + y2 = 16
(b)
1
x
+
1
y
= 1
(c) y2 = cos (x− y)
(d) ex+y = arctg (y)
36. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
37. Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` curva x2 + xy + y2 − 3y = 10 no ponto (2, 3).
38. A curva com equac¸a˜o x2 + y2 =
(
2x2 + 2y2 − x)2 e´ chamada cardioide.Encontre uma equac¸a˜o da
reta tangente a essa curva no ponto
(
0, 12
)
.
39. A curva com equac¸a˜o 2
(
x2 + y2
)2 = 25 (x2 − y2) e´ chamada lemniscata. Encontre uma equac¸a˜o da
reta tangente a essa curva no ponto (3, 1).
40. A curva com equac¸a˜o y2
(
y2 − 4) = x2 (x2 − 5) e´ chamada curva do diabo. Encontre uma equac¸a˜o
da reta tangente a essa curva no ponto (0,−2).
41. A curva com equac¸a˜o x2/3 + y2/3 = 4 e´ chamada astroide. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a
essa curva no ponto
(−3√3, 1).
42. Em que ponto da curva x+
√
xy + y = 1 a reta tangente e´ paralela ao eixo x?
43. Suponha que f seja uma func¸a˜o injetora, deriva´vel, e que sua func¸a˜o inversa f−1 seja tambe´m deriva´vel.
(a) Use a derivac¸a˜o impl´ıcita para mostrar que(
f−1
)′
(x) =
1
f ′ (f−1 (x))
desde que o denominador na˜o seja 0.
(b) Se f(4) = 5 e f ′(4) = 23 , encontre
(
f−1
)′ (5).
44. Use a derivac¸a˜o logar´ıtmica para encontrar as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) y = (2x+ 1)5
(
x4 − 3)6
(b) y =
√
x ex
2 (
x2 + 1
)10
(c) y =
√
x− 1
x4 + 1
(d) y =
√
x ex
2−x (x+ 1)2/3
(e) y = xx
(f) y = x cosx
(g) y = x senx
(h) y =
√
x
x
(i) y = ( cosx)x
(j) y = ( senx)lnx
(k) y = (tgx)1/x
(l) y = (lnx) cosx
45. Encontre a derivada. Simplifique quando poss´ıvel.
(a) f(x) = tgh
(
1 + e2x
)
(b) f(x) = x senhx− coshx
(c) g(x) = cosh(lnx)
(d) h(x) = ln(coshx)
(e) y = x cotgh
(
1 + x2
)
(f) y = ecosh3x
(g) f(t) = cossech t (1− lncossech t)
(h) f(t) = sech2(et)
(i) y = senh(coshx)
(j) G(x) =
1− coshx
1 + coshx
(k) y = senh−1(tgx)
(l) y = cosh−1(
√
x)
(m) y = x tgh−1x+ ln
√
1− x2
(n) y = x senh−1(x/3)−√9 + x2
(o) y = sech−1(e−x)
(p) y = cotgh−1(secx)
46. Mostre que
d
dx
4
√
1 + tghx
1− tghx =
ex/2
2
.
47. Seja f(x) = a + b cos (2x) + c cos (4x), onde a, b, c ∈ R. Sabendo que f (pi2 ) = 1, f(0) = f ′(0) =
f ′′(0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na forma f(x) = sen n(x), n ∈ N, determine a, b, c e n.
48. Determine a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal a` curva y = arcsen
(
x− 1
2
)
no ponto onde
a curva intersecta o eixo dos x.
49. Determine a equac¸a˜o da reta normal a` curva y = x ln (x), que e´ paralela a` reta 2x− 2y + 3 = 0.
50. Determine os paraˆmetros a, b, c ∈ R tais que a para´bola y = ax2 + bx + c tangencie a reta y = x
no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto (−1, 0).