Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
L I M I T E S Noção de Limite de uma Função Seja a função )1( )1)(12( )( - -+ = x xx xf , definida para todo x real diferente de 1. Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1. Simplificando a expressão, obtemos .12)( += xxf Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos: x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 12)( += xxf 1 2 2,5 2,8 2,98 2,998 Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: x 2 1,5 1,25 1,1 1.01 1,001 12)( += xxf 5 4 3,5 3,2 3,02 3,002 Observemos que em ambas as tabelas, mesmo que a função não exista para 1=x , quando x se aproxima de 1, a função )(xf aproxima-se de 3. Podemos também verificar graficamente o comportamento da função. Embora a função não exista para 1=x , nos dois casos quando x se aproxima de 1 a função se aproxima de 3 dizemos então que quando x tende a 1, o limite da função é 3. Em símbolos, temos: y x 3 1 )1( )1)(12( )( - -+ = x xx xf 3)(lim 1 = ® xf x Observamos nos dois casos que as diferenças 1-x ficam cada vez menores, quando x se aproxima de 1, isto é, dado d suficiente pequeno temos: d<-< 10 x . E as diferenças ,3)( -xf ficam cada vez menores quando )(xf se aproxima de 3, isto é, dado e arbitrariamente pequeno temos: e<-3)(xf . Podemos tornar )(xf tão próximo de 3 quanto desejarmos, contanto que façamos x suficiente próximo de 1. Podemos então definir agora o limite de uma função: Definição de Limite Uma função ),(xf tem para limite ,b quando x tende para um valor ,a se para todo 0>e , existir um 0>d tal que se d<-< ax0 , se tenha .)( e<-bxf Em símbolos: É importante ter sempre em mente no cálculo de limites da função )(xf que interessa é o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando .ax = Exemplos 1) Provar que 3)12(lim 1 =+ ® x x Solução Devemos provar que edde <-+Þ<-<>$>" 31210/0,0 xx Observe que eeeeeee <-<-Þ<-<-Þ<-+<-Þ<-+ 2222312312 xxxx 2 1 2 )1(2 ee ee <-<-Þ<-<- xx , fazendo 2 e d = , teremos ddd <-Þ<-<- 11 xx , portanto 3)12(lim 1 =+ ® x x ( )edde <-Þ<-<>$>"Û= ® bxfaxbxf ax )(0/0,0)(lim 2) Provar que 4)23(lim 2 =- ® x x Solução Devemos provar que edde <--Þ<-<>$>" 42320/0,0 xx Observe que eeeee <-<-Þ<--<-Þ<-- 63423423 xxx , 3 2 3 )2(3 ee ee <-<-Þ<-<- xx fazendo , 3 e d = teremos ,22 ddd <-Þ<-<- xx portanto 4)23(lim 2 =- ® x x Observamos que para calcular limites não é necessário que a função seja definida para ,ax = pois o que interessa é o comportamento da função quando x se aproxima de a . Propriedades dos Limites Estudaremos agora propriedades que facilitam o cálculo de limites de funções. Sejam as funções )(xf e )(xg e a constante .C P.1) CC ax = ® lim P.2) ax ax = ® lim P.3) [ ] )(lim.)(.lim xfCxfC axax ®® = P.4) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax ®®® +=+ P.5) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax ®®® -=- P.6) [ ] )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf axaxax ®®® = P.7) [ ] [ ]n ax n ax xfxf )(lim)(lim ®® = P.8) )(lim )(lim )( )( lim xg xf xg xf ax ax ax ® ® ® = P.9) n ax n ax xfxf )(lim)(lim ®® = P.10) [ ] [ ])(limlog)(loglim xfxf ax bb ax ®® = P.11) ax xf xf ax bb ®= ® )(lim )(lim Símbolos de Indeterminação Ao calcular o limite de uma função num ponto que a mesma não está definida obtém-se uma indeterminação. Quando isto acontece, nada se pode afirmar sobre a existência ou não do limite. Procura-se levantar a indeterminação, transformando a expressão que representa a função em outra equivalente. São símbolos de indeterminação: 0 0 , ¥ ¥ , ¥-¥ , 0´¥ , 0¥ , 00 , ±¥1 . Limites de Funções Algébricas 1º. Caso: A variável independente tende para um valor finito. Exemplos Calcule os seguintes limites: 1) )13(lim 2 1 -+ ® xx x =-+=-+= ® ®®®®® )1lim(lim3)lim()1(lim)3(limlim 11 2 111 2 1 xxxxxx xxxx 313111312 =-+=-×+= Observar que para calcular o limite basta substituir a variável livre pelo valor para o qual ela tende. 2) = +- +- ® 65 23 lim 2 2 2 xx xx x 0 0 6104 264 62.52 22.32 2 2 = +- +- = +- +- (Indeterminado) Para levantar a indeterminação devemos simplificar a expressão, depois calcular o limite Então temos: = - - = -- -- = +- +- ®®® 3 1 lim )3)(2( )1)(2( lim 65 23 lim 222 2 2 x x xx xx xx xx xxx 1 1 1 32 12 -= - = - - 3) 0 0 22 22 2 2 lim 2 = - - = - - ® x x x (Indeterminado) Para levantar a indeterminação devemos multiplicar numerador e denominador pela expressão conjugada da irracional, depois simplificar e calcular o limite. Temos: = ú û ù ê ë é +- - = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = - - ®®® )2)(2( )2( lim 2 2 2 2 lim 2 2 lim 222 xx x x x x x x x xxx 4 2 22 1 22 1 2 1 lim 2 == + = + = ® xx 4) 0 0 11 11 1 1 lim 3 1 = +- +- = + + -® x x x (Indeterminado) Para levantar a indeterminação fazemos 3tx = e se 1-®x então 1-®t Temos: 3 1 111 1 1 1 lim )1)(1( 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 212131 3 1 = ++ = +- = +-+ + = + + = + + -®-®-®-® ttttt t t t x x tttx 5) 0 0 11 11 1 1 lim 4 3 1 = - - = - - ® x x x (Indeterminado) Sendo o 12)4,3( =cmm fazemos 12tx = e se 1®x então 1®t Temos: 3 4 111 1111 )1)(1( )1)(1( lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 2 23 13 4 14 12 3 12 14 3 1 = ++ +++ = ++- +++- = - - = - - = - - ®®®® ttt tttt t t t t x x tttx 6) 0 0 lim = - - = - - ® ax aa ax ax nnnn ax (Indeterminado) Fazendo ï î ï í ì =Þ= =Þ= nn nn abba xttx e se ax® então n at® então bt® Portanto: = ++++- - = - - = - - = - - ---- ®®®® ))(( limlimlimlim 13221 nnnnbtnnbtnn n nn n bt nn ax btbbttbt bt bt bt bt bt ax ax K == ++++ = ++++ = --------- ® 11322113221 11 )( 1 lim nnnnnnnnnbt bnbbbbbbbtbbtt KK an a bn b b bn n nn === 1 Exercícios Calcular os seguintes limites 1) =-+ -® )23(lim 2 1 xx x R.: 4- 2) =-+- ® )1(lim 23 3 xxx x 20 3) =+-+- -® )511642(lim 2345 1 xxxx x18- 4) = - + -® 3 13 lim 22 x x x 5- 5) = - - ® 6 32 lim 23 x x x 1 6) = + --+ -® 1 22 lim 23 1 x xxx x 2- 7) = -- -- ® 515 54 lim 3 2 5 xx xx x 0 8) = - - ® 2 4 lim 2 2 x x x 4 9) = - - ® 2 8 lim 3 2 x x x 12 10) = +- +- ® 23 12 lim 2 2 1 xx xx x 0 11) = ++ -- -® 65 6 lim 2 2 2 xx xx x 5- 12) = - - ® 9 27 lim 2 3 3 x x x 2 9 13) = -- + -® 43 )1(2 lim 21 xx x x 5 2 - 14) = - - ® xx x x 32 2 lim 23 3 1 15) = + +- ® 2 32 lim 2 3 2 x xx x 6 7 16) = - - ® 3 3 lim 3 x x x 32 1 17) = - -+ ® 1 23 lim 1 x x x 4 1 18) = - -+ ® 2 26 lim 2 2 x xxx x 2 23 - 19) = -- - ® 153 2 lim 32 x x x 1 20) = - - ® 4 8 lim 364 x x x 3 2º. Caso: A variável independente tende para um valor infinito. Exemplos Calcular os seguintes limites 1) =-+- +¥® )3234(lim 23 xxx x =-¥+¥-¥=-¥+¥-¥ 3)(2)(3)(43)(2)(3)(4 23 ¥-¥=-¥-¥+¥=-¥+¥-¥= 33 (Indeterminado) Para levantar a indeterminação vamos colocar 3x em evidência. Temos: =-+- +¥® )3234(lim 23 xxx x )] 323 4([lim 32 3 xxx x x -+- +¥® Levando ao limite temos )] 323 4([lim 32 3 xxx x x -+- +¥® = ¥ - ¥ + ¥ -¥= ) 323 4()( 32 3 ¥+=¥=-+-¥= )4()0004( Observa-se neste caso que )4(¥ corresponde ao limite de 34x , portanto para calcular o limite basta calcular o limite do termo de maior grau da função. 2) ==== -- +- = -- +- -¥®-¥® -¥® -¥® -¥® -¥® -¥® )3(lim 3 lim )(lim )3(lim )14(lim )423(lim 14 423 lim 2 2 4 2 4 2 24 2 24 x x x x x xx xx xx xx xx x x x x x ¥+=¥=-¥= )(3)(3 2 3) ¥ ¥ -= ¥- ¥+ = + ++ -¥® 1 1 lim 2 x xx x (Indeterminado) = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ++ = + ++ -¥®-¥® x x xx x x xx xx 1 1 11 1 lim 1 1 lim 2 2 2 = + ++- = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ++- = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ++ = -¥®-¥®-¥® x xx x x xx x x x xx x xxx 1 1 11 1 lim 1 1 11 1 lim 1 1 11 1 lim 222 1 1 1 1 1 01 001 1 1 11 1 -= - = - = - +-- = ¥- + ¥+ + ¥- +- = 4) ( ) ¥-+¥=¥-¥+=-++ +¥® xxx x 43lim 2 (Indeterminado) Para levantar a indeterminação, multiplicamos e dividimos xxx -++ 432 pelo seu conjugado, assim temos: xxx -++ 432 ( )( ) = +++ -++ = +++ +++-++ = xxx xxx xxx xxxxxx 43 43 43 4343 2 22 2 22 xxx x +++ + = 43 43 2 , mas ¥+ ¥+ = +++ + +¥® xxx x x 43 43 lim 2 (Indeterminado) recaímos no mesmo caso do exemplo anterior: = +++ ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +++ ÷ ø ö ç è æ + = +++ + +¥®+¥®+¥® x xx x x x x xx x x x xxx x xxx 22 2 43 1 4 3 lim 43 1 4 3 lim 43 43 lim 2 3 11 3 1001 03 1 43 1 4 3 1 43 1 4 3 lim 2 = + = +++ + = + ¥+ + ¥+ + ¥+ + = +++ + = +¥® xx x x Exercícios Calcular os seguintes limites 1) =-+- +¥® )683(lim 234 xxx x R.: ¥+ 2) =-+- -¥® )683(lim 234 xxx x ¥+ 3) =-+ -¥® )524(lim 3 xx x ¥- 4) = - -+ +¥® 43 3 lim 2 2 x xx x 3 1 5) = + - -¥® 35 23 lim 2x x x 0 6) = -- +- -¥® 132 43 lim 2 23 xx xx x ¥- 7) = + - +¥® 62 3 lim 2x x x 0 8) = + + +¥® x x x 2 34 lim 2 9) =+- +¥® 22lim 2 xx x ¥+ 10) =+- -¥® 53lim 2 xx x ¥+ 11) = + +- +¥® 1 22 lim 2 x xx x 1 12) = + +- -¥® 1 22 lim 2 x xx x 1- 13) = + -+ +¥® 1 1 lim 2 x xx x 1 14) = + ++ -¥® 1 1 lim 2 x xx x 1- 15) =-++ +¥® )23(lim 2 xxx x 2 3 16) =-++ -¥® )43(lim 2 xxx x ¥+ 17) =--+ +¥® )24(lim xx x 0 18) 3 3 3 23 1 25 lim + --+ +¥® x xxx x 2 Limites de Funções Exponenciais Limite Exponencial Fundamental Demonstra-se que: Conseqüências:Demonstra-se também que: e Exemplos Calcular os seguintes limites 1) ( ) ¥+¥+ +¥ +¥ +¥® =+= ÷ ø ö ç è æ ¥+ += ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +¥ += ÷ ø ö ç è æ + 101 1 1 )(2 1 1 2 1 1lim x x x (Indeterminado) Fazendo tx =2 e 2 t x = e se +¥®x então +¥®t e x x x = ÷ ø ö ç è æ + ±¥® 1 1lim Sendo ...71828,2=e , conhecido como número de Euler. ( ) ex x x =+ ® 1 0 1lim a x a x x ln 1 lim 0 = - ® ee tttx t t t t t t x x == ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ += ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ + +¥®+¥®+¥®+¥® 2 12 1 2 1 2 1 1lim 1 1lim 1 1lim 2 1 1lim 2) ¥+ +¥® = ÷ ø ö ç è æ - 1 3 1lim x x x (Indeterminado) x x x x xx ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - += ÷ ø ö ç è æ - +¥®+¥® 3 1 1lim 3 1lim , fazendo t x =- 3 e tx 3-= e se +¥®x então -¥®t x x x x xx ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ - += ÷ ø ö ç è æ - +¥®+¥® 3 1 1lim 3 1lim 3 3 3 1 1lim 1 1lim - - -¥® - -¥® = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ += e tt t t t t 3) ¥- -¥® = ÷ ø ö ç è æ + 1 2 1 1lim 3x x x (Indeterminado) fazendo tx =2 e 2 t x = e se -¥®x então -¥®t 32 32 3 2 3 3 1 1lim 1 1lim 2 1 1lim ee ttx t t t t x x == ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ + -¥®-¥®-¥® 4) ¥+ +¥® = ÷ ø ö ç è æ - + 1 32 12 lim x x x x (Indeterminado) Efetuando a divisão: 32 4 1)32()12( - +=-¸+ x xx fazendo 2 341 32 4 + =Þ= - t x tx e se +¥®x então +¥®t = ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ +× ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ += ÷ ø ö ç è æ - += ÷ ø ö ç è æ - + +¥® + +¥®+¥®+¥® 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1lim 1 1lim 32 4 1lim 32 12 lim tttxx x t t t t x x x x 222 3 2 2 32 11 1 1lim 1 1lim eee tt t t t =×=×= ÷ ø ö ç è æ +× ú ú û ù ê ê ë é ÷ ø ö ç è æ += +¥®+¥® Exercícios Calcular os seguintes limites 1) = ® x x 3lim 2 R.: 9 2) = ÷ ø ö ç è æ -® x x 2 1 lim 1 2 3) = ÷ ø ö ç è æ ® x x e 1 lim 3 3-e 4) = +¥® x x elim ¥+ 5) = -¥® x x elim 0 6) =+- ® 132 3 2 lim xx x e 10e 7) =- + ® 1 23 0 lim x x x e 2-e 8) =- - ® 2 4 2 2 3lim x x x 81 9) =- + -® 1 1 1 2 2lim x x x 2 1 2 - 10) = ÷ ø ö ç è æ + +¥® x x x 3 1 1lim 3e 11) = ÷ ø ö ç è æ + + -¥® 2 1 1lim x x x e 12) = ÷ ø ö ç è æ + +¥® x x x 4 1lim 4e 13) = ÷ ø ö ç è æ + -¥® x x x 3 2 1lim 6e 14) = ÷ ø ö ç è æ - -¥® x x x 1 1lim 1-e 15) = ÷ ø ö ç è æ - +¥® x x x 2 1lim 2-e 16) = ÷ ø ö ç è æ - + -¥® x x x x 1 1 lim 2e 17) = - ® x x x 12 lim 3 0 2ln3 18) = - - ® 1 1 lim 3 2 0 x x x e e 3 2 19) = + ® x x x )1ln( lim 0 1 20) = ÷ ø ö ç è æ + + + +¥® 1 23 43 lim x x x x 3 2 e Limites de Funções Logarítmicas Exercícios Calcular os seguintes limites 1) = ® x x 3 2 loglim R.: 2log3 2) = ® x x 2 1 4 loglim 2- 3) = ® x ex lnlim 2 2 4) = ® x x loglim 1000 3 5) = +¥® x x 2loglim ¥+ 6) = +¥® x x 2 1loglim ¥- 7) = +¥® x x 1,0loglim ¥- 8) = +¥® x x lnlim ¥+ 9) =+- -® )574(loglim 22 1 xx x 4 10) = ++ ++ -® 45 23 loglim 2 2 3 1 xx xx x 1- Limites de Funções Trigonométricas Demonstra-se que: Demonstra-se também que: e Exemplos Calcular os seguintes limites 1) 0 0 0 07 lim 0 == ® sen x xsen x (Indeterminado) 1lim 0 = ® x xsen x 1lim 0 = ® xsen x x 1 )( )( lim 0)( = ® xf xfsen xf ( ) ( ) 717 7 7 lim7lim 7 7 7lim 7lim 0000 =´=×= ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ ×= ®®®® x xsen x xsen x xsen xxxx 2) 0 0 0 0 3 4 lim 0 == ® sen sen xsen xsen x (Indeterminado) 3 4 13 14 3 3 3 4 4 4 lim 3 4 lim 00 = ´ ´ = × × = ®® x xsen x xsen xsen xsen xx 3) 0 0)( lim 0 = -+ ® x asenxasen x (Indeterminado) = + = ÷ ø ö ç è æ ++ ÷ ø ö ç è æ -+ ®® x xax sen x axaaxa sen xx 2 2 cos 2 2 lim 2 cos 2 2 lim 00 = + ×= + ×= ®®®® 2 2 coslim 2 2lim 2 2 coslim2 2 lim 0000 xa x x sen xa x x sen xxxx a aa cos 2 2 cos 2 02 cos1 == + ´= Exercícios Calcular os seguintes limites 1) = ® x x coslim 0 R.: 1 2) = ® xsen xtg x 0 lim 1 3) = - - ® xg xtg x cot1 1 lim 4 p 1- 4) = ® x xsen x 2 0 lim 0 5) = ® x xsen x 3 2 lim 0 3 2 6) = + ® x xsenx x 0 lim 2 7) = ® xtg xsen x 2 lim 0 2 8) = - - ® xtg xxsen x 1 cos lim 4 p 2 2 - 9) = - ® xsenx x x cos 2cos lim 4 p 2 10) = + - ® xsenx xsenx x 0 lim 0 Limites Laterais I) Limite à Esquerda Se uma função ),(xfy = tem limite b quando x tende para a por valores inferiores, diremos que b é um limite à esquerda de )(xf e escrevemos Sendo h um número real e positivo. Exemplo 11011lim23lim)2(3lim3lim 0002 ==+=+=+-=--=- ®®® ® - hhhx hhhx II) Limite à Direita Se uma função ),(xfy = tem limite b quando x tende para a por valores superiores, diremos que b é um limite à direita de )(xf e escrevemos Sendo h um número real e positivo. Exemplo 11011lim23lim)2(3lim3lim 0002 ==-=-=--=+-=- ®®® ® + hhhx hhhx Observações a) Os limites laterais podem ser iguais ou diferentes e pode, ainda existir apenas um deles. bhafxf hax =+= ® ® + )(lim)(lim 0 bhafxf hax =-= ® ® - )(lim)(lim 0 b) Só existe limite de uma função num ponto se os limites laterais forem iguais, isto é Exercícios I) Calcular os seguintes limites laterais 1) = + ® 2 2 lim x x R.: 4 2) = - ® 2 2 lim x x 4 3) =+ + ® )3(lim 2 2 xx x 10 4) =+ - ® )3(lim 2 2 xx x 10 5) =- ® - 1 1 1 5lim x x 0 6) =- ® + 1 1 1 5lim x x ¥+ 7) = + + ® x x 1 0 21 4 lim 0 8) = + - ® x x 1 0 21 4 lim 4 9) =- + ® 1lim 1 x x 0 10) =- - ® 1lim 1 x x $/ II) Dada a função ï î ï í ì <+ = >- = 114 12 123 )( xsex xse xsex xf , calcular a) = + ® )(lim 1 xf x R.: 1 b) = - ® )(lim 1 xf x 5 III) Dada a função ï î ï í ì <- = >- = 4210 42 4103 )( xsex xse xsex xf , calcular a) = - ® )(lim 4 xf x R.: 2 b) = + ® )(lim 4 xf x 2 IV) determine, caso exista: )(lim 3 xf x® sendo ï î ï í ì < ³- = - 32 314 )( 3 1 xse xsex xf x R.: Não )(lim)(lim)(lim xfxfxf axaxax ®®® == +- Continuidade de Funções Examinemos os gráficos abaixo Observa-se que em f e h o gráfico da um “salto”, na função g o gráfico tem um “furo” e na função i não existe nem “salto” e nem “furo”. Dizemos que a função i é contínua em todos os pontos do seu domínio, mas as demais são descontínuas para .ax = Continuidade da função num ponto Uma função f é contínua para ax = , se a) existir ),(af (real e finito) b) existir ),()(lim afxf ax = - ® c) existir ).()(lim afxf ax = + ® Exemplos 1) Verifique se a função 32)( 2 -= xxf é contínua em .3=x Solução a) 153183)9(23)3(2)3( 2 =-=-=-=f x y a y x a O O f g y x O h a i a y O x b) [ ] [ ] [ ]=+-=-+-=--=- ®®® ® - 2 0 2 0 2 0 2 3 615lim3)69(2lim3)3(2lim)32(lim hhhhhx hhhx )3(1500150)0(615 2 f==--=+-= c) [ ] [ ] [ ]=++=-++=-+=- ®®® ® + 2 0 2 0 2 0 2 3 615lim3)69(2lim3)3(2lim)32(lim hhhhhx hhhx )3(1500150)0(615 2 f==++=++= A função satisfaz a três condições, portanto é contínua para 3=x e abaixo temos o esboço do gráfico mostrando a continuidade no ponto considerado. 2) Verifique se é contínua em 2=x a função î í ì >- £ = 23 22 )( 2 xsexx xsex xf Solução a) 422)2( =×=f b) [ ] )2(404024)24(lim)2(2lim)2(lim 002 fhhx hhx ==-=×-=-=-= ®® ® - c) [ ] =--++=+-+=- ®® ® + )3644(lim)2(3)2(lim)3(lim 2 0 2 0 2 2 hhhhhxx hhx )2(2200)2(lim 02 0 fhh h ¹-=-+=-+= ® A função não satisfaz a terceira condição, portanto é descontínua para ,2=x como mostra o gráfico abaixo. y 4 x 2- 2 y 3 15 x 3) Verifique se a função , 2 82 )( 2 - -+ = x xx xf possui algum ponto de descontinuidade. Solução O domínio da função é D = R – { 2 }, portantoela não é definida para 2=x , isto é, não existe )2(f e portanto é descontínua neste ponto. Para construir o gráfico podemos simplificar a expressão pois 4)( 2 )4)(2( 2 82 )( 2 +=Þ - +- = - -+ = xxf x xx x xx xf , desde que .2¹x Continuidade da função num intervalo Uma função f é contínua num intervalo [ ]ba, se for contínua à direita de ,a à esquerda de ,b e contínua em todos os outros pontos do intervalo. Exercícios Verificar se as funções abaixo apresentam pontos de descontinuidade. 1) ï î ï í ì >- ££- <- = 392 302 04 )( 2 xsex xsexx xsex xf 2) î í ì ³ < = 03 02 )( xse xse xf x 3) x xf 1 21 6 )( + = 4) 3 5 )( - + = x x xf 2 6 4- x y O Assíntotas Assíntota vertical Diz-se que a reta ax = é uma assíntota vertical do gráfico de uma função ,f se f tem limite infinito quando x tende para .a Exemplo Seja 2)1( 2 )( - = x xf Solução A função não existe para ,1=x mas calculando os limites laterais neste ponto, temos: a) ¥+==== - = -- = - ®®® ® - 0 2 0 22 lim )( 2 lim )11( 2 lim )1( 2 lim 220202021 hhhx hhhx b) ¥+==== + = -+ = - ®®® ® + 0 2 0 22 lim )( 2 lim )11( 2 lim )1( 2 lim 220202021 hhhx hhhx Assíntota horizontal Dizemos que a reta by = é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f , se f tem limite igual a b quando x tende para o infinito. Exemplo Seja 1 2 )( 2 2 + = x x xf Solução Observemos que y x 1=x O A figura ao lado mostra o gráfico da função junto com a assíntota vertical .1=x 2)2(lim 2 lim 1 2 lim 2 2 2 2 === + ±¥®±¥®±¥® xxx x x x x Exercícios Em cada uma das funções abaixo encontre as assíntotas horizontal e/ou vertical, se elas existirem, e construa o gráfico. 1) 3 5 )( - = x xf 2) 2 2 )( - + = x x xf 3) 3 3 )( 2 2 + = x x xf 4) 1 1 )( 2 - + = x x xf 5) 1 )( 2 3 - = x x xf 2=y y x O Na figura ao lado temos o gráfico da função e a assíntota horizontal .2=y
Compartilhar