Apostila Calculo III

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Cálculo IV Professor Elvézio 
 2 
1. Problemas de Otimização 
 
Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada está nos problemas de 
“otimização”, nos quais alguma grandeza deve ser maximizada ou minimizada. Exemplos de tais 
problemas são abundantes em várias áreas da vida. 
 Nosso objetivo, nesta unidade, é ilustrar como a derivada pode ser utilizada para resolver 
problemas de otimização. Em cada exemplo, iremos encontrar ou construir uma função que corresponde 
a um “modelo matemático” para o problema. 
 
1.1 Intervalo de Crescimento e Decrescimento 
 
 É possível descobrir onde uma função derivável f(x) está crescendo ou decrescendo analisando o 
sinal de sua primeira derivada 
 x'f
, isso porque 
 x'f
 fornece a inclinação da reta tangente à curva f(x) 
em cada ponto. 
Quando 
  0x'f 
, isto é, quando a inclinação da reta tangente à curva num ponto é positiva 
(uma reta positivamente inclinada), dizemos que a função f(x) é crescente no ponto, e quando 
  0x'f 
, dizemos que a função f(x) é decrescente no ponto, isto é, a inclinação da reta tangente à 
curva no ponto é negativa. É importante salientar que isso pode ocorrer não apenas em um ponto, mas 
sim em um intervalo de valores ou mesmo em todo o domínio da função. 
 
 
 
 
 
 
1.2 Determinação de Candidatos a Máximos e Mínimos Locais de uma Função 
 
Se num intervalo em que a função é crescente a derivada é positiva e onde ela é decrescente a 
derivada é negativa, então no ponto em que a função pára de crescer e começa a decrescer e no ponto 
em que a função pára de decrescer e começa a crescer, a derivada não pode ser positiva e nem negativa, 
isto é, ela deve ser nula. Logo, por esse raciocínio conclui-se que em um ponto de máximo local ou 
mínimo local de uma função f(x) a derivada deve ser igual a zero, ou seja, tem inclinação nula. Isso 
significa que a reta tangente à curva nesse ponto é uma reta paralela ao eixo das abscissas, assim, para 
 Usando a Derivada para Localizar Intervalos de Crescimento e Decrescimento 
 
- Se 
  0x'f 
, derivada é positiva para 
bxa 
, então f é crescente em 
bxa 
. 
- Se 
  0x'f 
, derivada é negativa para 
bxa 
, então f é decrescente em 
bxa 
. 
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 3 
que um ponto seja candidato a máximo ou mínimo local de uma função, é necessário que ele anule a 
derivada. 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 O Teste da Primeira Derivada para Máximos e Mínimos Locais 
 
Suponha que 
  0p'f 
, então x = p é um candidato a máximo ou mínimo local da função. Mas, 
como determinar se este ponto se trata de máximo ou de mínimo local ou, até mesmo, de nenhuma 
dessas possibilidades? O sinal da primeira derivada pode ajudar nesta decisão. 
Se a função é crescente à esquerda e decrescente à direita de p, ou seja, se a primeira derivada é 
positiva à esquerda e negativa à direita de p, então 
  pf,p
 é um ponto de máximo local. 
Analogamente, se a função é decrescente à esquerda e crescente à direita de p, ou seja, se a 
primeira derivada é negativa à esquerda e positiva à direita de p, então 
  pf,p
 é um ponto de mínimo 
local. 
Entretanto, se a função cresce através do ponto, ou seja, se a primeira derivada é positiva em 
ambos os lados de p ou se a função decresce através do ponto, ou seja, se a primeira derivada é negativa 
em ambos os lados de p, então o candidato x = p não se trata nem de ponto de máximo, nem de ponto de 
mínimo local. 
Este método de classificar o candidato é chamado de teste da primeira derivada para 
máximos e mínimos locais. 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da Primeira Derivada para Máximos e Mínimos Locais 
 
 Se p anula a primeira derivada no domínio de f, e se 
'f
 muda de sinal em p, então f tem ou um 
máximo local ou um mínimo local em p. 
 Se 
'f
 é positiva à esquerda de p e negativa à direita de p, então f tem um máximo local em p. 
 Se 
'f
 é negativa à esquerda de p e positiva à direita de p, então f tem um mínimo local em p. 
Candidato a Máximos ou Mínimos Locais 
 
Os pontos nos quais a primeira derivada é igual a zero são candidatos a máximos 
ou mínimos locais de uma função. 
0
dx
df

  candidato a máximo ou mínimo 
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 4 
Observação: Os pontos que anulam a derivada são genericamente denominados de pontos críticos da 
função. 
 
Exemplo 1: 
 
Um carpinteiro vai construir um galinheiro retangular. Ele vai usar 12 m de tela e, para um dos 
lados, pretende aproveitar uma parede já existente, conforme o desenho. Expresse a área desse 
galinheiro em função da medida da largura (x, na figura). A seguir, determine a largura ideal do 
galinheiro a fim de se maximizar a área, e em seguida, encontre a medida do comprimento e a área 
máxima deste galinheiro. Por último, determine o domínio e a imagem dessa função. 
 
 
 
 
Solução: 
Analisando a figura (retângulo), observamos que a área do galinheiro é dada por: 
 
yxA 
 (base × altura) 
 
Entretanto, o objetivo do problema é determinar uma fórmula para a área em função da largura 
x (observe que por enquanto a fórmula é descrita em função de x e y). 
Como o carpinteiro pretende usar 12 metros de tela, conclui-se que a quantidade de tela 
necessária para cercar os três lados (x + y + x) deve ser igual a 12, ou seja, 
 
12yx212xyx 
. 
 
 Isolando y na equação para que a fórmula da área seja descrita em função de x, fica: 
 
x212y 
. 
 
Substituindo essa equação na fórmula da área, têm-se: 
 
 x212xAyxA 
 
 
2x2x12A 
. 
 
 Agora podemos determinar a largura ideal do galinheiro que gera a maior área possível. 
parede 
x x 
y 
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 5 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
x412
dx
dA

 
 
 Agora é só igualar a derivada a zero: 
 
0x412
dx
dA

 
 
  12x4112x4 
 
 
x = 3 
 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um máximo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é positivo e se depois do 
candidato ele passa a ser negativo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de máximo. 
Para encontrar a medida do comprimento e a área máxima deste galinheiro, basta substituir o 
valor de x na equação que relaciona a largura e o comprimento, em seguida, na fórmula da área. 
 
6y3212y3x 
 
 
18A32312A3x 2 
 
 
 Consequentemente, a largura deste galinheiro deve ser de 3 metros, o comprimento de 6 
metros, gerando com isso a maior área possível que é de 18m². Isso tudo, utilizando 12 metros de 
tela. 
 O domínio da função são os possíveis valores de x, ou seja, as possíveis larguras que podem 
gerar este galinheiro, neste caso, a largura deve ser maior que zero e menor que 6 (isso porque são 12 
metros de tela, que devem ser repartidos nos dois lados que definem a largura). 
 A imagem da função são os possíveis valores de A, ou seja, as possíveis áreas deste galinheiro, 
que deve ser maior que zero e menor ou igual a 18 (área máxima). 
3 
x 
0
dx
dA

 
0
dx
dA

 
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 6 
Dom: 
6x0 
 
Im: 
18A0 
 
 
 
1.4 Método das Derivadas Parciais 
 
Este método é utilizado para se determinar máximos ou mínimos de funções, com duas 
variáveis, sujeitas a uma restrição. 
Consiste em resolver analiticamente um sistema de equações, em que a primeira equação é a 
própria restrição ou condição,que deve ser obrigatoriamente satisfeita, e a segunda equação estabelece 
a igualdade entre a inclinação de uma curva de nível e a inclinação da curva que representa a restrição, 
pois no ponto de máximo (ou mínimo) suas inclinações são iguais por se tratar de um ponto de 
tangência. Como o ponto de máximo (ou mínimo) deve satisfazer ao mesmo tempo as duas equações, 
será determinado pela solução do sistema seguinte, onde 
)y,x(fz 
 é a função que se quer maximizar 
(ou minimizar), também chamada por função objetivo e 
)y,x(g
 é a condição imposta no problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Verificação Comparativa 
 
A resolução do sistema fornece o candidato a máximo ou mínimo da função, faltando ainda uma 
confirmação de que tipo de ponto se trata, isto é, se este ponto encontrado se trata de um máximo ou de 
um mínimo da função. Um método para descobrir a natureza do candidato é a verificação comparativa 
que se resume da seguinte forma: 
 
 
 









y,xg
dy
dg
dx
dg
dy
df
dx
df
 
onde: 
 
 f é a função que se quer maximizar (ou 
minimizar) – função objetivo. 
 
g é a condição imposta no problema – restrição. 
 
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 7 
1º) Substituir o candidato (solução do sistema) na função objetivo; 
2º) Determinar outros pontos que satisfazem a restrição do problema e substituir estes pontos na função 
objetivo; 
3º) Comparar os resultados. 
 
Temos então duas situações: 
 
I – O candidato gera o maior valor na função objetivo. Neste caso o candidato se trata de um ponto de 
máximo e o valor correspondente se trata do valor máximo da função. 
II – O candidato gera o menor valor na função objetivo. Neste caso o candidato se trata de um ponto de 
mínimo e o valor correspondente se trata do valor mínimo da função. 
 O exemplo anterior será novamente resolvido, mas agora através da aplicação do método das 
derivadas parciais. 
 
Exemplo 1: 
 
Um carpinteiro vai construir um galinheiro retangular. Ele vai usar 12 m de tela e, para um dos 
lados, pretende aproveitar uma parede já existente, conforme o desenho. Determine a largura ideal do 
galinheiro a fim de se maximizar a área, e em seguida, encontre a medida do comprimento e a área 
máxima deste galinheiro. 
 
 
 
 
Solução: 
Analisando a figura (retângulo), observamos que a área do galinheiro é dada por: 
 
yxA 
 (base × altura)  função objetivo 
 
Esta é a função objetivo, afinal o problema deseja determinar as dimensões que maximizam a 
área. 
Como o carpinteiro pretende usar 12 metros de tela (condição do problema), conclui-se que a 
quantidade de tela necessária para cercar os três lados (x + y + x) deve ser igual a 12, ou seja, 
 
12yx2 
  restrição 
parede 
x x 
y 
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 8 
 Observe que a função objetivo é composta por duas variáveis, x e y, sujeita a uma restrição, 
logo podemos aplicar o método das derivadas parciais. 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
 Para determinar o candidato que maximiza a área, basta resolver o seguinte sistema: 
 
 









y,xg
dy
dg
dx
dg
dy
df
dx
df
 
 
 Mas antes, devemos determinar o valor das derivadas parciais. 
 
o f: 
yxA 
  
y
dx
df

 e 
x
dy
df

 
 
o g: 
12yx2 
  
2
dx
dg

 e 
1
dy
dg

 
 
Agora podemos montar o sistema para em seguida resolvê-lo: 
 








12yx2
1
2
x
y
  






12yx2
x2y 
 
Substituindo o valor de y da 1ª equação e na 2ª equação, podemos determinar o valor de x, veja: 
 
12x412x2x2 
 
 
x = 3 
 
 Para encontrar o valor de y é só substituir o valor de x na 1ª equação. 
 
32yx2y 
 
 
y = 6 
 
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 9 
 Falta agora verificar a natureza do candidato, se ou se trata de máximo ou de mínimo, para isso 
será aplicada à verificação comparativa. 
 
Verificação Comparativa: 
yxA:f 
 
12yx2:g 
 
 
1) Substituição do candidato: x = 3 e y = 6 na função objetivo: Área  A = 18 
 
2) 
 
 
 
3) Comparando os resultados (A = 10, 16 e 18) se observa que o candidato gera o maior valor na 
função objetivo. Neste caso, o candidato se trata de um ponto de máximo e o valor correspondente se 
trata do valor máximo da função. 
 
 Conclusão, a largura deste galinheiro deve ser de 3 metros, o comprimento de 6 metros, 
gerando com isso a maior área possível que é de 18m². Isso tudo, utilizando 12 metros de tela. 
 
Obs. Independente do método aplicado, a resposta do ponto de máximo ou de mínimo será sempre a 
mesma. 
O próximo exemplo é resolvido a partir dos dois procedimentos: tratando a função como uma 
única variável, derivando e igualando a zero, e também pelo método das derivadas parciais. 
 
Exemplo 2: 
 
O departamento de estrada de rodagem planeja construir uma área de piquenique para os 
motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 
metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor 
quantidade de cerca que será necessária para completar o trabalho? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Novos candidatos que satisfazem a 
restrição 
12yx2:g 
 e substituição 
destes candidatos na função objetivo f: 
x = 1 e y = 10  A = 10 
x = 2 e y = 8  A = 16 
x = 4 e y = 4  A = 16 
 
y 
x 
y 
Área de piquenique 
Auto - estrada 
2m000.5
 
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 10 
A figura acima ilustra a situação descrita no problema. 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável) 
 
Sabe-se que: 
 
000.5piquinique  yxA
 (1) 
 
logo, 
 
x
000.5
y 
 (2) 
 
Deseja-se descobrir qual é a quantidade mínima de cerca que será utilizada para completar o 
trabalho. Denominado por Q a função que dá a quantidade de cerca para o piquenique, têm-se: 
 
y2xQ 
 (3) 
 
Substituindo a equação (2) em (3), têm-se: 
 
x
000.10
xQ
x
5000
2xQ 
 
 
ou ainda, 
 
1x000.10xQ 
 (4) 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
2x000.101
dx
dQ 
 
 
2x
000.10
1
dx
dQ

 
 
0
dx
dQ

 
 
000.10x
x
000.10
10
x
000.10
1 2
22

 
 
x = 100 
 
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 11 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um mínimo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é negativo e se depois do 
candidato ele passa a ser positivo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de mínimo. 
 Determina-se o valor de y usando a equação (2), logo 
 

100
000.5
y100x
y = 50 
 
Consequentemente, as dimensões da área destinada para o piquenique utilizando a quantidade 
mínima de cerca é de 100 de comprimento por 50 metros de largura. 
 
 Isto resulta numa quantidade mínima de 200 metros de cerca. Veja porque: 
 
100
000.10
100Q
x
000.10
xQ100x 
 
 
Q = 200 
 
2
º
 Procedimento: (Método das Derivadas Parciais) 
 
Devemos denominar por f a função objetivo. Neste problema o objetivo é encontrar a quantidade 
mínima de cerca, logo 
 
y2xQ:f 
 função objetivo 
 
e por g a restrição existente no problema (área reservada para o piquenique), assim: 
 
000.5yx:g  restrição 
 
 Observe que a função objetivo é composta por duas variáveis, x e y, sujeita a uma restrição, 
logo podemos aplicar o método das derivadas parciais. 
 
 
100 
x 
0
dx
dQ

 
0
dx
dQ

 
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 12 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
 Para determinar o candidato que minimiza a quantidade de cerca, basta resolver o seguinte 
sistema: 
 
 









y,xg
dy
dg
dx
dg
dy
df
dx
df
 
 
 Mas antes, devemos determinar o valor das derivadas parciais. 
 
o f: 
y2xQ 
  
1
dx
df

 e 
2
dy
df

 
 
o g: 
000.5yx 
  
y
dx
dg

 e 
x
dy
dg

 
 
Agora podemos montar o sistema para em seguida resolvê-lo: 
 















5000yx
y2x
5000yx
x
y
2
1
 
 
Substituindo a primeira equação 
 yx 2
 na segunda, têm-se: 
 
2500y5000y25000yy2 22 
 
 
y = 50 
 
Assim, 
502xy2x50y 
 
 
x = 100 
 
 Falta agora verificar a natureza do candidato, se ou se trata de máximo ou de mínimo, para isso 
será aplicada à verificação comparativa. 
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 13 
 
Verificação Comparativa: 
y2xQ:f 
 
000.5yx:g 
 
 
1) Substituição do candidato: x = 100 e y = 50 na função objetivo f  
502100Q 
  Q = 200 
 
2) 
 
 
 
3) Comparando os resultados se observa que o candidato gera o menor valor na função objetivo. Neste 
caso o candidato se trata de um ponto de mínimo e o valor correspondente se trata do valor mínimo da 
função. 
 
Conclusão, as dimensões da área reservada para o piquenique devem ser de 100 por 50 metros, 
utilizando uma quantidade mínima de 200 metros de cerca. 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
Uma pessoa resolve construir uma piscina retangular de 20m
2
 no fundo de sua casa. Ela decidiu 
deixar um espaço livre de 0,5 metros atrás, 0,5 metros em um dos lados, 3,5 metros de frente e 2,5 
metros do outro lado (isso entre um espaço para recreação e para o calçamento ao redor da piscina). 
Encontre as dimensões necessárias para que se realize esse empreendimento, obtendo a área mínima na 
qual possa ser construída essa piscina. 
 
Solução: 
 A figura abaixo representa a situação do problema. 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável) 
 
 
 
 
 
 
x = 50 e y = 100  
100250Q 
  Q = 250 
x = 200 e y = 25  
252200Q 
  Q = 250 
x = 40 e y = 125  
125240Q 
  Q = 290 
 
Novos candidatos que satisfazem 
a restrição g e substituição destes 
candidatos na função objetivo f: 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que: 
 
20yxApiscina 
 (1) 
logo, 
 
x
20
y 
 (2) 
 
 A função que define a área deste empreendimento é: 
 
   5,05,3y5,05,2xA 
 
 
   4y3xA 
 
 
12y3x4yxA 
 (3) 
 
Substituindo a equação (2) em (3), têm-se: 
 
12
x
20
3x4
x
20
xA 
 
 
12
x
60
x420A 
 
 
y
 
=
 l
a
rg
u
ra
 d
a
 p
is
ci
n
a
 
0,5 m = espaço livre nos fundos 
0
,5
 m
 =
 e
sp
a
ço
 l
iv
re
 
 e
m
 u
m
 d
o
s 
la
d
o
s 
 
3,5 m = espaço livre na frente 
2
,5
 m
 =
 e
sp
a
ço
 l
iv
re
 
 e
m
 u
m
 d
o
s 
la
d
o
s 
x = comprimento 
 da piscina 
largura + espaço livre 
na frente + espaço 
livre no fundo 
= 
y + 3,5 + 0,5 
0,5 
y 
3,5 
0,5 2,5 x 
comprimento + espaço livre 
em cada um dos lados 
20 m
2
 
 = x + 2,5 + 0,5 
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 15 
1x60x432A 
 (4) 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
2x604
dx
dA 
 
 
2x
60
4
dx
dA

 
 
0
dx
dA

 
 
15x60x4
x
60
40
x
60
4 22
22

 
 
x = 3,873 
 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um mínimo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é negativo e se depois do 
candidato ele passa a ser positivo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de mínimo. 
 Determina-se o valor de y usando a equação (2), logo 
 
873,3
20
y
x
20
y873,3x 
 
 
y = 5,164 
 
Consequentemente, a área mínima é obtida quando as dimensões do empreendimento forem de 
aproximadamente: 
 
(3,873 + 0,5 + 2,5) por (5,164 + 0,5 + 3,5) metros 
 
isto é, 
3,873 
x 
0
dx
dA

 
0
dx
dA

 
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 16 
6,873 por 9,164 metros 
 
 Isto resulta num empreendimento com uma área mínima de 62,98m
2
. 
 164,9873,6A 
 
 
2
º
 Procedimento: (Método das Derivadas Parciais) 
 
Devemos denominar por f a função objetivo. Neste problema o objetivo é encontrar a área mínima 
na qual possa ser construída essa piscina, ou seja, minimizar a área do empreendimento, logo 
 
   4y3xA:f 
 função objetivo 
 
e por g a restrição existente no problema (área reservada para a piscina), assim: 
 
20yx:g 
  restrição 
 
 Observe que a função objetivo é composta por duas variáveis, x e y, sujeita a uma restrição, 
logo podemos aplicar o método das derivadas parciais. 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
 Para determinar o candidato que minimiza a área do empreendimento, basta resolver o seguinte 
sistema: 
 
 









y,xg
dy
dg
dx
dg
dy
df
dx
df
 
 
 Mas antes, devemos determinar o valor das derivadas parciais. 
 
o f: 
   4y3xA 
  
4y
dx
df

 e 
3x
dy
df

 
 
o g: 
20yx 
  
y
dx
dg

 e 
x
dy
dg

 
 
Agora podemos montar o sistema para em seguida resolvê-lo: 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 17 






























20yx
4
y3
x
20yx
y3x4
20yx
y3xyx4xy
20yx
x
y
3x
4y
 
Substituindo a primeira equação 







4
y3
x
 na segunda, têm-se: 
 
3
80
y80y320y
4
y3 22 
 
 
y = 5,164 
 
Assim, 
4
164,53
x
4
y3
x164,5y


 
 
x = 3,873 
 
 Falta agora verificar a natureza do candidato, se ou se trata de máximo ou de mínimo, para isso 
será aplicada à verificação comparativa. 
 
Verificação Comparativa: 
   4y3xA:f 
 
20yx:g 
 
 
1) Substituição do candidato: x = 3,873 e y = 5,164 na função objetivo f  A = 62,98 
 
2) 
 
 
 
3) Comparando os resultados se observa que o candidato gera o menor valor na função objetivo. Neste 
caso o candidato se trata de um ponto de mínimo e o valor correspondente se trata do valor mínimo da 
função. 
Conclusão, as dimensões da piscina devem ser de 3,873 por 5,164 metros, já as dimensões 
total do empreendimento devem ser de 6,873 por 9,164 metros, gerando a menor área possível que é 
de 62,98 metros quadrados. 
 
 
 
x = 4 e y = 5  
   4534A 
  A = 63 
x = 5 e y = 4  
   4435A 
  A = 64 
x = 10 e y = 2  
   42310A 
  A = 78 
 
Novos candidatos que satisfazem 
arestrição g e substituição destes 
candidatos na função objetivo f: 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 18 
Exemplo 4: 
 
Um cano de metal deve ser carregado por um 
corredor em formato de L. As larguras desse corredor 
são de 2m e 1,5m, conforme a figura. Qual é o maior 
comprimento do cano que pode ser transportado por 
este corredor em L? Que ângulo exato esse cano deve 
fazer com o corredor mais estreito? Note pela figura 
que este cano deve ser carregado de forma horizontal. 
 
Solução: 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável) 
 
Se é o ângulo que o segmento de reta 
(cano de medida L) que toca a quina interna e toca 
nas paredes do corredor forma com a parede de 
largura mais estreita (como na figura ao lado), 
então o comprimento do segmento em função de 
 pode ser determinado da seguinte forma: 


cos
2
L
L
2
cos 2
2
 


sen
5,1
L
L
5,1
sen 1
1
 para todo 





 

2
,0
 
no qual 
21 LLL 
. 
 Se o canal for maior que qualquer um desses segmentos então não passa pela curva do corredor. 
Devemos achar um valor mínimo para 





 
2
,0:L
 dada por 
 




cos
2
sen
5,1
L
, que é 
derivável em todo ponto do domínio. 
Devemos agora derivar a função L para encontrarmos o candidato a máximo ou mínimo da 
função. 
        11 cos2sen5,1L
cos
2
sen
5,1
L






 
A primeira derivada é: 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 19 
        sencos2cossen5,1'L 22
 
   









22
33
22 cossen
sen2cos5,1
'L
cos
sen2
sen
cos5,1
'L
 
igualando a derivada a zero, 
0sen2cos5,10
cossen
sen2cos5,1 33
22
33



 
75,0tg
2
5,1
cos
sen
cos5,1sen2 3
3
3
33 



 
33 75,0tgarc75,0tg 
 
026,42
 
agora podemos determinar o comprimento do cano, 
m70,2L
26,42cos
2
L
cos
2
L 2022 

 
m23,2L
26,42sen
5,1
L
sen
5,1
L 1011 

 
no qual, 
m93,4L23,270,2LLLL 21 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
1. Uma escola de dança resolveu promover um 
baile e para isso necessita alugar um salão de um 
clube da comunidade. O espaço a ser alugado 
consiste de uma área retangular limitada por duas 
paredes revestidas de espelho e dois painéis 
móveis. Veja o esquema ao lado. 
A escola precisa de 2 m² de espaço por 
pessoa e espera de 300 a 400 pessoas para o baile. 
O clube dispõe de 55 metros de painéis móveis e a 
sala é bastante grande para arranjá-los em qualquer forma retangular pré-determinada. A escola quer 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 20 
garantir espaço suficiente para o evento. Quantas pessoas a escola de dança pode receber de modo que 
a área reservada para o baile seja máxima? Como deve ser realocado este painel de modo a garantir esta 
área máxima? Qual é a área máxima? Apresente o domínio e a imagem. 
 
2. Um fazendeiro deseja cercar uma área a fim de que ela sirva de pasto para o seu gado. Na frente e no 
fundo do pasto ele resolveu colocar uma cerca mais reforçada que custa R$ 20,00 o metro, já nas 
laterais, ele vai colocar uma cerca menos reforçada que custa R$ 15,00 o metro. Determine as 
dimensões do pasto de maior área possível que possa ser cercado, sabendo que ele dispõe de R$ 
1.500,00 para fazer este empreendimento. Apresente o domínio e a imagem. 
 
3. Um fazendeiro deseja cercar uma área de 1 hectare a fim de que ela sirva de pasto para o seu gado. 
Para cercar a frente do pasto, será utilizada uma cerca especial que custa R$ 18,00 o metro, para os 
fundos um cerca que custa R$ 15,00 o metro, enquanto que para as laterais, serão utilizadas cercas que 
custam R$ 12,00 e R$ 10,00 o metro. Ache as dimensões ideais para este pasto de modo a minimizar o 
custo. A seguir, determine o custo mínimo. Apresente o domínio e a imagem. 
 
4. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100
2m
. A prefeitura exige que exista 
um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m de cada lado. Encontre as dimensões do lote que 
tenha área mínima na qual possa ser construído esse galpão. Qual será a área deste lote? Apresente o 
domínio e a imagem. 
 
5. Uma janela tem forma de retângulo encimado por um semicírculo. Dentre as 
janelas de perímetro igual a 5 metros, qual deixa passar a maior quantidade de luz? 
Apresente o domínio e a imagem. 
 
6. Ache as dimensões de um retângulo de área máxima que possa ser inscrito numa circunferência de 
raio medindo 12cm. Determine a área máxima. Apresente o domínio e a imagem. 
 
7. Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e os dois outros vértices sobre a 
parábola 
2x9y 
 acima do eixo x. Quais serão as dimensões deste retângulo? Apresente o domínio 
e a imagem. 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 21 
 
8. Encontre os pontos na elipse: 
1y
9
x 2
2

 na qual esteja mais próximo do ponto (2,0) e determine 
esta distância. A figura abaixo ilustra o problema. Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
 
 
 
 
9. Ache as coordenadas de um ponto na curva 
2xy 
 o qual esteja mais próximo do ponto 
 0,18
. E 
qual seria essa distância? Apresente o domínio e a imagem. 
 
10. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 
2.000 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 8.000 metros à 
jusante (abaixo) da central. O custo da obra através do rio é de R$ 1.500,00 por metro, enquanto, em 
terra, custa R$ 800,00 o metro. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? E 
qual será o gasto mínimo nessa obra? Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Márcia quer chegar ao ponto de ônibus o mais rápido possível. O ponto de ônibus fica do outro lado 
de um parque gramado, 3.000m a oeste e 500m ao norte da sua posição de partida. Márcia pode 
caminhar para oeste, pela margem do parque, sobre a calçada, a uma velocidade de 2m/s. Ela também 
pode passar pelo gramado do parque, mas somente a uma velocidade de 1,6m/s (o parque é um local 
preferido para se passear com os cães, portanto ela deve andar com cuidado). Que caminho a levará ao 
3 
1 
–1 
 0,2
 
–3 
Conjunto 
Habitacional 
Central de 
Abastecimento 
2.000 m 
(8000 – x) m x m 
8.000 m 
RIO RIO 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 22 
ponto de ônibus mais rapidamente? E qual é o tempo que Márcia levará para chegar até o ponto de 
ônibus? Observe a figura abaixo. Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Problemas Relacionados a Modelos Econômicos 
 
Exemplo 5: 
Uma empresa de turismo alugará um ônibus com capacidade de 50 pessoas para grupos de 25 
ou mais pessoas. Se o grupo contiver exatamente 25 pessoas, cada passageiro paga R$ 44,00, 
entretanto, para grupos maiores, a passagem de todos é reduzida de R$ 0,80 para cada pessoa além das 
25, ou seja, o desconto é dado tanto para os passageiros que já compraram a passagem como para os 
novos passageiros. Qual é o número de pessoas que deve viajar a fim de que a Receita dessa empresa 
seja máxima? Para que a Receita seja máxima, que preço cada passageiro deve pagar? Qual é a maior 
receita que pode ser obtida por esta empresa de turismo nesta negociação? Qual é o domínio e a 
imagem da função? 
 
Solução: 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável)Como a receita é determinada pelo produto entre o preço e a quantidade, temos: 
 
qpR 
 
 
A intenção nesta resolução é trabalhar com uma única variável, para isso será escolhida a 
variável q como parâmetro principal, mas para isso se faz necessário encontrar uma fórmula que 
expresse p em função de q, e, em seguida, substituir na relação inicial. 
Ponto de Partida 
Posição de Márcia 
Ponto de Ônibus 
PARQUE 
3.000 metros 
500 metros 
CALÇADA 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 23 
 Para melhor visualização do problema, é conveniente escrever os dados do enunciado em uma 
tabela. 
 
 q 25 26 27 28 
 p 44,00 43,20 42,40 41,60 
 
qpR 
 1100,00 1123,20 1144,80 1164,80 
 
Observe pela tabela que a relação preço-quantidade é dada por uma função do primeiro grau, no 
qual o preço inicial é de R$ 44,00 e diminui em R$ 0,80 a cada pessoa a mais, entretanto, essa relação é 
válida a partir de 25 pessoas. Esse fato pode ser modelado pela seguinte equação: 
 
 25q
1
80,0
44p 


 
 
 25q80,044p 
 
 
20q80,044p 
 
 
assim, 
 
64q80,0p 
 
 
e consequentemente, 
 
  q64q80,0R 
 
 
q64q80,0R 2 
 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
64q60,1
dq
dR

 
 
0
dq
dR

 
 
064q60,1 
 
64q60,1 
 
 
q = 40 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 24 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um máximo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é positivo e se depois do 
candidato ele passa a ser negativo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de máximo. 
 
 Consequentemente, o número de pessoas que deve viajar a fim de que a Receita dessa 
empresa seja máxima é de 40 pessoas. 
O preço que cada passageiro deve pagar para gerar a receita máxima é determinada substituindo 
o valor de q por 40 (quantidade que gera máximo) na equação que relaciona o preço e a quantidade 
(equação 2), logo 
644080,0p40q 
 
6432p 
 
p = 32 
 
Assim, o preço ideal que deve ser pago, por pessoa, é de R$ 32,00. 
A receita máxima pode ser obtida multiplicando-se o preço ideal pela quantidade ideal de 
pessoas, assim, 
 
4032qpR 
 
R = 1.280 
 
ou substituindo o valor de q por 40 na função receita, isto é, 
 
40644080,0R 2 
 
R = 1.280 
Para determinar o domínio e a imagem da função receita, iniciaremos representando 
graficamente esta função. 
 A partir da função preço, se q = 25 (número mínimo de pessoas para que esta empresa alugue 
seus ônibus) então p = 44 e se q = 50 (capacidade do ônibus) então p = 24. 
40 q 
0
dq
dR

 
0
dq
dR

 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 25 
Assim, o valor de q que irá tornar R um máximo absoluto está no intervalo 
50q25 
 (mínimo 
e máximo de pessoas que podem viajar de acordo com o problema), que é o domínio da função (observe 
que esses dois pontos delimitam a função no gráfico). 
Em contrapartida, o preço estará limitado no intervalo 
44p24 
. 
Com as quantidades que delimitam a receita, podemos determinar o valor da função para estes 
pontos substituindo na fórmula da receita as quantidades 25 e 50. 
 
25q 
  
25642580,0R 2 
  R = 1.100 
 
50q 
  
50645080,0R 2 
  R = 1.200 
 
 Já se sabe que a quantidade que maximiza a receita é igual a 40 e que a receita máxima é R$ 
1.280,00. 
 Com esses dados já é possível fazer a representação gráfica da função receita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A imagem da função receita se localiza no eixo vertical, são as possíveis receitas definida no 
intervalo da menor e da maior receita, isto é, de 1.100 a 1.280. 
 
Conclusão: 
O número de pessoas que deve viajar a fim de que a receita dessa empresa de turismo seja 
máxima é de 40 pessoas, no qual cada passagem custará R$ 32,00 gerando uma receita máxima de R$ 
1.280,00. O domínio é a imagem são apresentados abaixo: 
Dom: 
50q25 
 
Im: 
280.1R100.1 
 
 
1.280 
1.100 
1.200 
q 
R 
80 40 25 50 
Domínio: possíveis valores 
para a entrada de dados 
Imagem: possíveis valores 
para a saída de dados 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 26 
Exemplo 6: 
Considerando o problema proposto no exemplo anterior e sabendo-se que cada passagem 
vendida gera um custo para a empresa de ônibus de R$ 6,40 mais um custo fixo, entre combustível e as 
diárias do motorista, de R$ 700,00, determine o lucro máximo desta empresa e o número de pessoas que 
deve viajar a fim de gerar o maior lucro para a empresa. A seguir apresente o preço que deverá ser pago 
por passageiro e o domínio e a imagem da função. 
 
Solução: 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável) 
 
Para determinar o lucro máximo e o número de pessoas que deve viajar a fim de gerar o maior 
lucro para a empresa, devemos inicialmente, encontrar a função custo e, utilizando a função receita 
determinada no exemplo anterior, podemos determinar a função lucro, para em seguida, igualar a 
derivada do lucro a zero, encontrando assim, o candidato a máximo ou mínimo para a função lucro. 
Sabendo que cada passagem vendida gera um custo para a empresa de ônibus de R$ 6,40 (custo 
unitário) mais um custo fixo de R$ 700,00, podemos concluir que a função custo pode ser expressa por: 
 
700q4,6C 
 
 
De acordo com o exemplo anterior, a função receita é expressa por: 
 
q64q80,0R 2 
 
 
Consequentemente, podemos determinar a função lucro através da diferença entre a função custo 
e a função receita. Assim, 
 
L = R – C 
 700q4,6q64q80,0L 2 
 
700q4,6q64q80,0L 2 
 
700q6,57q80,0L 2 
 
 
cuja derivada é 
 
60,57q60,1
dq
dL

 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 27 
 
0
dq
dL

 
 
060,57q60,1 
 
60,57q60,1 
 
 
q = 36 
 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um máximo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é positivo e se depois do 
candidato ele passa a ser negativo. Assim, 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de máximo. 
 
 Consequentemente, o número de pessoas que deve viajar a fim de gerar o maior lucro para 
esta empresa de ônibus é de 36 pessoas. 
 
O lucro máximo pode ser obtido substituindo a variável q por 36 na função lucro. Assim, 
 
q = 36  
700q6,57q80,0L 2 
 
  700366,573680,0L 2MAX 
 
70060,207380,1036LMAX 
 
 
LMAX = 336,80 
O preço que cada passageiro deve pagar para gerar o maior lucro é determinado substituindo o 
valor de q por 36 (quantidade que gera máximo) na equação que relaciona o preço e a quantidade 
(equação 2), logo 
643680,0p36q 
 
6480,28p 
 
p = 35,2 
 
Assim, o preço ideal que deve ser pago, por pessoa, é de R$ 35,20. 
 
36 q 
0
dq
dL

 
0
dq
dL

 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 28 
O domínio da função é exatamente o mesmo do exemplo anterior, já que as restrições para a 
quantidade de pessoas não se alterou. A imagem da função lucro é obtida de forma análoga à da função 
receita. 
Como as quantidades que delimitam o lucro são as mesmas da receita, podemos determinar o 
valor da função para estes pontos substituindo na fórmula do lucro as quantidades 25 e 50. 
 
25q 
  
700256,572580,0L 2 
  L = 240 
 
50q  
700506,575080,0L 2 
  L = 180 
 
 Já se sabe que a quantidade que maximiza o lucro é igual a 36 e que o lucro máximo é R$ 
336,80. Com isso, o lucro deve varia de R$ 180,00 a R$ 336,80, sendo esta a imagem da função. 
Conclusão: 
Para esta empresa de turismo o ideal é irem 36 pessoas, gerando o maior lucro possível que é de 
R$ 336,80, neste caso, cada passagem custará R$ 35,20. O domínio é a imagem são apresentados 
abaixo: 
Dom: 
50q25 
 
Im: 
80,336L180 
 
 
Exemplo 7: 
Uma empresa de turismo alugará um ônibus com capacidade de 50 pessoas para grupos de 25 
ou mais pessoas. Se o grupo contiver exatamente 25 pessoas, cada uma paga R$ 44,00. Para grupos 
maiores, a passagem de todos é reduzida de R$ 0,80 para cada pessoa além das 25. Sabe-se que cada 
passagem vendida gera um custo para a empresa de ônibus de R$ 6,40 mais um custo fixo, entre 
combustível e as diárias do motorista, de R$ 700,00. 
Com base nessas informações, responda aos itens abaixo: 
a) Encontre uma fórmula que expresse a Receita R em função do preço p pago por pessoa. 
b) Encontre uma fórmula que expresse o Custo C em função do preço p pago por pessoa. 
c) Encontre uma fórmula que expresse o Lucro L em função do preço p pago por pessoa. 
d) Qual é o preço que deve ser pago por pessoa a fim de que o Lucro dessa empresa seja máximo? 
e) Para que o Lucro seja máximo, qual é o número de pessoas que deve viajar? 
f) Qual é o Lucro máximo dessa empresa de ônibus? 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 29 
 
Solução: 
a) Como a receita é determinada pelo produto entre o preço e a quantidade, isto é, 
 
qpR 
 
 
e o problema pede para expressar a receita em função do preço, se faz necessário encontrar uma fórmula 
que expresse q em função de p, e, em seguida, substituir na relação inicial. 
 Para melhor visualização do problema, é conveniente escrever os dados do enunciado em uma 
tabela. 
 
 q 25 26 27 28 
 p 44,00 43,20 42,40 41,60 
 
qpR 
 1100,00 1123,20 1144,80 1164,80 
 
Observe pela tabela que a relação preço-quantidade é dada por uma função do primeiro grau, no 
qual a quantidade inicial é de 25 pessoas e aumenta em uma pessoa a cada desconto de R$ 0,80 no preço 
unitário, entretanto, essa relação é válida partindo de um preço de R$ 44,00. Esse fato pode ser 
modelado pela seguinte equação: 
 
 44p
80,0
1
25q 


 
 
 44p25,125q 
 
 
55p25,125q 
 
assim, 
80p25,1q 
 
 
e consequentemente, 
 
  p80p25,1R 
 
 
p80p25,1R 2 
 
 
b) Sabe-se que cada passagem vendida gera um custo para a empresa de ônibus de R$ 6,40 (custo 
unitário) mais um custo fixo de R$ 700,00, podemos concluir que a função custo pode ser expressa por: 
 
700q4,6C 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 30 
 
entretanto, o problema pede para descrever o custo em função do preço e não da quantidade, logo 
devemos substituir a mesma relação preço-quantidade determinada no item anterior 
 
80p25,1q 
 
 
na função custo. Veja: 
 
  70080p25,14,6C 
 
 
700512p8C 
 
 
212.1p8C 
 
 
c) Sabe-se que as funções receita e custo são expressas por: 
 
p80p25,1R 2 
 e 
212.1p8C 
 
 
Consequentemente, podemos determinar a função lucro através da diferença entre a função custo 
e a função receita. Assim, 
 
L = R – C 
 
 212.1p8p80p25,1L 2 
 
 
212.1p8p80p25,1L 2 
 
 
212.1p88p25,1L 2 
 
 
d) A derivada do lucro é 
 
88p50,2
dp
dL

 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
0
dp
dL

 
 
088p50,2 
 
 
88p50,2 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 31 
 
p = 35,20 
 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um máximo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato é positivo e se depois do 
candidato ele passa a ser negativo. Assim, 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de máximo. 
 
 Consequentemente, o preço que deve ser pago por pessoa a fim de gerar o maior lucro para 
esta empresa de ônibus é de R$ 35,20. 
 
e) A quantidade de pessoas que devem viajar para gerar o lucro máximo é determinada substituindo o 
valor de p por 35,20 (preço que gera máximo) na equação que relaciona o preço e a quantidade, logo 
 
8020,3525,1q20,35p 
 
8044q 
 
 
q = 36 
 
Assim, a quantidade de pessoas que devem viajar é 36. 
 
f) O lucro máximo pode ser obtido substituindo a variável p por 35,20 na função lucro. Assim, 
 
p = 35,20  
212.1p88p25,1L 2 
 
  212.120,358820,3525,1L 2MAX 
 
 
LMAX = 336,80 
 
Conclusão: Para esta empresa de ônibus o ideal é irem 36 pessoas, pagando cada uma R$ 35,20, 
gerando com isso o maior lucro possível que é de R$ 336,80. 
 
 
35,20 p 
0
dp
dL

 
0
dp
dL

 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 32 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
12. Uma comissão de formatura formada por 3 acadêmicos do último ano das engenharias CIVIL e 
ESA, já preocupada com os possíveis gastos, foi fazer um orçamento para verificar qual seria o custo 
para organizar a festa de formatura. Ao procurar o Rádio Clube, eles foram informados que só 
poderiam alugar para um mínimo de 400 pessoas até um máximo de 1.000 pessoas. O preço 
combinado foi de R$ 250,00 por pessoa, se o número de pessoas que for a festa for de 400 (mínimo 
exigido); entretanto, o preço pago por pessoa será reduzido de R$ 1,00 para cada cinco pessoas a mais 
na festa além do número mínimo de pessoas exigido. Denotando por q a quantidade de pessoas na 
festa e por p o preço pago por pessoa; determine: O preço, que deve ser cobrado por pessoa, a fim de 
que a receita seja máxima. Quantas pessoas devem ir a festa para que o Rádio Clube receba a maior 
renda bruta? Qual é a máxima renda bruta do Rádio Clube? Apresente o domínio e a imagem. 
 
13. Considerando o exercício anterior, e sabendo que o Rádio Clube possui um gasto médio de R$ 
50,00 por pessoa, em relação à alimentação, mais um fixo de R$ 50.000,00 de banda, iluminação, 
garçom, limpeza e outros gastos, determine: A quantidade de pessoas que devem ir à festa para que o 
Rádio Clube obtenha o maior lucro possível, bem como, o preço que deve ser cobrado por pessoa a fim 
de que o lucro seja máximo. Qual é o maior lucro que o Rádio Clube pode obter nessa festa? E qual é o 
domínio e a imagem da função lucro? 
 
14. Em um pomar em que existiam 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram 
plantadas n novas laranjeiras. Depois de certo tempo constatou-se que, devido à competição por 
nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por 
ano, para cada nova laranjeira plantada no pomar. Sabendo que além das 30 laranjeiras que já existiam 
no pomar, é possível serem plantadas no máximo mais 40 laranjeiras e que P representa a produção 
anual do pomar, determine quantas laranjeiras, no total, devem ter no pomar para que a produção anual 
de laranjas seja máxima, bem como, a quantidade de laranjas produzidas por laranjeira. Qual seria essa 
produção anual máxima? Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 33 
1.6 Poliedros e Corpos Redondos 
 
1.6.1 Prismas 
 
 Vamos considerar dois planos paralelos α e β, R uma região poligonal em um dos planos e r 
uma reta que intersecta os dois planos. 
 O conjunto de todos os segmentos paralelos à reta r que ligam um ponto de R a um ponto do 
outro plano formaum prisma. 
 
Concluindo: Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes, chamadas bases, e as 
demais faces têm a forma de paralelogramos e são chamadas faces laterais. 
 O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não o são. 
 
Exemplo 8: 
 Uma caixa possui o formato de um prisma hexagonal regular, na qual a aresta da base mede 3 cm 
e a aresta da face lateral mede 6 cm. 
a) Calcule a área total. 
b) Qual é o volume de areia que cabe nesta caixa? 
 
Solução: 
 Abaixo é apresentada a figura que representa uma caixa no formato de um prisma hexagonal 
regular. Ao seu lado, mostra-se sua planificação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 34 
a) Para determinar a área total devemos determinar a área lateral, que é composta por 6 retângulos que 
medem 3 cm por 6 cm, e a área das bases, que representa dois hexágonos regulares. 
 
- Área Lateral: 
108636AL 
cm² 
 
- Área da Base (Área do Hexágono): É composta por 6 triângulos eqüiláteros, na qual a área de cada 
triângulo eqüilátero é calculada pela seguinte fórmula: 
4
3l
A
2

, logo a área do Hexágono é: 
4
3l
6A
2

. 
 Como a aresta da base mede 3 cm, temos: 
2
327
4
33
6AA
2
HEXÁGONObase

 
 
- Área das Bases: 
327
2
327
2AB 
cm² 
 
Concluindo, a área total é: 
 
BLT AAA   327108AT
ATOTAL  154,77 cm² 
 
b) O volume de um prisma é calculado pelo produto entre a área da base e a altura, isto é, 
 
hAV base   6
2
327
V
V  140,30 cm³ 
 
Exemplo 9: 
 Uma caixa de sapato possui o formato 
de um prisma reto retangular, cujas medidas 
são dadas na figura. 
a) Quantos cm² de papelão são gastos para 
fazer a caixa de sapato? 
b) Qual é o volume desta caixa? 
 
Solução: 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 35 
a) Iniciaremos determinando a área total, que é a soma das áreas das 6 faces laterais, na qual as faces 
opostas possuem a mesma área. 
 
 101721032217322AT 068.2AT 
cm² 
 
 Agora devemos determinar a área da aba que é formada por quatro regiões retangulares: duas, 
cujas medidas são 2 cm por 17 cm, e duas, cujas medidas são 2 cm por 32 cm. 
 
 32221722AABA 196AABA 
cm² 
 Logo, a quantidade total será: 
ABAT AAA   196068.2A
A = 2.264 cm² 
 
b) O volume de um prisma é calculado pelo produto entre a área da base e a altura, isto é, 
 
hAV base   101732V
V = 5.440 cm³ 
 
 
1.6.2 Cilindros 
 
Vamos considerar dois planos paralelos α e β, uma região circular R contida num dos planos e 
uma reta r que intersecta α e β. 
 O conjunto de todos os segmentos de reta paralelos a reta r que ligam um ponto da região 
circular R a um ponto do outro plano forma um cilindro circular. 
 A superfície do cilindro é formada por duas partes planas, que são as bases, e uma parte curva 
que é a superfície lateral. 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 36 
 A altura (h) do cilindro é a distância entre os planos das bases. 
 O cilindro reto pode ser obtido girando-se uma região retangular em torno de uma reta que 
contém um de seus lados. Por isso, o cilindro pode ser chamado também de um sólido ou corpo de 
revolução. 
 A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies das duas bases 
(veja a figura acima). Assim, a superfície lateral é um retângulo cuja base é o comprimento de uma 
circunferência 
 r2 
 e a altura, é a própria altura do cilindro 
 h
. As superfícies das duas bases é um 
circulo de raio r. 
 
2
TOTAL r2hr2A 
 
 
 O volume do cilindro é calculado de forma análoga ao volume do prisma, sendo o produto entre 
a área da base e a altura. 
hAV base 
 
hrV 2 
 
 
Exemplo 10: 
 Um tanque cilíndrico tem 3 metros de 
profundidade. Sua base superior é aberta e tem 4 
metros de diâmetro. 
a) Quantos galões de tinta são necessários para pintar 
o interior desse tanque, se para cada m² gasta-se 
4
1
 de 
galão? 
b) Qual é o volume desse tanque? 
 
Solução: 
 Ao lado é apresentada a figura que representa o tanque cilíndrico. 
 Se o diâmetro é igual a 4 m, então o raio mede 2 m, logo a área da base é: 
 
 42rA 22base
 
e a área lateral mede: 
 
 12322hr2ALateral
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 37 
portanto a área total é: 
 
 16124AAA LateralbaseT
m² 
 
 Para pintar cada m², são gastos 
4
1
 de galão de tinta, logo para pintar toda a superfície interna 
serão gastos: 
 
 16
4
1
G
 
G = 4 de tinta 
 
 Conclusão são necessários 12,56 galões de tinta para pintar o interior desse tanque cilíndrico. 
 
b) Para determinar o volume desse tanque basta multiplicar a área da base pela altura. 
 
 hAV base 34V 
 
V = 12 
 
1.6.3 Cone 
 
Vamos considerar um plano α, uma região circular R nesse plano e um ponto P não pertencente a α. 
 O conjunto de todos os segmentos que ligam cada ponto de R ao ponto P forma um cone 
circular. 
 A superfície do cone é formada por uma parte plana, a região circular, que é a sua base, e uma 
parte curva, que é a sua superfície lateral. 
 O eixo do cone é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. 
Se o eixo é perpendicular à base, o cone denomina-se cone reto. 
Se o eixo é oblíquo à base, o cone denomina-se cone oblíquo. 
 A altura (h) do cone é o segmento de reta perpendicular traçado do vértice ao plano da base. No 
caso do cone reto, o eixo coincide com a altura h. 
 No cone reto, cada segmento que liga o vértice a um ponto da circunferência da base é chamado 
geratriz do cone. 
 Um cone reto pode ser obtido também quando giramos uma região triangular cujo contorno é um 
triângulo retângulo em torno de uma reta que contém um dos catetos. Por isso, o cone é considerado um 
sólido ou corpo de revolução. 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 38 
 A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circular) mais a 
superfície da base (um circulo). Veja a figura abaixo: 
 
 Inicialmente calculamos a área do setor (Aℓ) cujo arco correspondente é 2r, lembrando que R = g. 
 
 arco área 
 Círculo todo: 2g g² 
setor: 2r Aℓ 
 




g2
gr2
A
2

grA 
 
 
 A área da base é a área total do círculo de raio r: 
2
base rA 
 
 Logo a área total do cone reto é 
2
T rgrA 
 
 O volume do cone é calculado de forma análoga ao volume da pirâmide, sendo a terça parte do 
produto entre a área da base e a altura. 
 
3
hA
V base


 
hr
3
1
V 2 
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 39 
 O volume de um cone de mesma área da base e mesma altura de um cilindro é igual a 
3
1
 do 
volume do cilindro. 
 Podemos comprovar isso experimentalmente: para encher de água um cilindro usando como 
medida um cone de mesma área da base e mesma altura do cilindro, serão necessários 3 cones. 
 
Exemplo 11: 
 Uma casquinha de sorvete possui a forma cônica com diâmetro 
medindo 8 cm e altura de 10 cm. 
a) Calcule a medida da sua geratriz. 
b) Calcule a área lateral. 
c) Calcule a área total 
d) Qual é a capacidade dessa casquinha desse sorvete? 
 
Solução: 
 Como o diâmetro mede 8 cm, o raio da base mede 4 cm. 
 
a) A geratriz (hipotenusa), o raio e a altura formam um triângulo retângulo, logo: 
 
116g410g 2222 
 
g = 10,7 cm 
 
b)A área lateral: 
7,10414,3AgrA  
 
Aℓ = 134,4 cm² 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 40 
 
c) A área total: 
2
TbaseT 414,34,134AAAA  
 
AT = 184,64 cm² 
 
d) O volume: 
 10414,3
3
1
Vhr
3
1
V 22
3cm167,47V 
 
V = 167,47 ml 
 
1.6.4 Tronco de Cone Reto 
 
 Vamos considerar um cone 
circular reto de vértice V e altura h e 
um plano α paralelo à base que 
secciona o cone, conforme a figura: 
 Nesse caso, obtemos dois 
sólidos: um cone de vértice V e altura d 
e outro sólido, chamado tronco do cone 
inicial. 
 No tronco do cone, destacamos: 
o duas bases: a base maior (base 
do cone inicial) e a base menor (secção 
determinada por α); 
o a altura h1 que é a distância entre as 
bases 
 dhh1 
; 
o a geratriz, cuja medida (g1) é obtida 
pela diferença das medidas das 
geratrizes dos dois cones: 
 21 ggg 
, em que g é a geratriz 
do cone inicial e g2 é a geratriz do 
cone determinado por α. 
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 41 
Observação: Usando semelhança entre os dois cones, podemos escrever as proporções e relacionar seus 
elementos com os elementos do tronco, sendo este o procedimento que aplicaremos para determinar o 
volume de um tronco de cone reto. 
 
Exemplo 12: 
 Uma vasilha (figura abaixo) tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas 
na figura. Qual é o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 Seja x a altura do cone menor e x + 30 a altura do cone que 
deu origem ao tronco de cone do exercício (cone maior). Veja a 
figura ao lado: 
 Usando semelhança, podemos escrever: 
 
40
20
30x
x


 
600x20x40 
 
600x20 
 
x = 30 
 
 Portanto, a altura do cone menor é de 30 cm e do cone maior 
é de 60 cm. 
Agora iremos determinar o volume do cone maior e do cone 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 42 
menor, para então efetuar a diferença entre os dois volumes, determinando assim o volume do tronco do 
cone. 
 
604014,3
3
1
Vhr
3
1
V 22maior cone 
 
480.100V maior cone 
cm³ 
 
302014,3
3
1
Vhr
3
1
V 22menor cone 
 
560.12V menor cone 
cm³ 
 
menor conemaior coneTronco VVV 
 
560.12480.100VTronco 
 
920.87VTronco 
cm³ 
 
 Como 1 dm³ equivale a 1 litro e 87.920 cm³ equivale a 87,92 dm³, então o volume máximo de 
água que a vasilha pode conter é de 87,92 litros. 
 
 
1.6.5 Esfera 
 
 Consideremos um ponto C e um número real positivo R qualquer. 
 A esfera de centro C e raio R é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma 
distância menor ou igual a R do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C = centro da esfera 
CP = raio da esfera 
PQ = diâmetro da esfera 
R = medida do raio da esfera 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 43 
 A “casquinha” ou a fronteira esfera chama-se superfície esférica, no qual sua área é dada pela 
fórmula: 
2R4A 
 
 
Uma esfera pode ser obtida girando um semi-círculo em torno de uma reta que contém o centro 
desse semi-círculo. Por isso, a esfera é considerada um sólido ou corpo de revolução. 
 A fórmula do volume da esfera pode ser deduzida com o uso de integrais, sendo neste texto 
apresentado apenas sua fórmula. 
3R
3
4
V 
 
 
Exemplo 13: 
 Quantos ml cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo? 
 Na figura ao lado são dadas todas as suas dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 Iniciaremos determinando o volume do cilindro de raio 2,5 cm e altura 8 cm: 
 
  85,2VhrV 22 
 
 50VCilindro
 cm³ 
 
 Agora vamos determinar o volume da esfera com raio 7 cm. 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 44 
 
 33 7
3
4
VR
3
4
V 
 
3
1372
VEsfera


 cm³ 
 
 Por fim, o volume da vasilha, que vamos obter somando o volume do cilindro com o volume da 
esfera. 
 
EsferaCilindroVasilha VVV 
 
3
1372
50VVasilha


 
3
1522
VVasilha


 cm³ 
 
 Portanto, o volume da vasilha é de aproximadamente 1.593 ml. 
 
1.6.6 Aplicações em Problemas de Otimização 
 
 Após a apresentação das principais figuras geométricas, utilizaremos o conceito de derivada para 
resolver problemas de otimização aplicados a este enfoque. 
 
Exemplo 14: 
Um cone circular reto é inscrito em uma esfera de raio 20 cm. Quais devem ser as dimensões do 
raio e da altura do cone circular reto para que seu volume seja máximo? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
A figura acima ilustra a situação descrita no problema. Note que é apresentada uma visão plana 
do problema, isto é, a esfera representada por um círculo e o cone representado por um triângulo. 
h 
r 
20 
h – 20 
20 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 45 
 
1
º
 Procedimento: (Função de uma variável) 
 
Observando a figura, note que existe um triângulo retângulo cujos catetos medem h – 20 e r e a 
hipotenusa mede 20 cm. 
 
 
 
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras, obtém-se: 
 
  222 20r20h 
 
 
 22 20h400r 
 
 
 400h40h400r 22 
 
 
h40hr 22 
 
 
h40hr 2 
 (1) 
 
Deseja-se determine a altura e o raio do cone circular reto de volume máximo. Denominado por V 
a função que dá o volume do cone, têm-se: 
 
3
hA
V b


 
 
3
hr
V
2 

 (2) 
 
 
Substituindo a equação (1) em (2), têm-se: 
 
 
3
hh40h
V
3
hr
V
2
22 



 
 
 
3
hh40h
V
2 

 
 
ou ainda, 
 
 
3
h40h
V
23 

 
 
cuja derivada é: 
 
h – 20 
r 
20 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 46 
 
3
h80h3
dh
dV 2 

 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
0
dh
dV

 
 
0
3
h80h3 2

   0h80h3 2 
 
 
0h80h3 2    080h3h 
 
 
h = 0 e h = 26,67 cm 
 
Para confirmar se este valor realmente se trata de um máximo, deve-se aplicar o critério da 
primeira derivada, verificando se o sinal da derivada antes do candidato principal (h = 26,67) é positivo 
e se depois do candidato principal ele passa a ser negativo. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
o que confirma se tratar de um ponto de máximo. 
 Determina-se o valor do raio r usando a equação (1), logo 
 
   67,264067,26r 2 
 
355,51r 
 
 
r = 18,86 cm 
 
Consequentemente, a altura e o raio do cone circular reto devem medir, respectivamente, 26,67 
cm e 18,86 cm. 
 
 Isto resulta num volume máximo de 9.928,98 cm
3
 , isto é, 9.928,98 ml. Veja porque: 
 
    
3
67,264067,26
V67,26h
23


 
 
V = 9.928,98 cm³ 
0 
h 
0
dh
dV

 
0
dh
dV

 
26,67 
0
dh
dV

 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 47 
 
2
º
 Procedimento: (Método das Derivadas Parciais) 
 
Devemos denominar por f a função objetivo. Neste problema o objetivo é encontrar o volume 
máximo de um cone, cuja fórmula é 
3
hA
V b


, logo 
 
3
hr
V:f
2 

 função objetivo 
 
e por g a restrição existente no problema (cone inscrito numa esfera de raio 20 cm). 
 
 
 
 
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras, obtém-se: 
 
  222 20r20h 
 
assim, 
  400r20h:g 22 
  restriçãoObserve que a função objetivo é composta por duas variáveis, r e h, sujeita a uma restrição, 
logo podemos aplicar o método das derivadas parciais. 
 
Determinação do candidato a máximo ou mínimo: 
 
 Para determinar o candidato que minimiza a quantidade de cerca, basta resolver o seguinte sistema: 
 
 









h,rg
dh
dg
dr
dg
dh
df
dr
df
 
 
 Mas antes, devemos determinar o valor das derivadas parciais. 
 
h – 20 
r 
20 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 48 
o f: 
3
hr
V
2 

  
3
hr2
dr
df 

 e 
3
r
dh
df 2

 
 
o g: 
  400r20h 22 
  
r2
dr
dg

 e 
 20h2
dh
dg

 
 
Agora podemos montar o sistema para em seguida resolvê-lo: 
 
 
   































400r20h
20h
r
r
hr2
400r20h
20h2
r2
3
r
3
hr2
22
2
22
2
 
 
 















400r20h
h40h2r
400r20h
20h
r
r
h2
22
22
22
 
 
Substituindo a primeira equação na segunda, têm-se: 
 
  0h80h30400h40h2400h40h400h40h220h 22222 
 
 
h = 0 e h = 26,67 cm 
 
 Como a altura não pode ser nula, o único candidato provável é: 
 
h = 26,67 cm 
 
Assim, 
   400r20h 22 400r400h40h 22 
 
 h40hr 22 h40hr
2 
 
     67,264067,26r 2 355,51r 
 
 
r = 18,86 cm 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 49 
 Falta agora verificar a natureza do candidato, se ou se trata de máximo ou de mínimo, para isso 
será aplicada à verificação comparativa. 
 
Verificação Comparativa: 
3
hr
V:f
2 

 
  400r20h:g 22 
 
 
1) Substituição do candidato: h = 26,67 e r = 18,86 na função objetivo: 
 f   
3
67,2686,18
V
2


  V = 9.934,25 
 
2) Novos candidatos que satisfazem a restrição g e substituição destes candidatos na função objetivo f: 
 
o h = 20 e r = 20: f   
3
2020
V
2


  V = 8.377,58 
o h = 25 e r = 19,36: f   
3
2536,19
V
2


  V = 9.812,49 
o h = 30 e r = 17,32: f   
3
3032,17
V
2


  V = 9.424,22 
 
3) Comparando os resultados se observa que o candidato gera o maior valor na função objetivo. Neste 
caso o candidato se trata de um ponto de máximo e o valor correspondente se trata do valor máximo da 
função. 
 
Conclusão, o raio deve medir 18,86 cm e a altura 26,67 cm, gerando um volume máximo de 
9.934,25 cm
3
, ou 9.934,25 ml. 
 
Observação: O resultado do volume aplicando os dois procedimentos foram diferentes em razão dos 
arredondamentos efetuados ao logo do problema. 
Note que no 1º procedimento a função volume dependia exclusivamente da altura, cujo 
resultado 26,66... foi arredondado para 26,67. Ao elevar este valor ao cubo e ao quadrado, surgiu a 
primeira discrepância. Note que o raio não foi utilizado neste procedimento, por isso seu 
arredondamento não influenciou em nada. 
No 2º procedimento a função volume dependia do raio e da altura, então o arredondamento da 
altura juntamente com o do raio, que foi arredondado de 18,855 para 18,86 influenciaram em conjunto. 
Ao elevar o raio ao quadrado e multiplicar pela altura surgiu a segunda discrepância. 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 50 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
15. Um fabricante de latas sem tampa deseja construir uma lata num formato de prisma retangular a 
partir de pedaços de alumínio com dimensões de 15 por 20 cm. Sua estratégia é cortar quadrados de 
mesma medida nos quatro cantos do alumínio, para em seguida, dobrar esses lados para cima. Se x cm 
for o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, qual deverá ser a medida do lado desse quadrado 
de modo a se obter uma lata com o maior volume possível? Qual seria este volume máximo? Apresente 
o domínio e a imagem. 
 
16. Uma caixa de fundo quadrado (prisma quadrangular), sem tampa, possui uma área total de 2.700 
cm². Quais devem ser as dimensões da caixa para que seu volume seja máximo? Qual é o volume 
máximo? Apresente o domínio e a imagem. 
 
17. Uma caixa de fundo retangular (prisma retangular), sem tampa, possui uma área total de 2.700 cm². 
Quais devem ser as dimensões da caixa para que seu volume seja máximo? Qual é o volume máximo? 
Apresente o domínio e a imagem. 
 
18. Uma caixa de fundo retangular (prisma retangular), com tampa, possui um volume de 2.000dm³. 
Para confeccionar esta caixa é gasto R$ 30,00 por dm² para fazer a base e a tampa; R$ 25,00 por dm² 
para fazer a frente e fundo; já para fazer as duas laterais é gasto R$ 20,00 por dm². Quais devem ser as 
dimensões da caixa para que o custo de fabricação da mesma seja mínimo? Qual é o custo mínimo? 
Apresente o domínio e a imagem. 
 
19. Para a redecoração de um escritório, o custo do tapete novo é quatro vezes o custo do papel de 
parede. Determine as dimensões do maior escritório que pode ser redecorado a um custo de R$ 
10.000,00. Apresente o domínio e a imagem. 
 
20. Uma lata de cerveja possui a forma cilíndrica com um volume de 350ml (350cm³). Quais dever ser 
as medidas da altura e do raio para minimizar o material usado na confecção da lata? Sabe-se que a 
quantidade de material necessária para a confecção dessa lata será igual a área total da lata. Qual é a área 
mínima desta lata de cerveja? Considere uma lata fechada. Apresente o domínio e a imagem. 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 51 
21. Um reservatório de água, com tampa, possui a forma de um cilindro. Seu volume é de 50.000 litros 
(50.000 dm
3
) e o custo do material utilizado na construção é de R$ 100,00 o dm
2
 na base, R$ 80,00 o 
dm² na tampa e R$ 120,00 o dm² na região lateral. Quais as dimensões do reservatório que minimizam o 
custo do material utilizado na construção? Qual é o custo mínimo? Apresente o domínio e a imagem. 
 
22. Uma caixa de papelão possui o formato de um prisma triangular regular, com tampa, cujo volume é 
de 10 litros (10 dm³). Quais devem ser as dimensões para que a área total da caixa seja mínima? E qual é 
esta área mínima? Apresente o domínio e a imagem. 
 
23. Um cilindro é inscrito numa caixa de base quadrada, com tampa. Quais devem ser as dimensões do 
cilindro e da caixa de modo que a área total da caixa seja mínima? Qual é a área mínima? Sabe-se que 
o volume do cilindro é de 100 dm³. Apresente o domínio e a imagem. 
 
24. Um cilindro é inscrito em uma esfera de raio 5 cm. Quais devem ser as dimensões do raio e da altura 
do cilindro para que seu volume seja máximo? Qual é o volume máximo? Apresente o domínio e a 
imagem. 
 
25. Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que possa ser inscrito em uma 
esfera de raio igual a 50cm. Qual será o volume máximo desta caixa? Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 52 
Problemas para a seção 1____________________________ 
 
1. Um carpinteiro possui um sarrafo com 8 metros de comprimento e pretende com este sarrafo fazer 
uma moldura retangular para um quadro. Como ele deve cortar o sarrafo, para que a área do quadro 
seja máxima? Apresente o domínio e a imagem. 
 
2. Um jardim retangular deve ser feito, de modo que o lado da casa sirva de limite para um dos lados 
do jardim e 100 metros de cerca sejam usados para os outros três lados. Ache as dimensões do maior 
jardim retangular (comprimento e largura). Qual éa área máxima deste jardim? Apresente o domínio e 
a imagem. 
 
3. Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. 
Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$ 8,00 por metro 
linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$ 3.600,00 
de material. Apresente o domínio e a imagem. 
 
4. Um campo retangular com 500 metros quadrados à margem de um rio deve ser cercado, com 
exceção do lado ao longo do rio. O custo do material para cercar o lado paralelo ao rio é de R$ 12,00 o 
metro e de R$ 8,00 por metro linear nos dois extremos. Ache as dimensões ideais para este campo de 
modo a minimizar o custo. Determine o custo mínimo. Apresente o domínio e a imagem. 
 
5. Deseja-se construir uma piscina retangular com 1.200m
2
 de área. Quais as dimensões para que o 
perímetro seja mínimo? Apresente o domínio e a imagem. 
 
6. Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. 
Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima. Apresente o domínio e a imagem. 
 
7. Um fazendeiro deseja cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados num campo retangular e então 
dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a 
minimizar o custo da cerca? Apresente o domínio e a imagem. 
 
 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 53 
8. Durante várias semanas, o departamento de trânsito de certa cidade vem registrando a velocidade dos 
veículos que passam por certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a 
velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por 
  20t30t5,10ttv 23 
 km/h, 
onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é 
mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento? Qual é a velocidade em cada um desses 
instantes? Apresente o domínio e a imagem. 
 
9. As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do 
material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a 
menor área. Apresente o domínio e a imagem. 
 
10. Uma página retangular deve conter 24 polegadas quadradas de impressão. As margens superiores e 
inferiores têm cada uma 1,5 polegadas de largura. As duas margens laterais têm cada uma 1 polegada. 
Quais devem ser as dimensões da página para que seja utilizada a quantidade mínima de papel? 
Apresente o domínio e a imagem. 
 
11. Ache as dimensões do retângulo de maior área que possa ser inscrito em um semicírculo de raio 
10cm. Apresente o domínio e a imagem. 
 
12. Um retângulo é inscrito em um triângulo retângulo de catetos medindo 9cm e 12cm. Encontrar as 
dimensões do retângulo de maior área que possa ser inscrito nesse triângulo. Qual é a área máxima 
deste retângulo? Apresente o domínio e a imagem. 
 
13. Ache a área do maior retângulo tendo dois vértices no eixo x e os dois outros vértices sobre a 
parábola 
2x25y 
 acima do eixo x. Apresente o domínio e a imagem. 
 
14 . Encontre o ponto da curva 
x
2
y 
, 
0x 
, que está mais próximo da origem. Apresente o domínio 
e a imagem. 
 
15. Determine o retângulo de área máxima, e lado paralelo aos eixos coordenados, inscrito na elipse 
1yx4 22 
. Apresente o domínio e a imagem. 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 54 
 
16. Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 500 
metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2.000 metros abaixo da 
central. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 312,00. 
Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? E qual será o gasto mínimo nessa 
obra? Indique a fórmula que expressa o custo. Apresente o domínio e a imagem. 
 
17. Os pontos A e B estão em lados opostos de um rio reto com 30 km de largura. O ponto C está na 
mesma margem que B, mas 40 km rio abaixo. Sabe-se que o ponto B forma um ângulo reto em relação 
aos pontos A e C. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por 
quilômetro do cabo é de R$ 6,00 sob a água e de R$ 4,00 em terra, como deve ser estendido o cabo, de 
forma que o custo seja o menor para a companhia? E qual é o custo mínimo desta companhia? Indique 
a fórmula que expressa o custo. Apresente o domínio e a imagem. 
 
18. Uma ilha está num ponto A, a 6 Km do ponto mais próximo B em linha reta. Uma mulher na ilha 
deseja ir a um ponto C, a 9 Km do ponto B. Sabe-se que o ponto B forma um ângulo reto em relação 
aos pontos A e C. A mulher pode alugar um barco por R$ 1,50 o quilômetro e navegar até um ponto P 
entre B e C e então alugar um carro a um custo de R$ 1,20 por quilômetro e chegar a C por uma 
estrada reta. Ache o percurso mais barato de A até C. Apresente o domínio e a imagem. 
 
19. Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo o produto seja máximo. Prove por derivada a sua 
resposta. Apresente o domínio e a imagem. 
 
20. Deseja-se construir um prédio com x andares. O custo do terreno é de R$ 100.000,00, e o custo de 
cada andar é R$ 25.000 + 1.000x (x = 1, 2, 3, ...). Quantos andares devem ser construídos para 
minimizar o custo por andar? Qual seria o custo por andar? Apresente o domínio e a imagem. 
 
21. Dividindo um arame de comprimento igual a 10 metros em duas partes, faz-se com uma das partes 
uma circunferência e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve cortar o arame 
para que a soma das áreas geradas pela circunferência e pelo quadrado seja mínima. Neste caso, qual 
será o comprimento da circunferência e o perímetro do quadrado? Qual seria a medida do raio da 
circunferência? 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 55 
 
22. Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 metros, consiste de 2 semi-círculos e dois 
segmentos retos, conforme figura a seguir. 
a) Determinar as dimensões da pista (comprimento do segmento reto e raio do semi círculo), de tal 
forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima. 
b) Qual é a área máxima desta parte retangular? 
c) E de toda a pista? 
 
 
 
 
23. Observando a figura abaixo, encontre o valor de x para que a área sombreada seja máxima. A 
seguir, determine as medidas das hipotenusas dos dois triângulos. 
 
 
24. Ao consultar uma livraria um cliente (que representa um grupo de pessoas) foi informado que o 
preço de uma unidade do livro “X” é R$ 198,00. Após negociar com o gerente, ficou estabelecido que a 
cada unidade a mais adquirida, haverá uma redução de R$ 2,00 no preço unitário. Se o custo unitário 
desse livro para a livraria é de R$ 80,00, determine a quantidade e o preço unitário que a livraria deve 
vender os livros para esse cliente a fim de maximizar seu lucro. (Esta quantidade é o número máximo 
de livros que a livraria disposta a vender.) Qual é o lucro máximo? Apresente o domínio e a imagem. 
 
25. Um fabricante vende lâmpadas ao preço de R$ 6,00 por lâmpada, e a este preço os consumidores 
compram 3.000 lâmpadas por mês. O fabricante quer elevar o preço, e estima que, para cada R$ 1,00 
r 
x 
Cálculo IV Professor Elvézio 
 56 
de aumento no preço, 500 lâmpadas a menos serão vendidas por mês. O fabricante pode produzir as 
lâmpadas a um custo de R$ 4,00 por lâmpada. Estime o preço de venda ótimo, bem como o lucro 
máximo deste fabricante. Apresente o domínio e a imagem. 
 
26. Um clube privado cobra a anuidade de R$ 100,00 por associado. Se for associado um número maior 
que 600 pessoas,