aula 3 resolução

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Função do 2º Grau
1) UNIRIO – Ao cair na arquibancada de um estádio de futebol, a bola de jogo é devolvida ao campo por um torcedor que a chuta para o alto, descrevendo a trajetória de uma parábola. Sabendo que o torcedor encontrava-se a uma altura de 10 metros em relação ao nível do campo, e que a bola levou 3/2 segundos para atingir a altura máxima e 5segundos para chegar até o chão (campo de jogo), calcule, então, a altura máxima atingida pela bola no chute do torcedor.
SOLUÇÃO:
Equacionando teremos: - t^2 + 3t +10 => para t =1,5 => y = 12,25
2) UFF - Uma pessoa ia gastar R$ 396,00 para comprar x caixas de um determinado produto. Ao receber o pedido de compra, a empresa fornecedora fez um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa. Devido a isto, a pessoa conseguiu comprar duas caixas a mais, pagando os mesmos R$ 396,00. Pergunta-se:
a) quantas caixas do produto tal pessoa comprou?
b) qual o preço inicial (sem desconto) de cada caixa do produto?
SOLUÇÃO:
3) UFF - Se um cabo suporta um peso homogêneo muito maior que o seu próprio peso, ele toma a forma de uma parábola. As torres AD e BC de uma ponte pênsil medem 200 m e são perpendiculares à pista de rolamento CD que mede 1000 m. O cabo de sustentação preso às torres nos pontos A e B tem a forma de uma parábola com vértice no ponto médio O de CD, conforme a figura a seguir.
a) Determine, em relação ao sistema Oxy, a equação da parábola de vértice O que passa pelos pontos A e B.
b) Se o fio de aço EF de 72 m de comprimento é preso ao cabo de sustentação no ponto E e é perpendicular à pista de rolamento no ponto F (conforme mostra a figura), calcule a medida de FC.
SOLUÇÃO:
4) UERJ -A foto ao lado mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
SOLUÇÃO:
	y ax2  5,6
	16a  5,6  0 a  0,35
	y  0,35x2  5,6  2,45
	x  3m
5) UERJ -Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico I, a função horária é definida pela equação . 
No gráfico II, definida por . 
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II. Determine a razão .
SOLUÇÃO
As funções  podem ser escritas, respectivamente, das seguintes formas fatoradas:
  
6) UERJ -Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.
Calcule o valor numérico de , sabendo que o triângulo ABV é equilátero.
Solução
7) UERJ -Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo.
Desconsiderando as unidades de medida, a expressão indica o valor da diferença entre os números P e A. 
Determine o maior valor que podemos obter com a expressão Y, e a altura do triângulo cuja a medida do lado resulta no maior valor possível de Y.
Solução
Seja a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que
 
Portanto, para atinge o seu maior valor, ou seja, 
8) UERJ -Distância de frenagem é aquela percorrida por um carro do instante em que seu freio é acionado até o momento em ele para. Essa distância é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade que o carro está desenvolvendo no instante em que o freio é acionado. 
O gráfico abaixo indica a distância de frenagem , em metros, percorrida por um carro, em função de sua velocidade v, em quilômetros por hora.
Admita que o freio desse carro seja acionado quando ele alcançar a velocidade de . Calcule sua distância de frenagem em metros
Solução
9) Fuvest - Seja f(x) = ax² +(1+a)x + 1 , onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.
Solução
10) UFSP - A densidade populacional de cada distrito da cidade de South Hill, denotada por D (em número de habitantes por km2), está relacionada à distância x, em quilômetros, do distrito ao centro da cidade. A fórmula que relaciona D e x é dada por D = 5 + 30x – 15x2. 
a) Um distrito, localizado no centro da cidade de São Paulo, tem densidade populacional de 16,5 hab/km2. Comparando a densidade populacional do distrito que fica no centro da cidade de South Hill com a do distrito do centro da cidade de São Paulo, a segunda supera a primeira em y%. Calcule y. 
b) Determine a que distância do centro da cidade de South Hill a densidade populacional é máxima. Qual é o valor dessa densidade máxima?
Solução
11) 
PUCRJ - Considere o triângulo retângulo de catetos e indicado na figura.
a) 
Calcule a altura do triângulo relativa à hipotenusa.
b) Sejam e os lados de um retângulo inscrito no triângulo como na figura, ou seja, com um lado contido na hipotenusa, e os outros dois vértices pertencentes aos catetos. Calcule em função de 
c) Quando varia de a quais são os possíveis valores da área do retângulo? 
Solução
a) 
Utilizando a relação métrica temos:
b) 
c) A área A do retângulo será dada por:
O valor da área máxima será dado por: 
Portanto, 
12) UEL - O óxido de potássio, K2O, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir.
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo y(x) = ax2 + bx + c, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
Solução
13) UFPE - Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto em estoque e pode 
confeccionar mais 100 unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu uma 
encomenda, de tantas unidades do produto quantas possa confeccionar, para 
ser entregue em qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for entregue hoje, 
o lucro da fábrica será de R$ 6,00 por unidade vendida; para cada dia que se 
passe, a partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por unidade vendida. 
Calcule o lucro máximo, em reais, que a fábrica pode obter com a venda da 
encomenda e indique a soma de seus dígitos. 
Solução
14) UERJ – em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6cm, inscreve-se um retângulo de modo que um dos seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura:
Admitindo-se que o retângulo tem a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas de x e y de seus lados.
SOLUÇÃO:
A medida do lado do triângulo equilátero é igual a Logo, sua altura é Além disso, o retângulo de base determina um triângulo equilátero de lado igual a com Por conseguinte, da semelhança dos triângulos equiláteros, vem 
 
A área, do retângulo é dada por
 
Desde que a área é máxima, temos e 
15) Unicamp - Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x)=ax²+bx+c, definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. 
b) Quando a + b = 1, os gráficos essas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.
Solução:
16) FGV - A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidoresem função do preço de cada exemplar.
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = a ⋅ x + b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. 
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? 
b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê?
Solução
17) UFPR - O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20t-t², sendo que 0 t . 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N)= 50 + 30 N. 
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. 
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de reais?
SOLUÇÃO
a) C(t) = 50 + 30.(20t – t2)
C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) 2300 = –30t2 + 600t + 50
	Dividindo por 30, temos:
30t2 – 600t + 2250 = 0
t2 – 20.t + 75 = 0 
Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h. 
18) IBMEC - Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de R$ 6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches. 
Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é:
SOLUÇÃO:
Seja o número de reduções de no preço de venda do sanduíche.
A receita obtida com a venda dos sanduíches é dada pela função definida por 
 
Além disso, o custo total para produzir os sanduíches é dado pela função definida por 
 
Por conseguinte, a função que dá o lucro total é definida por 
 
O valor de que proporciona o lucro máximo é igual a 
Portanto, o resultado pedido é 
19) UFF - A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2.
Determine:
a)as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm2;
b)as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível.
Justifique suas respostas. 
SOLUÇÃO:
20) UFPR - Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1m por 40cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura da direita.
a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em função de x. 
b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo?
SOLUÇÃO:
A)O volume é o produto das três dimensões:
.
B) A expressão é uma função quadrática. .
x
R$0,10
R:,
+
®
¡¡
2
R(x)(60,1x)(20020x)
2x100x1200.
=-××+×
=-++
C:,
+
®
¡¡
C(x)4,5(20020x)
90x900.
=×+
=+
L:,
+
®
¡¡
2
2
L(x)R(x)C(x)
2x100x1200(90x900)
2x10x300.
=-
=-++-+
=-++
x
10
2,5.
2(2)
-=
×-
60,12,560,25R$5,75.
-×=-=
t
b
t
a
S
1
2
1
+
=
2
x
2
x
4
,
0
)
x
2
4
,
0
).(
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x
(
V
-
=
-
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cm
10
x
m
1
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0
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4
,
0
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2
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2
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4
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0
(
a
2
b
x
v
=
Þ
=
-
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t
b
t
a
S
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+
=
2
1
a
a
l
2
2
YPA
3
3
4
3
33(23).
4
=-
=-
=-×-
l
l
l
23,
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l
Y
33.
AB6
=
AC8
=
h
ABC,
u
v
v.
v
0
h,
222
BC68BC10
=+Þ=
BChABAC,
×=×
10h68h4,8
×=×Þ=
u4,8v25
ADEABC4,8u4810vu10v
104,812
ΔΔ
-
Þ=Þ=-Þ=-×
:
2
2525
Auv10vvA10vv
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0v12.
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2cm.
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=
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2
×
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xcm
xcm,
0x2.
<<
x3y2(3y)
x.
2
33
-×-
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A,
2
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y
3
323
y.
22
3
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3
y
2
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x1.
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