Física Incial

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Sebenta de F´ısica
1o Ano dos cursos: BM, B, MICF, BQ, BT e CBM
2o semestre do ano letivo 2017/18
Leonor Cruzeiro 2000–2012
Jose´ Lu´ıs Arga´ın & Robertus Potting 2013–2017
Leonor Cruzeiro & Robertus Potting 2018
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 4
1.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Noc¸o˜es de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Mecaˆnica 8
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Movimento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Movimento uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.4 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Movimento a mais de uma dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Movimento de um proje´ctil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Movimento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Movimento circular variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 A Forc¸a Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Conservac¸a˜o do Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4 Movimentos de rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.5 Forc¸as de Fricc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Trabalho e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 O Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Mecaˆnica dos Fluidos 35
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Hidrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 O Princ´ıpio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 O Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Dinaˆmica dos fluidos. Equac¸a˜o de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Aplicac¸o˜es da equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Fluxos laminares e fluxos turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 O Nu´mero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2
4 Oscilac¸o˜es e Ondas 53
4.1 Oscilac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 O oscilador harmo´nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Movimentos Ondulato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Ondas transversais e longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Ondas Progressivas e Estaciona´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Eletromagnetismo 68
5.1 Introduc¸a˜o. Forc¸a de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 O campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 O campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 O potencial ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.3 O Princ´ıpio de Sobreposic¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Linhas do campo e superf´ıcies equipotenciais. . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.5 Electrosta´tica de condutores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.6 Energia armazenada num condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Correntes Ele´ctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3.1 A lei de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Poteˆncia Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Campo Magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Forc¸a de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Campos magne´ticos produzidos por correntes ele´tricas. . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Radiac¸o˜es 93
6.1 Estrutura do a´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Tipos de Emissa˜o Radioactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.1 Emissa˜o α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Emissa˜o β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.3 Emissa˜o γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Lei da Emissa˜o Radioactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Datac¸a˜o por 14C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5 Efeitos Biolo´gicos das radiac¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Unidades
O objectivo da F´ısica e´ construir imagens do Universo. Desse ponto de vista na˜o e´ muito
diferente da Biologia, cujo objectivo e´ construir imagens dos sistemas vivos. Mas enquanto a
Biologia comec¸ou por ser uma cieˆncia largamente descritiva (em certos ramos continua a ser
assim), a F´ısica foi, desde o princ´ıpio, uma cieˆncia quantitativa. Os modelos que desenvolve
devem na˜o so´ dar uma imagem do Universo, de como os feno´menos ocorrem, quais as suas
causas e os seus efeitos, assim como devem possibilitar previso˜es quantitativas. Por isso, desde
o in´ıcio as medic¸o˜es tiveram um lugar muito importante no desenvolvimento das teorias f´ısicas.
Uma teoria f´ısica leg´ıtima na˜o e´ apenas uma poss´ıvel explicac¸a˜o de um acontecimento, deve
poder ser usada para prever feno´menos ainda novos e so´ e´ considerada va´lida quando esses
feno´menos previstos sa˜o observados. Nas aulas pra´ticas sera´ feita a demonstrac¸a˜o de como se
fazem muitos tipos de medic¸o˜es.
Medir uma grandeza consiste em comparar um dos seus atributos com uma refereˆncia.
Quando dizemos que a Terra tem uma dimensa˜o de 130000 km, ou seja, 130 milho˜es de metros,
estamos a comparar o seu tamanho com um padra˜o. Esse padra˜o comec¸ou por ser a distaˆncia
entre duas marcas feitas numa placa de platina iridiada. Mas como as comparac¸o˜es com um
padra˜o que se encontra fechado no laborato´rio, ale´m de ser imprecisas, na˜o se fazem muito
facilmente, depois de va´rias outras definic¸o˜es, em 1983, adoptou-se um outro padra˜o para o
metro, que se define agora como a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante numa fracc¸a˜o
de 1/299792458 de um segundo.
Teremos ocasia˜o de estudar va´rios tipos de sistemas f´ısicos, mas para ja´ concentremo-nos
nos sistemas mecaˆnicos. As quantidades mecaˆnicas podem ser caracterizadas por treˆs grande-
zas fundamentais: o comprimento, o tempo e a massa. Tal como o comprimento, tambe´m o
tempo e a massa teˆm os seus padro˜es. Uma unidade de tempo e´ o segundo que se define como o
tempo necessa´rio para completar 9 192 631 770 vibrac¸o˜es de um a´tomo de 133Cs. A forma como
se definem actualmente os padro˜es do comprimento e do tempo esta˜o associadas a` precisa˜o
com que e´ possivel medir essas quantidades. Por exemplo, neste momento e´ possivel
medir
intervalos de tempo com uma precisa˜o de 1 segundo em 138 milho˜es de anos.
4
Introduc¸a˜o 5
A unidade de massa podia ser definida como a massa de 5,0188× 1025 a´tomos de 12C mas
a precisa˜o com que e´ possivel medir a massa na˜o e´ compara´vel com a ordem de grandeza das
massas ato´micas. Por isso, a massa-padra˜o continua a ser a massa de um bloco de platina
guardada num laborato´rio internacional de padro˜es, com 1 kg.
Qualquer medic¸a˜o so´ faz sentido num certo sistema de unidades. Mas existem sistemas de
unidades diferentes. Quando dizemos que a unidade de comprimento e´ o metro, e a unidade
de tempo e´ o segundo e a unidade de massa e´ o kilograma, estamos a falar de um sistema de
unidades particular, o Sistema Internacional (SI). Um outro sistema de unidades e´ o sistema
CGS. No sistema CGS a unidade tempo e´ tambe´m o segundo mas a unidade de comprimento
e´ o cent´ımetro e a unidade de massa e´ o grama. Outras unidades de comprimento sa˜o por
exemplo, a milha (1,609344 km) e a polegada (2,54 cm).
O comprimento, a massa e o tempo sa˜o grandezas f´ısicas fundamentais dos sistemas Mecaˆnicos.
Outras grandezas f´ısicas fundamentais sa˜o a temperatura para um sistema termodinaˆmico e a
carga para um sistema ele´ctrico. Ale´m das grandezas fundamentais, ha´ ainda as grandezas
derivadas, como a velocidade, que e´ o espac¸o percorrido por unidade de tempo. Neste curso
vamos usar preferencialmente o sistema SI, que e´ o sistema de unidades mais generalizado.
Definir-se-a˜o as unidades para outras grandezas a` medida que formos tratando delas.
De forma geral, para uma quantidade Q, designamos as unidades dessa quantidade pela
expressa˜o [Q]. Por exemplo, no sistema SI, a unidade de massa, [M ] e´ o kg, a unidade de
comprimento, [L] e´ o metro e a unidade de tempo, [t] = s.
Aplicac¸o˜es.
Quando se considera relac¸o˜es entre varia´veis e´ muito importante tomar atenc¸a˜o a`s unida-
des. Se nos dizem que a velocidade de um carro e´ 80 km/h e queremos saber qual o espac¸o
percorrido em 10 segundos, em metros, temos primeiro que converter a velocidade de km/h
a m/s (22,22 m/s) para calcular que o espac¸o percorrido em 10 segundos e´ aproximadamente
222,2 m.
Quando se diz que o espac¸o percorrido e´ igual a` velocidade vezes o tempo, na˜o se especificam
unidades mas sabemos que em cada caso concreto elas devem ser todas consistentes. Assim,
se um carro vai a 60 km/h, em 30 minutos = 0,5 h percorre uma distaˆncia de 30 km. Mas
tambe´m pod´ıamos ter a velocidade em milhas por hora e a distaˆncia calculada viria enta˜o em
milhas (18,64 milhas). Obviamente, que cada grandeza com dimenso˜es so´ faz sentido quando
se especifica a unidade que se esta´ a usar. Isto e´, na˜o tem qualquer significado dizer que a
velocidade e´ 60 se na˜o se disser se e´ km/h ou outra unidade poss´ıvel de velocidade.
So´ se podem somar (ou diminuir) grandezas com as mesmas dimenso˜es (so´ se somam laranjas
com laranjas, na˜o se somam laranjas com mac¸a˜s). Esta regra e´ a`s vezes muito u´til para corrigir
expresso˜es sobre as quais haja du´vidas. Por exemplo, dada a equac¸a˜o x = x0 + v0x t+ 1/2 ax t
2,
Introduc¸a˜o 6
enta˜o [x] = [x0] = [v0x t] = [ax t
2], ou seja, todos os termos teˆm que ser comprimentos.
1.2 Noc¸o˜es de Escala
Quando contemplamos o Universo e os sistemas f´ısicos nele contidos, a primeira observac¸a˜o e´
a enorme diversidade de escalas dos sistemas nele contidos. Enquanto o Universo vis´ıvel tem
uma dimensa˜o da ordem dos 1027 m a Terra tem uma dimensa˜o da ordem dos 108 m. Em
biologia, encontramos tambe´m uma hierarquia semelhante. Enquanto um a´tomo ou ia˜o tem
uma dimensa˜o de 1 A˚ (ou 10−10 m), uma ce´lula pequena tem uma dimensa˜o de 1 µm (ou
10−6 m) e certas a´rvores podem crescer ate´ alturas de mais de 100 m. Os maiores organis-
mos vivos podem pois ser mais de 100 milho˜es de vezes maiores que os mais pequenos (oito
ordens de grandeza). Mas ha´ limites para as dimenso˜es que os diferentes organismos podem
ter. Em ficc¸a˜o cient´ıfica joga-se muitas vezes com a possibilidade de fazer certos organismos
muito maiores do que normalmente sa˜o (formigas ou abelhas gigantes) ou muito menores (ho-
mens minu´sculos, capazes de ir fazer investigac¸o˜es dentro do corpo de outros homens). Por
muito interessantes que sejam estas histo´rias, a verdade e´ que cada organismo, com os materi-
ais de que e´ feito, na˜o tem grande possibilidade de variac¸o˜es de escala desta ordem de grandeza.
Como sabemos a a´rea e´ proporcional ao quadrado do comprimento, A ∝ L2 e o volume e´
proporcional ao cubo do comprimento, V ∝ L3. Assim, se o comprimento de um corpo au-
menta 10 vezes, a a´rea aumenta 100 vezes e o volume aumenta 1000 vezes. Estas diferenc¸as
teˆm consequeˆncias biolo´gicas!
Consideremos por exemplo a forc¸a relativa de dois organismos: o humano e o de um gafa-
nhoto. Um ser humano pode carregar um peso igual ao seu peso (os levantadores de pesos teˆm
mais sucesso que os outros!). O gafanhoto, por sua vez, pode carregar pesos 15 vezes maior
que o seu peso. A` primeira vista, parece que o gafanhoto e´ mais forte que um homem, em
termos relativos. Mas vamos ver que na˜o e´ bem assim. Para comparar um homem com um
gafanhoto temos que considerar uma grandeza que na˜o dependa das diferenc¸as de massa dos
dois organismos: a forc¸a espec´ıfica, definida como a forc¸a por unidade de massa. A forc¸a que
um organismo pode exercer e´ proporcional a` sua massa muscular, a qual e´ proporcional a` a`rea
da secc¸a˜o transversal do mu´sculo ou seja e´ proporcional ao quadrado do comprimento carac-
ter´ıstico. Por outro lado a massa do organismo e´ proporcional ao volume (assumindo densidade
uniforme), ou seja, a massa e´ proporcional ao cubo do comprimento caracter´ıstico. Assim, a
forc¸a espec´ıfica, fe e´:
fe =
F
M
∝ A
V
=
L2
L3
=
1
L
(1.1)
Assim, a raza˜o entre as forc¸as espec´ıficas do gafanhoto e do homem e´:
fe(gafanhoto)
fe(homem)
=
1/L(gafanhoto)
1/L(homem)
=
L(homem)
L(gafanhoto)
≈ 200 cm
2 cm
= 100 (1.2)
Uma vez que o homem consegue levantar pesos iguais ao seu pro´prio peso, conclui-se que o ga-
fanhoto deveria ser capaz de levantar pesos 100 vezes maiores que o seu peso, se usasse os seus
Introduc¸a˜o 7
mu´sculos com a mesma eficieˆncia com que o homem usa os seus. Como so´ consegue levantar
pesos 15 vezes maiores que a sua massa, o gafanhoto e´ de facto relativamente mais fraco que o
homem.
Outra consequeˆncia da forma como as diferentes quantidades se escalam e´ a seguinte. A
quantidade de comida que cada ser necessita e´, entre outras coisas, proporcional ao calor que
tem de gerar para manter o seu organismo aquecido. Como a quantidade de calor que se perde
e´ proporcional a` superf´ıcie, Q ∝ L2 e a quantidade de comida que precisamos de comer e´
proporcional a` massa, ou seja, ao volume, C ∝ L3, a quantidade de calor perdido por unidade
de massa e´ proporcional ao inverso do comprimento caracter´ıstico, 1/L. Quanto mais pequeno
e´ um organismo, maior e´ o calor que esse organismo perde por unidade de massa. Um rato
come cada dia uma quantidade de comida igual a um quarto da sua massa para se conseguir
manter quente. Por outro lado, um elefante tem o problema inverso, de como dissipar todo o
calor que gera. Por isso, os elefantes aproveitam todas as fontes de a´gua que encontram para
se regarem e manterem a pele molhada.
Cap´ıtulo 2
Mecaˆnica
2.1 Introduc¸a˜o
A Mecaˆnica e´ a parte da F´ısica que estuda os corpos em movimento. Tal como a estudamos
agora, a Mecaˆnica comec¸ou a ser desenvolvida no fim do se´culo dezasseis, princ´ıpio do se´culo
dezassete, por Galileu (1564–1642).
Podemos dividir a Mecaˆnica em duas grandes a´reas: a cinema´tica e a dinaˆmica. A ci-
nema´tica estuda os movimentos e as suas leis independentemente das causas desses movimen-
tos. A dinaˆmica estuda as forc¸as e os
movimentos que estas originam.
2.2 Cinema´tica
2.2.1 Movimento unidimensional
Todo o movimento e´ relativo e so´ esta´ definido em relac¸a˜o a um referencial. Os movimentos
teˆm direc¸a˜o e sentido, ou seja, sa˜o representados por vetores. Assim, de forma geral, podemos
representar o movimento de um sistema pelo vetor de posic¸a˜o do sistema em func¸a˜o do tempo:
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez (2.1)
onde ~ex, ~ey e ~ez sa˜o, respetivamente, os vetores unita´rios que definem as direc¸o˜es e sentidos do
eixo dos x, dos y e dos z. Estas direc¸o˜es sa˜o ortogonais entre si e na pra´tica e´ muitas vezes
poss´ıvel tratar do movimento ao longo de cada eixo, separadamente. Por isso, vamos comec¸ar
por considerar o caso de um movimento ao longo de um eixo so´.
Os movimentos ao longo de um eixo, por exemplo, ao longo do eixo dos x, sa˜o representados
por posic¸o˜es x(t) com valores positivos ou negativos, consoante sejam no sentido positivo ou
negativo do eixo (este sentido e´ definido arbitrariamente, mas uma vez definido tem que ser
seguido consistentemente). Assim podemos representar um movimento unidimensional pelas
quantidades escalares x(t).
8
Mecaˆnica 9
Todos temos uma noc¸a˜o intuitiva de velocidade, como o espac¸o percorrido por unidade
de tempo. Se um corredor percorrer 50 m em dez segundos, vai a uma velocidade me´dia de
50 m/10 s = 5 m/s. Em geral, sendo ∆x o deslocamento e ∆t o tempo gasto em a percorrer, a
velocidade me´dia e´:
vmx =
∆x
∆t
(2.2)
A velocidade e´ uma grandeza derivada. A sua dimensa˜o e´ um comprimento a dividir por um
tempo [v] = [L] [T]−1. No sistema SI mede-se em m/s. Refira-se que a velocidade me´dia na˜o
deve ser confundida com rapidez me´dia, que e´ dada pelo quociente entre a distaˆncia percor-
rida, ∆S e o tempo gasto em a percorrer, ∆t. para simplificar, daqui em diante omitiremos o
sub-´ındice x no estudo do movimento unidimensional.
Mas a velocidade de um mo´vel pode variar durante o percurso. Assim, os mesmos 50 m po-
dem ser percorridos nos mesmos dez segundos se o corredor percorrer 12 m nos quatro primeiros
segundos e 38 m nos seis segundos seguintes. Neste caso o corredor vai a uma velocidade de
12 m/4 s = 3 m/s no quatro primeiros segundos e 38 m/6 s = 6,3 m/s nos u´ltimos seis segundos.
Devemos notar que a me´dia das velocidades, (4 + 6,3)/2 = 4,65 m/s e´ diferente da velocidade
me´dia, que e´ igual a 5 m/s.
Quando a velocidade varia ao longo do tempo, tem mais significado definir uma velocidade
instantaˆnea, que e´ a velocidade que o corredor tem em cada instante t, e que e´ dada pela
derivada do espac¸o em relac¸a˜o ao tempo nesse instante:
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(2.3)
Por outro lado, quando a velocidade varia no tempo, podemos definir uma outra grandeza,
a taxa de variac¸a˜o da velocidade no tempo ou a acelerac¸a˜o, a, que e´ dada pela derivada da
velocidade em relac¸a˜o ao tempo:
a =
dv
dt
=
d2x
dt2
(2.4)
A acelerac¸a˜o tem dimenso˜es de velocidade a dividir por tempo, ou seja, [a] = [L] [T]−2. No
sistema SI, por exemplo, mede-se em m/s2.
2.2.2 Movimento uniforme
Chama-se movimento uniforme ao movimento em que a velocidade e´ constante. Neste caso a
acelerac¸a˜o e´ nula e da Eq. (2.2) deduz-se a seguinte lei do movimento uniforme:
v =
x− x0
t− 0 ⇒ x = x0 + vt (2.5)
onde x0 e´ a posic¸a˜o do mo´vel no instante inicial, t = 0, x(t = 0) = x0 e v e´ a velocidade
(constante) com que o mo´vel se desloca. (Pode verificar-se que a expressa˜o (2.5) e´ a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o dx
dt
= v substituindo-a nesta u´ltima equac¸a˜o).
Mecaˆnica 10
2.2.3 Movimento uniformemente variado
Um movimento diz-se uniformemente variado quando a acelerac¸a˜o e´ constante. Neste caso, da
Eq. (2.4), deduz-se de forma ana´loga, a seguinte equac¸a˜o para a variac¸a˜o da velocidade com o
tempo:
v = v0 + at (2.6)
onde v0 e´ a velocidade do mo´vel no instante t = 0, v a velocidade no instante t e a e´ acelerac¸a˜o
(constante) do mo´vel. Se a velocidade aumenta com o tempo, o movimento diz-se uniforme-
mente acelerado e se a velocidade diminui com o tempo, o movimento diz-se uniformemente
retardado. Substituindo a expressa˜o da velocidade, Eq. (2.6), na Eq. (2.3), fica:
dx
dt
= v0 + at (2.7)
donde se deduz a lei do movimento uniformemente variado:
x = x0 + v0t+
1
2
at2 (2.8)
Mais uma vez, podemos substituir a soluc¸a˜o (2.8) na Eq. (2.7) e verificar que (2.8) e´ de facto
soluc¸a˜o de (2.7).
Exemplo: um automo´vel que viaje a velocidade de v0 = 40 km/h acelera uniformemente em
10 s, ate´ a` velocidade de v = 90 km/h. Qual a distaˆncia percorrida neste per´ıodo?
v0 = = 40 km/h = 40
km
h
× 1000 m
1 km
× 1 h
3600 s
= 11,1 m/s (2.9)
v = 90 km/h = 25 m/s (2.10)
a =
∆v
∆t
=
25 m/s− 11,1 m/s
10 s
= 1,39 m/s2 (2.11)
Para a distaˆncia percorrida obtemos:
x− x0 = v0t+ 1
2
at2
= (11,1 m/s2)(10 s) +
1
2
(1,39 m/s2)(10 s)2
= 180,6 m . (2.12)
Em muitas aplicac¸o˜es de movimentos uniformemente variados, o tempo na˜o e´ dado ex-
plicitamente. Neste caso, e´ poss´ıvel obter uma expressa˜o que relacione a velocidade com o
deslocamento, atrave´s da acelerac¸a˜o. Multiplicando os dois membros da eq. (2.8) por 2a obte´n-
se
2a(x− x0) = 2v0at+ a2t2
= at(2v0 + at)
= (v − v0)(v + v0) (2.13)
Mecaˆnica 11
em que foi utilizado na u´ltima identidade a eq. (2.6) (duas vezes). Assim, fica
2a∆x = v2 − v20 (2.14)
denominada equac¸a˜o de Torricelli em honra ao f´ısico e matema´tico italiano Evangelista Torricelli
(1608–1647).
2.2.4 Queda livre
Quando Galileu, o famoso cientista italiano (1564–1642), investigava o problema de objetos em
queda livre (isto e´, somente sob a influeˆncia da atrac¸a˜o grav´ıtica da Terra), chegou a` conclusa˜o
que o peso do objeto na˜o era um fator no seu movimento. Esta conclusa˜o foi verificada com
grande precisa˜o em experieˆncias recentes. Galileu concluiu ainda que um objeto em queda livre
tem um movimento uniformemente variado, sendo a acelerac¸a˜o dirigida verticalmente para
baixo (na direc¸a˜o do centro da Terra). O seu mo´dulo g, a acelerac¸a˜o da gravidade, perto da
superf´ıcie da Terra e´ aproximadamente
g = 9,80 m/s2 . (2.15)
Nota que o valor exato depende da posic¸a˜o na Terra, sendo a variac¸a˜o ma´xima da ordem de
0,5 %. De acordo com a conclusa˜o de Galileu, o valor de g e´ a mesma para qualquer objeto,
pesado ou leve, e e´ independente da sua constituic¸a˜o. No entanto, a queda de objetos e´ fre-
quentemente influenciada tambe´m por outros efeitos, tal como o atrito do ar. Objetos muito
sens´ıveis a isto (tal como uma pena) caem mais lentamente, e na˜o esta˜o realmente em queda
livre.
Considere o exemplo de uma bola que e´ largada de uma grande altura. Qual a sua velocidade
depois de ter ca´ıdo 100 m? Porque a velocidade inicial e´ zero, vamos utilizar a equac¸a˜o (2.8),
com z0 = 0, v0 = 0 e a = g, sendo o deslocamento z medido, verticalmente para baixo. E´
convencional utilizar a varia´vel x, para deslocamentos horizontais, e y ou z para movimentos
verticais. Temos
z =
1
2
gt2 , (2.16)
portanto para o tempo de queda temos
t =
√
2z
g
. (2.17)
A velocidade, depois de decorrido o tempo de queda t, e´
v = gt = g
√
2z
g
=
√
2gz (2.18)
=
√
2× (9,80 m/s2)× (100 m)
= 44,3 m/s . (2.19)
Mecaˆnica 12
Figura 2.1: Gra´ficos da velocidade e da altura em func¸a˜o do tempo.
Considere agora um outro exemplo, em que uma bola e´ lanc¸ada para cima a partir do topo de
um edif´ıcio alto. Qual a sua velocidade e a sua posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo? Neste exemplo,
a bola primeiro sobe. Fazendo a escolha (arbitra´ria) que o sentido positivo da coordenada z e´
para cima, temos v0 = 15 m/s. Mas a acelerac¸a˜o da gravidade e´ para baixo, logo a = −g =
−9,80 m/s2. Escolhemos a origem da coordenada z correspondente a` altura do edif´ıcio, pelo
que z0 = 0. As equac¸o˜es para a velocidade e a altura da bola, em func¸a˜o do tempo, ficam:
v = v0 + at = (15 m/s)− (9,80 m/s2)× t (2.20)
z = v0t+
1
2
at2 = (15 m/s)× t− 1
2
(9,80 m/s2)× t2 (2.21)
A bola atinge a sua altura ma´xima quando a velocidade e´ nula (porque?). Chamando a este
instante t = T , obtemos
0 = v0 + aT ⇒ T = v0
g
=
15 m/s
9,80 m/s2
= 1,53 s (2.22)
Logo a altura ma´xima e´
zm = (15 m/s)(1,53 s)− 1
2
(9,80 m/s2)(1,53 s)2 = +11,5 m . (2.23)
Chamando ao instante em que a bola volta a` altura original z = 0 t = T ′ obtemos
0 = v0T
′ +
1
2
a(T ′)2 ⇒ T ′(v0 − 1
2
gT ′) = 0 (2.24)
portanto no instante
T ′ =
2v0
g
= 2T = 3,06 s . (2.25)
Mecaˆnica 13
Resumindo, enquanto para 0 ≤ t < 1,53 s a bola sobe e os valores para a velocidade sa˜o
positivos, no instante 1,53 s a velocidade torna-se zero, tendo a bola chegado a` altura ma´xima
de 11,5 m. O movimento subsequente e´ para baixo, sendo enta˜o, os valores da velocidade para
t > 1,53 s, negativos, mas sempre aumentando em mo´dulo (a bola cai mais e mais rapidamente)
(ver figura 2.1).
2.3 Movimento a mais de uma dimensa˜o
Quando consideramos os movimentos a mais que uma dimensa˜o a posic¸a˜o do sistema e´ dada
pelo vetor ~r(t):
~r = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez, (2.26)
onde x(t) e´ a componente da posic¸a˜o segundo o eixo dos xx, y(t) e´ a componente da posic¸a˜o
segundo o eixo dos yy e z(t) e´ a componente da posic¸a˜o segundo o eixo dos zz. A evoluc¸a˜o
temporal de cada uma destas componentes e´ dada ou pela Eq. (2.5) ou pela Eq. (2.8). Se o
movimento for uniforme segundo o eixo dos xx e uniformemente acelerado segundo o eixo dos
yy temos:
x(t) = x0 + v0xt (2.27)
y(t) = y0 + v0yt+
1
2
ayt
2
Do mesmo modo, a velocidade do sistema e´ representada pelo vetor ~v(t):
~v = vx(t)~ex + vy(t)~ey + vz(t)~ez, (2.28)
onde vx(t) e´ a componente da velocidade segundo o eixo dos xx, vy(t) e´ a componente da ve-
locidade segundo o eixo dos yy e vz(t) e´ a componente da velocidade segundo o eixo dos zz,
as quais sa˜o constantes se o movimento for uniforme segundo esse eixo ou sa˜o dadas pela Eq.
(2.6) se o movimento segundo esse eixo for uniformemente acelerado.
Do modo ana´logo, a treˆs dimenso˜es, a acelerac¸a˜o e´ representada pelo vetor ~a:
~a = ax(t)~ex + ay(t)~ey + az(t)~ez, (2.29)
onde ax(t) e´ a componente da acelerac¸a˜o segundo o eixo dos xx, ay(t) e´ a componente da
acelerac¸a˜o segundo o eixo dos yy e az(t) e´ a componente da acelerac¸a˜o segundo o eixo dos zz,
as quais sa˜o nulas ou constantes conforme o movimento segundo os eixos correspondentes e´
uniforme ou uniformemente acelerado.
Muitas vezes o movimento segundo uma direc¸a˜o pode ser tratado independentemente do
movimento segundo as outras direc¸o˜es e podemos ter, como ja´ se disse, um movimento uniforme
segundo o eixo dos xx, e um movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo dos zz. A
seguir trataremos um caso deste tipo.
Mecaˆnica 14
Figura 2.2: Trajeto´ria de um proje´til, lanc¸ado desde o solo. O atrito do ar e´ desprezado.
2.3.1 Movimento de um proje´ctil
Ao caminho de um proje´til sem motores chama-se trajeto´ria bal´ıstica. Este foi um dos problemas
considerados por Galileu, no se´culo dezassete. Na altura era um problema de grande interesse
para todos os estadistas porque estava relacionado com o alcance dos canho˜es. O proje´til sai
do solo com uma velocidade de valor absoluto v0, e fazendo um aˆngulo θ com a horizontal (ver
figura 2.2). Qual a sua trajeto´ria? Inicialmente pensou-se que o proje´til se deslocaria em linha
reta ate´ a velocidade ser nula, altura em que cairia. Tartaglia, no se´culo dezasseis, da´-lhe uma
forma mais arredondada, que parecia mais fiel a` trajeto´ria observada. Galileu foi o primeiro a
tratar o problema de forma cient´ıfica. A soluc¸a˜o a que ele chegou e´ a que vamos ver em seguida.
Se considerarmos um sistema de eixos em que o eixo dos x coincide com a direc¸a˜o da velocidade
inicial na horizontal, paralelamente ao cha˜o, trata-se de um problema a duas dimenso˜es, uma
das quais e´ na direc¸a˜o de x sendo a outra perpendicularmente ao cha˜o, na direc¸a˜o do eixo
dos z. Mas podemos tratar o movimento em cada uma das dimenso˜es separadamente. Sendo
o mo´dulo da velocidade inicial |~v0| = v0, as componentes desse vetor sa˜o vx(0) = v0 cos θ e
vz(0) = v0 sin θ. Na direc¸a˜o horizontal a acelerac¸a˜o e´ nula, pelo que o movimento e´ uniforme e
a componente vx(t) da velocidade e´ constante:
vx(t) = v0x = v0 cos θ (2.30)
Na direc¸a˜o vertical o movimento e´ uniformemente retardado e a expressa˜o da componente da
velocidade segundo o eixo dos z, vz(t), obedece a` equac¸a˜o (2.6) e temos:
vz(t) = v0 sin θ − gt (2.31)
onde a = −g, se se definir como positivo o sentido debaixo para cima.
Usando as relac¸o˜es (2.5) e (2.8), o vetor posic¸a˜o ~r = x(t)~ex + z(t)~ez tem as seguintes
componentes:
x(t) = v0xt = v0t cos θ (2.32)
e
z(t) = v0t sin θ − 1
2
gt2. (2.33)
Mecaˆnica 15
O proje´til sai do canha˜o com uma velocidade inicial v0 sin θ, dirigida debaixo para cima. A`
medida que sobe, a acelerac¸a˜o da gravidade atua sobre ele, de cima para baixo, de forma a
reduzir a velocidade segundo o eixo dos z, vz(t). Quando vz(t) e´ nula o proje´til na˜o pode subir
mais. Nesse instante o proje´til atingiu a altura ma´xima. Podemos calcular a altura ma´xima
calculando o tempo, ts em que a velocidade segundo o eixo dos z se torna nula:
vz(t) = 0⇒ ts = v0 sin θ
g
(2.34)
Substituindo na expressa˜o de z (2.33), a altura ma´xima e´
H =
v20 sin
2 θ
2g
(2.35)
Como o tempo de subida e´ igual ao tempo de descida, a distaˆncia ma´xima percorrida na direc¸a˜o
horizontal, R, obte´m-se substituindo 2ts na expressa˜o dos x (2.32). Temos:
R = v20
2 sin θ cos θ
g
=
v20
g
sin 2θ (2.36)
Como o valor ma´ximo do seno e´, quando θ = 90◦, o alcance ma´ximo do canha˜o e´ atingido
quando θ = 45◦. Desta forma, Galileu determinou qual a orientac¸a˜o o´tima do canha˜o para
atingir o inimigo da maior distaˆncia poss´ıvel.
Note-se que a substituic¸a˜o de 2ts na expressa˜o dos x (2.32), para determinar R, so´ faz
sentido quando a para´bola descrita pela trajeto´ria do movimento e´ sime´trica, i.e., quando a
altura de disparo do proje´til, z0, e´ a mesma que a altura onde R e´ determinada. No caso
analizado z0 = 0 mas se z0 6= 0 enta˜o a equac¸a˜o 2.33 tomara´ a forma
z(t) = z0 + v0t sin θ − 1
2
gt2 . (2.37)
Como o alcance ma´ximo verifica-se em z = 0, o tempo de alcance ma´ximo, tR, determina-se,
neste caso, igualando a equac¸a˜o anterior a 0 e calculando os zeros da equac¸a˜o quadra´tica obtida.
Das duas soluc¸o˜es obtidas, tR1 e tR2, deve escolher-se a positiva e descartar-se a negativa, pois
carece de sentido f´ısico.
2.3.2 Movimento circular uniforme
Um outro caso de movimento e´ aquele em que a trajeto´ria e´ circular. Sendo r o raio da
circunfereˆncia, o vetor posic¸a˜o ~r pode escrever-se:
~r = r cos θ ~ex + r sin θ ~ey (2.38)
onde θ e´ o aˆngulo que o vetor posic¸a˜o faz com o eixo dos x. Como r, o raio do c´ırculo, e´ uma
constante, a posic¸a˜o de um objeto sujeito a um movimento circular fica completamente definida
desde que o aˆngulo θ seja bem conhecido.
Mecaˆnica 16
Vamos primeiro estudar o movimento circular uniforme no qual a velocidade angular e´
constante. Se for ∆θ o aˆngulo, em radianos, descrito num intervalo de tempo ∆t, a velocidade
angular ω pode escrever-se:
ω =
∆θ
∆t
(2.39)
Note que o radiano e´ uma quantidade que na˜o tem dimenso˜es de espac¸o, tempo ou massa, ja´
que os aˆngulos sa˜o definidos pela raza˜o entre dois comprimentos: o do arco de circunfereˆncia
que o aˆngulo subentende pelo raio da circunfereˆncia. Assim, a dimensa˜o da velocidade angular
e´ [ω] = T−1, ou seja, e´ uma frequeˆncia. No sistema SI, a unidade f´ısica da velocidade angular
e´
o s−1 (o que tambe´m se pode escrever rad/s).
O movimento circular e´ um movimento perio´dico e o per´ıodo τ e´ o tempo de uma revoluc¸a˜o
completa, ou seja e´ o tempo que demora a fazer um aˆngulo de 2pi. Temos enta˜o:
ω =
2pi
τ
, τ =
2pi
ω
(2.40)
O per´ıodo e a velocidade angular sa˜o pois inversamente proporcionais, quanto maior a veloci-
dade angular, menor o per´ıodo.
A velocidade do corpo sujeito a um movimento circular e´ ainda a derivada em ordem ao
tempo do vetor posic¸a˜o. Temos enta˜o:
~v =
d~r
dt
=
(
−r sin θ dθ
dt
)
~ex +
(
r cos θ
dθ
dt
)
~ey = ω (−r sin θ ~ex + r cos θ ~ey) (2.41)
E´ fa´cil ver que este vetor e´ perpendicular ao vetor de posic¸a˜o (produto interno com vetor de
posic¸a˜o e´ nulo) e tangente a` circunfereˆncia em cada ponto, dirigido no sentido do movimento.
Em mo´dulo, temos:
|~v| = |ω (−r sin θ ~ex + r cos θ ~ey) | = ωr (2.42)
Esta e´ enta˜o a relac¸a˜o entre a velocidade angular ω e a velocidade linear v.
Embora o valor absoluto da velocidade linear seja constante (e dado pela expressa˜o acima),
a direc¸a˜o da velocidade linear na˜o e´ constante. A direc¸a˜o da velocidade e´ segundo a tangente
a` trajeto´ria e esta direc¸a˜o varia com o tempo. Mas se a direc¸a˜o varia, enta˜o tem de haver uma
acelerac¸a˜o. A acelerac¸a˜o pode fazer variar na˜o so´ a intensidade da velocidade, como no mo-
vimento uniformemente acelerado que estuda´mos antes, mas tambe´m a direc¸a˜o da velocidade.
No movimento circular uniforme, em que a intensidade da velocidade linear e´ constante, a u´nica
ac¸a˜o da acelerac¸a˜o e´ mudar a direc¸a˜o da velocidade. Por definic¸a˜o, essa acelerac¸a˜o e´:
~a =
d~v
dt
= ω
[
−r cos θ dθ
dt
~ex − r sin θ dθ
dt
~ey
]
= −ω2~r (2.43)
E´ fa´cil ver que a direc¸a˜o desta acelerac¸a˜o e´ segundo a direc¸a˜o do vetor de posic¸a˜o, mas no sentido
inverso, dirigida para o centro da circunfereˆncia. Por isso chama-se a esta acelerac¸a˜o acelerac¸a˜o
Mecaˆnica 17
centr´ıpeta. E´ pois esta acelerac¸a˜o centr´ıpeta que faz variar a direc¸a˜o do vetor velocidade no
movimento circular uniforme. Em mo´dulo temos:
|~ac| = ω2|~r| (2.44)
e, tendo em conta a relac¸a˜o (2.42), obtemos:
ac = ω
2r =
v2
r
(2.45)
Como tanto v como r sa˜o constantes, ac e´ tambe´m constante no movimento circular uniforme.
Para exemplificar o uso da expresso˜es obtidas para o movimento circular, consideremos o
caso em que lanc¸amos um objeto com uma certa componente horizontal da velocidade, de uma
altura h = 160 km, acima da superf´ıcie da Terra (ver figura 2.3). Desprezando o efeito da
fricc¸a˜o, o objeto caira´ para a Terra, devido a` gravidade, mantendo a sua velocidade horizontal
constante (a velocidade vertical vai aumentando, proporcionalmente ao tempo). Se o mo´dulo
de ~v for pequeno, o objeto cai para a Terra, num certo ponto a (o nosso R, calculado antes
na Eq. (2.36)). A` medida que o mo´dulo de ~v aumenta, a distaˆncia percorrida na horizontal
aumenta. Eventualmente, quando ~v for suficientemente grande, o objeto vai ‘cair’ numa o´rbita
a` volta da Terra, sem nunca a tocar. A altura h na˜o diminui, mantendo-se constante. O objeto
tornou-se um sate´lite, a rodar a` volta da Terra. Vamos calcular a velocidade necessa´ria para
que isto acontec¸a. Seja RT o raio da Terra (RT = 6,38 × 106 m), pelo que o raio da o´rbita
desejada e´ r = RT + h = 6,54 × 106 m. A relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o centr´ıpeta e a velocidade
necessa´ria para manter o movimento circular e´ :
ac =
v2
r
(2.46)
Agora a acelerac¸a˜o da sate´lite e´ igual a` acelerac¸a˜o da gravidade a` altura h acima da superf´ıcie
da Terra, isto e´, a` distaˆncia r do centro da Terra, g(r). Portanto:
ac = g(r) =
v2
r
(2.47)
Como veremos na secc¸a˜o 2.4.1, g(r) e´ inversamente proporcional ao quadrado de r. Sabendo
que a acelerac¸a˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra e´ igual a g(RT ) = g ≈ 9,80 m/s2, obtemos
g(r) = g
R2T
r2
= 9,326 m/s2. (2.48)
Substituindo g(r), da expressa˜o anterior, em (2.47) e resolvendo a expressa˜o, em ordem a v,
obtemos:
v =
√
g(r)r ≈ 7810 m/s = 28,1 km/h. (2.49)
O per´ıodo deste movimento circular e´:
τ =
2pi
ω
=
2pir
v
≈ 5261 s = 87,7 min. (2.50)
Mecaˆnica 18
Figura 2.3: O´rbita de um sate´lite.
Ou seja, um sate´lite numa o´rbita circular, a uma altura de 160 km, leva mais ou menos uma
hora e meia a fazer a volta da Terra. Muitos dos sate´lites artificiais, que teˆm sido lanc¸ados nos
u´ltimos anos, esta˜o colocados em o´rbitas semelhantes a esta.
2.3.3 Movimento circular variado.
No movimento circular uniformemente variado a velocidade angular ω(t) na˜o e´ constante. Neste
caso podemos defini-la de modo mais geral como a taxa de rotac¸o˜es por unidade de tempo:
ω(t) =
dθ
dt
. (2.51)
Tambe´m a velocidade linear ~v na˜o e´ constante mas a relac¸a˜o entre o mo´dulo desta v(t) = |~v|
e a velocidade angular ω(t) e´ ainda da mesma forma que (2.42): v = ωr. Por outro lado, a
acelerac¸a˜o do movimento circular acelerado e´ diferente de (2.43). Neste caso temos:
~a =
d~v
dt
= −ω2 ~r + α (−r sin θ~ex + r cos θ ~ey) = ~ac + ~at (2.52)
onde:
α =
dω
dt
(2.53)
e´ a acelerac¸a˜o angular. ~at tem a mesma direc¸a˜o que o vetor velocidade, e´ pois um vetor tangente
a` circunfereˆncia em cada ponto, pelo que se chama acelerac¸a˜o tangencial. Em mo´dulo temos a
seguinte relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o tangencial e a acelerac¸a˜o angular:
|~at| = α r (2.54)
Mecaˆnica 19
Figura 2.4: Direc¸a˜o das acelerac¸o˜es centr´ıpeta e tangencial. Neste caso, como os vetores ~ac e ~v
teˆm o mesmo sentido, trata-se de um movimento circular acelerado.
equac¸a˜o semelhante a` equac¸a˜o que relaciona a velocidade linear com a velocidade angular
(2.42). Enquanto a acelerac¸a˜o centr´ıpeta e´ responsa´vel pela variac¸a˜o da direc¸a˜o do movimento
a acelerac¸a˜o tangencial e´ responsa´vel pela variac¸a˜o da intensidade da velocidade:
d|~v|
dt
=
d (ωr)
dt
= αr = |~at| (2.55)
Sendo ~a a acelerac¸a˜o total (ver figura 2.4) podemos decompoˆ-la numa componente segundo
o raio, para dentro da circunfereˆncia (a acelerac¸a˜o centr´ıpeta) e numa componente ortogonal a
essa, a acelerac¸a˜o tangencial. O mo´dulo da acelerac¸a˜o total e´:
a = |~a| =
√
a2c + a
2
t (2.56)
Se no movimento circular a acelerac¸a˜o angular for constante, este denomina-se movimento
circular uniformemente variado. Neste caso podem obter-se relac¸o˜es entre o aˆngulo θ, a velo-
cidade angular ω e a acelerac¸a˜o angular α semelhantes a`s obtidas para x, v e a no movimento
uniformemente acelerado. Se num tempo inicial θ0 for o aˆngulo inicial e ω0 a velocidade angular
inicial, tem-se que:
α = const (2.57)
ω = ω0 + αt (2.58)
θ = θ0 + ω0t+
1
2
αt2 (2.59)
Mecaˆnica 20
2.4 Dinaˆmica
Ate´ aqui temos estudado diferentes movimentos sem falar das suas causas. As causas do movi-
mento sa˜o as forc¸as. A dinaˆmica e´ a a´rea da Mecaˆnica que estuda as forc¸as e o seu efeito sobre
os objetos. Esta cieˆncia comec¸ou a ser desenvolvida ha´ 300 anos, por Newton (1642-1727) e
continua a ser aplicada aos movimentos de massas que na˜o sejam demasiado pequenas, ou a
massas que na˜o se desloquem demasiado depressa (em comparac¸a˜o com a velocidade da luz).
(Os outros casos teˆm que ser tratados com Mecaˆnica Quaˆntica e com a Teoria da Relatividade,
respetivamente).
A dinaˆmica de Newton esta´ condensada em treˆs “leis”:
1a Lei de Newton (lei da Ine´rcia)
Na auseˆncia de forc¸as, um corpo na˜o muda o seu estado de repouso ou de movimento
uniforme e retil´ıneo.
2a Lei de Newton (lei fundamental da Dinaˆmica)
A resultante ~Ftot das forc¸as aplicadas a um corpo de massa m produz nele uma acelerac¸a˜o
~a tal que:
~Ftot = m~a. (2.60)
3a Lei de Newton (Lei da igualdade da ac¸a˜o e recc¸a˜o)
Quando um corpo exerce uma forc¸a sobre um segundo
corpo, o segundo corpo exerce
simultaneamente uma forc¸a igual em magnitude e oposta em direc¸a˜o sobre o primeiro
corpo:
~F12 = −~F21 (2.61)
A primeira lei e´ chamada lei da ine´rcia porque lida com a resisteˆncia a` mudanc¸a de estado
de movimento. Diz que na auseˆncia de forc¸as um corpo ou esta´ em repouso ou move-se segundo
um movimento uniforme e retil´ıneo. Portanto, neste caso aplicam-se as leis do movimento uni-
forme, que vimos anteriormente, isto e´, a acelerac¸a˜o e´ nula, a velocidade e´ constante e a posic¸a˜o
~r(t) = ~r0 +~vt e´ uma func¸a˜o linear do tempo. Um movimento so´ tem significado quando medido
em relac¸a˜o a um referencial e aos referenciais que se movem com velocidades constantes uns em
relac¸a˜o aos outros chama-se referenciais de ine´rcia. Newton estava convencido da existeˆncia
de um referencial absoluto, dado pelas estrelas fixas. Sabe-se agora que estas estrelas distantes
se movem, pelo que a identificac¸a˜o de um referencial de ine´rcia na˜o e´ ta˜o simples como pode
parecer. Na pra´tica, a Terra pode constituir um referencial “absoluto” para a maior parte dos
movimentos de corpos a` sua superf´ıcie e todos os corpos que se movem a velocidade constante
uns em relac¸a˜o aos outros sobre a Terra, sa˜o referenciais de ine´rcia.
A segunda lei e´ a lei fundamental da dinaˆmica. Ela relaciona os conceitos dinaˆmicos de
forc¸a e massa com o conceito cine´tico de acelerac¸a˜o. Podemos tambe´m escreveˆ-la em termos
Mecaˆnica 21
de uma outra varia´vel, a quantidade de movimento (ou momento linear), ~p = m~v, e fica:
~Ftot =
d~p
dt
(2.62)
Por si so´, a segunda lei na˜o permite uma definic¸a˜o independente da massa e da forc¸a. A
terceira lei vai permitir fazer essa distinc¸a˜o. Pela terceira lei de Newton (2.61) temos:
m2~a2 = −m1~a1 ⇒ m2|~a2| = m1|~a1| (2.63)
e
m2 =
|~a1|
|~a2| m1 (2.64)
Uma vez definida a massa e sendo conhecida a acelerac¸a˜o, podemos usar a lei fundamental da
dinaˆmica para fazer uma determinac¸a˜o precisa da forc¸a.
As dimenso˜es da forc¸a sa˜o as da massa vezes as da acelerac¸a˜o: [F] = [M][L][T]−2 ou seja,
no sistema SI, a sua unidade e´ kg m/s2. A esta unidade composta chama-se tambe´m Newton
ou, abreviadamente, N. 1 N e´ a forc¸a que aplicada a uma massa de 1 kg imprime a esta uma
acelerac¸a˜o de 1 m/s2.
2.4.1 A Forc¸a Gravitacional
Todos no´s vivemos sob a ac¸a˜o do campo grav´ıtico da Terra. Ja´ tivemos oportunidade de
fazer refereˆncia a efeitos desse campo grav´ıtico, quando fala´mos do movimento uniformemente
acelerado. Mas na˜o fala´mos da natureza da forc¸a que gera a acelerac¸a˜o gravitacional. Trata-se
de uma forc¸a de atrac¸a˜o entre dois objetos e e´ proporcional a` massa desses objetos, inversamente
proporcional ao quadrado da distaˆncia entre eles e com uma direc¸a˜o eˆr = ~r/|~r|, em que o vetor
~r e´ a posic¸a˜o do objeto 2 relativamente ao objeto 1. Em fo´rmula, a forc¸a gravitacional que o
objeto 1 exerce sobre objeto 2 e´:
~FG = −G m1m2
r2
eˆr (2.65)
em que o sinal negativo indica que a forc¸a e´ sempre atrativa.1 G e´ chamada a constante gravita-
cional universal. Esta constante foi medida pela primeira vez por Henry Cavendish (1731–1810)
em 1798. A ideia foi medir a forc¸a de atrac¸a˜o entre objetos de massa conhecida, usando um
peˆndulo de torc¸a˜o. Surpreendentemente, valor obtido enta˜o, difere em apenas 1 % do valor
atual, G ≈ 6,674× 10−11 N.m2/kg2. Pela terceira lei de Newton, a forc¸a que o objeto 2 exerce
sobre objeto 1, e´ igual e oposto a` forc¸a dada pela eq. (2.65).
Uma das maiores descobertas de Newton foi a unificac¸a˜o do movimento dos corpos a` su-
perf´ıcie da Terra, com os movimentos dos corpos celestes. A constante de gravitac¸a˜o aplica-se
na˜o so´ a` atrac¸a˜o que a Terra exerce sobre os outros corpos, como a` atrac¸a˜o que qualquer massa
1Para objetos grandes a posic¸a˜o na˜o e´ bem definida, pelo que na˜o podemos diretamente utilizar esta fo´rmula.
No entanto, e´ poss´ıvel mostrar que para objetos esfe´ricos, mesmo grandes, a fo´rmula 2.65 se aplica se utilizarmos
as posic¸o˜es dos seus centros para calcular a distaˆncia r.
Mecaˆnica 22
no Universo exerce sobre outra massa. Trata-se de uma constante verdadeiramente universal.
Uma estranha coincideˆncia, muito notada por Einstein, e´ o facto das massas que aparecem
nesta fo´rmula serem as mesmas que aparecem na segunda lei de Newton. Enquanto a massa
inercial, que aparece na segunda lei de Newton, Eq. (2.60), tem a ver com a resisteˆncia ao
movimento, a massa gravitacional, que aparece na lei da gravitac¸a˜o, Eq. (2.65), tem a ver com
a atrac¸a˜o entre os corpos.
Considere o caso em que a massa m1 e´ a da Terra MT e m2 a massa m de um corpo, que se
encontra a` distancia r do centro da Terra. Podemos reescrever a lei da gravitac¸a˜o, Eq. (2.65),
sob a forma seguinte:
~FG = −mg(r)eˆr (2.66)
em que
g(r) = G
MT
r2
(2.67)
e´ a acelerac¸a˜o da gravidade, a` distaˆncia r do centro da Terra (que ja´ introduz´ımos em (2.48)).
Nesta expressa˜o podemos constatar claramente que esta acelerac¸a˜o na˜o depende da massa m
do corpo sobre o qual atua a forc¸a grav´ıtica da Terra, como ja´ t´ınhamos antes referido na
secc¸a˜o 2.2.4. Para objetos perto do centro da Terra temos r = RT ≈ 6380 km, e g(RT ) = g ≈
9,80 m/s2. A massa da Terra MT pode obter-se a partir da expressa˜o (2.48): MT = gR
2
T/G.
Substituindo o valor me´dio da acelerac¸a˜o da gravidade, o raio da Terra e o valor da constante
gravitacional, obte´m-se
MT =
(9,8 m/s2)× (6,38× 106 m)2
6,67× 10−11 m3/kg.s2 = 5,98× 10
24 kg.
A massa da Lua, calculada de forma ana´loga, e´ 7,35× 1022 kg.
2.4.2 Conservac¸a˜o do Momento Linear
Da 2a lei de Newton veˆ-se que o efeito de uma forc¸a sobre um objeto e´ mudar a quantidade de
movimento desse objeto. Por outro lado, devido a` 3a lei de Newton, a soma de todas as forc¸as
internas entre os pontos materiais que conformam um dado corpo anulam-se. Este facto tem
uma consequeˆncia muito importante. De acordo com a 2a lei de Newton (equac¸a˜o 2.62), se a
soma das forc¸as externas que atuam num sistema for nula o momento linear total do sistema
conserva-se, i.e,
d(~p1 + ~p2 + .....+ ~pn)
dt
= 0 (2.68)
e portanto
~p1 + ~p2 + .....+ ~pn = const (2.69)
Este e´ o Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Quantidade de Movimento.
Mecaˆnica 23
Aplicac¸o˜es
Para ilustrar de forma simples a conservac¸a˜o do momento linear, imagine o caso de um
ciclista de massa M , que conduz uma bicicleta de massa m, a` velocidade constante Vx, hori-
zontalmente e em linha reta. Note que, o fato de Vx ser constante, implica que o efeito das
forc¸as de atrito do ar e dos mecanismos da bicicleta sa˜o compensados pela forc¸a muscular do
ciclista. Por outras palavras, o somato´rio destas forc¸as e´ zero. Por outro lado, a forc¸a da
gravidade e a forc¸a de reac¸a˜o normal do cha˜o sobre a bicicleta, anulam-se. Nesta condic¸o˜es,
se repentinamente o ciclista saltar verticalmente da bicicleta, atingindo o cha˜o com velocidade
horizontal nula (assuma que depois do salto a bicicleta continua a deslocar-se horizontalmente
em linha reta, com velocidade vx, mantendo o equil´ıbrio), enta˜o, de acordo com o princ´ıpio de
conservac¸a˜o acima enunciado, o momento linear na direc¸a˜o do movimento (x) conserva-se, i.e.
(M +m)Vx = mvx (2.70)
e devido a isto, o CM do sistema ciclista - bicicleta continua a sua trajeto´ria, na direc¸a˜o hori-
zontal, com o mesmo movimento retil´ıneo uniforme que tinha antes do ciclista saltar.
2.4.3 Centro de Massa
Ate´ aqui temos considerado objetos cuja massa se pode considerar concentrada num ponto
(massas pontuais). As distaˆncias entre esses objetos sa˜o iguais a`s distaˆncias entre esses pontos
e as posic¸o˜es sa˜o os vetores de um ponto para outro. Quando um objeto tem uma dimensa˜o
finita, a sua massa na˜o esta´ concentrada num ponto, mas sim distribu´ıda por volumes, que
podem ser homoge´neos ou na˜o. A Terra, por exemplo, na˜o e´ homoge´nea, tem um centro muito
denso e a` superf´ıcie e´ constitu´ıda por uma grande massa de a´gua, intercalada por massas de
terra, os continentes. Mas, em primeira aproximac¸a˜o, principalmente quando consideramos os
seus efeitos grav´ıticos a grandes distaˆncias, podemos considera´-la como uma esfera homoge´nea
e podemos descrever a sua ac¸a˜o sobre outros objetos em termos de uma massa pontual con-
centrada no chamado centro de massa. Quando o sistema e´ constitu´ıdo por um conjunto de
massas, distribu´ıdas por va´rios pontos ou regio˜es, podemos descrever os movimentos do sistema
em termos dos movimentos do centro de massa e dos movimentos das diversas massas em torno
do centro de massa. Se o objeto e´ r´ıgido, as posic¸o˜es das massas em relac¸a˜o ao centro de massa
sa˜o fixas e os movimentos do sistema dependem apenas das coordenadas do centro de massa,
~rCM :
~rCM =
m1 ~r1 +m2 ~r2 +m3 ~r3 + · · ·+mN ~rN
m1 +m2 +m3 + · · ·+mN (2.71)
Aplicado a derivada respetivamente ao tempo d/dt aos dois membros da eq. 2.71 e multi-
plicando pela massa total M = m1 +m2 + · · ·+mN obtemos
M
d~rCM
dt
= M~vCM = m1~v1 +m2~v2 + · · ·+mN~vN
= ~p1 + ~p2 + · · · ~pN
= ~ptotal . (2.72)
Mecaˆnica 24
No caso em que as massas formam um sistema isolado, o momento total sera´ conservado (ver eq.
(2.69)). Logo, vimos da eq. (2.72) que, neste caso, a velocidade do centro de massa do sistema
~vCM sera´ constante. Ou seja, o centro de massa do sistema efetua um movimento uniforme.
Se o sistema na˜o for isolado, havera´ forc¸as externas atuando nas massas (ale´m das forc¸as
internas). Aplicando mais uma derivada aos membros da eq. (2.72), fica
M
d~vCM
dt
= M~aCM =
d~p1
dt
+
d~p2
dt
+ · · · d~pN
dt
= ~F1,ext + ~F2,ext + · · · ~FN,ext +
∑
i,j
~Fij
=
N∑
i=1
~F1,ext . (2.73)
Note que a soma das forc¸as internas ~Fij cancela por causa da terceira lei de Newton. Concluimos
que a segunda lei de Newton aplica-se para sistemas de part´ıculas (por exemplo, um corpo
extenso), considerando a massa total, a acelac¸a˜o do centro de massa e a forc¸a externa total que
atua sobre o sistema!
2.4.4 Movimentos de rotac¸a˜o
Num movimento de translac¸a˜o puro todos os pontos deslocam-se com a velocidade do CM.
Ja´ o mesmo na˜o se pode dizer do movimento de rotac¸a˜o do denominado corpo r´ıgido. Um
corpo r´ıgido ideal e´ um corpo cujas partes se mante´m a distaˆncias fixas umas das outras. O
estado de movimento de um corpo r´ıgido, i.e., as velocidade de todos os seus pontos, pode ser
determinado se conhecermos a velocidade de um (qualquer) dos seus pontos e o seu vetor de
velocidade angular ~ω. Por definic¸a˜o, a velocidade angular ~ω e´ um vetor com direc¸a˜o paralela
ao eixo de rotac¸a˜o, sentido dado pela regra da ma˜o direita e mo´dulo igual a` velocidade angular
dos pontos do corpo r´ıgido em torno do eixo. Dizemos que um corpo r´ıgido tem movimento
de rotac¸a˜o se se poder definir um eixo, O, constitu´ıdo por pontos que se manteˆm fixos durante
esse movimento. Todos os outros pontos i do corpo, descrevem trajeto´rias circulares em torno
desse eixo. O momento angular de cada ponto i e´ definido como
~Li = ~ri × ~pi = ~ri ×mi~vi (2.74)
onde ~ri e´ um vetor, dirigido de O para o ponto i, e ~p e´ o momento linear do corpo (~pi = ~ri×mi~vi).
Como sabemos, a velocidade ~vi e´ tangente a` trajeto´ria, descrita pelo movimento circular do
ponto i. Portanto ~Li e´ um vetor perpendicular a ~ri e a ~vi, de intensidade igual |~ri||~pi| sin θ,
onde θ e´ o aˆngulo entre ~ri e ~pi. Se ~ri e ~pi forem colineares, o momento angular sera´ nulo.
O momento angular ~L de um corpo r´ıgido, em torno dum eixo O, e´ dado pela soma dos
momentos angulares de todos os seus pontos, i.e,
~L =
N∑
i=1
~Li (2.75)
Mecaˆnica 25
Pode-se provar que ~L tem uma componente perpendicular ~L⊥ e outra paralela ~L‖ a O e que
para cada corpo r´ıgido existem sempre treˆs eixos ortogonais entre si, tais que se o corpo rodar
em torno de qualquer um deles, o seu momento angular so´ tera´ a componente paralela ( ~L‖), a
este eixo (a componente ~L⊥ sera´ nula). Estes eixos denominam-se eixos principais de inercia ou
eixos de simetria. Neste caso o momento angular pode ser determinado atrave´s da expressa˜o
~L = ~L‖ = I~ω (2.76)
em que I denomina-se o momento de inercia do corpo, em relac¸a˜o ao dado eixo de simetria,
I =
N∑
i=1
mi r
2
i (2.77)
Como se pode ver, I depende da massa e das dimenso˜es do corpo r´ıgido. Para os corpos r´ıgidos
reais N e´ muito grande e as distaˆncias entre os pontos materiais vizinhos que os constituem,
muito pequenas. Nesse caso, o somato´rio presente na equac¸a˜o anterior, e´ substitu´ıdo por um
integral. Para corpos, com algum tipo de simetria (por exemplo uma haste fina, um cilindro,
um anel, uma esfera, etc.), existem tabelas com os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o a eixos
sime´tricos de rotac¸a˜o que passam pelo centro de massa do corpo (ICM).
E´ importante referir que, uma diferenc¸a muito significativa entre o centro de massa (2.71) e
o momento de ine´rcia (2.77) e´ que, enquanto o primeiro na˜o depende da origem do referencial,
o momento de ine´rcia, tal como o momento angular, sa˜o definidos sempre em relac¸a˜o a um eixo
de rotac¸a˜o e variam em func¸a˜o da posic¸a˜o deste. Assim, o momento de ine´rcia de um corpo
na˜o e´ apenas func¸a˜o da distribuic¸a˜o de massa do corpo mas tambe´m do eixo em torno do qual
o corpo roda.
Talvez tenham ouvido a famosa frase de Arquimedes Deˆ-me uma alavanca e um ponto de
apoio e levantarei o mundo 1. Neste caso, Arquimedes referia-se ao conceito de momento de
forc¸a. Quando aplicamos uma forc¸a a uma porta, esta roda em torno do seu eixo, que esta´ fixo
a` parede. Todos temos uma noc¸a˜o intuitiva de que o efeito da forc¸a e´ tanto maior quanto mais
afastado do eixo for o ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a. A quantidade que mede o efeito rotacional
de uma forc¸a e´ o momento da forc¸a. Define-se momento, ~M , de uma forc¸a, ~F , em torno de um
ponto, O, como:
~M = ~r × ~F (2.78)
onde ~r e´ o vetor dirigido de O para o ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a. Trata-se de um vetor
perpendicular ao plano formado por ~r e ~F e de intensidade igual a |~r||~F | sin θ, sendo θ o
aˆngulo entre ~r e ~F . Se ~r e ~F sa˜o colineares, o momento da forc¸a e´ nulo. Note-se que, o
facto da resultante das forc¸as atuantes num corpo ser nula, na˜o implica que o momento de
forc¸a resultante seja nulo. Um caso bem conhecido e´ o do bina´rio de forc¸as, que e´ um sistema
constitu´ıdo por duas forc¸as com a mesma intensidade, mesma direc¸a˜o e sentidos opostos, cujas
1Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.) foi um matema´tico, f´ısico, engenheiro, inventor, e astro´nomo
grego.
Mecaˆnica 26
linhas de ac¸a˜o esta˜o a uma certa distaˆncia d. Nesse caso, o somato´rio das forc¸as e´ nulo mas o
dos momentos na˜o o e´.
Por simplicidade, a ana´lise a seguir sera´ feita para um ponto material, de massa m, que
executa um movimento circular uniforme, em torno de um eixo. Neste caso omitiremos o
sub´ındice i assumindo que i = 1. Podemos deduzir para este movimento uma lei de movimento
semelhante a` segunda lei de Newton:
d~L
dt
=
d(~r × ~p)
dt
=
d~r
dt
× ~p+ ~r × d~p
dt
= ~r × ~f = ~M (2.79)
A equac¸a˜o anterior significa que o momento resultante, das forc¸as atuantes no PM, e´ igual a`
taxa de variac¸a˜o, no tempo, do momento angular. Sem entrar em detalhes, diremos que este
resultado e´ va´lido tambe´m para um sistema isolado, ou se o momento resultante das forc¸as
atuantes e´ nulo. Assim, de modo ana´logo a` Lei de Conservac¸a˜o do Momento Linear, enunciada
na secc¸a˜o 2.4.2, podemos agora enunciar o seguinte
Princ´ıpio de Conservac¸a˜o do Momento Angular:
Quando o momento resultante das forc¸as atuantes sobre um sistema e´ nulo, o momento
angular total
conserva-se:
~Ltot = const. (2.80)
Enquanto que a variac¸a˜o do momento linear de um corpo esta´ associada a` resultante das forc¸as
nele atuantes, a variac¸a˜o do seu momento angular esta´ associada ao momento resultante, das
forc¸as atuantes.
2.4.5 Forc¸as de Fricc¸a˜o.
Ate´ agora temos ignorado o efeito retardador da fricc¸a˜o. As leis que deduzimos sa˜o va´lidas para
movimentos em que estes efeitos se podem desprezar (por exemplo, movimentos no espac¸o ou
noutras formas de va´cuo ou sob ac¸a˜o de forc¸as muito maiores que as de fricc¸a˜o). Na auseˆncia
de fricc¸a˜o, uma gota de chuva, que ca´ısse de uma altura de 3000 m atingiria a superf´ıcie com
uma velocidade v =
√
2× 9,8 m/s2 × 3000 m ≈ 900 km/h. Os efeitos de uma pequena chuvada
seriam mais devastadores do que os efeitos de muitos tornados! Sabemos que na˜o e´ assim e a
raza˜o pela qual a chuva pode molhar sem causar grandes estragos e´ a fricc¸a˜o.
Sendo que o efeito da fricc¸a˜o e´ sempre o de retardar o movimento, podemos distinguir dois
tipos de fricc¸a˜o: fricc¸a˜o esta´tica e fricc¸a˜o cine´tica. A primeira manifesta-se entre superf´ıcies em
repouso e a segunda manifesta-se em superf´ıcies em movimento relativo. A seguir explicaremos
isto com mais detalhe.
Deve ter notado que quando empurra um corpo em repouso, sobre uma superf´ıcie rugosa,
e´ necessa´rio fazer um esforc¸o relativamente grande para iniciar o movimento mas que, ime-
diatamente a seguir, o esforc¸o necessa´rio para manter o movimento e´ menor. Para entender
porque isto acontece na figura 2.5 a) esta´ representado um corpo de massa m, colocado sobre
uma superf´ıcie horizontal. O mesmo esta´ inicialmente em repouso e sobre ele atua uma forc¸a
horizontal F , orientada para a direita. A forc¸a orientada para a esquerda, que impede o corpo
Mecaˆnica 27
Figura 2.5: O sentido da forc¸a de atrito, f , entre um corpo e a superf´ıcie e´ oposto ao da
forc¸a aplicada, F . A ampliac¸a˜o duma zona de contato, entre as duas superf´ıcies, mostra que o
contato ocorre apenas nalguns pontos. (a) A intensidade da forc¸a F e´ igual a` intensidade de fe
(o corpo permanece esta´tico). (b) A intensidade forc¸a F excede fc (o corpo acelera).
Figura 2.6: Gra´fico da forc¸a de fric¸a˜o, f , em func¸a˜o da forc¸a aplicada, F . Note que fe,max > fc.
Mecaˆnica 28
Figura 2.7: Coeficientes de atrito esta´tico e cine´tico para diferentes tipos de superf´ıcies em
contato.
de movimentar-se e´ a forc¸a de atrito, fe. O corpo permanece esta´tico porque fe=F e por isso,
fe denomina-se forc¸a de atrito esta´tico.
Se aumentarmos a intensidade da forc¸a F , como mostrado na figura 2.5 b), fe ira´ aumentar
mas na˜o indefinidamente. Isto ocorre porque as superf´ıcies em contato na˜o conseguem criar
uma forc¸a de atrito esta´tico, capaz de contrariar F . Portanto, existe um certo valor de F para
o qual a forc¸a de atrito esta´tico e´ ma´xima, fe,max (ver figura 2.6). Imediatamente depois de
atingir-se o valor de fe,max (F > fe,max) o corpo comec¸a a acelerar para a direita, verificando-se
enta˜o que a forc¸a de atrito medida e´ menor do que fe,max. Como o corpo esta´ em movimento
esta forc¸a denomina-se forc¸a de atrito cine´tico, fc. Se se verificar que F = fc enta˜o, o corpo
mover-se-a´ com velocidade constante. Se F > fc o corpo tera´ um movimento acelerado e se
F < fc o movimento do corpo sera´ retardado, ate´ este eventualmente parar.
Evideˆncias experimentais mostram que a forc¸a de atrito surge a partir do contacto das
protuberaˆncias das superf´ıcies em contato (em relac¸a˜o ao n´ıvel me´dio de cada superf´ıcie) na˜o
so´ mecaˆnica mas tambe´m qu´ımica e eletricamente. Tambe´m verifica-se experimentalmente que,
numa boa aproximac¸a˜o, fe,max e fc podem ser consideradas proporcionais a` forc¸a de reac¸a˜o
normal, N , neste caso, da superf´ıcie sobre o corpo em causa, i.e., fe,max = µeN e fc = µcN ,
em que µe e µc sa˜o os coeficientes de atrito esta´tico e cine´tico, respetivamente. Os valores
de µe e µc dependem da natureza das superf´ıcies em contato, verificando-se geralmente que
µe > µc. Tipicamente os valores de µe e µc oscilam entre 0,01 e 1,00, mas nalguns casos podem
ser maiores do que 1. Na tabela 2.7 mostram-se alguns valores de µe e µc, para diferentes tipos
de superf´ıcies em contato.
2.5 Trabalho e Energia
Quando uma forc¸a atua sobre um corpo, provocando o deslocamento desse corpo, dizemos
que essa forc¸a produziu trabalho. Por definic¸a˜o temos que o trabalho realizado por uma forc¸a
constante, ~F , aplicada a um objeto, provocando um deslocamento ∆~r, e´ o produto interno ou
Mecaˆnica 29
Figura 2.8: Os vetores da forc¸a e o deslocamento, e a componente da forc¸a paralela ao deslo-
camento.
produto escalar da forc¸a pelo deslocamento:
W = ~F ·∆~r = F ∆r cos θ = F‖∆r (2.81)
onde F = |~F |, ∆r = |∆~r|, θ e´ o aˆngulo entre a direc¸a˜o da forc¸a e a direc¸a˜o do deslocamento e
F‖ = F cos θ e´ a componente da forc¸a na direc¸a˜o do deslocamento (ver figura 2.8).
Podemos distinguir treˆs casos:
1. 0◦ ≤ θ < 90◦ ⇒ cos θ > 0 ⇒ F‖ > 0 e W > 0;
2. θ = 90◦ ⇒ cos θ = 0 ⇒ F‖ = 0 e W = 0;
3. 90◦ < θ ≤ 180◦ ⇒ cos θ < 0 ⇒ F‖ < 0 e W < 0.
Ou seja, se a forc¸a tem o mesmo sentido que o deslocamento, o trabalho e´ positivo; se o sentido
e´ contra´rio ao deslocamento, o trabalho e´ negativo. Uma forc¸a perpendicular ao deslocamento
na˜o realiza trabalho. A definic¸a˜o (2.81) tambe´m pode ser escrita em componentes:
W = ~F ·∆~r = Fx∆x+ Fy∆y + Fz∆z . (2.82)
Calculemos agora o trabalho efetuado pela forc¸a total (resultante) ~Ftot que atua sobre uma
massa pontual m, utilizando eq. (2.82):
Wtot = ~Ftot ·∆~r = Ftot,x∆x+ Ftot,y∆y + Ftot,z∆z (2.83)
Utilizando agora a segunda lei de Newton (2.60), podemos escrever:
Ftot,x∆x = max∆x =
m
2
(
v2f,x − v2i,x
)
. (2.84)
Aqui vi,x e´ a componente x da velocidade inicial ~vi, antes de a forc¸a ser aplicada, e vf,x e´ a
componente x da velocidade final ~vf . Para a segunda igualdade utiliza´mos a relac¸a˜o (2.14).
Substituindo as expresso˜es ana´logas, para Ftot,y∆y e Ftot,z∆z, na eq. (2.83) obtemos
Wtot =
m
2
(
(v2f,x + v
2
f,y + v
2
f,z)− (v2i,x + v2i,y + v2i,z)
)
=
1
2
mv2f −
1
2
mv2i
= EC,f − EC,i
= ∆EC , (2.85)
Mecaˆnica 30
em que introduzimos a quantidade EC =
1
2
mv2, a energia cine´tica do corpo.
Assim, podemos concluir que o trabalho total realizado sobre um corpo e´ igual a` variac¸a˜o
da energia cine´tica desse corpo. Este resultado, va´lido para qualquer forc¸a ou combinac¸a˜o de
forc¸as que atua sobre o corpo, denomina-se a teorema ou lei de trabalho-energia. Note que
A expressa˜o (2.81) aplica-se quando a forc¸a que atua no objeto e´ constante ao longo do
deslocamento ∆~r. A definic¸a˜o mais geral de trabalho, va´lida quando a forc¸a na˜o e´ constante,
e´:
W =
∫ f
i
~F · d~r (2.86)
em que o integral e´ calculado do ponto inicial ate´ o ponto final ao longo da trajeto´ria percorrida
pelo corpo.
Tomemos como exemplo o trabalho realizado pela forc¸a da gravidade. Para simplificar con-
sideramos uma regia˜o perto da superf´ıcie da Terra, de modo que esta forc¸a e´ aproximadamente
constante:
~Fg = −mgeˆz . (2.87)
O trabalho efectuado pela forc¸a ~Fg e´:
W~Fg =
~Fg ·∆~r = −mg∆z . (2.88)
Se o objeto esta´ em queda livre, ~Fg e´ a u´nica forc¸a que atua, pelo que W~Fg = Wtot. Neste caso
podemos combinar as eqs. (2.88) e (2.85), obtendo-se
∆EC = −mg∆z . (2.89)
Se o corpo cai de repouso de uma altura h para o cha˜o, temos vi = 0, zi = h e zf = 0, enta˜o
(3.30) da´
−1
2
mv2f = −mgh (2.90)
pelo que a velocidade final com a qual o corpo cai no cha˜o e´ vf =
√
2gh, de acordo com o
resultado (2.18), que ja´ t´ınhamos encontrado antes.
Voltando ao resultado (2.88), vimos que o trabalho efetuado pela forc¸a grav´ıtica depende
unicamente das posic¸o˜es inicial e final do corpo, e na˜o do caminho percorrido
pelo corpo para
ir de um ponto a outro. Se esta condic¸a˜o se verifica em todas as situac¸o˜es, diz-se que a forc¸a e´
conservativa. Definindo a grandeza
EP, ~Fg = mgz , (2.91)
a que chamamos energia potencial grav´ıtica, vemos da eq. (2.88) que o trabalho realizado pela
forc¸a da gravidade se pode escrever como menos a variac¸a˜o de EP, ~Fg entre os pontos inicial e
final:
WFg = −∆EP, ~Fg . (2.92)
De forma ideˆntica, e´ poss´ıvel definir uma expressa˜o para a energia potencial para qualquer
forc¸a conservativa ~Fc tal que o trabalho efetuada por esta satisfaz:
WFc = −∆EP . (2.93)
Mecaˆnica 31
onde EP representa a energia potencial do sistema.
Note que a definic¸a˜o (2.91) da energia potencial grav´ıtica depende da escolha da origem
das coordenadas. A origem tem z = 0, logo neste altura EP e´ nula. Teria sido perfeitamente
poss´ıvel fazer uma outra escolha de referencial, em que a origem corresponde a outro ponto
f´ısico. Neste referencial a definic¸a˜o da energia potencial na˜o coincide com a definic¸a˜o original.
De facto, podemos escolher a origem das coordenadas em qualquer altura que quisermos, e
temos claramente uma ambiguidade na definic¸a˜o do conceito de energia potencial. Felizmente,
esta ambiguidade na˜o traz quaisquer consequeˆncias f´ısicas, pois a u´nica expressa˜o que entra
sempre nos ca´lculos e´ a variac¸a˜o da energia potencial, tal como se verifica na eq. (2.92). A
altura de qualquer ponto f´ısico medida no referencial alternativo tera´ uma diferenc¸a constante
h0 com a mesma medida no referencial original. Assim, tambe´m nas definic¸o˜es das energias
potenciais para qualquer ponto f´ısico havera´ uma diferenc¸a constante para os dois referenciais.
No entanto, isto na˜o vai afetar a diferenc¸a entre as energias potencias de quaisquer par de
pontos f´ısicos. Esta ambiguidade na escolha do n´ıvel zero esta´ sempre presente na definic¸a˜o da
energia potencial para qualquer forc¸a conservativa. Na pra´tica sempre escolhemos a definic¸a˜o
mais conveniente.
Deve-se referir tambe´m que na˜o todas as forc¸as sa˜o conservativas. Um exemplo de forc¸as
na˜o conservativas sa˜o as forc¸as de fricc¸a˜o. Estas forc¸as na˜o esta˜o associadas a uma energia
potencial.
No caso mais geral em que ja´ na˜o estamos necessariamente perto da superf´ıcie da Terra, a
forc¸a grav´ıtica terrestre ja´ na˜o e´ constante, sendo dada pela eq. (2.65). Neste caso, o trabalho
efetuado e a expressa˜o para a energia potencial devem ser calculados atrave´s da fo´rmula (2.86).
Na˜o e´ dif´ıcil mostrar que a expressa˜o que se obte´m, para a energia potencial, e´:
EGP = G
mMT
r
(2.94)
Tanto o trabalho, como a energia potencial, como a energia cine´tica, sa˜o formas de energia
e teˆm as mesmas dimenso˜es. As dimenso˜es da energia sa˜o as da massa a multiplicar pelo qua-
drado da velocidade, ou seja, [E] = [M][L]2[T]−2. No sistema SI, a energia mede-se em Joule
que corresponde a 1 J = 1 kg.m2s−2.
2.5.1 O Princ´ıpio da Conservac¸a˜o da Energia.
Em F´ısica os princ´ıpios de conservac¸a˜o afirmam que alguma grandeza mensura´vel de um sis-
tema isolado mante´m-se constante durante a evoluc¸a˜o do sistema no tempo. Eles sa˜o usados
para analisar muitas situac¸o˜es. Ja´ vimos o princ´ıpio de conservac¸a˜o da quantidade de movi-
mento e o princ´ıpio de conservac¸a˜o do momento angular. Agora vamos ver um dos princ´ıpios
de conservac¸a˜o mais importantes, o princ´ıpio de conservac¸a˜o da energia.
Considere um corpo sujeito a uma forc¸a conservativa. Da secc¸a˜o anterior sabemos que a
esta forc¸a esta´ associada uma energia potencial, satisfazendo a relac¸a˜o (2.93). Se na˜o ha´ outra
forc¸a que efetua trabalho, o trabalho feito pela forc¸a conservativa e´ tambe´m igual ao trabalho
Mecaˆnica 32
total. Utilizando a lei de trabalho-energia (2.85) obtemos ∆EC = −∆EP , ou
EC,f − EC,i = EP,i − EC,f (2.95)
o que pode ser escrito como
EP,i + EC,i = EP,f + EC,f . (2.96)
Se definirmos a grandeza EM = EP + EC , a que se chama a energia mecaˆnica, vimos que
EM,i = EM,f ⇒ ∆EM = 0 , (2.97)
ou seja, a energia mecaˆnica do sistema e´ conservada durante a evoluc¸a˜o da situac¸a˜o inicial ate´
a` situac¸a˜o final.
No caso do movimento de um corpo causado pela forc¸a grav´ıtica, o princ´ıpio de conservac¸a˜o
da energia manifesta-se da forma seguinte: a` medida que a energia potencial grav´ıtica de um
corpo diminui, pelo facto de a altura a que o corpo se encontra diminuir, aumenta a energia
cine´tica do corpo, por forma a compensar a diminuic¸a˜o da energia potencial.
De forma geral, de acordo com este princ´ıpio, em qualquer processo f´ısico onde so´ atuem
forc¸as conservativas, a energia na˜o se perde, se uma forma de energia diminui, essa reduc¸a˜o e´
compensada pelo aumento de outra forma de energia. Este princ´ıpio e´ ta˜o sagrado que quando
parece que na˜o se verifica num processo qualquer desconfiamos que na˜o toma´mos em consi-
derac¸a˜o alguma outra forma de energia.
No caso de haver, ale´m da(s) forc¸a(s) conservativa(s), uma ou mais forc¸as na˜o-conservativas,
o trabalho total efectuado sobre o corpo sera´ igual ao trabalho −∆EP efetuado pela forc¸a con-
servativa mais o trabalho Wnc efetuado pelas forc¸as na˜o conservativas. Adaptando o argumento
acima e´ fa´cil verificar que a lei conservac¸a˜o de energia (2.97) se torna
∆EM = Wnc . (2.98)
Portanto, a variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho efetuado pelas forc¸as na˜o conser-
vativas.
Um exemplo t´ıpico de forc¸as na˜o conservativas sa˜o as forc¸as de fricc¸a˜o, a que chamamos
dissipativas. O trabalho feito pelas forc¸as dissipativas e´ sempre negativa, pelo que o efeito
destas forc¸as e´ sempre no sentido de diminuir a energia mecaˆnica do sistema.
Sera´ enta˜o afinal o princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia na˜o absoluto, existem excec¸o˜es ao
princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia? Na˜o. O efeito de forc¸as dissipativas e´ no sentido de
transformar uma parte da energia mecaˆnica do sistema em calor, um tipo de energia interna
que esta´ relacionada com o movimento aleato´rio das mole´culas do corpo e do ambiente, uma
coisa que na˜o e´ diretamente vis´ıvel na escala macrosco´pica, pois envolve somente o movimento
de mole´culas individuais. Se toma´ssemos em conta o movimento detalhado de todas estas
mole´culas, em vez de somente considerar o movimento macrosco´pico do corpo, pod´ıamos ve-
rificar que a energia mecaˆnica total de todas as mole´culas constituintes dos corpos envolvidos
no processo esta´ perfeitamente conservada. Quanto sabemos, no n´ıvel microsco´pico todas as
forc¸as fundamentais sa˜o conservativas e esta˜o relacionadas com alguma energia potencial.
Mecaˆnica 33
Aplicac¸a˜o
A escala de energia dos diferentes processos do universo varia entre 1052 J para a energia
da explosa˜o de um quasar e 7,0 × 10−20 J para a energia dos processos biolo´gicos. Os quasar
(quasi-stellar radio sources) na˜o sa˜o maiores que o nosso sistema solar mas emitem mais energia
do que gala´xias com centenas de bilio˜es de estrelas. Essa energia pode ser devida a` emissa˜o
a partir de um buraco negro que esteja a ser alimentado por ga´s na sua vizinhanc¸a. Os
processos biolo´gicos, por outro lado, funcionam com a energia que e´ libertada numa reacc¸a˜o
qu´ımica, a hidro´lise da mole´cula de adenosina trifosfato (ATP). E´ a energia libertada nesta
reac¸a˜o que permite processos como a contrac¸a˜o muscular, que correspondem a` transformac¸a˜o de
energia qu´ımica em energia mecaˆnica. Tambe´m a manutenc¸a˜o do ambiente qu´ımico apropriado
dentro das ce´lulas, a reparac¸a˜o do DNA na divisa˜o celular e a formac¸a˜o da estrutura das
prote´ınas sa˜o outros processos essenciais a` vida que dependem da libertac¸a˜o dessa quantidade
de energia, que e´ mı´nima quando comparada com outros processos f´ısicos microsco´picos. A
fissa˜o nuclear, por exemplo, envolve energias oito ordens de grandeza superior. Todos estes
processos correspondem a transformac¸o˜es de um tipo de energia noutro e obedecem ao princ´ıpio
de conservac¸a˜o da energia.
2.6 Coliso˜es
Uma vez que ja´ conhecemos os conceitos fundamentais sobre energia e a sua conservac¸a˜o, po-
demos tratar um caso particular da conservac¸a˜o do momento linear: as coliso˜es. Uma colisa˜o
carateriza-se por ser um processo de interac¸a˜o entre pontos materiais de um sistema com uma
durac¸a˜o muito curta e durante o qual atuam forc¸as relativamente grandes. Se o sistema estiver
isolado (i.e. se nele na˜o atuarem forc¸as externas) ou se a resultante das forc¸as externas atu-
antes no sistema for nula, enta˜o o momento linear do sistema conserva-se (e´ valida a equac¸a˜o
2.69). Por outro lado, mesmo que o sistema na˜o seja isolado, se as forc¸as internas forem muito
superiores a`s forc¸as externas, a igualdade (2.69) e´ aproximadamente va´lida e portanto, pode
considerar-se que tambe´m ha´ conservac¸a˜o do momento linear.
Figura 2.9: uma colisa˜o entre duas massas iguais com velocidades iniciais opostas.
Veja-se o exemplo de duas massas pontuais m1 e m2 que formam um sistema isolado.
Chamando a`s suas velocidades iniciais ~vi1 e ~vi2, respetivamente, se elas fizerem uma colisa˜o e´
Mecaˆnica 34
de esperar que tera˜o velocidades diferentes depois da colisa˜o ~vf1 e ~vf2. Sendo o momento total
do sistema conservado obtemos
m1~vi1 +m2~vi2 = m1~vf1 +m2~vf2 . (2.99)
Suponha que as massas forem iguais, m1 = m2 = m, e as velocidades iniciais opostas, ~vi2 = −~vi1.
Neste caso o momento total inicial sera´ nulo:
m~vi1 +m(−~vi1) = 0 . (2.100)
Pela conservac¸a˜o do momento o momento total depois da colisa˜o sera´ nulo tambe´m, o que
implica que
m~vf1 +m~vf2 = 0 ⇒ ~vf2 = −~vf1 . (2.101)
Ou seja, as massas movem-se tambe´m com velocidades opostas depois da colisa˜o.
Ale´m da equac¸a˜o de conservac¸a˜o (2.69), que e´ sempre va´lida em todos os sistemas isolados,
ha´ uma classe importantes de coliso˜es em que ha´ outra grandeza f´ısica importante, que tambe´m
se conserva. Durante uma colisa˜o ha´ transformac¸a˜o de energia cine´tica noutras formas de
energia (por exemplo em energia potencial mecaˆnica de deformac¸a˜o dos corpos ou em forma
de calor libertado). Uma colisa˜o diz-se ela´stica se a energia cine´tica total do sistema (soma
das energias cine´ticas dos corpos envolvidos) antes e depois da colisa˜o tem o mesmo valor. Por
exemplo durante o choque, duas bolas de te´nis deformam-se, transformando toda a sua energia
cine´tica em energia potencial ela´stica de deformac¸a˜o das bolas. Seguidamente (desprezando
o atrito e assumindo que o sistema e´ conservativo), as bolas separar-se-a˜o e toda a energia
potencial transformar-se-a´ em energia cine´tica inicial total. Ou seja, verifica-se a conservac¸a˜o
da energia cine´tica entre os estados inicial e final do processo. Uma colisa˜o deste tipo denomina-
se colisa˜o ela´stica.
No exemplo acima, a energia cine´tica total inicial e´ 2 × 1
2
mv2i1 = mv
2
i1, a energia cine´tica
total final mv2f1. Logo, a colisa˜o e´ ela´stica se vf1 = vi1, isto e´, o mo´dulo da velocidade final das
massas e´ igual ao mo´dulo da velocidade final.
E´ importante referir que em muitas coliso˜es a energia cine´tica total na˜o se conserva, ou
conserva-se aproximadamente. Se as forc¸as internas forem na˜o conservativas e realizarem tra-
balho durante a colisa˜o (i.e. se as deformac¸o˜es dos corpos forem irrevers´ıveis) enta˜o a energia
cine´tica na˜o se conserva. Portanto, a equac¸a˜o de conservac¸a˜o da energia na˜o pode ser usada
porque na˜o e´ va´lida. Existe o caso extremo das coliso˜es totalmente inela´sticas. Uma colisa˜o
diz-se totalmente inela´stica se, depois da colisa˜o, os corpos intervenientes se moverem juntos
(com a mesma velocidade), i.e., ficam ”colados”. Neste tipo de coliso˜es a variac¸a˜o de energia
cine´tica e´ ma´xima. No exemplo acima, a colisa˜o e´ totalmente inela´stica se a velocidade final
das massas e´ nula: vf1 = 0, pelo que as massas ficam paradas depois da colisa˜o, e toda energia
cine´tica e´ perdida.
Cap´ıtulo 3
Mecaˆnica dos Fluidos
3.1 Introduc¸a˜o
A mate´ria pode organizar-se em diferentes estados. Temos, ate´ agora, considerado os movimen-
tos de pontos materiais e so´lidos r´ıgidos. Os so´lidos teˆm forma pro´pria porque sa˜o formados
por mole´culas que interagem entre si com forc¸as fortes. Muito do que interessa a` biologia,
passa-se na a´gua e na atmosfera, elementos em estados l´ıquido e gasoso, respetivamente. A
parte da F´ısica dedicada ao estudo dos fluidos chama-se Mecaˆnica dos Fluidos. Os fluidos sa˜o
formados por mole´culas que interagem atrave´s de forc¸as fracas, possuem a propriedade de na˜o
resistir a` deformac¸a˜o e de fluir (tambe´m descrita como a habilidade de tomar a forma de seus
recipientes). Os l´ıquidos formam uma superf´ıcie livre, isto e´, quando em repouso apresentam
uma superf´ıcie estaciona´ria, na˜o determinada pelo recipiente que conte´m o l´ıquido. Os gases
apresentam a propriedade de se expandirem livremente quando na˜o confinados (ou contidos)
num recipiente, na˜o formando portanto uma superf´ıcie livre. A superf´ıcie livre, caracter´ıstica
dos l´ıquidos, e´ uma propriedade da presenc¸a da tensa˜o interna e da atrac¸a˜o/repulsa˜o entre as
mole´culas do fluido, bem como da relac¸a˜o entre as tenso˜es internas do l´ıquido com o fluido ou
so´lido que o delimita. As forc¸as de interac¸a˜o molecular nos l´ıquidos sa˜o muito superiores a` dos
gases, sa˜o em geral mais densos e (quase)incompress´ıves. Neste cap´ıtulo, vamos descrever como
se comportam os fluidos e os objectos dentro dos fluidos.
Os fluidos exercem uma ac¸a˜o sobre os recipientes onde esta˜o contidos. Essa ac¸a˜o chama-se
pressa˜o, p, e define-se como a forc¸a por unidade de a´rea:
p =
F
A
(3.1)
Se a forc¸a ~F tivesse uma componente tangencial a`s paredes do recipiente, o fluido estaria em
movimento, porque os fluidos na˜o opo˜em resisteˆncia ao movimento. Por isso, os fluidos em
repouso exercem uma forc¸a normal a`s paredes dos recipientes e a pressa˜o e´ perpendicular em
todos os pontos destas superf´ıcies. A orientac¸a˜o da forc¸a de pressa˜o sobre uma parede depende
obviamente da orientac¸a˜o da parede, mas o mo´dulo desta forc¸a e´ independente desta orientac¸a˜o!
35
Mecaˆnica dos Fluidos 36
A unidade da pressa˜o no SI e´ o 1 N/m2, que tem o nome pro´prio de Pascal (Pa), em honra
do cientista franceˆs, Blaise Pascal (1623–1662), cujo Princ´ıpio iremos estudar. Outra unidade
da pressa˜o e´ a atmosfera padra˜o (s´ımbolo atm), igual a 1,01325 × 105 Pa, o que corresponde
ao valor me´dio da pressa˜o atmosfe´rica no n´ıvel do mar. Tambe´m se utiliza como unidade de
pressa˜o o bar, sendo 1 bar = 105 Pa, ou seja, 1 atm = 1,01325 bar. Uma outra unidade que se
utiliza e´ o torr, que e´ definido como 1 Torr = 1
760
atm = 133,32 Pa. Em muito boa aproximac¸a˜o
isto e´ igual a` pressa˜o do peso de uma coluna de 1 mm de mercu´rio: 1 mmHg ≈ 1 Torr.
Aplicac¸a˜o
Uma pessoa em pe´ distribui o seu peso tipicamente por uma a´rea de 250 cm2. Se essa pessoa
tiver uma massa de m = 75 kg, a pressa˜o exercida pela pessoa no cha˜o e´:
p =
F
A
=
mg
A
=
(75 kg)× (9,80 m/s2)
0,025 m2
= 2,94× 104 Pa (3.2)
um valor 3,4 vezes menor que 1 atmosfera, a pressa˜o normal do ar.
3.2 Hidrosta´tica
Quando um objeto esta´ imerso num l´ıquido, a pressa˜o do l´ıquido sobre o objeto aumenta com
a profundidade. Se a pressa˜o a` superf´ıcie do l´ıquido for p0, a forc¸a exercida por uma coluna de
l´ıquido de a´rea A a` profundidade h abaixo da superf´ıcie e´ (ver figura 3.1):
F = p0A+mg (3.3)
onde mg e´ o peso da massa de l´ıquido da coluna. Sendo ρ = m/V a densidade do l´ıquido, a
massa, m, dessa coluna e´ m = ρV = ρAh. Assim, a pressa˜o a` profundidade h, p = F/A, e´:
p = p0 + ρgh. (3.4)
Na eq. (3.4) ρgh representa o aumento da pressa˜o devido ao peso da