Matemática Atuarial I Modelos de Prêmios Anuais

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EAC 0422 Matemática Atuarial I
Ciências Atuariais Noturno – FEA – USP
Prof. Dr. Ricardo Pacheco
MATEMÁTICA ATUARIAL DE VIDA
Universidade de São Paulo
- 1º Semestre 2013-
2
Aula 4 : Modelos de Prêmios Anuais
Utilizaremos nessa seção a seguinte relação válida para uma tábua de mortalidade De Moivre:
x
a
Axl xxx -=Þ-=
-
ww
w |
4.1 Determine o prêmio nivelado anual para um seguro discreto de vida inteira de 1.000 de
uma vida (30). A base de avaliação é 05,0=i e a mortalidade em linha com a lei de De Moivre
com 90=w .
94739,21
37475,14
31549,010001000
37475,14
05,1/05,0
31549,011)
31549,0
60
1
05,0
05,11
60
)
1000
30
30
30
30
60
%5|60
30
|
3030
=´=´=
=-=-=
=´-==
-=Þ
´=
-
-
a
AP
d
AaII
a
AI
x
a
AMoivreDe
AaP
x
x
&&
&&
&&
w
w
4.2 Determine o prêmio nivelado anual para um seguro contínuo de vida inteira de uma vida
(30). A base de avaliação é 05,0=i e a mortalidade em linha com a lei de De Moivre com
90=w .
( )
3117,23
86937,13
31,3231000
86937,13
05,1ln
67669,01)
32331,0
60
)
1000
30
30
30
30
|60
30
|
3030
==´=
==-=
==
=-==
´=
-
a
AP
AaII
aAI
x
aAMoivreDe
AaP
x
x
d
w
w
4.3 Determine o prêmio nivelado anual para um seguro de vida inteira semi-contínuo de uma
vida (30). A base de avaliação é 05,0=i e a mortalidade em linha com a lei de De Moivre com
90=w .
3
49161,22
37475,14
32331,010001000
1000
30
30
3030
=´=´=
´=
a
AP
AaP
&&
&&
4.4 A mortalidade obedece a lei de De Moivre com 90=w . A taxa efetiva de juros anuais é
5%.
(a) Determine o prêmio nivelado anual para um seguro de vida a termo de
10 anos semi-contínuo de 1.000 de uma vida (30).
(b) Determine o prêmio nivelado anual para um seguro dotal misto a termo
de 10 anos discreto de 1.000 de uma vida (30).
( )
76,84
55391,7
29,64010001000)
46,17
55391,7
89,13110001000)
55391,7
1
64029,012870,051159,0
51159,0
60
50
05,1
1
13189,0
60
91321,7
60
12870,0
60
72173,7
60
:
|10:30
|10:30
|10:30
|10:30
|10:30
|10:30
|10:30
|10:30
|10:309|10:30
|10:30
103010
10
|10:30
%5|10
|10:30
%5|10
|10:30
|
|:
|
|:
1
1
11
1
1
1
1
1
==
´
=
==´=
=
-
=
=+=+=
=´==
===
===
-=-=
a
A
Pb
a
AAPa
d
A
a
AAA
pvA
aA
a
A
x
aAe
x
a
AMoivreDe
o
n
nx
n
nx
&&
&&
&&
ww
4
4.5 Considere um seguro dotal misto de 20 anos, semi-contínuo, emitido para uma vida (40).
Suponha que os prêmios são pagos por, no máximo, 10 anos, e em parcelas semestrais.
Escreva o símbolo para o montante de prêmio nivelado anual, e então desenvolva uma
fórmula para computar esse prêmio.
( )
( )
( )
( )
01:40
)2(
02:40
02:40
)2(
10
02:4001:40
)2(
02:40
)2(
10
02:40
)2(
10
02:40
:
.
ä
A
AP
AäAP
APajustesDois
APref
=
=
4.6 Descreva o plano de seguro cujo prêmio nivelado anual é denotado por:
÷
ø
öç
è
æ
53:30
)2(
1AP
O seguro é um seguro de vida a termo de 35 anos de uma vida de 30 anos com benefício
pagável no momento da morte (contanto que o óbito ocorra antes dos 65 anos). Os
Prêmios são pagos em parcelas semestrais.
Escreva uma fórmula para calcular o montante de prêmio assumindo Distribuição Uniforme de
Mortes e usando valores de anuidades e seguros de uma tábua de mortalidade.
( )
( )
)1)(2()2(
:
3035
35
53:30
53:30
53:30
)2(
::
2
|35:30
|35:30
53:30
)2(
|35:30
2
|35:3053:30
)2(
1
1
11
1
1
1
1
pvä
Ai
AP
AiADUM
a
AAPAaAP
nxnx
--
=÷
ø
öç
è
æ
=
=÷
ø
öç
è
æ=>=÷
ø
öç
è
æ
ba
d
d
&&
&&
5
x
xl xä xA000.1 ( )xA2000.1 ( )xpv 1010000.1
40 9.313.166 14,8166 161,32 48,63 536,67
41 9.287.264 14,6864 168,69 52,01 534,99
42 9.259.571 14,5510 176,36 55,62 533,14
43 9.229.925 14,4102 184,33 59,48 531,12
44 9.198.149 14,2639 192,61 63,61 528,92
45 9.164.051 14,1121 201,20 68,02 526,52
46 9.127.426 13,9546 210,12 72,72 523,89
47 9.088.049 13,7914 219,36 77,73 521,03
48 9.045.679 13,6224 228,92 83,06 517,91
49 9.000.057 13,4475 238,82 88,73 514,51
50 8.950.901 13,2668 249,05 94,76 510,81
4.7 Calcule os seguintes prêmios nivelados anuais usando 06,0=i e a mortalidade na tabela
acima como base de avaliação. Use a premissa de Distribuição Uniforme de Mortes quando
necessário onde vale que
nxnx
AiA
::
11 d= .
(a) ÷
ø
öç
è
æ
01:40
1000.1 AP : prêmio anual de um seguro de vida temporário a 10 anos relativo a
uma importância segurada de $ 1.000 para um indivíduo (40), com pecúlio pagável no
momento da morte.
( ) ( )
( )
7,3
69671,7
48415,28
2668,1353667,08166,14
05,24953667,032,16102971,1
10001000
06,1ln
06,0
1000
000.1
504010
10
40
504010
10
40
|10:40
01:40
01:40
504010
10
40|10:40
504010
10
40
01:40
1
1
1
==
=´-
´-´=
=-
-´
=
=
´
=
=÷
ø
öç
è
æ
-=
-=
apva
ApvA
a
Ai
AP
apvaa
ApvAA
&&&&
&&
&&&&&&
d
6
(b) ÷
ø
öç
è
æ
01:40
5 1000.1 AP : prêmio anual pago por 5 anos referente a um seguro de vida
temporário a 10 anos com importância segurada de $ 1.000 relativo a uma vida (40),
com pecúlio pagável no momento da morte.
( ) ( )
42,6
1121,14
06,19313166
91640518166,14
48415,28
1000100002971,1
1000
000.1
5
45405
5
40
504010
10
40
|5:40
01:40
01:40
5
1
1
=
´÷
ø
öç
è
æ
´-
=
=-
-´=
=
´
=
=÷
ø
öç
è
æ
apva
ApvA
a
Ai
AP
&&&&
&&
d
Defina-se )(PL como a perda aleatória associada a dado prêmio P onde:
YPZPL ´-=)(
Tal que:
)40()40( TT evZ d-==
d
vY
K 1)40(1 +-=
Se 0)( >PL , ocorre uma perda aleatória. Caso contrário, um lucro aleatório.
A esperança matemática de uma perda aleatória pode ser computada da seguinte forma:
)()())(( YEPZEPLE ´-=
Essa é designada por “função de perda esperada”.
7
4.8 Calcule a função de perda esperada para seguro de vida semi-contínuo, temporário a 10
anos, no valor de 1.000 emitido para uma vida de idade 40 se o montante de prêmio anual é
4,20. Use a tabela acima como base técnica. (Usar resultados do exercício anterior)
A perda esperada é negativa, i.e., há uma esperança de lucro. Note que, de fato, o prêmio de
4,2 está acima do prêmio de equilíbrio atuarial calculado acima, que é de 3,7.
4.9 Calcule a função de perda esperada para um seguro de vida inteira contínuo de 1.000
emitido para uma vida de idade x se o prêmio anual é 110% do prêmio nivelado anual. Use
como base técnica de avaliação 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x.
Sabemos que:
( ) 02,0;5,121;25,0 ====
+
==
+
= mdmdm
m
x
x
xxx
a
AAPaA
Portanto:
[ ] ( ) 255,122225010001,11000 -=´-=´´-´= xxx aAPALE
O que indica um lucro esperado de 25.
Variância da função de perda
Sabemos que a função de perda é expressa por:
ddd
PZPZPZYPZL -÷
ø
öç
è
æ +=--=-= 11
Portanto, a variância da função de perda é:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )[ ] [ ] [ ] 84202,32,410002,42,4:
940;
940;
Y
1040;0
1040;1000v
Z:Onde
4,2Y-Z4,2L
3,71000;6971,7;48418,281000
:
|10:4001:40
|10
|1xK
40T
01:40|10:4001:40
1
11
-=-=-=
ïî
ïí
ì
>
£
=
î
í
ì
>
£=
=
=÷
ø
öç
è
æ==
+
aAYEZELEAssim
Ka
Ka
T
T
APaA
anteriorexercicioDo
&&
&&
&&
&&
8
[ ] ( ) úûùêëé -÷÷ø
ö
ççè
æ +=÷÷ø
ö
ççè
æ +=ú
û
ù
ê
ë
é -÷÷ø
ö
ççè
æ += 22
22
1var11var)var( xxAA
PZPPZPL dddd
Sabemos ainda que:
÷
ø
öç
è
æ +-=--=-= ddd
PaaPaaPALE xxxxx 11)1()(
xx A
LE
a
LEP
-
-=-=÷
ø
öç
è
æ +Þ
1
)(1)(11 dd
Substituindo esse resultado na equação precedente, encontramos finalmente que:
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
--=
2
22
2
)1(
))(1()var(
x
xx
A
AALEL
4.10 Calcule a variância da função de perda para um seguro de vida inteira contínuo de 1
emitido para uma vida (x) se o prêmio anual é 110% do prêmio nivelado anual. Use como base
técnica de avaliação 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x. Quão maior é esta variância do
que teria sido se o prêmio anual fosse igual ao prêmio nivelado anual?
Para uma força de mortalidade constante, temos que:
( )
112
9
14,0
02,0
2
08,0
02,0
22
2
=-Þ
=
+
=
=+=
xx
x
x
AA
A
A
dm
m
dm
m
Se o prêmio fosse igual ao prêmio anual nivelado, a variância seria:
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
--= 2
22
2
)1(
))(1()var(
x
xx
A
AALEL onde 0)( =LE
( )( )[ ] ( )( ) 7
1
16/9
112/9
1
2
22
==
-
-=Þ
x
xx
x
A
AAAPLVar
No exercício anterior vimos que, quando ( ) 022,01,1 =´= xAPP , então a função de perda
esperada é [ ] 025,0-=LE . Portanto:
9
( ) [ ][ ] ( )( )
( )
.
var%063,51025,1
7
1025,1
1
1var
2
2
2
22
2
anualnivelado
prêmioaoigualfossePsecomputadaiânciaaquedomaioréqueO
A
AALEL
x
xx
=-
´=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
--=
4.11 Calcule a variância da função de perda para um seguro discreto de vida temporário a 2
anos de 1 emitido para uma vida (x) se o prêmio é igual ao prêmio nivelado anual. Como base
de avaliação, utilize:
06,0=i , 02,0=xq , 06,01 =xq
A função de perda para o seguro é uma v.a. discreta com 3 valores possíveis. Para calcular
estes valores precisamos determinar o prêmio anual nivelado:
92453,11
04557,0
06,1
03,0
06,1
02,0
|2:
2|1
2
|2:
1
=+=
=+=+=
xx
xx
x
vpa
qvvqA
&&
02368,0
|2:
|2:
|2:
1
1 ==Þ
x
x
x a
A
P
&&
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) [ ] [ ]( ) [ ]
( ) ( ) ( ) 04030,095,004601,003,084398,002,091972,0
0
:var,.,
95,0204601,0102
03,0184398,011
02,0091972,00
:
222
222
2
|1
2
=´-+´+´=
=-=-=
==³-=+-==>=·
====+-==>=·
====-==>=·
LELELELVar
iânciaaLogozeroéesperadaperdaaanualprêmioesseCom
qxKPvPLxK
qxKPvPvLxK
qxKPPvLxK
associadasadesprobabilideperdadefunçãodapossíveisvaloresoscomputemosAgora
x
x
x
10
4.12 Considere um seguro de vida inteira contínuo de 1 de uma vida (x). Usando a base de
avaliação 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x, determine:
(a) A probabilidade de que ( ) 0)( >xAPL
(b) O percentil 90% de ( ))( xAPL
Nós já vimos que m=)( xAP para uma força de mortalidade constante.
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) 63867,0
3
1
3
41
:90,tan
26803,59,0ln
9,01,01,0)
37004,0110)
10491,23
06,0
25,0lnln1ln1
26803,506,0
1,0
1,0
10491,23
10491,2310491,230
0
1,0
1,0
1,0
0
=-÷
ø
öç
è
æ=-÷÷ø
ö
ççè
æ +
=-=
==>==>£=
=-=-===<=>=>
==÷÷ø
ö
ççè
æ
+=÷
÷
ø
ö
ççè
æ
+=
´-
-
-
eAPvAP
éperdadefunçãodapercentilotoPor
t
eptTPTPb
epqqtxTPLPa
p
pt
xtx
t
xt
xxxt
dd
m
dm
m
ddd
m
m
4.13 Considere um seguro de vida inteira contínuo de 1 emitido para uma vida (x). Usando a
base de avaliação 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x, determine o prêmio nivelado anual
tal que a probabilidade de uma perda positiva seja 0.25. (R.: 0,04378)
4.14 Considere um seguro de vida inteira contínuo de 1 emitido para uma vida (x). Usando a
base de avaliação 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x, determine o menor prêmio nivelado
anual tal que a probabilidade de uma perda positiva seja, no máximo, 0.25. (R.: 0,03922)
4.15 Considere um seguro de vida inteira contínuo de 1 emitido para uma vida (x). Suponha
que a base de avaliação é 06,0=d e 02,0)( =xm para todo x. Suponha que 100 vidas
independentes de idade x adquirem o plano. A seguradora cobrará um prêmio anual de:
)()1( xAPrP +=
Determine o valor de r tal que a probabilidade de que uma perda agregada seja 0,05.
11
Para força de mortalidade constante, temos que:
( )
7
1
14,0
02,0
2
;02,0
;5,12
08,0
11
;25,0
08,0
02,0
2 ==+=
===
==+=
==+=
dm
m
m
dm
dm
m
x
x
x
x
x
x
A
a
AAP
a
A
( ) ( )( )[ ] ( ) ( )
( )
segurançadetocarregamenr
rrr
aAPrAAPrLE
éesperadaperdadefunçãoA
xxxx
=
-=+
-=÷÷ø
ö
ççè
æ
+´´+-+=
=+-=+
25,011
11
:
dm
m
dmmdm
m
A variância da função de perda é:
( ) ( )( )[ ] [ ]( ) ( )( )
( ) 7
1)25,01(
4/11
16/17/1)25,01(
1
11
2
2
2
2
22
2
´+=
-
-´+=
=
-
-´-=+
rr
A
AALEAPrLVar
x
xx
x
Sabendo-se que a abscissa do percentil 95% da curva normal padronizada é 1,645, temos que:
[ ] ( )
26519,0
21752,6)25,01(25
7
1)25,01(100645,1)25,0(100var645,10 2
=Þ
++-=
=´++-=+=
r
rr
rrLLE aggagg
Então o prêmio almejado é:
( ) ( ) 02530,002,026519,11 =´=+= xAPrP