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MATEMÁTICA
6. MATEMÁTICA FINANCEIRA 
E ESTATÍSTICA
ENSINO MÉDIO 
MODULAR
Livro do Professor
Jorge Luiz Farago
 Lucio Nicolau dos Santos Carneiro
Curitiba, 2021
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Angela Giordani / CRB 9-1262 / Curitiba, PR, Brasil)
Projeto Gráfico & 
Produção Editorial
Diretor-Geral
Daniel Gonçalves Manaia Moreira
Diretor Editorial
Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial
Júlio Röcker Neto
Gerente de Produção Editorial
Cláudio Espósito Godoy
Coordenação Editorial
Jeferson Freitas
Coordenação de Arte
Elvira Fogaça Cilka
Coordenação de Iconografia
Susan R. de Oliveira Mileski
Autoria do Livro Didático
Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos 
Carneiro
Edição de Conteúdo
Fabiano Ribeiro
Edição de Texto
Gabriela Coiradas Machado
Ilustrações
Divanzir Padilha, Jack Art
Pesquisa Iconográfica
Ângela Dileta Lima Santa Barbara
Engenharia de Produto
Solange Szabelski Druszcz
Todos os direitos reservados à 
PSD Educação S.A.
Imagem projeto gráfico
Museu de Arte Moderna, Nova Iorque
Produção
PSD Educação S.A.
Av. Nossa Senhora Aparecida, 174 – 
Seminário
80440-000 – Curitiba – PR
Tel.: (0xx41) 3312-3500
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Impressão e acabamento
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Rua Senador Accioly Filho, 431/500 – CIC
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E-mail: posigraf@positivo.com.br
2021
Contato
contato@conquistaeducacao.com.br
F219 Farago, Jorge Luiz.
Conquista : Solução Educacional : ensino médio modular : matemática 6, 
matemática financeira e estatística / Jorge Luiz Farago e Lucio Nicolau dos Santos 
Carneiro. – Curitiba : PSD Educação, 2021.
: il.
ISBN 978-65-88127-08-7 (Livro do aluno)
ISBN 978-65-88126-44-8 (Livro do professor)
1. Educação. 2. Ensino médio. 3. Matemática – Estudo e ensino. I. Carneiro, Lucio 
Nicolau dos Santos. II. Título.
CDD 370
© 2020 PSD Educação S.A.
SUMÁRIO
Capítulo 1: Noções de Matemática Financeira 6
Razão, porcentagem e proporção ....................................................................................... 6
Juros simples ...................................................................................................................... 12
Juros compostos ................................................................................................................ 12
Progressão arimética, progressão geométrica e matemática financeira ...................... 18
Taxas equivalentes ............................................................................................................. 20
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
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a
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al
an
ov
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Sh
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ut
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ck
/T
al
an
ov
a
Capítulo 2: Estatística I 27
Variáveis .......................................................................................................................27
Frequência absoluta e relativa ...................................................................................28
Análise e interpretação de gráficos e tabelas ...........................................................30
Medidas de tendência central ....................................................................................33
Medidas de dispersão .................................................................................................37
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/w
av
eb
re
ak
m
ed
ia
Capítulo 3: Estatística II 47
Tabela de distribuição de frequência com dados agrupados e
intervalos de classe ...........................................................................................................47
Histograma ...........................................................................................................................49
Medidas de tendência central para dados agrupados em classe ..................................50
Medidas de dispersão para dados agrupados em classe ................................................52
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/G
or
od
en
ko
ff
Conceitos Centrais
1. Razão, proporção e 
porcentagem 
2. Juros simples 
3. Juros compostos
4. Progressão aritmética, 
progressão geométrica 
e Matemática 
Financeira
5. Taxas equivalentes 
Razão, porcentagem e proporção
Ética e cidadania
2 a cada 5 jovens preferem internet a sair com os amigos
Pesquisa aponta que tecnologia é cada vez mais essencial na vida dos 
adolescentes de todo o mundo.
A internet é o recurso mais valioso de sua vida? Pense bem antes de responder: é 
mais perigoso passar um tempo offline do que ficar sem comida ou até respirar? Um es-
tudo conduzido pela Cisco fez perguntas similares para jovens de até 20 anos que moram 
em 14 países diferentes (incluindo o Brasil). Os resultados foram bastante curiosos, pois 
mostram a importância dos eletrônicos na vida dos adolescentes de hoje.
A resposta que mais recebeu destaque é a de que 1 a cada 3 pesquisados acre-
dita que a internet é um bem precioso para a humanidade, tanto quanto ar, água e 
Ética e cidadania
2 a cada 5 jovens
Pesquisa apont
A internet é o recurso
mais perigoso passar um t
tudo conduzido pela Cisco 
em 14 países diferentes (in
mostram a importância do
A resposta que mais
dita que a internet é um
Razão
A razão do número real a para o número real b é dada por 
a
b
, com b ≠ 0.
Porcentagem é toda razão 
a
b
, com b = 100. Usa-se % para representar essa razão.
Exemplos:
11
100
11= % 
3
20
15
100
15= = %
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
a
b
c
d
=
 Propriedade fundamental da proporção
a
b
c
d
ad bc= Û =
Proporção
1 Noções de Matemática Financeira
6 Conquista Modular
Para fazer
 1. Mariana comprou ações de uma empresa e as 
vendeu um mês depois pelo valor corresponden-
te a três quartos do preço que pagou. Qual a ra-
zão entre o preço de venda e o preço de compra?
 2. (UFRJ) A organização de uma festa distribuiu 
gratuitamente 200 ingressos para 100 casais. 
Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos 
quais para mulheres. As 500 pessoas com in-
gressos foram à festa.
 a) Determine o percentual de mulheres na festa.
 b) Se os organizadores quisessem ter igual núme-
ro de homens e de mulheres na festa, quantos 
ingressos a mais eles deveriam distribuir ape-
nas para as pessoas do sexo feminino?
 3. Uma cooperativa agrícola comprou 100 sacas 
de soja por R$ 3.000,00. No mês seguinte, 
houve um aumento de 25% no preço da saca. 
Quantas sacas a cooperativa poderá comprar 
com a mesma quantia?
 4. Um automóvel que custava R$ 25.000,00 so-
freu um acréscimo de 10%. Após esse aumento, 
as vendas caíram. Por isso, os fabricantes resol-
veram dar um desconto de 10% na compra à 
vista desse automóvel. Qual o preço final desse 
carro? 
3
4 3
4
1 3
4
x
x
x
x
= × =
 Se há 100 casais, têm-se 100 homens e 100 mulheres.
 Determinando o número de ingressos vendidos para 
mulheres:
 0,3 ⋅ 300 = 90 ingressos.
 Determinando o número de ingressos vendidos para 
homens:
 300 – 90 = 210 ingressos.
 Total de homens:
 100 + 210 = 310 
 Total de mulheres:
 100 + 90 = 190 
 Determinando o percentual de mulheres na festa:
 
190
500
38
100
38= = %
 Sendo x o número de ingressos extras vendidos para 
mulheres, tem-se:
 190 + x = 310
 x = 120
Valor da saca na compra: 3 000 ÷ 100 = 30
R$ 30,00
Aumento de 25% no valor da saca:
100% + 25% = 125%
1,25 · 30 = 37,5
R$ 37,50
Determinando a quantidade de sacas que poderão ser 
compradas:
3 000 ÷ 37,5 = 80
80 sacas
Aumento de 10%:
1,1 · 25 000 = 27 500
R$ 27.500,00
Desconto de 10%:
0,9 · 27 500 = 24 750
Preço final: R$ 24.750,00.
abrigo. Ela seria “parte integral da vida”. Já metade dos jovens acredita que o nível de 
importância entre esses itens é “bastante similar”.
Outras questões envolviam escolher a rede ou alguns itens que também são de-
sejados por pessoas dos 15 aos 20 anos. Dos pesquisados, 64% preferem o acesso à 
internet a um carro, enquanto 40% dispensariam encontros e saídas com os amigos 
para permanecer conectados.
A pesquisa ainda aponta o crescimento da tecnologia móvel, já que cercade 60% 
dos jovens escolheram celulares, tablets ou computadores portáteis como a tecnolo-
gia mais importante entre seus gadgets. [...]
KLEINA, Nilton. 2 a cada 5 jovens preferem internet a sair com os amigos. Disponível em: <http://www.tecmundo.
com.br/internet/15029-2-a-cada-5-jovens-preferem-internet-a-sair-com-os-amigos.htm>. Acesso em: 10 dez. 2018.
abrigo. Ela seria “parte integral da vida”. Já metade dos jovens acredita que o nível de 
importância entre esses itens é “bastante similar”.
Outras questões envolviam escolher a rede ou alguns itens que também são de-
sejados por pessoas dos 15 aos 20 anos. Dos pesquisados, 64% preferem o acesso à 
internet a um carro, enquanto 40% dispensariam encontros e saídas com os amigos
para permanecer conectados.
A pesquisa ainda aponta o crescimento da tecnologia móvel, já que cerca de 60% 
dos jovens escolheram celulares, tablets ou computadores portáteis como a tecnolos -
gia mais importante entre seus gadgets. [...]
KLEINA, Nilton. 2 a cada 5 jovens preferem internet a sair com os amigos. Disponível em: <http://www.tecmundo.
com.br/internet/15029-2-a-cada-5-jovens-preferem-internet-a-sair-com-os-amigos.htm>. Acesso em: 10 dez. 2018.
7Matemática Matemática financeira e estatística
 5. Um fogão teve um reajuste de 8% e passou a 
custar R$ 702,00. Qual era o preço do fogão an-
tes desse reajuste? 
 6. (UFV – MG) Uma indústria fabrica dois tipos de 
produto, X e Y, com custo por unidade de R$ 4,00 
e R$ 10,00, respectivamente. Sabendo que essa 
indústria vendeu 260 unidades dos produtos X e 
Y com preços 50% e 40%, respectivamente, aci-
ma do seu valor de custo, obtendo R$ 2.680,00 
com a venda, determine a quantidade de cada 
produto. 
 7. Por meio de um testamento, foram doados 
R$ 210.000,00 a duas instituições de caridade. A 
razão entre as quantias recebidas pelas institui-
ções A e B, nesta ordem, é igual a 4 para 3. De-
termine a quantia que cada instituição recebeu. 
 8. Gabriela tem um automóvel que faz 10 km/L com 
gasolina e 7 km/L com etanol. Ao chegar a um 
posto de gasolina, verificou os seguintes preços 
para os combustíveis:
Etanol R$ 2,999
Gasolina R$ 4,199
Com qual combustível é financeiramente mais 
vantajoso Gabriela abastecer o seu automóvel? 
Justifique.
©
Dr
ea
m
st
im
e/
M
ic
ha
el
 F
lip
po
O preço era 100% e passou a ser 108%. Assim, tem-se:
1 08
1
702
1 08 702
702
1 08
650
,
,
,
=
=
=
=
x
x
x
x
O preço original do fogão era R$ 650,00.
Sejam x e y as quantidades vendidas dos produtos X e Y, 
respectivamente.
Determinando o preço de venda de X:
1,5 · 4 = 6
R$ 6,00
Determinando o preço de venda de Y:
1,4 · 10 = 14
R$ 14,00
Para serem determinados os valores de x e y, tem-se o se-
guinte sistema de equações:
x y
x y
+ =
+ =
ì
í
î
260
6 14 2 680
x y
x y
+ = × -
+ =
ì
í
î
260 6
6 14 2 680
( )
- - = -
+ =
ì
í
î
6 6 1560
6 14 2 680
x y
x y
8y = 1 120
y = 140
x + 140 = 260
x = 260 – 140
x = 120
A indústria vendeu 120 unidades de X e 140 unidades de Y.
Sendo x a quantia recebida pela instituição A, tem-se:
x
x
x x
x
x
x
210 000
4
3
3 840 000 4
7 840 000
840 000
7
120 000
-
=
= -
=
=
=
210 000 – 120 000 = 90 000
A instituição A recebeu R$ 120.000,00 e a instituição B, 
R$ 90.000,00.
Determinando a razão entre o consumo de etanol para o de 
gasolina do automóvel de Gabriela:
7
10
0 7= ,
Fazendo a razão do preço do etanol para o preço da gasolina, 
se o resultado for:
igual 0,7 → é indiferente escolher etanol ou gasolina;
menor que 0,7 → o etanol é mais vantajoso;
maior que 0,7 → a gasolina é mais vantajosa.
Fazendo a razão entre os preços dos combustíveis, tem-se:
2 999
4 199
0 714
,
,
,
A gasolina é mais vantajosa.
8 Conquista Modular
 9. (FGV)
 a) Duas lojas de roupas A e B vendem o mesmo 
produto com preços diferentes. Se ambas as 
lojas dessem um desconto para pagamento 
à vista, o preço com desconto da loja A seria 
menor que o preço com desconto da loja B? 
Sabe-se que na loja A o desconto foi de 10% 
sobre o preço à vista e na loja B, o desconto 
foi de 15% sobre o preço à vista. Sabe-se ain-
da que, na loja A, o desconto foi de R$ 40,00 
e, na loja B, o desconto foi de R$ 54,00.
 b) Em de março de 2016, o lucro de certa em-
presa em relação ao de fevereiro do mesmo 
ano aumentou 15% e foi de R$ 4.140,00.
Se o aumento do lucro de março em relação ao 
de fevereiro fosse de 10%, qual teria sido o valor 
do lucro obtido pela empresa em março?
a) Loja A: 10% x = 40 → x = 400 reais.
Loja B: 15% y = 54 → y = 360 reais.
Com o desconto, o preço do produto da Loja A é
400 – 40 = 360 reais e o preço do produto da Loja B é
360 – 54 = 306 reais.
O preço com desconto da Loja A seria maior que o preço 
com desconto da Loja B.
b) Seja x o lucro da livraria em 1° de março.
Então: x + 15% ⋅ x = 4.140 → x = 3.600 reais.
Como o aumento do lucro foi de 10%, o lucro obtido pela 
livraria em 31 de março foi de
3.600 + 10% ⋅ 3.600 = 3.960 reais.
 10. (UFPR) Em uma pesquisa de intenção de voto 
com 1.075 eleitores, foi constatado que 344 pre-
tendem votar no candidato A e 731 no candida-
to B. 
 a) Qual é a porcentagem de pessoas entrevista-
das que pretendem votar no candidato A?
 b) Sabendo que esse mesmo grupo de 1.075 en-
trevistados é composto por 571 mulheres e 
504 homens e que 25% dos homens preten-
dem votar no candidato A, quantas mulheres 
pretendem votar no candidato B?
a) A porcentagem é de:
344
1075
0 32 32= =, %
b) Se 25% dos homens pretendem votar no candidato A, 
então 75% deles votarão no candidato B, o que corres-
ponde a um total de 378 votos. Se há um total de 731 
votos para o candidato B e 378 votos são de homens, a 
quantidade de mulheres que pretende votar no candidato 
B é: 731 – 378 = 353 mulheres. Logo, a porcentagem de 
mulheres que pretende votar em B é:
353
571
0 62 62@ @, %
 11. (FGV) No início de certo ano, Fábio aplicou sua 
poupança em dois fundos de investimentos A e 
B, sendo A o de ações e B o de renda fixa. O valor 
aplicado em B foi o quádruplo do aplicado em 
A. Um ano depois, Fábio observou que o fundo 
A rendeu –2% (perda de 2%) e o B rendeu 15%. 
Considerando o total aplicado, a taxa anual de 
rentabilidade de Fábio foi:
X a) 11,6%
 b) 11,8%
 c) 11,4%
 d) 11,2%
 e) 11,0%
 12. (FGV) Um comerciante comprou mercadorias 
para revendê-las. Ele deseja marcar essas merca-
dorias com preços tais que, ao dar descontos de 
20% sobre os preços marcados, ele ainda obte-
nha um lucro de 25% sobre o preço de compra. 
Em relação ao preço de compra, o preço marca-
do nas mercadorias é:
 a) 30% maior.
 b) 40% maior.
 c) 45% maior.
 d) 50% maior.
X e) mais de 50% maior.
 13. (UERJ) Um comerciante, para aumentar as ven-
das de seu estabelecimento, fez a seguinte pro-
moção para determinado produto:
COMPRE 4 UNIDADES E LEVE 5
Essa promoção representa um desconto de x% 
na venda de 5 unidades. 
O valor de x é igual a:
 a) 10
 b) 15
X c) 20
 d) 25
 14. (UNESP) Uma companhia de engenharia de 
trânsito divulga o índice de lentidão das ruas 
por ela monitoradas de duas formas distintas, 
porém equivalentes. Em uma delas, divulga-se 
a quantidade de quilômetros congestionados e, 
na outra, a porcentagem de quilômetros con-
gestionados em relação ao total de quilômetros 
monitorados. O índice de lentidão divulgado por 
essa companhia no dia 10 de março foi de 25% 
e, no mesmo dia e horário de abril, foi de 200 
km. Sabe-se que o total de quilômetros moni-
torados pela companhia aumentou em 10% de 
março para abril, e que os dois dados divulga-
dos, coincidentemente, representavam uma 
mesma quantidade de quilômetros congestio-
nados na cidade. Nessas condições, o índice de 
9Matemática Matemática financeira e estatística
congestionamento divulgado no dia 10 de abril 
foi de, aproximadamente,
 a) 25%.
X b) 23%.
 c) 27%.
 d) 29%.
 e) 20%.
 15. (UEA) Um laboratório vende cada unidade de 
determinado medicamento por x reais, sendo 
esse preço determinado pelo acréscimo de 80% 
ao seu preço de custounitário. Para grandes 
quantidades, há um desconto de 20% sobre x, e 
cada unidade sai por R$ 86,40. Portanto, o preço 
de custo desse medicamento é
 a) R$ 70,00.
 b) R$ 69,12.
 c) R$ 57,60.
 d) R$ 48,00.
X e) R$ 60,00.
 16. (UEFS) Em uma mesma semana, a cotação do 
dólar, em relação ao real, sofreu grande varia-
ção: na quarta-feira, o valor do dólar subiu 10% 
em relação ao de segunda-feira e, na sexta-feira, 
baixou 5% em relação ao de quarta-feira. 
Nessas condições, o aumento da cotação do dó-
lar, na sexta-feira, em relação à segunda-feira, 
correspondeu a
 a) 3,2% 
 b) 3,7% 
 c) 4,0%
 d) 4,2%
X e) 4,5%
 17. (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em 
ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total 
do investimento e, no segundo mês, recuperou 
20% do que havia perdido. Depois desses dois 
meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00 
gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa 
pessoa aplicou em ações corresponde ao valor 
de
 a) R$ 4.222,22. 
 b) R$ 4.523,80.
X c) R$ 5.000,00. 
 d) R$ 13.300,00.
 e) R$ 17.100,00.
 18. (UPE) É muito comum perceber os anúncios de 
grandes promoções em lojas do comércio em 
geral. Mesmo com a promoção, o lucro para o 
revendedor é garantido. Numa dessas promo-
ções, uma loja ofereceu 40% de desconto sobre 
o preço de venda de uma geladeira, havendo, 
ainda assim, um lucro de 20% sobre o preço de 
custo desse produto. Caso não tivesse dado esse 
desconto, qual teria sido o lucro dessa loja ao 
vender essa geladeira?
 a) 40% 
 b) 50% 
 c) 60%
 d) 80% 
X e) 100%
 19. (Upe) Uma loja de vestuários recebeu um volu-
me de 250 bermudas e 150 camisetas da fábrica 
que produz suas peças. Dessas peças, o controle 
da loja identificou que estavam com defeito 8% 
das bermudas e 6% das camisas. Do volume re-
cebido pela loja, o total de peças com defeito 
representa uma porcentagem de
 a) 2,75%
 b) 4,4%
 c) 5,6%
 d) 6,75%
X e) 7,25%
 20. (IFCE) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 
670,00 mais uma comissão de 8% sobre a quan-
tidade de vendas. Em um determinado mês, ele 
vendeu R$ 12.000,00. Ele recebeu de salário bru-
to, nesse mês,
X a) R$ 1.630,00.
 b) R$ 1.560,00.
 c) R$ 1.730,00.
 d) R$ 1.500,00.
 e) R$ 1.600,00.
 21. (Uece) Um comerciante comprou um automóvel 
por R$ 18.000,00, pagou R$ 1.000,00 de impos-
to e, em seguida, vendeu-o com um lucro de 
20% sobre o preço de venda. O lucro do comer-
ciante foi
 a) R$ 3.750,00.
 b) R$ 4.050,00.
 c) R$ 4.350,00.
X d) R$ 4.750,00.
10 Conquista Modular
Matemática Financeira 
A Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro no tempo e de que forma isso se 
relaciona a aplicações, pagamentos de empréstimos ou avaliação financeira de objetos.
Na Matemática Financeira, usam-se termos muito específicos. Conheça alguns deles.
Observe o seguinte anúncio:
Lavadora e secadora de roupas
R$ 2.600,00 à vista
ou
12 x de R$ 231,00
Total a prazo: R$ 2.772,00
Taxa de juros: 1% a.m.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
RT
BO
XC
OM
Capital (C)
Todo valor monetário que é usado para emprestar ou aplicar durante certo tempo é cha-
mado de capital.
No anúncio, o valor do capital é R$ 2.600,00. 
Juro (j)
O valor cobrado como custo do empréstimo para quem empresta ou a remuneração do 
capital para quem aplica é chamado de juro.
O valor cobrado de juro pela compra a prazo, de acordo com o anúncio, é de R$ 172,00.
Montante (M)
A soma do capital com o juro é o montante, ou seja, M = C + j.
No caso do anúncio, R$ 2.772,00
Taxa de juros (i)
O valor do juro em um intervalo de tempo, expresso como uma porcentagem do capital, 
é denominado taxa de juros.
Exemplo:
10% a.a. (a.a. significa “ao ano”)
5% a.s. (a.s. significa “ao semestre”)
8% a.m. (a.m. significa “ao mês”)
16% a.d. (a.d. significa “ao dia”)
No anúncio, a taxa de juros é igual a 1% a.m. (ao mês)
Período de tempo (n)
Os períodos de uma aplicação ou empréstimo mais comuns são diário, mensal, bimes-
tral, trimestral, semestral e anual. Essa quantidade de períodos é indicada por n, e ela deve 
ser expressa sempre no mesmo período da taxa de juros.
No anúncio, o tempo (n) é igual a 12 meses.
Usa-se a letra i para repre-
sentar a taxa de juros porque 
ela é abreviatura da palavra 
inglesa interest, que significa 
juro.
11Matemática Matemática financeira e estatística
Juros simples
Regime de capitalização simples no qual se aplica um capital por determinado período, 
a certa taxa. Os juros incidem sempre sobre esse capital inicial.
Vamos supor que foi aplicado, a juros simples, um capital de R$ 1.000,00, durante quatro 
meses, a uma taxa de 2% a.m.
Tem-se que:
C = 1 000
n = 4 meses
i = 0,02 a.m.
De acordo com a definição desse regime de capitalização, tem-se a tabela a seguir.
Mês Capital Juro Montante do período
1 1 000 1 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 20,00 R$ 1.020,00
2 1 000 2 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 40,00 R$ 1.040,00
3 1 000 3 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 60,00 R$ 1.060,00
4 1 000 4 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 80,00 R$ 1.080,00
Assim, o montante ao completar os quatro meses de aplicação será de R$ 1.080,00.
Juro Montante
J = C · i · n M = C + J
De modo geral, para resolver essa e 
outras situações de juros simples, tem-se:
Juros compostos
Regime de capitalização composta no qual se aplica um capital por determinado período 
a certa taxa. Os juros incidem sempre sobre o capital acumulado.
Vamos supor que foi aplicado, a juros compostos, um capital de R$ 1.000,00, durante 
quatro meses, a uma taxa de 2% a.m.
Tem-se que:
C = 1 000
n = 4 meses
i = 0,02 a.m.
12 Conquista Modular
De acordo com a definição desse regime de capitalização, tem-se a tabela a seguir.
Mês Capital Juro Montante do período
1 1 000 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 20,00 R$ 1.020,00
2 1 020 0,02 · R$ 1.020,00 = R$ 20,40 R$ 1.040,40
3 1 040,40 0,02 · R$ 1.040,40 R$ 20,81 R$ 1.061,21
4 1 061,21 0,02 · R$ 1.061,21 R$ 21,22 R$ 1.082,43
O montante ao completar os quatro meses de apuração será igual a R$ 1.082,43.
De forma geral, no processo do cálculo do montante, a juros compostos, tem-se:
 n = 1 n = 2 n = 3
 M1 = C + C · i C = M1 C = M2
 M1 = C · (1 + i) M2 = M1 · (1 + i) M3 = M2 · (1 + i)
 M2 = C · (1 + i) · (1 + i) M3 = C · (1 + i)² · (1 + i)
 M2 = C · (1 + i)² M3 = C · (1 + i)³
Assim:
O montante de uma aplicação de um capital C, a juros compostos, a uma taxa 
fixa i, após n períodos, é dado por:
Mn = C · (1 + i)n
 1. Antonio aplicou R$ 4.300,00 a juros simples, 
durante cinco meses, a uma taxa de 0,5% a.m. 
Qual o montante final dessa aplicação?
J = 4 300 · 0,005 · 5
J = 107,50
M = 4 300 + 107,50
M = 4407,50
Para fazer
trabalho
Gestão financeira – tecnólogo
O tecnólogo em gestão financeira atua no planejamento financeiro, na organização, captação e gestão de investimentos 
de recursos de uma empresa. Analisa o mercado financeiro e as tendências econômicas do país e do mundo que possam 
influenciar o desempenho da empresa.
O mercado de trabalho para o tecnólogo em gestão financeira é bem amplo. Esse profissional pode trabalhar em cor-
retoras de valores, bancos, departamento financeiro de qualquer empresa, instituições de crédito, distribuidoras de valores 
imobiliários ou abrir um negócio próprio como consultor financeiro.
No curso de Tecnólogo em Gestão Financeira, há muitas disciplinas que envolvem cálculos, entre elas Matemática 
Financeira, Estatística e Gestão de Investimentos.
Mundo do
13Matemática Matemática financeira e estatística
 2. Beatriz tomou emprestado R$ 2.000,00 à taxa de 
juros simples de 3% a.m., comprometendo-se a 
pagar depois três meses. Quanto Beatriz pagará 
de juro?
 3. Um carro é vendido por R$ 15.000,00 à vis-
ta. Carlos propôs comprá-lo a prazo, com 
uma entrada de 20% mais uma parcela de 
R$ 13.080,00 após três meses. Qual a taxa men-
sal de juros simples da proposta feita por Carlos? 
 4. Daniel aplicou R$ 7.000,00 a uma taxa de juros 
simples de 18% a.a. No ato do resgate, são pa-
gos 15% de imposto de renda (IR) sobre os juros. 
Ao final de cinco meses, qual ovalor resgatado 
por Daniel? 
 5. Um produtor de soja tem um estoque de 10 000 
sacas e recusa a oferta de compra de R$ 12,00 
por saca na esperança de conseguir preço melhor 
no futuro. Quatro meses depois, vende o estoque 
por R$ 22,00 a saca. Sabendo que a taxa de juros 
simples de mercado é de 15% a.m., determine o 
lucro ou prejuízo que esse produtor teve sobre o 
valor inicial de oferta de compra.
 6. Um capital de R$ 4.112,50 foi dividido em duas 
partes, de forma que a primeira foi aplicada a 
juros simples, à taxa de 3% a.m., durante cinco 
meses. A outra parte foi aplicada durante oito 
meses, à taxa de 4% a.m., também a juros sim-
ples. Qual o valor correspondente a cada parte, 
sabendo que as duas aplicações renderam o mes-
mo juro? 
 7. Um capital foi aplicado durante oito meses, à 
taxa de 6% a.m., a juros simples. No final do pra-
zo, o montante foi reaplicado durante dez me-
ses, a juros simples, à taxa de 8% a.m. Determine 
o valor do capital inicial aplicado sabendo que o 
montante final foi de R$ 399.600,00.
Entrada:
0,20 · 15 000 = 3 000
C = 15 000 – 3 000 = 12 000
J = 13 080 – 12 000 = 1 080
1 080 = 12 000 · i · 3
i = =1080
36 000
0 03, i = 3% a.m.
J = × ×7 000 0 18
5
12
,
J = 525
Calculando o IR:
IR = 0,15 · 525
IR = 78,75
M = C + J – IR
M = 7 000 + 525 – 78,75
M = 7 446,25
R$ 7.446,25
Calculando o valor que o produtor tinha inicialmente:
12 · 10 000 = 120 000
R$ 120.000,00
Calculando o valor que o produtor vendeu:
22 · 10 000 = 220 000
R$ 220.000,00
Aplicando o valor inicial do produtor:
J = 120.000 · 0,15 · 4
J = 72.000
M = 120 000 + 72 000
M = 192 000
Determinando lucro ou prejuízo:
V = 220 000 – 192 000
V = 28 000 Lucro de R$ 28.000,00.
Juros da 1.ª parte:
J1 = C · 0,03 · 5
J1 = 0,15C
Juros da 2.ª parte:
J2 = (4 112,50 – C) · 0,04 · 8
J2 = (4 112,50 – C) · 0,32
J2 = 1 316 – 0,32C
Como J1 = J2, tem-se:
0,15 C = 1 316 – 0,32C
0,47 C = 1.316
C = 1 316
0 47
.
,
C = 2 800
4 112, 50 – 2 800 = 1 312,50
As partes são R$ 2.800,00 e 
R$ 1.312,50.
M1 = C + J
M1 = C + C · 0,06 · 8
M1 = C + 0,48C
M1 = 1,48 C
M2 = 1,48 C + 1,48 C · 0,08 · 10
M2 = 1,48 C + 1,184 C
M2 = 2,664 C
399 600 = 2,664 C
C
399600
2664
C = 150 000
O capital inicial aplicado foi de R$ 150.000,00.
J = 2 000 · 0,03 · 3
J = 180
R$ 180,00
14 Conquista Modular
 8. Qual o montante gerado da aplicação, a juros 
compostos, de R$ 5.000,00 à taxa de 1% a.m. 
durante um ano?
 9. Sete anos de aplicação a juros compostos, a 
uma taxa de 10% a.a. gerou um montante de R$ 
12.666,66. Qual foi o capital aplicado? 
 10. Foram aplicados, a juros compostos, R$ 2.500,00 
durante cinco meses, gerando um montante 
de R$ 2.760,20. Qual foi a taxa de juros dessa 
aplicação? 
 11. Alfredo fez uma aplicação financeira, a juros 
compostos, no valor de R$ 1.000,00. Conside-
rando uma taxa de 1,5% a.m., quantos meses 
serão necessários para alcançar o montante de 
R$ 1.077,28?
Comparando o montante a juros simples e a juros compostos
A diferença entre os regimes de capitalização é que nos juros simples a taxa é aplicada 
no capital inicial, e nos juros compostos, no capital acumulado.
Observe a seguir o gráfico comparativo entre os montantes a juros simples e a juros 
compostos de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 12% a.a., dos prazos de 1 a 12 anos.
C = 5 000 
i = 0,01 a.m.
n = 12 meses
M = 5 000 · (1 + 0,01)12
M ≅ 5 634,13
M = 12 666,66
i = 0,1 a.a.
n = 7 anos
12 666,66 = C · (1 + 0,1)7
C = ≅
12666 66
11
6 5007
,
,
.
R$ 6.500,00.
 2 760,20 = 2 500 · (1 + i)5
2 760 20
2 500
1
110408 1
5
5
,
( )
,
= +
- =
i
i
i 0,02
2% a.m.
1 077,28 = 1 000 · (1 + 0,015)n
1,07728 = 1,015n
log 1,07728 = n · log 1,015
n = @log ,
log ,
,
1 07728
1 015
4 99975
n = 5 meses
15Matemática Matemática financeira e estatística
Perceba que, ao longo do tempo, o regime de capitalização que gera mais juros é o de 
juros compostos. 
Observe também que, no gráfico a seguir, o crescimento do capital a juros simples é 
linear, enquanto o aumento do capital a juros compostos tem crescimento exponencial.
O regime de capitalização composta é o mais utilizado no mercado financeiro. Os juros 
simples são usados quando o tempo de aplicação é menor que uma unidade de tempo, pois é 
o único período em que esses juros são mais vantajosos que os compostos. Por exemplo, se 
a unidade de tempo em que a taxa de juros é aplicada for ano, é mais vantajoso usar os juros 
simples para períodos menores que um ano. Para capitais de mesmo valor, aplicados sob a 
mesma taxa de juros, mas em regimes de capitalização diferentes, simples e compostos, ao 
final do primeiro período os juros gerados serão iguais. Após isso, os juros compostos serão 
maiores. O mercado financeiro em geral, seja ele particular ou público, emprega os juros 
compostos, seja para aplicar, seja para emprestar dinheiro.
Os juros simples geralmente são aplicados no cálculo de juros de mora, em que a taxa 
percentual cobrada por atraso de pagamento em um determinado período é menor que uma 
unidade de tempo. Ver texto introdutório sobre a unidade, na página 1 do Livro do Professor. 
 1. Luiz aplicou R$ 10.000,00 durante dez anos a 
uma taxa de 12% a.a., a juros compostos. Qual 
o montante resgatado?
 2. Henrique aplicou R$ 1.500,00 por seis meses a 
uma taxa de 8% a.m. no regime de capitalização 
composta. Determine o juro dessa aplicação. 
 3. Em 11 meses, Tatiana terá uma dívida de 
R$ 746,00 a ser paga. Qual o capital que ela 
deve aplicar na atualidade, à taxa de 2% a.m., 
a juros compostos, para que no final da aplica-
ção ela tenha o valor necessário para quitar a 
dívida? 
 4. Angela aplicará R$ 1.000,00, a juros compos-
tos, à taxa de 1,2% a.m. até dobrar sua aplica-
ção. Qual será o tempo da aplicação?
M = 10.000 · (1 + 0,12)10
M 31.058,48
R$ 31.058,48
M = 1.500 · (1 + 0,08)6
M 2.380,31
J = 2.380,31 – 1 500
J = 880,31
Juro de R$ 880,31.
746 = C · (1 + 0,02)11
C = 746
1 0211,
C 599,98
Assim, Tatiana deve aplicar R$ 600,00.
C = 1.000
M = 2.000
2.000 = 1 000 · (1 + 0,012)n
2 = 1,012n
log 2 = n · log 1,012
n = @log
log ,
2
1 012
58 n = 58 meses.
Para fazer
16 Conquista Modular
 5. Uma loja está vendendo uma geladeira por 
R$ 1.500,00 com pagamento sendo feito dois 
meses após a compra. Se o cliente optar por pa-
gamento no ato da compra, ou seja, à vista, a 
loja dá um desconto de 5%. Qual a taxa de juros 
compostos mensal, embutido, para pagamento 
em dois meses? 
 6. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado, a juros 
compostos, a uma taxa de 2,5% a.m. por um pe-
ríodo de 12 meses.
 a) Qual o valor total disponível nessa aplicação 
no final do período?
Do enunciado, temos: C = 2500, i = 2,5% = 0,025 e t = 12
Definição: M = C × (1 + i)t
M = 2500 × (1 + 0,025)12
M = 2500 × 1,02512
M = R$ 3.362,22
 b) Qual o valor total dos juros?
Usamos a fórmula:
M = C + J
3362,22 = 2500 + J
M = 3362,22 − 2500
M = R$ 862,22
 7. Silvia aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, 
sendo uma parte na aplicação do tipo A, à taxa 
de 2% a.m., e outra na aplicação do tipo B, à 
taxa de 1,5% a.m. Ela deixou o dinheiro nas duas 
aplicações durante seis meses e, ao resgatá-lo, os 
montantes foram iguais. Determine que valor foi 
investido em cada tipo de aplicação.
 8. Um capital de R$ 620,00 foi aplicado a juros 
compostos por 18 meses gerando um total de 
R$ 876,68.
 a) Qual o valor total dos juros no período consi-
derado?
Do enunciado, temos: C = 620,00, M = 876,68 e 
t = 18 meses
M = C + J
876,68 = 620 + J
J = 876,68 − 620
J = R$ 256,68
 b) Qual a taxa mensal da aplicação?
Agora, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da taxa: 
Da definição M = C ⋅ (1+i)t isola-se o i
i
M
C
i
i
i ou a
t
t
= -
= -
= - = -
=
1
876 68
620
1
1 414 1 1 0194 1
0 0194 1 94
18
,
, ,
, , % .mm.
 9. Uma empresa possui um boleto com valor nomi-
nal de R$ 7.200,00 que vence em 120 dias. Con-
siderando uma taxa de juros simples de 31,2% 
ao ano, calcule o valor deste título: 
 a) hoje
i i am= × ® =0 312
12
100 2 6
,
, % . .
Assim,M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)
7 200 = C ⋅ (1 + 0,026 ⋅ 4)
C = 7 200 : 1,104 = R$ 6.521,74
 b) cinco meses após seu vencimento.
Cinco meses após o vencimento:
M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)
M= 7 200 ⋅ (1 + 0,026 ⋅ 5)
M = 7 200 ⋅ (1,13) = R$ 8.136,00
O valor à vista:
100% – 5% = 95%
0,95 · 1.500 = 1 425
A geladeira à vista custa R$ 1.425,00.
Determinando a taxa mensal:
1 500 = 1 425 · (1 + i)2 
(1 + i)2 1,05263
1 1 05263
1 1 026
0 026
+ @
+ @
@
i
i
i
,
,
,
i = 2,6% a.m.
Aplicação A:
MA = C · (1 + 0,02)6
MA = (1,02)6 · C
Aplicação B:
MB = (6 000 – C) · (1 + 0,015)6
MB = 6 000 · (1,015)6 – (1,015)6 · C
Como MA = MB
(1,02)6 · C = 6 000 · (1,015)6 – (1,015)6 · C
(1,026 + 1,0156) · C = 6 000 · (1,015)6
C = ×
+
@6 000 1 015
1 02 1 015
2 955 78
6
6 6
( , )
( , , )
. ,
6.000 – 2.955,78 = 3.044,22
Capital da aplicação : R$ 2.955,78
Capital da aplicação : R$ 3.044,22
17Matemática Matemática financeira e estatística
Progressão aritmética, progressão geométrica 
e matemática financeira
Na Matemática Financeira, a capitalização composta, muito utilizada no mercado finan-
ceiro, é baseada no estudo da progressão geométrica. O juro que incide sobre o montante do 
período anterior é denominado “juro sobre juro”.
Observe uma situação em que um capital foi aplicado sob o regime de capitalização composta.
Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante três meses a uma taxa de 10% ao mês.
O valor da aplicação na data 0 ou data focal 0 é de R$ 10.000,00. O valor da aplicação 
no final do primeiro mês ou na data focal 1 é de R$ 11.000,00, porque 11 000 = 10 000 1,10
O valor da aplicação no final do segundo mês ou na data focal 2 é de R$ 12.100,00, por-
que 12 100 = 11 000 1,10 ou então porque 12 100 = 10 000 (1,10)²
O valor da aplicação no final do terceiro mês ou na data focal 3 é de R$ 13.310,00, porque
13 310 = 12 100 1,10 ou então porque 13 310 = 10 000 (1,10)3
Assim, o montante, após três meses, é R$ 13.310,00. O juro gerado nesse processo é 
R$ 3.310,00. Se essa capitalização fosse a juros simples, então o montante seria R$ 13.000,00, 
e o juro, R$ 3.000,00.
Comparando as capitalizações (simples e composta) em cada período, tem-se:
Capitalização simples: 
(10 000, 11 000, 12 000, 13 000, 14 000,...) ® PA (r = 1 000)
 
1.° mês 2.° mês 3.° mês 4.° mês
Capitalização composta:
(10 000, 11 000, 12 100, 13 310, 14 641,...) ® PG (q = 1,1)
 
1.° mês 2 .° mês 3 .° mês 4 .° mês
Na capitalização simples, os montantes em cada período formam uma PA, enquanto na 
capitalização composta, formam uma PG.
Na relação Mn = C(1 + i)n, quando comparada ao termo geral an = a1 · q
n − 1, tem-se:
 an é denominado valor futuro (VF) ou montante (Mn), que corresponde ao capital 
acrescido de juros;
 a1 é o valor presente ou capital inicial (C), que corresponde ao capital aplicado 
no tempo 0, ou seja, no tempo presente;
 q é igual a (1 + i), em que i é a taxa de juros na forma decimal.
Diva
nzir 
Padilha. 2008. D
igital.
18 Conquista Modular
Para fazer
Observe que o expoente da relação Mn = C(1 + i)n é n, 
pois na Matemática Financeira n , logo, quando n = 0 
(data focal 0), o montante é igual ao capital inicial. 
No termo geral da PG an = a1 · q
n − 1, o expoente é n − 1 
e n *, isto é, não existe termo a0 na posição 0, ou seja, 
quando n = 0. Nessa relação, a1 corresponde a M1, ou seja, 
o montante quando n = 1.
 4. João Pedro aplicou R$ 8.000,00, a juros compos-
tos, em uma aplicação bancária que rende 1,5% 
ao mês, por um ano. Qual será o montante rece-
bido por João Pedro ao final do período? Deter-
mine os juros gerados.
 5. Um capital é aplicado a uma taxa de 5% ao mês. 
Após quantos meses esse capital terá seu valor 
dobrado? E triplicado?
(Use: log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e 
log 1,05 = 0,02.)
M = 2C (o montante é o dobro do capital)
M = C(1 + i)n
2C = C(1 + 0,05)n
2 = (1,05)n
Aplicando logaritmos em ambos os membros, tem-se:
log 2 = log (1,05)n
log 2 = n · log 1,05
n = 
log 2
log 1,05
 = 
0,3
0,02
 = 15 meses.
M = 3C (o montante é o dobro do capital)
M = C(1 + i)n
3C = C(1 + 0,05)n
3 = (1,05)n
Aplicando logaritmos em ambos os membros, tem-se:
log 3 = log (1,05)n
log 3 = n · log 1,05
n = 
log 3
log 1,05 = 
0,48
0,02 = 24 meses.
 6. (UNESP) Desejo ter, para minha aposentadoria, 
1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação 
financeira, que rende 1% de juros ao mês, já 
descontados o imposto de renda e as taxas 
bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar 
após 30 anos com aplicações mensais fixas 
e ininterruptas nesse investimento, o valor 
aproximado, em reais, que devo disponibilizar 
mensalmente é
 Dado: 1,01361 36.
 a) 290,00.
X b) 286,00.
 c) 282,00.
 d) 278,00.
 e) 274,00.
 1. Um capital é aplicado em um fundo de renda 
fixa cujo rendimento mensal é de 4% em relação 
ao mês anterior. Se não forem feitos resgates, a 
sequência dos valores mensais aplicados nesse 
fundo será:
 a) uma progressão aritmética de razão 4.
 b) uma progressão aritmética de razão 0,04.
 c) uma progressão geométrica de razão 0,4.
 d) uma progressão geométrica de razão 0,04.
X e) uma progressão geométrica de razão 1,04.
 2. (UP – PR) Em Matemática Financeira, a fórmula 
M
n
 = C · (1 + i)n fornece o montante M
n
 gerado 
pela aplicação, a juros compostos, de um capi-
tal C, num período n de meses, com a taxa fixa 
mensal i. Então, observando a sequência forma-
da pelos montantes, mês a mês, isto é, M
1
, M
2
, 
M
3
, ..., M
n
, é correto afirmar:
 a) É uma progressão aritmética de razão C.
X b) É uma progressão geométrica de razão 
(1 + i).
 c) Não é nem progressão aritmética nem pro-
gressão geométrica.
 d) É uma progressão aritmética de razão 
C(1 + i).
 e) É uma progressão geométrica de razão C.
 3. O limite do cheque especial ou do cartão de cré-
dito é um recurso que algumas pessoas utilizam 
quando não têm saldo em suas contas para rea-
lizar uma compra ou pagar uma despesa. Porém, 
nem todas as pessoas sabem realmente quanto 
vão pagar, pois desconhecem o cálculo dos juros 
cobrados pelo uso do limite disponibilizado pelo 
banco. Para entender um pouco melhor essa si-
tuação, será utilizado um caso real:
Maria Eduarda realizou compras para a sua casa, 
entre móveis e eletroeletrônicos, e pagou essas 
despesas utilizando o limite do cartão de crédi-
to. Ela gastou R$ 10.000,00. A taxa cobrada pelo 
banco é de 8% ao mês. Se Maria Eduarda for 
quitar essa dívida após seis meses, qual valor ela 
deverá pagar? Determine os juros gerados.
M = 8.000(1 + 0,015)12 = 8.000 · (1,015)12 9.564,95
Os juros gerados são R$ 1.564,95.
M = 10 000(1 + 0,08)6 = 10 000 · (1,08)6 15 868,74
Os juros gerados são R$ 5.868,74.
19Matemática Matemática financeira e estatística
Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são taxas que produzem montantes iguais em períodos de 
capitalização diferentes, aplicadas durante um mesmo tempo, sobre o mesmo capital.
Taxas equivalentes no regime de capitalização simples
Sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes e n1 e n2 os tempos de aplicação. Considerando um 
capital C, tem-se:
J1 = C · i1 · n1 
J2 = C · i2 · n2
C · i1 · n1 = C · i2 · n2
i1 · n1 = i2 · n2
Ética e cidadania
Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, 
diz acadêmico de Oxford
Para professor, jovens teriam impacto na sociedade se ganhassem milhões e doassem 
parte do salário para causas sociais
Um cientista político da renomada Universidade de 
Oxford saiu a público para defender que jovens idealistas 
entrem para carreiras no sistema financeiro.
Will Crouch, especialista em ética do Centro Uehiro 
para Ética Prática de Oxford, argumentou que os jovens 
teriam mais impacto na sociedade se, em vez de entrar 
para ONGs, por exemplo, escolhessem uma carreira milio-
nária e doassem parte de sua renda para causas sociais. 
Seria “como Robin Hood, mas ganhando o dinheiro 
em vez roubar”, comparou. 
Desde a crise econômica que começou com a quebra 
do banco Lehman Brothers, em setembro de 2008, ban-
queiros e profissionais do mercadofinanceiro têm sido 
alvo de críticas, acusados de egoísmo, ganância e falta 
de consciência moral. 
A Bolsa de Valores de Londres, símbolo do merca-
do, continua sendo alvo de manifestantes do movimento 
Occupy London, acampados do lado de fora da Catedral 
de St. Paul, nas proximidades do pregão. 
Entretanto, Crouch alega que os jovens que descartam 
carreiras no setor financeiro por desconfiança da integridade 
ética da profissão podem estar tomando a decisão errada. 
“O benefício direto que um só trabalhador no setor 
Filantrópico pode gerar é limitado, enquanto as doações 
filantrópicas de um banqueiro podem prover uma ajuda 
indireta dez vezes maior que a maioria das pessoas”, afir-
mou o professor. 
Analisando a renda típica de um investidor profis-
sional e o custo de tratar a tuberculose nos países de-
senvolvidos, Crouch estimou que um “ricaço com cons-
ciência ética” pode salvar 10 mil vidas com metade do 
seu salário. 
Crouch, que diz doar 20% de sua renda como acadê-
mico para caridade – percentual que ele pretende elevar 
para 50% no futuro –, é o fundador da organização 80 
Hours, voltada para a maximização de doações sociais. 
O nome da organização vem da estimativa do pro-
fessor de que a vida profissional de uma pessoa dura em 
média 80 mil horas. 
Para o especialista em ética, as opções de carreira 
profissional precisam ser avaliadas para além do estereó-
tipo relacionado a seus valores morais. [...]
ESTADAO.COM. Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, diz acadêmico de Oxford. Disponível em: <http://economia.estadao.com.br/noticias/
economia,jovens-eticos-devem-abracar-carreira-no-setor-financeiro-diz-academico-de-oxford,93349,0.htm>. Acesso em: 16 mar. 2012.
Ética e cidadania
Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, 
diz acadêmico de Oxford
Para professor, jovens teriam impacto na sociedade se ganhassem milhões e doassem 
parte do salário para causas sociais
Um cientista político da renomada Universidade de 
Oxford saiu a público para defender que jovens idealistas
entrem para carreiras no sistema financeiro.
Will Crouch, especialista em ética do Centro Uehiro 
para Ética Prática de Oxford, argumentou que os jovens 
teriam mais impacto na sociedade se, em vez de entrar 
para ONGs, por exemplo, escolhessem uma carreira milio-
nária e doassem parte de sua renda para causas sociais.
Seria “como Robin Hood, mas ganhando o dinheiro 
em vez roubar”, comparou. 
Desde a crise econômica que começou com a quebra 
do banco Lehman Brothers, em setembro de 2008, ban-
queiros e profissionais do mercado financeiro têm sido 
alvo de críticas, acusados de egoísmo, ganância e falta 
de consciência moral. 
A Bolsa de Valores de Londres, símbolo do merca-
do, continua sendo alvo de manifestantes do movimento 
Occupy London, acampados do lado de fora da Catedral 
de St. Paul, nas proximidades do pregão. 
Entretanto, Crouch alega que os jovens que descartam 
carreiras no setor financeiro por desconfiança da integridade
ética da profissão podem estar tomando a decisão errada. 
“O benefício direto que um só trabalhador no setor 
Filantrópico pode gerar é limitado, enquanto as doações
filantrópicas de um banqueiro podem prover uma ajuda 
indireta dez vezes maior que a maioria das pessoas”, afir-
mou o professor. 
Analisando a renda típica de um investidor profis-
sional e o custo de tratar a tuberculose nos países de-
senvolvidos, Crouch estimou que um “ricaço com cons-
ciência ética” pode salvar 10 mil vidas com metade do 
seu salário. 
Crouch, que diz doar 20% de sua renda como acadê-
mico para caridade – percentual que ele pretende elevar 
para 50% no futuro –, é o fundador da organização 80 
Hours, voltada para a maximização de doações sociais.
O nome da organização vem da estimativa do pro-
fessor de que a vida profissional de uma pessoa dura em
média 80 mil horas.
Para o especialista em ética, as opções de carreira
profissional precisam ser avaliadas para além do estereó-
tipo relacionado a seus valores morais. [...]
ESTADAO.COM. Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, diz acadêmico de Oxford. Disponível em: <http://economia.estadao.com.br/noticias/
economia,jovens-eticos-devem-abracar-carreira-no-setor-financeiro-diz-academico-de-oxford,93349,0.htm>. Acesso em: 16 mar. 2012.
20 Conquista Modular
 1. A taxa de 12% a.s. é equivalente a que taxa 
mensal?
 2. A taxa de 12% a.a. é equivalente a que taxa 
mensal?
Para resolver as atividades seguintes, considere 
1 ano = 365 dias e 1 mês = 30 dias.
 3. Determine a taxa anual, equivalente a juros sim-
ples, das seguintes taxas:
 a) 0,04% a.d.
 b) 1,3% a.m.
 c) 2,8% a.b.
i1 = ?
n1 = 6 ( 6 meses = 1 semestre)
i2 = 12 % a.s.
n2 = 1 (1 semestre)
i1 · 6 = 12 · 1
i1
12
6
=
i1 = 2% a.m.
Logo, 12% a.s. equivale a 2% a.m. no regime de capitali-
zação simples.
i1 = ?
n1 = 12 (12 meses = 1 ano)
i2 = 12% a.a.
n2 = 1 (1 ano)
(1 + i1)
12= (1 + 0,12)1
(1 + i1)
12= 1,12
1 1121
12+ =i ,
1 1121
1
12+ =i ,
1 + i1 1,0095
i1 0,0095
i1 0,95% a.m.
Logo, 12% a.a. equivale a aproximadamente 0,95% a.m. no 
regime de capitalização composta.
Para fazer
Taxas equivalentes no regime de capitalização composta
As taxas equivalentes produzem montantes iguais se aplicadas sobre um mesmo capital 
e durante um mesmo tempo.
Sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes e n1 e n2 os tempos de aplicação. Considerando um 
capital C, tem-se:
M1 = C · (1 + i1)
n1
M2 = C · (1 + i2)
n2
C · (1 + i1)
n1 = C · (1 + i2)
n2
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)
n2
i1 = ?
n1 = 1 (1 ano)
i2 = 1,3% a.m.
n2 = 12 (12 meses = 1 ano)
i1 · 1 = 1,3 · 12
i1 = 15,6% a.a.
i1 = ?
n1 = 1 (1 ano)
i2 = 0,04% a.d.
n2 = 365 (365 dias = 1 ano)
i1 · 1 = 0,04 · 365
i1 = 14,6% a.a.
i1 = ?
n1 = 1 (1 ano)
i2 = 2,8% a.b.
n2 = 6 (6 bimestres = 1 ano)
i1 · 1 = 2,8 · 6
i1 = 16,8% a.a.
21Matemática Matemática financeira e estatística
 d) 15,2% a.a.
 5. Carolina investiu R$ 12.000,00, a juros compos-
tos, à taxa de 6% a.s. pelo prazo de sete meses. 
Qual o juro recebido desse investimento? 
 6. Carlos aplicou R$ 5.000,00, a juros compostos, 
à taxa de 18% a.a. pelo prazo de cinco meses. 
Qual o montante no final dessa aplicação? 
 d) 6,1% a.t.
 e) 15,2% a.s.
 4. Determine a taxa semestral, equivalente a juros 
compostos, das seguintes taxas:
 a) 1,3 a.m.
b) 2,8% a.b.
 c) 6,1% a.t.
i1 = ?
n1 = 1 (1 ano)
i2 = 15,2% a.s.
n2 = 2 (2 semestres = 1 ano)
i1 · 1 = 15,2 · 2
i1 = 30,4% a.a.
i1 = ?
n1 = 1 (1 semestre)
i2 = 1,3% a.m.
n2 = 6 (6 meses = 1 semestre)
(1 + i1)
1 = (1 + 0,013)6
1 + i1 = 1,0136
1 + i1 1,0806
i1 0,0806
i1 8,06% a.s.
i1 = ?
n1 = 1 (1 semestre)
i2 = 2,8% a.b.
n2 = 3 (3 bimestres = 1 semestre)
(1 + i1)
1 = (1 + 0,028)3
1 + i1 = 1,0283
1 + i1 1,0864
i1 0,0864
i1 8,64% a.s.
i1 = ?
n1 = 1 (1 semestre)
i2 = 6,1% a.t.
n2 = 2 (2 trimestres = 1 semestre)
(1 + i1)
1 = (1 + 0,061)2
1 + i1 = 1,0612
1 + i1 1,1257
i1 0,1257
i1 12,57% a.s.
i1 = ?
n1 = 1 (1 semestre)
i2 = 15,2% a.a.
n2 = 
1
2
 (metade de um ano = 1 semestre)
(1 + i ) = (1 + 0,152)
1 + i
1 + i
i
1
1
1
2
1
1
1
=
@
@
1152
1 0733
0 073
,
,
, 33
i1 7,33% a.s.
i1 = ?
n1 = 1 (1 mês)
i2 = 6% a.s.
n2 = 
1
6
(1 + i ) = (1 + 0,06)
1 + i
1 + i
i
1
1
1
6
1
1
1
=
@
@
1 06
1 0098
0 0098
6 ,
,
,
i1 0,98 a.m.
M = 12 000 · (1 + 0,0098)7
M 12 847,80
J = 12 847,80 – 12 000 = 847,80
Foram recebidos R$ 847,80 de juros do investimento.
i1 = ?
n1 = 1 (1 mês)
i2 = 18% a.a.
n2 = 
1
12
(1 + i ) = (1 + 0,18)
1 + i
1 + i
i
1
1
1
12
1
1
1
=
@
@
118
1 0139
0 01
12 ,
,
, 339
i1 1,39 a.m.
M = 5 000 · (1 + 0,0139)5
M 5 357,30
R$ 5.357,30
i1 = ?
n1 = 1 (1 ano)
i2 = 6,1% a.t.
n2 = 4 (4 trimestres = 1 ano)
i1 · 1 = 6,1 · 4
i1 = 24,4% a.a.
22 Conquista Modular
 1. (ENEM) Um experimento consiste em colocar 
certa quantidade de bolas de vidro idênticas em 
um copo com água até certo nível e medir o nível 
da água, conforme ilustrado na figura a seguir. 
Como resultado do experimento, concluiu-se 
queo nível da água é função do número de bo-
las de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do 
experimento realizado.
Número de bolas (x) Nível de água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Qual a expressão algébrica que permite calcular 
o nível da água (y) em função do número de bo-
las (x)?
 a) y = 30x
 b) y = 25x + 20,2
 c) y = 1,27x
 d) y = 0,7x
X e) y = 0,07x + 6
 2 (UERJ) Um capital de C reais foi investido a ju-
ros compostos de 10% ao mês e gerou, em três 
meses, um montante de R$ 53.240,00. Calcule o 
valor, em reais, do capital inicial C.
Fator de aumento 1,1 ao mês.
A cada mês o capital aumenta 10%, logo C × (1,1)3 = 53.240.
C R=
( )
= =
53240
11
53240
1 331
40 000 003, ,
$ . ,
Logo, C = R$ 40.000,00.
 3. (UFJF – MG) Um capital de R$ 1.000, 00 aplicado 
no sistema de juros compostos a uma taxa de 
10% ao mês, gera, após n meses, o montante 
(que é o juro mais o capital inicial) é dado pela 
fórmula a seguir:
M n
n
( ) = +æ
èç
ö
ø÷
1 000 1
1
10
.
 a) Qual o valor do montante após 2 meses?
a) O valor do montante após 2 meses, é dado por:
M n
M
M
M
n
( ) = +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +( )
( ) = ( )
( ) =
1000 1
1
10
2 1000 1 0 1
2 1000 11
2
2
2
( ) ,
,
RR$ . ,1 210 00
 b) Qual o número mínimo de meses necessários 
para que o valor do montante seja igual a R$ 
10.000,00?
(Use que log
10
 11 = 1,04 )
b) O número mínimo de meses necessários para que o va-
lor do montante seja igual a R$ 10.000,00 é de:
10 000 1 000 1
1
10
10 1 0 1
10 11
10 11
. .
,
,
log log ,
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +( )
= ( )
= ( )
n
n
n
nn
n
n
n
⋅ ( ) =
⋅ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⋅ −( ) =
log , log
log log
log log log
11 10
11
10
10
11 10 110
1 04 1 1
0 04 1
1
0 04
25
n
n
n meses
⋅ −( ) =
=
= =
,
,
,
 4. (FGV – SP) Como resultado de um processo ga-
nho na justiça, Hélio deveria ter recebido, no 
início de 2006, a quantia de R$4.000,00 da em-
presa Alfa. No mesmo período (início de 2006), 
Hélio devia R$1.000,00 em sua fatura de cartão 
de crédito. Nenhuma dessas quantias foi quitada 
à época. Para atualizar (corrigir) valores monetá-
rios ao longo do tempo, pode-se utilizar o regi-
me de capitalização de juros compostos. É válida 
a seguinte relação matemática:
AtividadesAtividades
23Matemática Matemática financeira e estatística
M = C × ( 1 + i)n, em que
M é o montante; C é o capital; i é a taxa de juros 
e n é o número de períodos de capitalização. Por 
exemplo, aplicando-se o capital de R$1.000,00 à 
taxa de 5,00% ao mês, por um mês, obtém-se o 
montante de R$1.050,00.
A tabela a seguir contém valores para o termo 
(1 + i)n, para i e n selecionados.
n (meses)
i(% 
meses)
1 12 108 120 132
1,00 1,0100 1,1268 2,9289 3,3004 3,7190
2,00 1,0200 1,2682 8,4883 10,7652 13,6528
3,00 1,0300 1,4258 24,3456 34,7110 49,4886
4,00 1,0400 1,6010 69,1195 110,6626 177,1743
5,00 1,0500 1,7959 194,2872 348,9120 626,5958
Utilize as informações do enunciado para res-
ponder às seguintes questões:
 a) Suponha que a taxa de juro utilizada para 
atualizar o valor que Hélio tem a receber da 
empresa Alfa seja igual a 1,00% ao mês. Qual 
será o valor que a empresa Alfa deverá pagar 
a Hélio no início de 2016, ou seja, após exa-
tos 10 anos?
 b) Suponha que a taxa de juro utilizada para 
atualizar a dívida da fatura de cartão de cré-
dito seja igual a 4,00% ao mês. No início de 
2016, ou seja, após exatos 10 anos, qual é o 
valor atualizado dessa dívida de Hélio?
 c) Suponha que Hélio receba da empresa Alfa, 
no início de 2016, o valor devido. Quanto, no 
máximo, poderia ter sido a dívida de Hélio em 
sua fatura de cartão de crédito, em valores 
do início de 2006, de forma que ele pudesse 
quitá-la, no início de 2016, com o valor rece-
bido da empresa Alfa?
 Nota: taxa de juro utilizada para atualizar:
 o valor recebido por Hélio da empresa 
Alfa: 1,00% ao mês.
 a dívida da fatura de cartão de crédito: 
4,00% ao mês.
a) M = 4 000 × (1 + 0,01)120 = 4 000 × 3,3004 = R$ 13.201,60.
 O valor é R$13.201,60
b) M = 1 000 × (1 + 0,04)120 = 1 000 × 110,6626 = R$ 110.662,60.
O valor é R$110.662,60.
c)
4 000 1 0 01 1 0 04
4 000 3 3004
110 6626
11
120 120. , ,
. ,
,
$
× +( ) = × +( )
= × =
x
x R 99 30,
O maior valor possível para a dívida na fatura do cartão 
de crédito, em valores de janeiro de 2006, é R$119,30.
 5. (FGV – SP) Certo capital foi aplicado em regime 
de juros compostos. Nos quatro primeiros me-
ses, a taxa foi de 1% ao mês e, nos quatro meses 
seguintes, a taxa foi de 2% ao mês. Sabendo-se 
que, após os oito meses de aplicação, o montan-
te resgatado foi de R$65.536,00, então o capital 
aplicado, em reais, foi aproximadamente igual a 
Dado: 65 536 = 216
 a) 3,668.
 b) 3,728.
 c) 3,788.
 d) 3,888.
X e) 3,968.
 6. (UPE) Patrícia aplicou, num investimento ban-
cário, determinado capital que, no regime de 
juro composto, durante um ano e seis meses, 
à taxa de 8% ao mês, gerou um juro de R$ 
11.960,00. Qual é o capital aplicado por ela nes-
se investimento? 
Utilize (1,08)18 = 3,99.
 a) R$ 3.800,00
X b) R$ 4.000,00
 c) R$ 4.600,00
 d) R$ 5.000,00
 e) R$ 5.200,00
 7. (ENEM) Considere que uma pessoa decida in-
vestir uma determinada quantia e que sejam 
apresentadas três possibilidades de investimen-
to, com rentabilidades líquidas garantidas pelo 
período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, inci-
dem sobre o valor do período anterior. O quadro 
fornece algumas aproximações para a análise 
das rentabilidades.
n 1,03n
3 1,093
6 1,194
9 1,305
12 1,426
24 Conquista Modular
Para escolher o investimento com maior rentabi-
lidade anual, essa pessoa deverá
 a) escolher qualquer um dos investimentos A, B 
ou C, pois as suas rentabilidades anuais são 
iguais a 36%.
 b) escolher os investimentos A ou C, pois suas 
rentabilidades anuais são iguais a 39%.
X c) escolher o investimento A, pois a sua renta-
bilidade anual é maior que as rentabilidades 
anuais dos investimentos B e C.
 d) escolher o investimento B, pois sua rentabi-
lidade de 36% é maior que as rentabilidades 
de 3% do investimento A e de 18% do inves-
timento C.
 e) escolher o investimento C, pois sua rentabili-
dade de 39% ao ano é maior que a rentabili-
dade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
 8. (ENEM) Um jovem investidor precisa escolher 
qual investimento lhe trará maior retorno finan-
ceiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, 
pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago 
em dois investimentos: poupança e CDB (certifi-
cado de depósito bancário). As informações ob-
tidas estão resumidas no quadro:
Rendimento 
mensal (%)
IR 
(imposto de renda)
Poupança 0,560 Isento
CDB 0,876 4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a 
aplicação mais vantajosa é
 a) a poupança, pois totalizará um montante de 
R$ 502,80.
 b) a poupança, pois totalizará um montante de 
R$ 500,56.
 c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
504,38.
X d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
504,21.
 e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 
500,87.
 9. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, ali-
mentos não perecíveis para doar a uma comuni-
dade carente da região. Vinte alunos aceitaram 
a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 
horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos 
por dia. Animados com os resultados, 30 no-
vos alunos somaram-se ao grupo e passaram 
a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes 
até o término da campanha. Admitindo-se que 
o ritmo de coleta tenha se mantido constante, 
a quantidade de alimentos arrecadados ao final 
do prazo estipulado seria de:
X a) 920 kg.
 b) 800 kg.
 c) 720 kg.
 d) 600 kg.
 e) 570 kg.
 10. (ITA – SP) Uma empresa possui 1000 carros, sen-
do uma parte com motor a gasolina e o restan-
te com motor “flex” (que funciona com álcool e 
com gasolina). Numa determinada época, nesteconjunto de 1000 carros, 36% dos carros com 
motor a gasolina e 36% dos carros com motor 
“flex” sofrem conversão para também funcionar 
com gás GNV. Sabendo-se que, após essa con-
versão, 556 dos 1 000 carros dessa empresa são 
bicombustíveis, pode-se afirmar que o número 
de carros tricombustíveis é igual a:
 a) 246
X b) 252
 c) 260
 d) 268
 e) 284
 11. (FGV – SP) Um aparelho de TV é vendido por 
R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem 
acréscimo, sendo o 1°. como entrada e o 2°. um 
mês após a compra. Se o pagamento for feito à 
vista, há um desconto de 4% sobre o preço de 
R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do 
financiamento é aproximadamente igual a:
X a) 8,7%
 b) 7,7%
 c) 6,7%
 d) 5,7%
 e) 4,7%
 12. (UFC – CE) José e João possuem uma empresa 
cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% 
de participação na sociedade e deseja aumentar 
a sua participação para 55%. Se João não deseja 
alterar o valor, em reais, de sua participação, o 
valor que José deve empregar na empresa é:
 a) R$ 110.000,00
 b) R$ 170.000,00
 c) R$ 82.500,00
 d) R$ 90.000,00
X e) R$ 50.000,00
25Matemática Matemática financeira e estatística
 13. (UFPE) Quando o preço da unidade de deter-
minado produto diminuiu 10%, o consumo au-
mentou 20% durante certo período. No mesmo 
período, de que percentual aumentou o fatura-
mento da venda deste produto?
X a) 8%
 b) 10%
 c) 12%
 d) 15%
 e) 30%
 14. (UFES) Um empregado recebe um salário men-
sal para trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 
2 horas extras todo dia, ele tem acréscimo de 
50% em seu salário. Quanto ele ganha a mais 
por hora extra?
 a) 50%
 b) 60%
 c) 80%
X d) 100%
 e) 120%
 15. (UFMG) Uma loja aumenta o preço de um de-
terminado produto cujo valor é R$ 600,00 para, 
em seguida, a título de promoção, vendê-lo 
com desconto de 20% e obter ainda os mesmos 
R$ 600,00. Para que isso aconteça, o aumento 
percentual do preço deverá ser de:
 a) 20%
X b) 25%
 c) 30%
 d) 40%
 16. (FGV – SP) Um capital aplicado a juros simples, à 
taxa de 2,5% ao mês, triplica em:
 a) 75 meses.
X b) 80 meses.
 c) 85 meses.
 d) 90 meses.
 e) 95 meses.
 17. (ESPM – SP) Um capital de R$ 6.000,00 é aplicado 
por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é 
o valor dos juros resultantes dessa aplicação?
Você pode usar um dos dados a seguir:
1,024 = 1,0824
1,24 = 2,0736
1,02 · 4 = 4,08
 a) R$ 6.494,40
 b) R$ 6.480,00
 c) R$ 6.441,60
X d) R$ 494,40
 e) R$ 480,00
 18. (PUC Minas – MG) Em uma fábrica, sobre o pre-
ço final do produto, sabe-se que 
1
5
 do preço é 
gasto com impostos, 
1
4
 dele com salários, 25% 
com material e o restante é o lucro. O percentual 
do preço que representa o lucro é:
 a) 15%
 b) 20%
 c) 25
X d) 30%
 19. (UFPE) O preço de venda de um automóvel é de 
R$ 20.000,00. Esse valor pode ser dividido em 
40 prestações iguais calculadas da seguinte ma-
neira: adicionam-se ao valor do automóvel juros 
mensais e cumulativos de 1% durante 40 meses 
e divide-se o montante por 40. Determine o va-
lor da prestação, em reais. (Use a aproximação 
(1,01)40 = 1,5)
 20. (FGV – SP) Em uma sala de aula, a razão entre o 
número de homens e o de mulheres é 3
4
. Seja N 
o número total de pessoas (número de homens 
mais o de mulheres). Um possível valor para N é:
 a) 46
 b) 47
 c) 48 
X d) 49
 e) 50
 21. (CESPE/UnB – DF) Uma pessoa recebeu R$ 
6.000,00 de herança, sob a condição de inves-
tirtodo o dinheiro em dois tipos particulares de 
ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e 
as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A maior quan-
tia que a pessoa pode investir nas ações x, de 
modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é:
 a) R$ 1.200,00 
 b) R$ 1.600,00 
X c) R$ 2.000,00 
 d) R$ 2.300,00 
 e) R$ 2.500,00
Cx + Cy = 6 000
com ix = 0,07 a.a e iy = 0,09 a.a.
Jx + Jy = 500
Cx × 0,07 × 1 + Cy × 0,09 × 1 = 500
como Cy = 6 000 – Cx
Cx × 0,07 + (6 000 – Cx) × 0,09 = 500
Cx × 0,07 + 540 – 0,09 × Cx= 500
Cx = 2 000, alternativa C
26 Conquista Modular
27Matemática Matemática financeira e estatística
2 Estatística I
Conceitos Centrais
A Estatística é a ciência do tratamento de dados em um contexto, se ocupando da 
coleta, organização, tratamento e análise de informações coletadas com o objetivo de 
observar tendências, realizar previsões e ajudar na tomada de decisões.
Variáveis
Um estudo estatístico começa pela escolha de uma população. Por motivos diversos 
(como falta de tempo ou uma população muito grande), restringe-se esse estudo a uma amos-
tra, ou seja, a um subconjunto. 
Depois disso, definem-se propriedades ou características a serem estudadas por meio 
da amostra, que deve conter elementos com os mesmos aspectos da população em números 
proporcionais aos existentes na população. A escolha dos elementos da amostra deve ser 
ampla e aleatória.
Essas propriedades ou características de uma amostra são denominadas variáveis. 
Logo, as variáveis são os possíveis resultados de um fenômeno a serem investigados em uma 
população. 
As variáveis podem ser:
Qualitativas – são aquelas que apresentam uma característica, qualidade ou preferên-
cia dos elementos da população. Exemplos: sexo, raça, meio de transporte etc.
Quantitativas – são aquelas representadas por números. Exemplos: altura, preço etc.
As variáveis quantitativas podem ser divididas em:
Contínuas – no intervalo de variação, essas variáveis podem assumir qualquer valor e 
relacionam-se, geralmente, a medições. Por exemplo: altura, tempo, massa etc. 
Discretas – assumem apenas valores inteiros e relacionam-se, geralmente, a conta-
gens. Por exemplo: número de pessoas, número de vezes por semana que uma pessoa pratica 
atividades físicas, número de carros etc.
1. Variáveis 
2. Frequência absoluta e 
relativa 
3. Análise e interpretação 
de gráficos e tabelas 
4. Medidas de tendência 
central 
5. Medidas de dispersão
Masculino
Gênero Idade
Feminino Menos de 
20 anos
De 21 a 
30 anos
Mais de 
30 anos
Não 
resposta
100%
74,3
Gráfico 1 - Exemplo de amostragem em relação às variáveis 
qualitativas Gênero e Idade
60,7
25,7 30,0
8,9
0,4
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
1
2 Estatística I
Frequência absoluta e relativa
Ética e cidadania
O estudo estatístico foi iniciado com a coleta, contagem e classificação dos dados de uma amostra. A seguir, 
será abordada uma forma de organizar esse estudo em tabelas. Elas são denominadas tabelas de distribuição de 
frequências, pois abordam dois tipos de frequências: a frequência absoluta e a frequência relativa.
O segundo turno das eleições no Brasil ocorre em cidades com mais de 200 000 eleitores e se nenhum candidato 
obtiver mais do que a metade dos votos válidos, ou seja, o total de votos excluindo-se os votos nulos e brancos. 
No segundo turno das eleições presidenciais em 2014, os candidatos Dilma Rousseff e Aécio Neves disputaram 
a preferência dos votos do eleitor brasileiro. A candidata Dilma Rousseff venceu a eleição. Observe o resultado da 
votação do segundo turno:
Número de votos Porcentagem
Dilma Rousseff 54 501 118 51,64
Aécio Neves 51 041 155 48,36
Foram 105 542 273 votos válidos. A diferença de votos da Dilma Rousseff em relação a Aécio Neves foi de 
3 459 953 votos, que corresponde a 3,28%.
Ética e cidadania
O estudo estatístico foi iniciado com a coleta, contagem e classificação dos dados de uma amostra. A seguir, 
será abordada uma forma de organizar esse estudo em tabelas. Elas são denominadas tabelas de distribuição de 
frequências, pois abordam dois tipos de frequências: a frequência absoluta e a frequência relativa.
O segundo turno das eleições no Brasil ocorre em cidades com mais de 200 000 eleitores e se nenhum candidato 
obtiver mais do que a metade dos votos válidos, ou seja, o total de votos excluindo-se os votos nulos e brancos. 
No segundo turno das eleições presidenciais em 2014, os candidatos Dilma Rousseff e Aécio Neves disputaram 
a preferência dos votos do eleitor brasileiro. A candidataDilma Rousseff venceu a eleição. Observe o resultado da 
votação do segundo turno:
Número de votos Porcentagem
Dilma Rousseff 54 501118 51,64
Aécio Neves 51 041155 48,36
Foram 105 542 273 votos válidos. A diferença de votos da Dilma Rousseff em relação a Aécio Neves foi de 
3 459 953 votos, que corresponde a 3,28%.
A frequência absoluta de uma variável, denominada fa, é o número de vezes em que ela ocorre.
A frequência relativa de uma variável é o quociente entre a frequência absoluta e o total de dados da amostra. 
É determinada por:
f
f
total de dados da amostrar
a= ⋅ 100 (em porcentagem)
 1. Em uma sala de 2a. série do Ensino Médio, no iní-
cio e no final do ano, foi feito um levantamento 
sobre as idades dos alunos e observaram-se os 
dados tabulados a seguir:
Início do ano
Idade (anos) Número de alunos
15 4
16 24
17 12
Fim do ano
Idade (anos) Número de alunos
16 16
17 18
18 6
 a) Qual é o número de alunos dessa sala?
40 alunos.
 b) Determine a frequência relativa em cada ta-
bela para cada idade.
Para fazer
No início do ano: 
15 anos: 10%;
16 anos: 60%;
17 anos: 30%.
– No fim do ano:
16 anos: 40%;
17 anos: 45%;
18 anos: 15%.
28 Conquista Modular
 2. Em um escritório, os salários dos funcionários, 
em reais, foram dispostos conforme a seguir:
850, 850, 950, 1 000, 950, 850, 710, 950, 950, 
850, 710, 1 250, 950, 850, 950, 1 250, 950, 850, 
1 000, 710, 950, 1 000, 710, 1 250, 950.
Construa uma tabela com as frequências absolu-
ta e relativa.
 3. Em uma pesquisa feita com as famílias sobre o 
número de filhos, constatou-se que:
Número de filhos por família Número de famílias
Mais de 3 filhos 2
3 filhos 42
2 filhos 120
1 filho 66
Nenhum filho 20
Determine a frequência relativa do número de fa-
mílias para cada classe.
 4. (ENEM) No quadro seguinte, são informados os 
turnos em que foram eleitos os prefeitos das ca-
pitais de todos os estados brasileiros em 2004: 
Cidade Turno
1 Aracaju (SE) 1.o
2 Belém (PA) 2.o
3 Belo Horizonte (MG) 1.o
4 Boa Vista (RR) 1.o
5 Campo Grande (MS) 1.o
6 Cuiabá (MT) 2.o
7 Curitiba (PR) 2.o
8 Florianópolis (SC) 2.o
9 Fortaleza (CE) 2.o
10 Goiânia (GO) 2.o
11 João Pessoa (PB) 1.o
12 Macapá (AP) 1.o
13 Maceió (AL) 2.o
14 Manaus (AM) 2.o
15 Natal (RN) 2.o
16 Palmas (TO) 1.o
17 Porto Alegre (RS) 2.o
18 Porto Velho (RO) 2.o
19 Recife (PE) 1.o
20 Rio Branco (AC) 1.o
21 Rio de Janeiro (RJ) 1.o
22 Salvador (BA) 2.o
23 São Luís (MA) 1.o
24 São Paulo (SP) 2.o
25 Teresina (PI) 2.o
26 Vitória (ES) 2.o
ALMANAQUE Abril Brasil 2005. 
São Paulo: Abril, 2005. 
Na Região Norte, a frequência relativa de eleição 
dos prefeitos no 2o. turno foi aproximadamente: 
X a) 42,86% 
 b) 44,44% 
 c) 50,00% 
 d) 57,14% 
 e) 57,69%
 5. Uma escola realizou uma eleição em uma turma 
do 9.º ano do Ensino Fundamental para escolher 
os oradores, que vão representar os alunos na 
solenidade de formatura. Para orador, concorre-
ram João Pedro e Rafael, e, para oradora, con-
correram Maria Eduarda e Giovana. Os alunos 
poderiam votar no período da manhã ou da tar-
de. Com isso, a escola dividiu a votação em dois 
horários, com uma urna em cada horário: manhã 
e tarde. 
Os alunos poderiam votar em um candidato e 
uma candidata em um dos períodos. 
Os resultados das urnas foram:
Manhã
João Pedro 18 votos
Rafael 12 votos
Maria Eduarda 14 votos
Giovana 16 votos
Tarde
João Pedro 9 votos
Rafael 11 votos
Maria Eduarda 16 votos
Giovana 4 votos
29Matemática Matemática financeira e estatística
Análise e interpretação de gráficos e tabelas
Existem vários tipos de gráficos como os de barras, de setor e de linha, que são elabo-
rados a partir da organização dos dados em tabelas. O uso de cada um deles depende do tipo 
de informações que se deseja relacionar e interpretar.
 1. De acordo com o gráfico a seguir, marque V 
para os itens verdadeiros e F para os falsos:
Fonte: ONU. World Urbanization Prospects. New York: ONU, 2008.
a) ( V ) A Europa terá uma redução para me-
nos de 1
4
 da população urbana no pe-
ríodo de 1950 a 2050.
b) ( V ) A Oceania não teve e nem terá varia-
ção na população urbana no período 
considerado.
c) ( F ) As Américas tiveram crescimento na po-
pulação urbana em relação à população 
urbana mundial de 1950 para 2007.
d) ( F ) As Américas em 2007 tinham 22% do 
total da população urbana.
e) ( F ) O crescimento da população urba-
na na África diminuiu no período 
considerado. 
 a) Escreva, na tabela a seguir, o número de votos 
de cada candidato e aponte os vencedores da 
eleição:
Orador
João Pedro 27 votos
Rafael 23 votos
Oradora
Maria Eduarda 30 votos
Giovana 20 votos
João Pedro e Maria Eduarda.
 b) Quantos alunos participaram dessa eleição?
30 alunos votaram de manhã e 20 alunos votaram de tarde.
Logo, 50 alunos participaram das eleições.
 c) Determine a porcentagem de votos de cada 
candidato e complete a tabela:
 João Pedro:
 50 100%
 27 x
 x = 54%
 Logo, Rafael teve 46%.
 Maria Eduarda:
 50 100%
 30 y
 y = 60%
Orador
João Pedro 54%
Rafael 46%
Oradora
Maria Eduarda 60%
Giovana 40%
Para fazer
30 Conquista Modular
 2. Uma matéria da revista Veja de 30 de julho de 
2008 apresentava os seguintes dados: 
LOPES, Adriana Dias. Aos 60 com pique de 50. Veja, 
São Paulo, ed. 2071, 30 jul. 2008.
Com base nesses dados, julgue os itens a seguir 
com V para verdadeiro e F para falso:
a) ( V ) O número de brasileiros com 75 anos 
que apresentam cinco doenças crôni-
cas é maior que o número de brasileiros 
com 60 anos que apresentam pelo me-
nos três doenças crônicas.
b) ( V ) Dos 60 anos aos 75 anos, o aumento 
do percentual de mortes causadas por 
doenças crônicas é de 20%. 
c) ( V ) A quantidade de remédios ingeridos dia-
riamente dobrou das pessoas que têm 60 
anos para as pessoas que têm 75 anos.
d) ( F ) Existem pessoas que têm 60 anos e que 
podem ter ficado internadas 8 dias e 
existem pessoas que têm 75 anos e que 
podem ter ficado internadas 5 dias.
 3. (ENEM) Os dados do gráfico foram coletados 
por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de 
Domicílios. 
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes 
foram entrevistados nessa pesquisa, quantos de-
les possuíam telefone móvel celular?
 a) 5 513
X d) 8 344
 b) 6 556
 c) 7 450
 e) 9 536
 4. (ENEM) A classificação de um país no quadro de 
medalhas nos Jogos Olímpicos depende do núme-
ro de medalhas de ouro que obteve na competi-
ção, tendo como critérios de desempate o número 
de medalhas de prata seguido do número de me-
dalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas 
de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no 
quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de 
ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro 
de medalhas é reproduzida a seguir.
Classificação País Medalhas 
de ouro
Medalhas 
de prata
Medalhas 
de bronze
Total de 
medalhas
8.º Itália 10 11 11 32
9.º Coreia do Sul 9 12 9 30
10.º Grã-Bretanha 9 9 12 30
11.º Cuba 9 7 11 27
12.º Ucrânia 9 5 9 23
13.º Hungria 8 6 3 17
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 
4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no núme-
ro de medalhas dos demais países mostrados no 
quadro, qual teria sido a classificação brasileira no 
quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? 
 a) 13.º
X b) 12.º
 c) 11.º
 d) 10.º
 e) 9.º
 5. (UFMG) Este gráfico representa o resultado de 
uma pesquisa realizada com 1 000 famílias com 
filhos em idade escolar: 
Considere estas afirmativas referentes às famílias 
pesquisadas:
 I. O pai participa da renda familiar em menos de 
850 dessas famílias.
 II. O pai e a mãe participam, juntos, da renda 
familiar em mais de 500 dessas famílias.
Então, é correto afirmar que:
 a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
 b) apenas a afirmativa I é verdadeira.
X c) apenas a afirmativa II é verdadeira.
 d) ambas as afirmativas são verdadeiras.
Ed
ito
ra
 A
br
il/
Ve
ja
*Os dados se referem a hospitais 
particulares no Brasil.
7%
35%
13%
45%
Legenda
Apenas o pai
Apenas a mãe
Opai e a mãe, juntos
O pai, a mãe e outros, juntos
Responsáveis pela renda familiar
31Matemática Matemática financeira e estatística
 6. 2) da Amazônia.
A partir das informações contidas no gráfico, 
marque V para as afirmativas verdadeiras e F 
para as falsas. 
 ( F ) No período de nov/2007 a mar/2008, a 
quantidade de área desmatada foi sempre 
decrescente.
 ( F ) Não houve alteração na quantidade de 
área desmatada no período de nov/2007 
a dez/2007 e no período de abr/2008 a 
mai/2008.
 ( V ) No período de ago/2007 a ago/2009, o 
mês em que mais se desmatou pertence ao 
primeiro semestre de 2008.
Assinale a sequência correta:
 a) F, V, F b) F, V, V c) V, V, F d) V, F, V X e) F, F, V 
 7. No jornal Gazeta do Povo de 10/12/2007, foi publicada uma matéria sobre obesidade. Parte dessa matéria 
está colocada a seguir. 
Com base nas informações do infográfico, marque V ou F conforme os itens sejam verdadeiros ou falsos:
a) ( V 
b) ( F ) Mais de 50% das pessoas que sofrem de obesidade mórbida têm doenças nas articulações.
c) ( V ) O Sul, percentualmente, tem mais pessoas com obesidade mórbida que a média nacional.
d) ( F ) No Brasil, 1 entre cada 200 pessoas está abaixo do peso.
Abaixo do peso
Peso normal
Sobrepeso
Obesidade leve
Obesidade moderada
Obesidade mórbida
5%
32%
51%
8,5%
0,6%
3%
Brasil
Abaixo do peso
Peso normal
Sobrepeso
Obesidade leve
Obesidade moderada
Obesidade mórbida
3%
32%
48%
9%
1,4%
5%
Sul
Felicidade
Peso normal
Sobrepeso
Obesidade leve
Obesidade mórbida
77%
82%
78%
29%
Estudo comprovou o que os especialistas já
desconfiavam. O ditado que diz que «os gordinhos
são mais felizes» é uma falácia.
Principais problemas de saúde
para o obeso mórbido
Hipertensão
Doença nas articulações
Doenças vasculares
Depressão
Colesterol elevado
70%
36%
34%
27%
24%
Peso
normal
Sobrepeso Obesidade
leve
Obesidade
moderada
Obesidade
mórbida
IMC 18,5 25 30 35 40
Cálculo do Índice de Massa Corpórea para 
adultos (IMC)
Os indivíduos caracterizados como obesos mór-
bidos são aqueles que apresentam o Índice de 
Massa Corpórea (IMC) acima de 39,9. Aqueles 
que possuem IMC acima de 35 e, ao mesmo tem-
po, sofrem de outras doenças associadas tam-
bém são considerados obesos mórbidos.
IMC
Peso
Altura x Altura
em kg
emmetros emmetros
= ( )
( ) ( )
Gazeta do Povo, Curitiba, 10 dez. 2007.
32 Conquista Modular
 8. Em uma determinada universidade, de cada 200 
alunos que são aprovados no vestibular, tem-se: 
Com base no número de alunos que se formam 
na graduação, qual é a porcentagem que obtém 
o diploma de doutor?
De 200 alunos, há 80% × 200 = 160 alunos que são diplomados
na graduação e 5% × 200 = 10 que são diplomados no doutora
do. Logo, a porcentagem de alunos diplomados na graduação 
que são diplomados no doutorado é 10 : 160 = 6,25%.
 9. O gráfico a seguir mostra o valor de uma ação 
nos dez primeiros dias de um mês:
Sobre o gráfico, marque V para verdadeiro e F 
para falso:
a) ( V ) Uma pessoa que investiu nessa ação, no 1.º 
dia do mês, ao final de dez dias teve lucro.
b) ( V ) Uma pessoa que investiu nessa ação no 4.º 
dia e vendeu no 6.º dia não teve lucro, nem 
prejuízo.
c) ( V ) Houve duas quedas do valor da ação nesses 
dez dias.
d) ( F ) Uma pessoa que investiu nessa ação no 1.º 
dia do mês e vendeu no 5.º dia teve prejuízo.
e) ( F ) A ação valorizou mais de 300% nesses dez 
dias.
Medidas de tendência central
As medidas de tendência central são valores calculados, a partir de uma amostra de 
dados, que indicam uma tendência para a pesquisa, ou seja, são medidas que caracterizam 
uma amostra.
Média aritmética
A média aritmética, representada por x, de um conjunto de valores 
x1, x2, x3, ... , xn é determinada por:
x = x x x x
n
n1 2 3 ...
A média aritmética é a razão entre a soma dos elementos do conjunto e o número 
de elementos.
80%
20%
5%
%
 d
o
s
 a
lu
n
o
s
Diplomados
na graduação
Diplomados
no mestrado
Diplomados
no doutorado
Nível de graduação
33Matemática Matemática financeira e estatística
Média ponderada
A média aritmética ponderada, representada por xp, de um conjunto de valo-
res x1, x2, x3, ... , xn e no qual cada valor tem o seu respectivo peso (ponderação), 
p1, p2, p3, ..., pn é determinada por:
xp =
× + × + × + + ×
+ + + +
p x p x p x p x
p p p p
n n
n
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
A média aritmética ponderada é a razão entre o somatório dos produtos de cada 
elemento com seu respectivo peso e o somatório dos pesos dos elementos. 
A média geométrica, representada por xG, de um conjunto de valores 
x1, x2, x3, ..., xn é determinada por: xG = × × × ×x x x xn
n
1 2 3 ...
A média geométrica é a raiz enésima do produto dos n elementos do conjunto.
2
Média geométrica 3
 1. Em uma universidade, o professor Luis Fernando, 
que ministra a disciplina de Informática em um 
curso de Engenharia Civil, estuda a possibilidade 
de mudar a forma de avaliação dos seus alunos. 
Ele realiza quatro provas bimestrais e, por meio 
da média aritmética, calcula a média anual de 
cada aluno. Se o aluno atingir média maior ou 
igual a 7, estará aprovado nessa disciplina. Se 
a média for maior ou igual a 4 e menor que 7, 
será convocado a fazer uma prova final, e se 
obtiver uma média menor que 4, estará auto-
maticamente reprovado na disciplina.
Para realizar o estudo, escolheu o aluno Rodrigo, 
que obteve as notas
1.o bimestre 2.o bimestre 3.o bimestre 4.o bimestre
8,5 6,5 8,0 5,0
 a) Qual a média anual desse aluno? Ele está 
aprovado, reprovado ou vai ser convocado 
para fazer uma prova final?
 b) Se um aluno tivesse obtido as notas ele teria 
sido aprovado?
1.o 
bimestre
2.o 
bimestre
3.o 
bimestre
4.o 
bimestre
9,5 9,5 9,0 0
 c) Qual a sua opinião quanto às notas desse 
aluno?
média =
8 5 6 5 8 0 5 0
4
7 0
, , , ,
,
+ + + = .
Ele está aprovado. 
Sim, pois sua média é 9 5 9 5 9 0 0
4
7 0
, , ,
,
+ + + = 
Pessoal, mas é bom destacar que fica claro que, 
após o 3.o bimestre, sabendo que estava aprovado, 
esse aluno provavelmente não compareceu para fa-
zer a prova do 4.o bimestre, ou 2.a chamada. Essa é 
uma atitude irresponsável que parece valorizar ape-
nas a obtenção da nota necessária para aprovação, 
embora pareça ter sido um bom aluno pelas notas 
que obteve.
Para fazer
34 Conquista Modular
 2. O professor Luis Fernando considera que, com o 
decorrer do ano, o conteúdo se torna mais im-
portante para os alunos, visto que o aprendizado 
é fundamental para um bom aproveitamento do 
curso; logo, resolveu atribuir um peso a cada um 
dos bimestres. Ele atribuiu pesos 1, 2, 3, e 4 para 
o 1.º, 2.º, 3.º e 4.º bimestres, respectivamente. 
 a) Determine qual será a média anual de Rodrigo.
 b) Qual seria a vantagem para o professor Luís 
Fernando se aplicasse essa média para avaliar 
o desempenho dos alunos?
 
 c) Qual é o cuidado que um aluno deve ter para 
não ser reprovado ou ter que fazer uma prova 
final?
 d) Um aluno seria aprovado se obtivesse as no-
tas a seguir?
1.o bimestre 2.o bimestre 3.o bimestre 4.o bimestre
9,5 9,5 9,0 0
 
 e) Se um aluno obtiver a nota 7 em cada um dos 
bimestres, qual será:
 a média aritmética?
 a média ponderada?
 3. Carlos Alberto, um colega de Luis Fernando, su-
geriu que ele avaliasse a possibilidade de usar 
a média geométrica. O professor Luis Fernando 
pensou em outra forma de avaliar seus alunos. 
Para as notas do aluno Rodrigo:
1.o bimestre 2.o bimestre 3.o bimestre 4.o bimestre
8,5 6,5 8,0 5,0
 a) Determine a média geométrica e responda se 
o Rodrigo seria aprovado.
 b) Se um aluno tivesse obtido as notas:
1.o bimestre 2.o bimestre 3.o bimestre 4.o bimestre
9,5 9,5 9,0 0
Qual seria sua média geométrica? Ele teria 
sido aprovado? 
 c) Qual a sua opinião quanto às notas desse aluno?
média = 1 8 5 2 6 5 3 8 0 4 5 0
1 2 3 4
6 55
× + × + × + ×
+ + +
=, , , ,
, .
Ele seria convocado para fazer prova final.
Pessoal, mas é importante os alunos perceberem que 
o professor Luís Fernando atingiriao objetivo de fazer 
com que os seus alunos estudem mais com a proximi-
dade do fim do ano e com isso aprendam os conteú-
dos mais relevantes.
Pessoal, mas é importante que os alunos entendam 
que não poderiam alcançar a média para aprovação 
antes do 4.o bimestre. E que mesmo que as notas se-
jam altas nos primeiros bimestres, eles não podem 
obter notas baixas nos últimos, pois o peso dessas 
notas é maior.
Não, pois sua média é média ponderada:
1 9 5 2 9 5 3 9 0 4 0
1 2 3 4
5 55
× + × + × + ×
+ + +
=, , ,
, , logo seria convocado 
a fazer uma prova final.
média = 
7 0 7 0 7 0 7 0
4
7 0
, , , ,
,
+ + + =
média ponderada = 1 7 0 2 7 0 3 7 0 4 7 0
1 2 3 4
7 0
× + × + × + ×
+ + +
=, , , ,
,
Não, pois sua média é xG = × × × @8 5 6 5 8 5 6 864 , , , , logo 
seria convocado a fazer uma prova final.
Não, pois sua média é xG = ⋅ ⋅ ⋅ =9 5 9 5 9 0 04 , , , logo 
ele teria sido reprovado.
Pessoal, mas fica claro que, se a média utilizada for a 
média geométrica, o aluno não poderá tirar uma nota 
zero em qualquer uma das provas.
35Matemática Matemática financeira e estatística
 4. Em uma escola, cujo regime é trimestral, um alu-
no obteve as seguintes notas em Matemática: 
1.o trimestre 2.o trimestre
5,0 6,0
A média para aprovação é 7, então, qual a nota 
que esse aluno deve obter no 3.º trimestre, se a 
média utilizada for:
 a) aritmética;
 b) aritmética ponderada, na qual os pesos dos dois 
primeiros trimestres é 1 e do 3.º
 
trimestre é 2;
 c) geométrica.
 5. 
30 alunos de uma classe é 18 anos. Qual é a 
soma dessas idades?
X a) 540 anos.
 b) 450 anos.
 c) 504 anos.
 6. Em um escritório de engenharia, o dono, que é en-
genheiro, tem na folha de pagamento 20 operá-
rios cujo salário é de R$ 800,00 mensais cada um, 
um mestre de obras cujo salário é R$ 3.000,00 e 
quatro pessoas que trabalham no setor adminis-
trativo e cada uma ganha R$ 2.500,00.
Determine o salário médio do escritório.
 7. Um conjunto com 20 números possui a média 
aritmética igual a 45. Dos números que fazem 
parte do conjunto, são retirados os números 18 e 
54. Qual a média dos números que restaram?
 8. Em uma escola de Ensino Médio, os 150 alunos 
da 2.ª série obtiveram média 7 na prova de Mate-
mática. Os alunos da turma A tiveram média 6,5, 
e os alunos da turma B tiveram média 8. Quantos 
alunos há em cada turma?
 9. 
uma instituição de ensino superior é a média 
ponderada das notas A, B e C, cujos pesos são 1, 
2 e 3, respectivamente. Paulo obteve A = 3,0 e 
B = 6,0. Quanto ele deve obter em C para que 
sua nota final seja 6,0?
X a) 7,0 
 b) 9,0 
 c) 8,0
 10. -
meros é 15 e sua média geométrica é 12, então, 
uma equação cujas duas raízes reais sejam esses 
dois números é:
 a) 2x2 – 60x + 37 = 0
2 – 30x + 120 = 0
X c) x2 – 30x + 144 = 0
 d) x2 + 6x + 120 = 0
2 + 12x – 15 = 0
 11. 
de n números positivos a
1
, a
2
, ..., a
n
, como sendo 
a raiz n-ésima do produto desses n números, isto 
é, MG = n a
1
 × a
2
 × ... × a
n . A média geométrica de 
2, 6, 18, ... , 13 122 é:
 a) 243
 b) 54
X d) 162
 e) 486
Moda e mediana
Em alguns casos, a média aritmética não é uma medida conveniente para representar 
um conjunto de dados. Dessa forma, outras medidas de tendência central são estudadas: a 
moda e a mediana.
Moda
Em um conjunto, a moda é o valor que possui a maior frequência absoluta, ou seja, o 
elemento que aparece o maior número de vezes.
A moda, representada por mo, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ..., xn é 
aquela que apresenta a maior frequência absoluta.
Quando um conjunto apresenta dois, três, quatro ou mais dados, cujas frequências abso-
lutas sejam as maiores e iguais, o conjunto possui duas, três, quatro ou mais modas. Quando 
não há moda, é denominado amodal.
36 Conquista Modular
Mediana 
Em um conjunto, a mediana é o valor central quando os elementos são colocados em 
ordem crescente (ou decrescente). Se o número de dados for par, a mediana é a média arit-
mética dos dois valores centrais.
A mediana, representada por me , de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é o va-
lor central quando os dados estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente). Caso 
o número de dados seja par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.
A variância, representada por v, de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é: 
v
x x x x x x
n
n
=
− + − + + −( ) ( ) ... ( )1
2
2
2 2
em que x é a média aritmética dos valores, ou seja:
x = + + + +x x x x
n
n1 2 3 ...
O desvio padrão, representado por , de um conjunto de valores x1, x2, x3, ... , xn é 
 = v , em que v é a variância do conjunto dos valores.
Medidas de dispersão
Utilizadas na análise da regularidade dos elementos. Quando comparados com a mé-
dia, maior dispersão representa menor regularidade; menor dispersão representa maior 
regularidade.
Variância e desvio padrão
 1. Determine a moda e a mediana para os seguin-
tes conjuntos de dados:
 a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 b) 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2
 c) 8, 5, 1, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 9, 1, 9, 0, 7, 3, 2, 6, 9, 4, 0
 2. Em uma loja de sapatos masculinos, há no esto-
que 30 pares de tamanho 38, 50 pares de tama-
nho 39, 60 pares de tamanho 40, 40 pares de 
tamanho 41 e 30 pares de tamanho 42. Dessa 
forma, determine a moda e a mediana.
 3. Em uma empresa, os salários dos funcionários 
estão apresentados na tabela a seguir. 
Número de funcionários Salário (R$)
12 1.500,00
9 2.000,00
3 3.000,00
1 5.000,00
 a) Determine a média, a moda e a mediana dos 
salários.
 b) Quantos funcionários devem ser dispensa-
dos para que:
 a mediana seja 2 500;
 a moda seja 2 000.
Para fazer
37Matemática Matemática financeira e estatística
 4. -
ção mensal do ovo extrabranco vendido no atacado, 
em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, 
em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana 
das cotações mensais do ovo extrabranco nesse 
período era igual a:
 a) R$ 73,10
 b) R$ 81,50
X d) R$ 83,00
 e) R$ 85,30
 5. 
importante indicador para os formuladores da po-
lítica econômica do País. O gráfico a seguir mostra 
a evolução da Taxa Média de Desocupação de ou-
tubro de 2006 a novembro de 2007, medida pelo 
IBGE, nas seis regiões metropolitanas: Recife, Sal-
vador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e 
Porto Alegre. Taxa Média de Desocupação é a por-
centagem das pessoas desocupadas em relação às 
pessoas economicamente ativas.
Com base no gráfico apresentado, pode-se afir-
mar que:
 a) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é 
igual a 9,4.
 b) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é 
igual a 8,4.
 c) a média aritmética é igual a 9,2 e a moda é 
igual a 9,4.
X d) a média aritmética é igual a 9,4 e a moda é 
igual a 10,1.
 e) a média aritmética é igual a 9,0 e a moda é 
igual a 9,5.
 6. 
das notas de uma turma composta de 20 alunos. 
As notas foram obtidas em uma prova cujo valor 
era 10 pontos. Veja o gráfico a seguir:
Depois de confeccionado esse gráfico, o profes-
sor percebeu ter errado a nota de um dos alu-
nos e verificou que, feita a correção, a média das 
notas dessa turma aumentaria em 0,2 ponto e a 
moda passaria a ser 7 pontos. A nota que estava 
errada era:
X a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
 7. Determine a variância e o desvio padrão da amos-
tra: 2, 4, 5, 9.
 8. Cinco jogadores que atuam no ataque serão sel-
cionados para um importante jogo de decisão, e o 
técnico pretende colocar os dois jogadores mais re-
gulares. Pelas estatísticas de gols marcados por es-
ses cinco jogadores nos jogos do campeonato, te-
mos que o parâmetro que o técnico adotará é o do 
desvio padrão. A diretoria fez um estudo dos gols 
marcados por esses jogadores e determinou cada 
desvio padrão. Os resultados foram os seguintes:
Jogador Desvio padrão
João 2,667
Lúcio0,667
Fábio 4,667
Juliano 2
Luis Fernando 5,667
De acordo com a tabela, o técnico vai escalar:
X a) Lúcio e Juliano. 
 b) João e Juliano.
 c) Fábio e João.
 d) Fábio e Luis Fernando.
 e) Lúcio e Luis Fernando.
 9. 
um concurso. Para classificação no concurso, 
o candidato deveria obter média aritmética na 
pontuação igual ou superior a 14. Em caso de 
empate na média, o desempate seria em favor da 
pontuação mais regular. No quadro a seguir, são 
apresentados os pontos obtidos nas provas de 
Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, 
a média, a mediana e o desvio padrão dos dois 
candidatos.
F
re
q
u
ê
n
c
ia
Notas
3 4 5 6 7 8 9
5
4
3
2
1
0
38 Conquista Modular
Marco Paulo
Matemática 14 8
Português 15 19
Conhecimentos Gerais 16 18
Média 15 15
Mediana 15 18
Desvio padrão 0,32 4,97
O candidato com pontuação mais regular, por-
tanto mais bem classificado no concurso, é:
 a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
X b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
 c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da ta-
bela, 19 em Português.
 d) Paulo, pois obteve maior mediana.
 10. 
ano do Ensino Fundamental, tem-se 1 aluno com 
idade de 5 anos, m alunos com 7 anos e n alunos 
com 8 anos. Se a média de idade dos alunos é 
de 7 anos e a variância das idades é igual a 3/2, 
determine a quantidade de alunos com idade de 
7 anos e a quantidade de alunos com 8 anos.
 11. 
de uma concessionária de veículos recebe as re-
clamações dos clientes via telefone. Tendo em 
vista a melhoria nesse serviço, foram anotados 
os números de chamadas durante um período de 
sete dias consecutivos. Os resultados obtidos fo-
ram os seguintes:
Dia
do
m
in
go
se
gu
nd
a
te
rç
a
qu
ar
ta
qu
in
ta
se
xt
a
sá
ba
do
Número de 
chamadas 
3 4 6 9 5 7 8
Sobre as informações contidas nesse quadro, 
considere as seguintes afirmativas: 
 I. O número médio de chamadas dos últimos 
sete dias foi 6. 
 II. A variância dos dados é 4. 
 III. O desvio padrão dos dados é 2. 
Assinale a alternativa correta. 
X a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
 d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
trabalho
Estatística
Bacharelado
É a ciência responsável pelo tratamento de dados para o estudo de fenômenos naturais, econômicos e so-
ciais. O estatístico planeja e coordena o levantamento de informações por meio de questionários, entrevistas e 
medições. Organiza, analisa e interpreta os resultados para explicar fenômenos sociais, econômicos ou naturais. 
Cabe a ele montar bancos de dados para os mais diversos usos, como controle de qualidade da produção de 
uma indústria, recenseamento populacional, pesquisa eleitoral ou lançamento de produtos no mercado de con-
sumo. Na indústria, acompanha os testes de qualidade, ajuda a fazer previsão de vendas e desenvolve modelos 
matemáticos para ajustá-los a situações práticas. Em laboratório, cria tabelas para sistematizar os resultados de 
experimentos e pesquisas.
O mercado de trabalho
Nos últimos anos, tem crescido muito a procura por estatísticos. “As empresas enxergaram a diferença que 
esse profissional pode fazer. Ele passou a ser reconhecido tanto em órgãos públicos como em privados”, afirma a 
professora Stela Maris de Jesus Castro, coordenadora do curso de Estatística da UFRJ. A Região Sudeste concen-
tra a maior parte do mercado de trabalho, mas há boas perspectivas também no Sul, especialmente no Rio Grande 
do Sul, e no Nordeste, na Bahia e em Pernambuco. O formado é contratado por bancos e instituições financeiras 
para atuar como analista de crédito. Em indústrias, no setor de controle de qualidade, controle orçamentário e 
contabilidade. Também há boa aceitação em órgãos públicos, em institutos de opinião pública, como o Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), e em universidades, para trabalhar como pesquisador.
Mundo do
39Matemática Matemática financeira e estatística
Salário inicial: R$ 2.000,00 (Rio de 
Janeiro), R$ 2.500,00 (São Paulo) (fonte: 
Conselho Regional de Estatística 3.ª Região 
(SP-PRMT- MS)). 
O curso
Conta é o que não falta no currículo, 
fundamentado em conhecimentos de Mate-
mática, métodos estatísticos, cálculo e teo-
ria das probabilidades, entre outros. Para 
isso, é necessário que o estudante tenha 
raciocínio lógico e muita disposição para 
lidar com números. Há aulas, também, cen-
tradas em metodologia de pesquisa. Entre 
as matérias aplicadas estão atuária, demografia, sociometria, biometria e econometria. Algumas instituições 
exigem a apresentação de um trabalho de conclusão de curso (TCC).
 
Duração média: quatro anos. 
O que você pode fazer
Bioestatística
Determinar os métodos e organizar os dados de pesquisas científicas nas áreas de ciências biológicas e da 
saúde.
Computação
Elaborar programas de estudos estatísticos.
Indústria
Analisar amostras colhidas nas várias fases de produção, a fim de detectar eventuais erros, e escolher méto-
dos para aprimorar a qualidade de um produto. Realizar estudos de implantação e expansão de fábricas, controle 
de estoque e produtividade.
Internet
Elaborar e gerenciar programas de busca. Montar bancos de dados digitais.
Perfil de consumidores
Levantar as características de consumidores de produtos e serviços para agências de publicidade e propa-
ganda e para departamentos de vendas.
Pesquisa clínica
Coordenar e controlar testes de eficácia de medicamentos.
Pesquisa
Levantar as características de consumo de determinada região, classe social ou idade. Montar e gerenciar 
bancos de dados com as informações coletadas. Atuar em pesquisas eleitorais.
Recursos humanos
Analisar salários e avaliar planos de saúde, fundos de pensão e planos de previdência.
Setor financeiro
Atuar na área de seguros, análise de risco e avaliação de investimentos e de fluxo de caixa.
Guia do estudante. Estatística: bacharelado. Disponível em: <http://guiadoestudante.abril.com.br/profissoes/ciencias-exatas-informatica/estatistica-602499.shtml>. 
Acesso em: 10 dez. 2018.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
al
an
ov
a
40 Conquista Modular
Atividades
 1. -
nos de um curso foram representadas no gráfico 
a seguir. 
Sabendo que a média para aprovação nesse cur-
so era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcenta-
gem de alunos aprovados? 
 a) 18%
 b) 21% X e) 72%
 2. 
conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma 
unidade a mediana dos elementos desse conjun-
to. Se x é um número real tal que 8 < x < 21 e 
desse conjunto é igual a
X a) 16
 b) 17
 3. 
curso de informática, é necessário que ele obte-
nha classificações parciais em três áreas. Certo 
candidato obteve, na área A, 18 pontos; na área 
B, 26 pontos e na área C, 10 pontos. Sabendo-se 
que os pesos são 5 para a área A, 2 para a área B 
e 3 para a área C, esse candidato obteve classifi-
cação final igual a:
X a) 17,2 pontos.
 b) 18,3 pontos.
 c) 18,6 pontos.
 4. 
progressivos, de acordo com a seguinte tabela:
Número Valor Unitário
de 1 a 1 000 R$ 2,00
de 1 001 a 5 000 R$ 1,80
acima de 5 000 R$ 1,60
A empresa B vende o mesmo produto da empre-
sa A pelo valor fixo de R$ 1,80.
Uma loja comprou 8 000 unidades da empresa A, 
então o valor médio unitário foi de:
 a) R$ 1,64
 b) R$ 1,65 
 c) R$ 1,70
X d) R$ 1,75
 e) R$ 1,76
 5. 
15, 16, 17 e 18 anos e as respectivas quantidades 
de alunos de uma sala de aula do Instituto Fede-
ral de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato 
A idade média dos alunos da sala de aula:
 a) está entre 15 e 16 anos.
 b) está entre 16 e 17 anos.
X e) é exatamente 16 anos.
 6. 
duas avaliações por semestre e calcular a nota 
final fazendo a média aritmética entre as notas 
dessas duas avaliações. Porém, devido a um pro-
blema de falta de energia elétrica, a segunda 
prova foi interrompida antes do tempo previsto e 
vários alunos não conseguiram terminá-la. Como 
não havia possibilidade de refazer essa avaliação, 
o professor decidiu alterar os pesos das provaspara não prejudicar os alunos. Assim que Aman-
da e Débora souberam da notícia, correram até 
o mural para ver suas notas e encontraram os 
seguintes valores:
Nome 1.ª prova 2.ª prova Nota final da disciplina
Amanda 82 52 72,1
Débora 90 40 73,5
Qual foi o peso atribuído à segunda prova?
 a) 0,25
 b) 0,30
X c) 0,33
 d) 0,35
 e) 0,40
Atividades
41Matemática Matemática financeira e estatística
 7. 
gols marcados pelos artilheiros das Copas do 
Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. 
A partir dos dados apresentados, qual a media-
na das quantidades de gols marcados pelos arti-
lheiros das Copas do Mundo?
 a) 6 gols.
X b) 6,5 gols.
 c) 7 gols.
 d) 7,3 gols.
 e) 8,5 gols.
 8. -
tribuição de frequência relativa dos salários de 
uma empresa com 40 funcionários. 
Salário (em reais) Frequência relativa (%)
500 35
1 000 20
1 500 5
2 000 25
4 000 15
A partir dessas informações, é correto afirmar: 
 a) A Mediana dos salários é igual a R$ 1.650,00. 
 b) A Moda dos salários é igual a R$ 4.000,00. 
 c) Um quinto dos trabalhadores dessa empresa 
recebe salário de R$ 500,00. 
X d) A Média salarial é igual a R$ 1.550,00. 
 e) Mais da metade dos trabalhadores dessa em-
presa recebem salário superior a R$ 1.500,00. 
 9. (FUVEST
5 números inteiros distintos, estritamente posi-
tivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros 
pode assumir é:
 a) 16
 b) 20
 c) 50
X d) 70
 e) 100
 10. 
um grupo de objetos.
Acrescentando-se ao grupo n objetos de massa 
4 kg cada, sabe-se que a média não se altera, 
mas o desvio padrão se reduz à metade do que 
era. Assim, é correto afirmar que n é igual a
X a) 18
 b) 15
 11. 
uma prova de gincana na qual as pontuações 
recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das 
cinco equipes foi de 2 pontos.
As notas das equipes foram colocadas no gráfico 
a seguir, entretanto, esqueceram de representar 
as notas da equipe D e da equipe E.
Pontuação da gincana
3
A B C D E
??
2
1
0
Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e 
E, pode-se concluir que os valores da moda e da 
mediana são, respectivamente,
 a) 1,5 e 2,0.
 b) 2,0 e 1,5.
X c) 2,0 e 2,0.
 d) 2,0 e 3,0.
 e) 3,0 e 2,0.
42 Conquista Modular
 12. 
cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 ve-
zes consecutivas, e anotar o número obtido em 
cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de 
distribuição de frequências.
NÚMERO OBTIDO FREQUÊNCIA
1 4
2 1
4 2
5 2
6 1
A média, mediana e moda dessa distribuição de 
frequências são, respectivamente,
 a) 3, 2 e 1
X b) 3, 3 e 1
 c) 3, 4 e 2
 d) 5, 4 e 2
 e) 6, 2 e 4
 13. 
há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª 
nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e 
ambas se destacam na economia mundial. No 
entanto, devido a uma série de restrições, o co-
mércio entre esses dois países ainda não é ade-
quadamente explorado, como mostra a tabela 
seguinte, referente ao período 2003-2007.
Investimentos Bilaterais
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1.458
2006 539 744
2007 280 1.214
Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período 
considerado, os valores médios dos investimen-
tos da França no Brasil foram maiores que os in-
vestimentos do Brasil na França em um valor
 a) inferior a 300 milhões de dólares.
 b) superior a 300 milhões de dólares, mas infe-
rior a 400 milhões de dólares.
 c) superior a 400 milhões de dólares, mas infe-
rior a 500 milhões de dólares.
X d) superior a 500 milhões de dólares, mas infe-
rior a 600 milhões de dólares.
 e) superior a 600 milhões de dólares.
 14. -
cana escolar consista em um desafio de conheci-
mentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para 
realizar uma prova objetiva, e a pontuação da 
equipe seria dada pela mediana das notas obti-
das pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 
10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equi-
pe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe 
Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe 
Gama, a qual ficou na terceira e última coloca-
ção, não pôde comparecer, tendo recebido nota 
zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos 
da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 
8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse 
comparecido, essa equipe
 a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse 
nota 0.
 b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
 c) seria a segunda colocada se ele obtivesse 
nota 8.
X d) permaneceria na terceira posição, indepen-
dentemente da nota obtida pelo aluno.
 e) empataria com a equipe Ômega na primeira 
colocação se o aluno obtivesse nota 9.
 15. 
meteorológico de uma cidade mediu a tempe-
ratura do ambiente, sempre no mesmo horário, 
durante 15 dias intercalados, a partir do primei-
ro dia de um mês. Esse tipo de procedimento 
é frequente, uma vez que os dados coletados 
servem de referência para estudos e verificação 
de tendências climáticas ao longo dos meses e 
anos.
As medições ocorridas nesse período estão indi-
cadas no quadro:
Dia do mês Temperatura (em ºC)
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
43Matemática Matemática financeira e estatística
Em relação à temperatura, os valores da média, 
mediana e moda são, respectivamente, iguais a
 a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C
X b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C
 c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C
 d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C
 e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °
 16. -
píada Brasileira de Matemática das Escolas Pú-
indica o percentual de medalhistas de ouro, por 
região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:
Região 2005 2006 2007 2008 2009
Norte 2% 2% 1% 2% 1%
Nordeste 18% 19% 21% 15% 19%
Centro-
Oeste 5% 6% 7% 8% 9%
Sudeste 55% 61% 58% 66% 60%
Sul 21% 12% 13% 9% 11%
Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 
(adaptado).
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OB-
MEP, qual o percentual médio de medalhistas de 
ouro da região Nordeste?
 a) 14,6% 
 b) 18,2% 
X c) 18,4%
 d) 19,0% 
 e) 21,0%
 17. 
metros livres de natação, numa olimpíada, os 
atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os 
seguintes tempos:
Raia 1 2 3 4
Tempo 20,90 20,90 20,50 20,80
Raia 5 6 7 8
Tempo 20,60 20,60 20,90 20,96
A mediana dos tempos apresentados no quadro é:
 a) 20,70.
 b) 20,77.
 c) 20,80.
X d) 20,85.
 e) 20,90.
 18. -
pas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação 
final de cada candidato é a média de suas notas 
nas cinco etapas. A classificação obedece à or-
dem decrescente das pontuações finais. O crité-
rio de desempate baseia-se na maior pontuação 
na quinta etapa. 
Candidato Média nas quatro 
primeiras etapas
Pontuação na 
quinta etapa
A 90 60
B 85 85
C 80 95
D 60 90
E 60 100
A ordem de classificação final desse concurso é:
 a) A, B, C, E, D.
X b) B, A, C, E, D.
 c) C, B, E, A, D.
 d) C, B, E, D, A.
 e) E, C, D, B, A.
 19. 
1
, a
2
, a
3
, ..., a
m
 valores reais 
e indicando sua média aritmética por MA e sua 
mediana por ME, assinale o que for correto:
(
em que k é uma constante real não nula e 
i = 1, 2, 3, ..., m é igual a MA.
 A mediana dos valores b
i
 = a
i
 + k em 
que k é uma constante real não nula e 
i = 1, 2, 3, ..., m é igual a ME + k.
 A mediana dos valores c
i
 = ra
i
 em que r é 
uma constante real e i = 1, 2, 3, ..., m é 
igual a ME.
 A média aritmética dos valores c
i
 = ra
i
 em 
que r é uma constante real e i = 1, 2, 3, ..., m 
é igual a r MA.
 Se acrescentarmos mais um valor real a
m+1
 
à sequência de valores dados, então a me-
diana da sequência de valores a
1
, a
2
, a
3
, ..., 
a
m
, a
m+1
 será diferente de ME.
X
X
44 Conquista Modular
Somatório: 10 (02, 08).
MA = a a a a
m
m1 2 3+ + + +... 
(01) Incorreta.
a k a k a k a k
m
m1 2 3+ + + + + + + +... = 
a a a a
m
m1 2 3+ + + +...
 + 
m k
m
´
 = MA + k
(02) Correta. Ao adicionar uma constante k em cada elemen-
to, a ordem crescente (ou decrescente) dos elementos não é 
alterada. Logo, a mediana é o valor originaladicionado de k.
(04) Incorreta. Ao multiplicar uma constante r em cada ele-
mento, a ordem crescente (ou decrescente) dos elementos 
não é alterada, logo, a mediana é o valor original multipli-
cado por k.
(08) Correta.
r a r a r a r a
m
m× + × + × + + ×1 2 3 ... = 
=
× + + + +( )r a a a a
m
m1 2 3 ... = r ∙ MA
(16) Incorreta. É possível acrescentarmos um valor e a media-
na não ser alterada. Exemplo:
1 2 3 4 4 5 7 8
4 4
2
4
1 2 3 4 4 5 7 8 9 4
, , , , , , ,
, , , , , , , , ’
Þ = + =
Þ =
ME
ME
 Assim, ME’ = ME.
 20. 
medindo 1 cm, 3 cm, 4 cm e 7 cm, e três varetas 
verdes, medindo 2 cm, 3 cm e 4 cm.
Com relação às varetas da caixa, é correto 
afirmar:
 A média aritmética e a mediana dos com-
primentos das varetas são iguais.
varetas verdes é igual a 2
3
.
probabilidade de ser azul ou ter compri-
mento maior que 4 cm é igual a 5
7
.
 Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, 
sem reposição, a probabilidade de serem 
da mesma cor é igual a 3
7
.
-
tas de escolher três varetas que formem um 
triângulo isósceles.
 Existem exatamente 5 040 maneiras distin-
tas de se enfileirar as varetas.
X
X
X
 21. (FUVEST -
tem estudantes de ambos os sexos. Numa prova, 
as médias aritméticas das notas dos meninos e 
das meninas foram respectivamente iguais a 6,2 
e 7,0. A média aritmética das notas de toda a 
classe foi igual a 6,5.
 a) A maior parte dos estudantes dessa classe é 
composta de meninos ou meninas? Justifique 
sua resposta.
-
se é do sexo masculino?
Sh soma das idades dos meninos.
Sm soma das idades das meninas.
h número de meninos.
m número de meninas.
S
h
h = 6 2, Sh = 6,2 . h e S
m
m = 7 Sm = 7 . m
Mas S S
h m
h m+
+
= 6 5,
Assim, 6 2 7
6 5
,
,
h m
h m
+
+
=
6,2h + 7m = 6,5h + 6,5m
0,5m = 0,3h
5m = 3h
m = 
3
5
h = 0,6h
a) A maior parte é composta por meninos, pois 
m = 0,6h < h.
b) m + h 100%
 h x
Como m = 0,6h, tem-se
1,6h . x = 100 . h
x = 
100
1 6
62 5
,
, %=
45Matemática Matemática financeira e estatística
 22. 
aritmética dos inversos de a e de b.
Considerando essa definição, julgue os itens a seguir:
4
3
a .
35 .
1
b
 é a 
média harmônica entre 1
a
 e 1
c
 .
desses números.
A média harmônica é:
h = 
1
1 1
2
a b
+
(1) Verdadeira.
h
a a a
a=
+
= =1
1 1
2
2
2
3
2
4
3
(2) Falsa.
h = 
1
1
5
1
7
2
2
12
35
35
6+
= = = < =35
36
35
35
35 
(3) Verdadeira.
a = b – r e c = a + r 
Logo:
h
a c b r b r b b
= + =
- + +
= =1
2
2 2
2
1
 
(4) Verdadeira. Considerando x a média aritmética, tem-se:
h x
a b
a b
h x
ab
a b
a b
h x
ab a b
a b
h x
- -
+
- +
- -
+
- +
- - - +
× +
- - -
1
1 1
2
2
2
2
4
2
2( )
( )
(aa b
a b
Assim h x
-
× +
<
<
)
( )
, .
2
2
0
46 Conquista Modular
47Matemática Matemática financeira e estatística
Conceitos Centrais
Neste capítulo será aprofundado o estudo da Estatística, abordando a construção de dis-
tribuições cujas amostras ou a própria população apresentam uma amplitude muito grande.
Tabela de distribuição de frequência com dados agrupados 
em intervalos de classe
Em um conjunto residencial, foi feita uma pesquisa cuja finalidade era descobrir quantos 
dos moradores estão na faixa etária de 11 a 26 anos.
O quadro a seguir mostra os dados primitivos da pesquisa, ou seja, aqueles que ainda 
não foram organizados em uma determinada ordem. Os números representam as idades dos 
moradores que estão na faixa etária pesquisada.
20 18 13 23 15 24 26 12 18 12 21 14 24 13 17 12
18 12 22 19 12 18 23 16 12 26 11 19 12 15 26 19
23 14 26 11 17 25 12 18 24 14 17 13 22 12 21 14
12 17 12 18 19 14 26 12 26 22 26 18 26 14 18 12
16 13 24 12 23 12 24 17 11 18 24 23 12 25 12 18
22 11 18 16 12 26 18 14 19 12 26 12 18 16 24 13
Com base nesses dados, é possível determinar a quantidade de moradores na faixa etá-
ria de 11 a 26 anos, por idade, conforme o quadro a seguir: 
Idade 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Frequência 4 20 5 7 2 4 5 13 5 1 2 4 5 7 2 10
Total 96
Para facilitar o trabalho estatístico, os dados foram organizados em ordem crescente, 
obtendo-se um rol.
11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12
12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 14 14 14
14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18
18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19
19 20 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24
24 24 24 24 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26
1. Tabela de distribuição 
de frequência de 
dados agrupados em 
intervalos de classe 
2. Histograma 
3. Medidas de tendência 
central para dados 
agrupados em classe 
4. Medidas de dispersão 
para dados agrupados 
em classe 
1
3 Estatística II
Rol é o arranjo de dados numéricos brutos em ordem crescente ou decrescente.
Apresentando esses dados em uma tabela de distribuição de frequência de dados agru-
pados em intervalos de classe, tem-se:
i Faixa etária (em anos) f fr
1 11 – 13 24 25,00%
2 13 – 15 12 12,50%
3 15 – 17 6 6,25%
4 17 – 19 18 18,75%
5 19 – 21 6 6,25%
6 21 – 23 6 6,25%
7 23 – 25 12 12,50%
8 25 – 27 12 12,50%
Total 96 100,00%
Nessa tabela, há oito classes.
 Na segunda coluna, são apresentados os intervalos. A primeira classe é representada 
pelo intervalo 11 |___ 13. Essa notação indica que, nessa classe, estão computadas 
idades entre 11 e 13, podendo, inclusive, ser 11, ou seja, se as idades dos moradores 
forem representadas por x, 11 |___ 13 significa 11 ≤ x < 13. Diz-se que 11 é limite 
inferior da classe 1, que será representado por ℓ1, e 13 o limite superior, o qual será 
representado por L1.
 Na terceira coluna, tem-se a frequência absoluta, ou simplesmente frequência, que 
será indicada por f. A frequência indica a quantidade de dados pertencentes a cada 
intervalo de classe. Contando no rol, há 24 moradores com idades pertencentes ao 
intervalo 11 |___ 13.
Na quarta coluna, tem-se a frequência relativa, que será indicada por fr. Frequência re-
lativa é o percentual de dados pertencentes a cada intervalo. No intervalo 11 |___ 13, têm-se 
24 dos 96 moradores.
Assim:
fr = frequência
total de dados
 = 24
96
 = 0,25 = 25%
Amplitude total
A amplitude total (At) é definida como sendo a diferença entre o maior e o menor valor 
do conjunto de dados.
A amplitude do rol construído com as idades dos moradores do conjunto residencial é 
igual a 15 pois, At = 26 – 11 = 15.
Amplitude de classe
Amplitude de classe (Ak) é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe k.
Na primeira classe (k = 1), o limite superior é 13 e o inferior, 11. Determinando sua am-
plitude de classe, tem-se:
A1 = 13 – 11
A1 = 2
48 Conquista Modular
Em uma tabela de distribuição de frequências, as amplitudes de classes são sem-
pre iguais.
Histograma é a representação gráfica de distribuição de frequências, composto 
de retângulos justapostos.
Se determinarmos a amplitude das demais classes, teremos:
A2 = 15 – 13
A2 = 2
A3 = 17 – 15
A3 = 2
A4 = 19 – 17
A4 = 2
A5 = 21 – 19
A5 = 2
A6 = 23 – 21
A6 = 2
A7 = 25 – 23
A7 = 2
A8 = 27 – 25
A8 = 2
Comparando as amplitudes de classe observa-se que são iguais.
Histograma
Em Estatística, a representação gráfica dos dados é muito importante, pois é uma das 
formas mais simples de representar as informações contidas em um conjunto de dados. Os 
gráficos permitem compreender, de forma rápida, simples e eficiente, diferentes aspectos e 
relações numéricas entre os dados pesquisados.
Um dos gráficos mais simples utilizados para indicar dados é o histograma, usado para 
representar as frequências de dados agrupados em classes.
A tabela a seguir representa a quantidade de lixo semanal produzido por apartamento, 
em um prédio.
i Lixo descartado (em kg) f
1 0 |___ 5 2
2 5 |___ 10 4
3 10 |___ 15 8
4 15 |___ 20 6
5 20 |___ 25 1
Total 21
A seguir, tem-se o histograma que representa essa tabela.
No histograma:
 a base de cada retângulo tem como extremi-
dades os limites inferior e superior da classe 
correspondente.
 a altura de cada retângulo é diretamente pro-
porcional à frequência(absoluta ou relativa).
49Matemática Matemática financeira e estatística
Medidas de tendência central para dados agrupados em 
classe
As medidas de tendência central, média, mediana e moda, já vistas em anos anteriores, 
serão agora estudadas considerando-se os dados agrupados em classes.
A tabela de distribuição de frequência de dados agrupados em classe, a seguir, que 
representa o tempo em minutos por ligação em uma central de teleatendimento, será o ponto 
de partida para esse estudo.
i Tempo de ligação (em min) f
1 0 |___ 3 20
2 3 |___ 6 4
3 6 |___ 9 8
4 9 |___ 12 12
5 12 |___ 15 12
6 15 |___ 18 24
Total 80
Média
Quando os dados estão agrupados em intervalos de classe, não é possível saber exata-
mente como os valores estão distribuídos em cada intervalo. Nesse caso, supõe-se que os 
valores estejam distribuídos homogeneamente em cada intervalo. Assim, é possível represen-
tá-los por meio do ponto médio (xi) da classe.
Ponto médio (xi)
O ponto médio de uma classe é determinado pela média aritmética dos limites inferior e 
superior dessa classe, ou seja:
x
L
i
i= + i
2
ℓ
Determinando o ponto médio da primeira classe da tabela, tem-se:
x1
3 0
2
1 5= + = ,
Para organizar os dados, insere-se na tabela uma coluna para os pontos médios de cada 
classe.
Assim:
i Tempo de ligação (em min) f xi
1 0 |___ 3 20 1,5
2 3 |___ 6 4 4,5
3 6 |___ 9 8 7,5
4 9 |___ 12 12 10,5
5 12 |___ 15 12 13,5
6 15 |___ 18 24 16,5
Total 80 –
50 Conquista Modular
Determinando a média ( x ) de tempo de ligação, tem-se:
x
x
� � � � � � � � � � �
� � �
1 5 20 4 5 4 7 5 8 10 5 12 13 5 12 16 5 24
80
30 18 60 1
, , , , , ,
226 162 396
80
792
80
9 9
� �
x
x , min
O tempo médio é de 9,9 minutos ou 9 minutos e 54 segundos.
De forma geral:
A média para dados agrupados em intervalos de classe é dada por:
x
x f
n
i i
i
k
=
×
=
å
1
Em que:
fi é a frequência da classe;
xi é o ponto médio da classe;
n é a soma das frequências da distribuição de frequências.
Mediana (Md)
Em dados agrupados em intervalos de classe de forma ordenada, a mediana é o valor 
que separa a metade inferior da metade superior da amostra. Quando o número de dados é 
par, pode-se dizer que 50% dos dados estão abaixo da mediana, e 50%, acima.
Uma das formas de se determinar a mediana é acrescentando a coluna de frequência 
relativa.
i Tempo de ligação (em min) f fr
1 0 |___ 3 20 25%
2 3 |___ 6 4 5%
3 6 |___ 9 8 10%
4 9 |___ 12 12 15%
5 12 |___ 15 12 15%
6 15 |___ 18 24 30%
Total 80 100%
 Na classe 1, tem-se 25%.
 Até a classe 2, tem-se 30% (25% + 5%).
 Até a classe 3, tem-se 40% (30% + 10%).
 Até a classe 4, tem-se 55% (40% + 15%).
51Matemática Matemática financeira e estatística
Então, o valor mediano está na quarta classe, ou seja, está entre 9 e 12. Assim, pelo 
cálculo de proporção, tem-se:
M
M
M
d
d
d
-
-
-
-
-
9
50 40
12 9
15
9
10
3
15
9
0 10
3
0 15
% % %
% %
, ,
=
=
=
 
0 15 1 35 0 3
1 65
0 15
11
, , ,
,
,
min
M
M
M
d
d
d
- =
=
=
Pode-se afirmar que 50% do tempo de ligações é inferior a, aproximadamente, 11 minutos. 
De forma geral:
A mediana, para dados agrupados por classe, é dada por:
M
Fr
L
fr
d i
i
i i
i
-
-
= -
50%
ℓ ℓ
Em que:
ℓi é o limite inferior da classe em que está a mediana;
Li é o limite superior da classe em que está a mediana;
fri é a frequência relativa da classe mediana;
Fri é a soma das frequências relativas anteriores às da classe em que está a mediana.
Classe modal
Já foi visto que a moda é o valor de maior frequência. Logo, a classe modal de uma 
tabela de frequência com dados agrupados em intervalos de classe é aquela que tem maior 
frequência.
i Tempo de ligação (em min) f fr
1 0 |___ 3 20 25%
2 3 |___ 6 4 5%
3 6 |___ 9 8 10%
4 9 |___ 12 12 15%
5 12 |___ 15 12 15%
6 15 |___ 18 24 30%
Total 80 100%
Nessa tabela, a 6.ª classe é a modal, pois apresenta a maior frequência. Logo, pode-se 
afirmar que a maioria das ligações de teleatendimento tem de 15 a 18 minutos de duração.
Medidas de dispersão para dados agrupados em classe
A tendência que os dados numéricos têm de se dispersar (se afastar) em relação ao valor 
médio (média aritmética) é conhecida como medida de variabilidade ou dispersão.
Serão estudadas duas medidas de dispersão para dados agrupados em classe: variância 
e desvio padrão.
52 Conquista Modular
Variância
Quando os dados estão agrupados em intervalos de classe, pode-se determinar a variân-
cia por meio do somatório dos quadrados das diferenças entre o ponto médio de cada classe e 
a média aritmética multiplicado pela frequência da classe. Por fim, esse somatório é dividido 
pela quantidade de dados:
Var
x x f
n
i i=
- ×å ( )2
 Retornando ao exemplo sobre o tempo das ligações em uma central de teleatendimento, 
no qual já se sabe que x = 9 9, , temos condições de determinar a variância. Para isso, é 
acrescentada uma coluna na tabela.
i Tempo de ligação (em min) f xi (xi – x)2
1 0 |___ 3 20 1,5 (1,5 – 9,9)2 = (–8,4)2 = 70,56
2 3 |___ 6 4 4,5 (4,5 – 9,9)2 = (–5,4)2 = 29,16
3 6 |___ 9 8 7,5 (7,5 – 9,9)2 = (–2,4)2 = 5,76
4 9 |___ 12 12 10,5 (10,5 – 9,9)2 = (0,6)2 = 0,36
5 12 |___ 15 12 13,5 (13,5 – 9,9)2 = (3,6)2 = 12,96
6 15 |___ 18 24 16,5 (16,5 – 9,9)2 = (6,6)2 = 43,56
Total 80 –
Com base nos dados da tabela, o cálculo da variância fica:
Var
Var
� � � � � � � � � � �70 56 20 29 16 4 5 76 8 0 36 12 12 96 12 43 56 24
80
, , , , , ,
2779 2
80
34 74
,
,Var
Desvio padrão
No cálculo da variância, os dados são elevados ao quadrado como um artifício mate-
mático para que os desvios não sejam negativos. Porém, a unidade de medida é alterada. 
Por exemplo, se eles representam medidas em metros, sua variância será dada em metros 
quadrados. Ou seja, de medida de comprimento, a variância altera para medida de área.
Para corrigir essas distorções, determina-se a raiz quadrada da variância. Ao extrair a 
raiz quadrada da variância, determina-se o desvio padrão, ou seja:
DP Var=
Nessas condições, o desvio padrão da central de teleatendimento é igual a:
DP Var
DP
DP
=
=
@
34 74
5 89
,
,
Quando o desvio padrão é nulo, a distribuição não apresenta dispersão. Logo, 
quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, menos dispersos são os dados.
Comparando os desvios padrões de dois ou mais grupos de dados, será menos 
disperso (homogêneo) aquele que apresentar o menor desvio padrão.
53Matemática Matemática financeira e estatística
 1. A tabela a seguir representa a medida das alturas dos alunos de uma escola.
i Altura dos alunos (em cm) f fr
1 100 |___ 120 5 2,5%
2 120 |___140 40 20%
3 140 |___ 160 80 40%
4 160 |___ 180 50 25%
5 180 |___ 200 25 12,5%
Total 200 100%
 a) Complete a tabela com os dados faltantes.
 b) Qual a quantidade de classes dessa tabela?
5 classes.
 c) Determine a amplitude de classes.
A k = 20
 2. O rol a seguir apresenta a amostra das rendas familiares mensais, em número de salários mínimos, de 
um determinado bairro.
1 1 1 2 2 2 3 3 3 3
4 4 4 4 4 5 5 5 5 5
5 5 5 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 7 7 7 8 8 8
8 8 8 8 8 9 9 9 9 9
Construa uma tabela de dados agrupados em cinco intervalos de classe com amplitude de classe igual 
a 2, com frequências absolutas e frequências relativas.
 3. Construa o histograma que represente a tabela a seguir sobre o consumo mensal de sucos por pessoa 
em uma escola.
i Consumo mensal de sucos (em L) f
1 5 |___ 10 4
2 10 |___ 15 8
3 15 |___ 20 14
4 20 |___ 25 6
Total 32
 4. Construa a tabela de frequência que o histograma a seguir representa.
Para fazer
54 Conquista Modular
 5. Com base no histograma a seguir, responda:
 a) Quantas classes há nessa distribuição?
6 classes
 b) Qual a amplitude de classe?
R$ 400,00
 c) Em qual classe há a maior quantidade de funcionários?
Na terceira classe.
 d) Qual a quantidade total de funcionários representados nesse histograma?
120 funcionários
 6. Determine a média do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir:i Consumo mensal de sucos (em L) f
1 5 |___ 10 4
2 10 |___ 15 8
3 15 |___ 20 14
4 20 |___ 25 6
Total 32
Consumo mensal de sucos (em L) f xi
 5 |___ 10 4 7,5
10 |___ 15 8 12,5
15 |___ 20 14 17,5
20 |___ 25 6 22,5
Total 32 –
x
x
x
x
= × + × + × + ×
= + + +
=
@
7 5 4 12 5 8 17 5 14 22 5 6
32
30 100 245 135
32
510
32
, , , ,
115 9,
A média do consumo mensal de sucos é aproximadamente 15,9 litros.
55Matemática Matemática financeira e estatística
 7. Determine a mediana do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir:
i Consumo mensal de sucos (em L) f
1 5 |___ 10 4
2 10 |___ 15 8
3 15 |___ 20 14
4 20 |___ 25 6
Total 32
 8. A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de uma empresa com 200 funcionários.
i Salário (em R$) f
1 1 000 |___ 1 500 80
2 1 500 |___ 2 000 50
3 2 000 |___ 2 500 40
4 2 500 |___ 3 000 20
5 3 000 |___ 3 500 8
6 3 500 |___ 4 000 2
Total 200
Consumo mensal de sucos (em L) f fr
 5 |___ 10 4 12,5%
10 |___ 15 8 25%
15 |___ 20 14 43,75%
20 |___ 25 6 18,75%
Total 32 100%
O valor mediano se encontra na 3ª. classe, pois a soma das fr das 1ª. e 2ª. classes é 37,5%. Ao somar as fr das 
três classes, tem-se 81,25%.
Assim: 
ℓi = 15
Li = 20
fri = 43,75% = 0,4375
Fri = 25% + 12,5% = 37,5% = 0,375
M
Fr
L
fr
M
M
d i
i
i i
i
d
d
-
-
= -
-
-
= -
- =
50
15
0 5 0 375
20 15
0 4375
15
0 125
5
0
%
, , ,
, ,,
, , ,
,
,
,
4375
0 4375 6 5625 0 625
7 1875
0 4375
16 4
M
M
M
d
d
d
- =
=
@
ℓ ℓ
Pode-se afirmar que 50% das pessoas consomem menos de, aproximadamente, 16,4 litros de suco por mês.
56 Conquista Modular
Nessas condições, determine:
 a) o salário médio dos funcionários dessa empresa.
 b) o salário mediano dos funcionários dessa empresa.
 c) a classe modal.
1.ª classe.
 9. O histograma apresenta o levantamento das velocidades captadas por um radar em uma avenida cujo 
limite de velocidade é 60 km/h.
Velocidades registradas pelo radar acima do limite de velocidade
Salário (em R$) f fr xi
1 000 |___ 1 500 80 40% 1 250
1 500 |___ 2 000 50 25% 1 750
2 000 |___ 2 500 40 20% 2 250
2 500 |___ 3 000 20 10% 2 750
3 000 |___ 3 500 8 4% 3 250
3 500 |___ 4 000 2 1% 3 750
Total 200 – –
x
x
= × + × + × + × + × + ×
=
80 1250 50 1750 40 2 250 20 2 750 8 3 250 2 3 750
200
100 000 ++ + + + +
=
=
87 500 90 000 55 000 26 000 7 500
200
366 000
200
1830
x
x
ℓi = 1 500
Li = 2 000
fri = 25% = 0,25
Fri = 40% = 0,4
M
Fr
L
fr
d i
i
i i
i
-
-
= -
50%
ℓ ℓ
M
M
M
d
d
d
-
-
= -
- =
- =
1 500
0 5 0 4
2 000 1 500
0 25
1 500
0 1
500
0 25
0 25 375 5
, , ,
, ,
, 00
425
0 25
1 700
M
M
d
d
=
=
,
Pode-se informar que o salário médio é igual a R$ 1 830,00.
O salário mediano dos funcionários dessa empresa é igual a R$ 1 700,00.
O valor mediano se encontra na 2ª. classe, pois a soma das fr é igual a 65%.
57Matemática Matemática financeira e estatística
 a) Determine a velocidade média registrada pelo radar.
 b) Qual a velocidade mediana registrada pelo radar?
 c) Qual a classe modal de velocidade?
A 1ª. classe.
 10. Determine a variância e o desvio padrão do consumo mensal de sucos apresentado na tabela a seguir, 
sabendo que a média de consumo é de 15,9 litros:
i Consumo mensal de sucos (em L) f
1 5 |___ 10 4
2 10 |___ 15 8
3 15 |___ 20 14
4 20 |___ 25 6
Total 32
x
x
= × + × + × + × + × +
= +
46 63 5 32 68 5 26 73 5 12 78 5 3 83 5 88 5
120
2 921 2 19
, , , , , ,
22 1911 942 250 5 88 5
120
8305
120
69 2
+ + + +
=
, ,
,
x
x @
A velocidade média registrada pelo radar é de aproximadamente 69,2 km/h.
A velocidade mediana registrada pelo radar é de aproximadamente 62,2 km/h.
O valor mediano se encontra na 2ª. classe, pois a soma das fr é igual a 65%.
M
Fr
L
fr
M
M
d i
i
i i
i
d
d
-
-
= -
-
-
= -
- =
50
66
0 5 0 3833
71 66
0 2666
66
0 1167
%
, , ,
,
55
0 2666
0 2666 17 5956 0 5835
18 1791
0 2666
68 2
,
, , ,
,
,
,
M
M
M
d
d
d
- =
=
@
ℓℓ
58 Conquista Modular
 11. A tabela a seguir apresenta a distribuição de salários de uma empresa com 200 funcionários, cuja média 
salarial é R$ 1.830,00.
i Salário (em R$) f
1 1 000 |___ 1 500 80
2 1 500 |___ 2 000 50
3 2 000 |___ 2 500 40
4 2 500 |___ 3 000 20
5 3 000 |___ 3 500 8
6 3 500 |___ 4 000 2
Total 200
 a) Qual a variância dessa distribuição de salários?
 b) Determine o desvio padrão salarial dessa empresa.
Consumo mensal de sucos (em L) f xi ( )x xi - 2
 5 |___ 10 4 7,5 70,56
10 |___ 15 8 12,5 11,56
15 |___ 20 14 17,5 2,56
20 |___ 25 6 22,5 43,56
Total 32 – –
Var
Var
= × + × + × + ×
= + +
70 56 4 11 56 8 2 56 14 43 56 6
32
282 24 92 48 35 8
, , , ,
, , , 44 261 36
32
20 9975
+
=
,
,Var
DP Var
DP
DP
=
=
@
20 9975
4 58
,
,
Salário (em R$) f xi ( )x xi - 2
1 000 |___ 1 500 80 1 250 336 400
1 500 |___ 2 000 50 1 750 6 400
2 000 |___ 2 500 40 2 250 176 400
2 500 |___ 3 000 20 2 750 846 400
3 000 |___ 3 500 8 3 250 2 016 400
3 500 |___ 4 000 2 3 750 3 686 400
Total 200 – –
Var = × + × + × + × + × +336 400 80 6 400 50 176 400 40 846 400 20 2 016 400 8 3 686 4000 2
200
74 720 000
200
373 600
×
=
=
Var
Var
DP Var
DP
DP
=
=
@
373 600
611 23,
59Matemática Matemática financeira e estatística
 12. Duas concessionárias de automóveis apresentaram os seguintes volumes de vendas em um determinado mês:
Concessionária A
i Valor do automóvel (em R$) f
1 20 000 |___ 30 000 5
2 30 000 |___ 40 000 15
3 40 000 |___ 50 000 25
4 50 000 |___ 60 000 20
5 60 000 |___ 70 000 10
6 70 000 |___ 80 000 5
Total 80
Concessionária B
i Valor do automóvel (em R$) f
1 20 000 |___ 30 000 10
2 30 000 |___ 40 000 12
3 40 000 |___ 50 000 22
4 50 000 |___ 60 000 10
5 60 000 |___ 70 000 4
6 70 000 |___ 80 000 2
Total 60
Qual das concessionárias obteve resultado mais homogêneo?
Concessionária A
Valor do automóvel (em R$) f xi ( )x xi - 2 ( )x x fi - ×2
20 000 |___ 30 000 5 25 000 564 062 500 2 820 312 500
30 000 |___ 40 000 15 35 000 189 062 500 2 835 937 500
40 000 |___ 50 000 25 45 000 14 062 500 351 562 500
50 000 |___ 60 000 20 55 000 39 062 500 781 250 000
60 000 |___ 70 000 10 65 000 264 062 500 2 640 625 000
70 000 |___ 80 000 5 75 000 689 062 500 3 445 312 500
Total 80
Concessionária B
Valor do automóvel (em R$) f xi ( )x xi - 2 ( )x x fi - ×2
20 000 |___ 30 000 10 25 000 348 456 889 3 484 568 890
30 000 |___ 40 000 12 35 000 75 116 889 901 402 668
40 000 |___ 50 000 22 45 000 1 776 889 39 091 558
50 000 |___ 60 000 10 55 000 128 436 889 1 284 368 890
60 000 |___ 70 000 4 65 000 455 096 889 1 820 387 556
70 000 |___ 80 000 2 75 000 981 756 889 1 963 513 778
Total 60
x
x
= × + × + × + × + × + ×
=
5 25 000 15 35 000 25 45 000 20 55 000 10 65 000 5 75 000
80
1225 000 525 000 1125 000 1100 000 650 000 375 000
80
3 900 000
80
+ + + + +
=
=
x
x 448 750
Var
Var
=
=
12 875 000 000
80
160 937 500
DP Var
DP
DP
=
=
@
160 937 500
12 686 11,
A concessionária B apresentou o resul-
tado mais homogêneo, pois seu desvio 
padrão foi menor que o da concessio-
nária A.
x
x
Var
Var
DP Var
DP
2 620 000
60
43667
9 493 333 340
60
158 222 222
1588 222 222
12 578 64DP 
 ,
x
x
� � � � � � � � � � �
10 25 000 12 35 000 22 45 000 10 55 000 4 65 000 2 75 000
60
2550 000 420 000 990 000 550 000 260 000 150 000
60
� � � � �
60 Conquista Modular
 13. Os dados da tabela abaixo são referentes ao peso (em quilogramas) e comprimento (em metros) de crian-
ças de uma turma. Para estas características, determine:
Peso (x) 23,0 22,7 21,2 21,5 17,0 28,4 19,0 14,5 19,0 19,5
Compr. (y) 104 105 103 105 100 104 100 91 102 99
 a) média
 b) moda 
 c) mediana
 d) variância 
 e) desvio-padrão
a) Média:
Equação: x
X
n
i
i
n
= =
å
1
Peso
x
:
, , , , , , , , , ,= + + + + + + + + +23 0 22 7 21 2 21 5 17 0 28 4 19 0 14 5 19 0 19 5
10
==
= + + + + + + + + +
20 58
104 105 103 105 100 104 100 91 102 99
,
:Comprimento
x
110
101 3= ,
b) modaÉ o valor que mais aparece. Assim, a moda do peso é 
Mo(x) = 19
Moda do comprimento é
Mo(y) = 100; 104; 105
c) mediana
Como temos n = 10, a mediana será dada pela média entre o quinto e o sexto valor, em ordem crescente.
d) variância
Definição: Var
x x f
n
i i
=
-( ) ×S
2
Peso (x) 23,0 22,7 21,2 21,5 17,0 28,4 19,0 14,5 19,0 19,5
Compr. (y) 104 105 103 105 100 104 100 91 102 99
Var(x)=13,3668
e) desvio-padrão é a raiz quadrada da variância
Para o peso
Md x
Para o comprimento
Md y
:
, ,
,
:
( ) = + =
( ) =
19 5 21 2
2
20 35
102 ++ =103
2
102 5,
� �� � � � �� � � � �� � � � �21 5 20 58 1 17 0 20 58 1 28 4 20 58 1 19 0 20 52 2 2, , , , , , , , 88 2 14 5 20 58 1 19 5 20 58 1
10
2 2 2� � � � �� � � � �� � �, , , ,
Peso Var x:
, , , , , ,( ) = -( ) × + -( ) × + -( ) ×23 0 20 58 1 22 7 20 58 1 21 2 20 582 2 2 11 21 5 20 58 1
10
2+ -( ) × +, ,
Comprimento Var y: ( )
, , ,
=
-( ) × + -( ) × + -104 101 3 2 105 101 3 2 103 101 32 2 (( ) × + -( ) × + -( ) × + -( ) × + -2 2 2 21 100 101 3 2 91 101 3 1 102 101 3 1 99 101, , , ,33 1
10
16 01
2( ) ×
=Var y( ) ,
Peso: DP(x) = (13,3668) 3,6560 Comprimento: DP(y) 
 
 16 01, 4
61Matemática Matemática financeira e estatística
Atividades
 1. (FGV – SP) Um conjunto de dados numéricos tem 
variância igual a zero. Podemos concluir que:
 a) a média também vale zero.
 b) a mediana também vale zero.
 c) a moda também vale zero.
X d) o desvio padrão também vale zero.
 e) todos os valores desse conjunto são iguais a 
zero.
 2. (UFPR) Os dados representam o tempo (em se-
gundos) para carga de um determinado aplicati-
vo, num sistema compartilhado:
Tempo (s) Nº. de observações
4,5 |___ 5,5 03
5,5 |___ 6,5 06
6,5 |___ 7,5 13
7,5 |___ 8,5 05
8,5 |___ 9,5 02
 9,5 |___ 10,5 01
Total 30
Com base nesses dados, considere as afirmativas 
a seguir:
 1. O tempo médio para carga do aplicativo é de 
7,0 segundos.
 2. A variância da distribuição é aproximadamen-
te 1,33 segundos ao quadrado.
 3. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
 4. Cinquenta por cento dos dados observados 
estão abaixo de 6,5 segundos.
Assinale a alternativa correta.
X a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
 b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
 c) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
 d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
 e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verda-
deiras.
 3. (PUC-SP) O histograma abaixo apresenta a dis-
tribuição das faixas salariais numa pequena 
empresa.
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que 
a média desses salários é, aproximadamente:
 a) R$ 420,00 
 b) R$ 536,00
 c) R$ 562,00
 d) R$ 640,00
X e) R$ 708,00
 4. (Fuvest – SP) A distribuição das idades dos alunos 
de uma classe é dada pelo seguinte gráfico:
Qual das alternativas representa melhor a média 
de idades dos alunos?
 a) 16 anos e 10 meses.
 b) 17 anos e 1 mês.
X c) 17 anos e 5 meses.
 d) 18 anos e 6 meses.
 e) 19 anos e 2 meses.
 5. (PUC-SP) O histograma representa a distribuição 
das estaturas de 100 pessoas e as respectivas fre-
quências. Por exemplo, na 3ª. classe (155 |___ 160) 
estão situadas 11% das pessoas com estatura de 
1,55 m a 1,59 m. A 5ª. classe (165 |___ 170) chama-
-se classe mediana. Pelo ponto M situado na clas-
se mediana, traça-se uma reta paralela ao eixo das 
frequências, de modo que divida a área da figura 
formada pelos nove retângulos das frequências 
em duas regiões de mesma área. Determine a abs-
cissa do ponto M (mediana das observações).
62 Conquista Modular
 6. (UEA – AM) Em uma escola foi aplicado um tes-
te de aptidão para um grupo de 100 alunos. O 
teste era composto de cinco questões objetivas, 
cada uma valendo um ponto. O gráfico indica 
o resultado dessa avaliação, considerando o nú-
mero total de acertos de cada aluno.
Com base nos dados apresentados no gráfico, 
pode-se afirmar que:
 a) 20 alunos obtiveram nota maior ou igual a 4. 
 b) 50% dos alunos que realizaram o teste obti-
veram nota 3.
 c) todo aluno acertou pelo menos uma questão.
 d) 15 alunos acertaram exatamente uma questão.
X e) 30 alunos acertaram exatamente duas questões.
 7. (UFG – GO) Os gráficos abaixo mostram a evolu-
ção da produção de etanol no Brasil e nos Esta-
dos Unidos, no período de 2004 a 2008.
De acordo com os dados apresentados nos grá-
ficos acima,
 a) a taxa de crescimento da produção dos Esta-
dos Unidos, de 2004 para 2008, foi de 265%.
 b) no período de 2004 a 2006, a produção total 
americana foi superior à brasileira.
 c) o aumento da produção no Brasil, de 2007 para 
2008, representou 30% do aumento da produ-
ção dos Estados Unidos, no mesmo período.
X d) no período de 2004 a 2008, a produção mé-
dia americana foi superior à produção média 
brasileira.
 e) na safra de 2008, os dois países produziram 
juntos mais de 65 bilhões de litros.
 8. (FUVEST – SP) Para que fosse feito um levanta-
mento sobre o número de infrações de trânsito, 
foram escolhidos 50 motoristas. O número de 
infrações cometidas por esses motoristas, nos 
últimos cinco anos, produziu a seguinte tabela:
Nº. de infrações Nº. de motoristas
de 1 a 3 7
de 4 a 6 10
de 7 a 9 15
de 10 a 12 13
de 13 a 15 5
maior ou igual a 16 0
Pode-se, então, afirmar que a média do número 
de infrações, por motorista, nos últimos anos, 
para este grupo, está entre:
X a) 6,9 e 9,0
 b) 7,2 e 9,3
 c) 7,5 e 9,6
 d) 7,8 e 9,9
 e) 8,1 e 10,2
M
Fr
L
fr
M
d i
i
i i
i
d
-
-
= -
-
- + + +
= -
50
165
0 5 0 06 0 08 0 11 0 15
170 165
%
, ( , , , , ) 00 24
165
0 1
5
0 24
0 24 39 6 0 5
40 1
0 24
167 08
,
, ,
, , ,
,
,
,
M
M
M
M
d
d
d
d
- =
- =
=
@
ℓ ℓ
63Matemática Matemática financeira e estatística
 9. (UFG – GO) De acordo com diagnóstico do Ban-
co Central a respeito de meios de pagamento de 
varejo no Brasil, no ano de 2006, constata-se que 
24% dos pagamentos foram feitos com cheque 
e 46%, com cartão. O valor médio desses paga-
mentos foi de R$ 623,00 para os cheques e de 
R$ 65,00 para os cartões. O valor médio, quando 
se consideram todos os pagamentos efetuados 
com cheque e cartão, é, aproximadamente:
 a) R$ 179,00
 b) R$ 240,00
X c) R$ 256,00
 d) R$ 302,00
 e) R$ 344,00
Média final = 
0 24 623 0 46 65
0 24 0 46
256 31
, . , .
, ,
,
+
+
@
 10. (PUC Minas – MG) A tabela representa a distri-
buição dos salários dos 20 funcionários de uma 
empresa:
Número de 
funcionários 8 6 4 2
Salário (em reais) 1 200 1 500 2 000 2 500
Com base nas informações da tabela, pode-se 
afirmar que o salário médio dessa empresa, em 
reais, é:
 a) 1 500
X b) 1 580
 c) 1 750
 d) 2 500
Fazendo a média ponderada, tem-se:
x = × + × + × + × =8 1 200 6 1 500 4 2 000 2 2 500
20
1 580
 11. (UEG – GO) A média das notas dos alunos de um 
professor é igual a 5,5. Ele observou que 60% 
dos alunos obtiveram nota de 5,5 a 10 e que a 
média das notas desse grupo de alunos foi 6,5. 
Neste caso, considerando o grupo de alunos que 
tiveram notas inferiores a 5,5, a média de suas 
notas foi de:
 a) 2,5
 b) 3,0
 c) 3,5
X d) 4,0
 e) 4,5
Utilizando-se a média ponderada, tem-se:
5 5
60 6 5 40
100
,
% . , % .
%
= + x
5 5
0 6 6 5 0 4
1
,
, . , , .
= + x
5 5 3 9 0 4 4, , ,= + \ =x x
 12. (ACAFE -
lhares de toneladas, a produção de cana-de-açúcar 
no estado do Paraná, nos anos de 1997 a 2005.
Analisando o gráfico, observa-se que a produção:
X a) em 2002, teve acréscimo de 40% em relação 
ao ano anterior.
 b) a partir de 2002 foi decrescente.
 c) foi crescente de 1999 a 2002.
 d) teve média de 50 mil toneladas ao ano.
 e) entre 2002 e 2005, a média foi de 70 mil to-
neladas.
Alternativa a.
50 ------ 100%
70 ------ x
x = 140% (acréscimo de 40%)
64 Conquista Modular