Lista 4

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Soluc¸a˜o da Lista de Exerc´ıcios IV - Microeconomia I
Universidade de Bras´ılia - Departamento de Economia
Exerc´ıcio 1: Considere as seguintes tecnologias:
1. Tecnologia linear: f(x1, x2) = ax1 + bx2, onde a > 0, b > 0.
2. Tecnologia Leontieff: f(x1, x2) = min{ax1, bx2}, onde a > 0, b > 0.
3. Tecnologia CES: f(x1, x2) = [ax
ρ
1 + bx
ρ
2]
1
ρ , onde a > 0, b > 0 e ρ < 1, ρ 6= 0.
Responda os seguintes itens:
a) Verifique se elas apresentam ou na˜o retornos constantes de escala.
S: Todas as treˆs func¸o˜es de produc¸a˜o apresentam retornos constantes de escala:
f(tx1, tx2) = a(tx1) + b(tx2) = t(ax1 + bx2) = tf(x1, x2)
f(tx1, tx2) = min{a(tx1), b(tx2)} = tmin{ax1, bx2} = tf(x1, x2)
f(tx1, tx2) = [a(tx1)
ρ + b(tx2)
ρ]
1
ρ = [tρ(axρ1 + bx
ρ
2)]
1
ρ = t [axρ1 + bx
ρ
2]
1
ρ = tf(x1, x2)
b) E´ poss´ıvel encontrar a func¸a˜o lucro e as func¸o˜es de demanda incondicionais para essas func¸o˜es
de produc¸a˜o? Justifique.
S: Na˜o. Como nos treˆs casos as func¸o˜es de produc¸a˜o apresentam retornos de escala, na˜o e´
poss´ıvel encontrar as demandas o´timas nem a func¸a˜o lucro.
c) Encontre a Taxa Te´cnica de Substituic¸a˜o das func¸o˜es de produc¸a˜o acima.
S: Temos que:
1) TTS = −a
b
;
2) TTS = zero ou -infinito;
3) TTS = −a
b
(
x1
x2
)ρ−1
= −a
b
(
x2
x1
)1−ρ
d) Encontre a elasticidade de substituic¸a˜o da func¸a˜o de produc¸a˜o 3) acima.
S: A TTS dessa func¸a˜o e´
|TTS| = f1
f2
=
a
b
(
x2
x1
)1−ρ
⇒ ln
(
x2
x1
)
=
1
1− ρ ln
(
f1
f2
)
− ln
(a
b
)
O que resulta em:
σ =
d ln
(
x2
x1
)
d ln (|TTS|) =
1
1− ρ
1
Exerc´ıcio 2: Sejam f uma func¸a˜o de produc¸a˜o homote´tica (ou seja, f = g ◦ h, onde g : R → R e´
func¸a˜o estritamente crescente e h : R2 → R e´ func¸a˜o homogeˆnea de grau 1) e x, x′ duas combinac¸o˜es
de insumos que produzem a mesma quantidade de bem final. Mostre que as combinac¸o˜es de insumos
tx e tx′ produzem a mesma quantidade de bem final, para qualquer t > 0.
S: Temos que f = g ◦ h, onde g e´ crescente e h homogeˆnea de grau 1. Observe que:
f(x) = g(h(x)) = y ⇒ h(x) = g−1(y), e
f(x′) = g(h(x′)) = y ⇒ h(x′) = g−1(y)
ou seja, h(x) = h(x′). Multiplicando essa igualdade por t ≥ 0 resulta em th(x) = th(x′). Aplicando
a func¸a˜o g e usando a homogeneidade de h, obtemos o resultado desejado, f(tx) = g(h(tx)) =
g(h(tx′)) = f(tx′).
Exerc´ıcio 3: Considere a func¸a˜o de produc¸a˜o f(x1, x2) = (min{x1, x2})α. Encontre as demandas
o´timas por insumos, a func¸a˜o oferta e a func¸a˜o lucro. Que restric¸a˜o α deve satisfazer?
S: Na soluc¸a˜o o´tima, devemos ter x1 = x2. O problema da firma nesse caso e´ equivalente a encontrar
x que maximiza pxα − (w1 + w2)x. A CPO desse problema e´
pαxα−1 − (w1 + w2) = 0 ⇒ x∗1 = x∗2 =
(
αp
w1 + w2
) 1
1−α
A func¸a˜o oferta e´:
y(p, w1, w2) =
(
αp
w1 + w2
) α
1−α
e a func¸a˜o lucro e´:
pi = p
(
αp
w1 + w2
) α
1−α
− (w1 + w2)
(
αp
w1 + w2
) 1
1−α
= (α
α
1−α + α
1
1−α )(w1 + w2)
− α
1−αp
1
1−α
Como a CSO do problema e´
pα(α− 1)xα−2,
a soluc¸a˜o acima vai ser de fato um o´timo do problema apenas se α < 1 (ja´ que nesse caso temos
pα(α− 1)xα−2 < 0). Ou seja, a func¸a˜o de produc¸a˜o deve apresentar retornos decrescentes de escala.
Exerc´ıcio 4: Suponha que voceˆ esta´ fazendo uma consultoria para uma empresa que utiliza dois
insumos, com o objetivo de verificar se essa empresa esta´ maximizando lucros. Voceˆ coletou duas
observac¸o˜es sobre o comportamento dessa empresa, com os seguintes dados:
w1 w2 x1 x2 p y
Observac¸a˜o 1 3 1 40 50 4 60
Observac¸a˜o 2 2 2 55 40 4 60
2
onde w1 e w2 sa˜o os prec¸os dos insumos 1 e 2, respectivamente, x1 e x2 sa˜o as quantidades usadas dos
insumos 1 e 2, respectivamente, p e´ o prec¸o do produto vendido pela firma e y e´ a quantidade vendida
desse produto. Com base nessas duas observac¸o˜es, o que voceˆ pode dizer sobre o comportamento
maximizador de lucros dessa firma?
S: Como o prec¸o do bem final e a sua quantidade produzida sa˜o iguais nas duas observac¸o˜es, vamos
analisar o custo de produc¸a˜o da firma. O custo de produc¸a˜o total incorrido em cada observac¸a˜o,
conjuntamente com o que seria o custo de produc¸a˜o se a firma tivesse usado o outro plano de
produc¸a˜o, e´ descrito na tabela abaixo:
Insumos usados na obs. 1 Insumos usados na obs. 2
Prec¸os obs. 1 3× 40 + 1× 50 = 170 3× 55 + 1× 40 = 205
Prec¸os Obs 2 2× 40 + 2× 50 = 180 2× 55 + 2× 40 = 190
Portanto, na observac¸a˜o 2 a firma na˜o minimizou o seu custo de produc¸a˜o, pois ao n´ıvel de prec¸os
dessa observac¸a˜o, a firma poderia ter usado o plano de produc¸a˜o da observac¸a˜o 1 e obtido a mesma
quantidade de produto, a um custo menor (180 < 190).
Nota: se for usada a equac¸a˜o obtida do axioma de maximizac¸a˜o de lucros ou da minimizac¸a˜o de
custos revelada (∆p∆y − ∆w1∆x1 − · · · − ∆wn∆xn ≥ 0 ou ∆w1∆x1 + · · · + ∆wn∆xn ≤ 0), na˜o
observaremos essa inconsisteˆncia, pois essas duas equac¸o˜es condensam informac¸a˜o, e por isso sa˜o
mais fracas do que as equac¸o˜es originais que lhes da˜o origem.
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