ProvaFinal Marivaldo

Prévia do material em texto

UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
Séries & EDO Prof. MPMatos
Exame Final de Avaliação
gabarito A
01. Veri…que, com detalhes, a convergência ou não das sequências
an =
2n
3n� 2 ; bn = n sen (1=n) e cn =
(�1)n n
lnn
:
Solução:
Recordemos que uma sequência ser convergente signi…ca ter limite …nito. Temos:
lim an = lim
2n
3n� 2 = lim
2
3� 2=n = 2=3) (an) convergente.
lim bn = limn sen (1=n) = lim
sen (1=n)
1=n
= 1) (bn) convergente.
lim jcnj = lim n
lnn
= (L’ôpital) = lim
1
1=n
= limn =1) (cn) divergente.
Em cada caso dê um exemplo do que se pede.
02. Uma sequência (an) alternada e convergente.
Solução:
A sequência de termo geral an =
(�1)n
n
é alternada, devido a presença do fator (�1)n ; e convergente
com limite zero.
03. Uma sequência (an) divergente e tal que a série
X
an=
p
n seja convergente.
Solução:
Consideremos a sequência an = (�1)n. As subsequências par (a2n) e ímpar (a2n�1) convergem para
valores distintos e, portanto, a sequência (an) é divergente. Por outro lado,X anp
n
=
X (�1)np
n
é convergente, pelo critério de Leibniz.
04. Calcule a soma da série geométrica
1X
n=2
2n+1
3n�1
.
Solução:
Inicialmente colocamos a série na forma padrão
X1
n=1
rn�1; � 1 < r < 1; e em seguida usamos a
fórmula 1X
n=1
rn�1 =
1
1� r :
Se …zermos an =
2n+1
3n�1
; teremos:
1X
n=2
2n+1
3n�1
= �a1 +
1X
n=1
2n+1
3n�1
= �4 +
1X
n=1
h
4� (2=3)n�1
i
= �4 + 4
�
1
1� 2=3
�
= 8
05. Mostre por comparação que a série
1X
n=1
n2 + 1p
n4 + n3 + 2
é divergente.
Solução:
Comparando frações, temos:
an =
n2 + 1p
n4 + n3 + 2
� n
2
p
n4 + n4 + 2n4
� n
2
p
4n4
=
1
2
= bn:
Ora, a série
P
1=2 é divergente (como consequência do critério do n-ésimo termo) e por comparação
deduzimos que
P
an também diverge.
06. Represente a função f (x) = 1=x em série de potências de x+ 2:
Solução:
Vamos usar uma série geométrica para chegar ao resultado. Temos:
1
x
=
1
�2 + (x+ 2) = �
1
2
� 1
1� x+22
= �1
2
1X
n=0
�
x+ 2
2
�n
= �
1X
n=0
(x+ 2)n
2n+1
e a representação será válida quando
��x+2
2
�� < 1, isto é, �4 < x < 0:
Considere a função 2�-periódica f (x) de…nida no intervalo �� � x � � por
f(x) =
���������
�1; se � � � x � 0
�2x; se 0 < x � �=2
1, se �=2 < x � �
07. Esboce o grá…co de f no intervalo [�3�; 3�] ;
Solução:
2
08. Se F (x) é a soma da série de Fourier de f no ponto x, calcule: F (�2�) + F (0)�F (�=2) :
Solução:
De acordo com o Teorema de Fourier o valor da série de Fourier no ponto x é: F (x) = 12 [f (x+) + f (x�)].
Observando o grá…co de f (x) deduzimos que
F (�2�) + F (0)�F (�=2) = 12 [0� 1] + 12 [0� 1]� 12 [1� �] = �2 � 32
09. Determine a solução geral da EDO y00 � 4y0 + 3y = x+ 1:
Solução:
1o Passo: Solução geral da EDO homogênea associada.
A equação característica é �2 � 4�+ 3 = 0, com raízes reais �1 = 3 e �2 = 1. A solução geral é:
yH (x) = C1e
3x + C2e
x
2o Passo: Solução particular da EDO não homogênea.
Uma solução particular é suposta da forma yP = Ax + B e substituindo essa solução na EDO encon-
tramos:
�4A+ 3 (Ax+B) = x+ 1, isto é, 3Ax� 4A+ 3B = x+ 1:
Igualando os coe…cientes, obtemos A = 1=3 e B = 7=9. A solução yP procurada é, portanto:
yP (x) =
1
3x+
7
9
O prncípio da superposição estabelece que a solução geral da EDO é:
yG (x) = yH (x) + yP (x) = C1e
3x + C2e
x + 13x+
7
9
3
10. Determine a curva integral da EDO
�
x2 � y2 + 2� dx� 2xydy = 0 que passa no ponto A (1; 1) :
Solução:
Trata-se de uma EDO exata, porque
@
@y
�
x2 � y2 + 2� = �2y = @
@x
(�2xy)
e a curva integral que passa no ponto A (1; 1) é dada por:Z x
1
P (t; 1) dt+
Z y
1
Q (x; t) dt = 0,Z x
1
�
t2 + 1
�
dt�
Z y
1
2xtdt = 0,�
t3
3
+ t
�x
1
� 2x
�
t2
2
�y
1
= 0,
x3
3
+ x� 4
3
� x �y2 � 1� = 0,
x3 � 3xy2 + 6x = 4
4
UFPB - CCEN - Departamento de Matemática
Séries & EDO Prof. MPMatos
Exame Final de Avaliação
gabarito B
01. Veri…que, com detalhes, a convergência ou não das sequências
an =
(�1)n n
3n� 2 ; bn = n sen (2=n) e cn =
(�1)n lnn
n
:
Solução:
Recordemos que uma sequência ser convergente signi…ca ter limite …nito. Temos:
lim a2n = lim
2n
6n� 2 = lim
2
6� 2=n = 1=3 e lim a2n�1 = �1=3. Logo, (an) é divergente.
lim bn = limn sen (2=n) = 2 lim
sen (2=n)
2=n
= 2) (bn) convergente.
lim jcnj = lim lnn
n
= (L’ôpital) = lim
1=n
1
= lim 1=n = 0) lim cn = 0) (cn) convergente.
Em cada caso dê um exemplo do que se pede.
02. Uma sequência (an) limitada, alternada e cdivergente.
Solução:
A sequência de termo geral an = (�1)n é alternada, limitada, porque janj = 1; e as subsequências
par e ímpar convergem para valores distintos. Logo, (an) é divergente.
03. Uma sequência (an) com limite zero e tal que a série
X
an=
p
n seja divergente.
Solução:
Consideremos a sequência an = 1=
p
n. É claro que lim an = 0 e, por outro lado,X anp
n
=
X 1
n
é a série harmônica divergente.
04. Calcule a soma da série geométrica
1X
n=2
2n�1
3n+1
.
Solução:
5
Inicialmente colocamos a série na forma padrão
X1
n=1
rn�1; � 1 < r < 1; e em seguida usamos a
fórmula 1X
n=1
rn�1 =
1
1� r :
Se …zermos an =
2n�1
3n+1
; teremos:
1X
n=2
2n�1
3n+1
= �a1 +
1X
n=1
2n�1
3n+1
= �19 +
1X
n=1
h
1
9 � (2=3)n�1
i
= �19 + 19
�
1
1� 2=3
�
= 2=9
05. Mostre por comparação que a série
1X
n=1
np
n3 + 1
é divergente.
Solução:
Comparando frações, temos:
an =
np
n3 + 1
� np
n3 + 3n3
� np
4n3
=
1
2
p
n
= bn:
Ora, a série
P 1
2
p
n
é uma p-série divergente e por comparação deduzimos que
P
an também diverge.
06. Represente a função f (x) = 1=x em série de potências de x� 2:
Solução:
Vamos usar uma série geométrica para chegar ao resultado. Temos:
1
x
=
1
2 + (x� 2) =
1
2
� 1
1 + x�22
=
1
2
1X
n=0
�
x� 2
2
�n
=
1X
n=0
(x� 2)n
2n+1
e a representação será válida quando
��x�2
2
�� < 1, isto é, 0 < x < 4:
Considere a função 2�-periódica f (x) de…nida no intervalo �� � x � � por
f(x) =
���������
�1; se � � � x � 0
�2x; se 0 < x � �=2
1, se �=2 < x � �
07. Esboce o grá…co de f no intervalo [�3�; 3�] ;
Solução:
6
08. Se F (x) é a soma da série de Fourier de f no ponto x, calcule: F (�2�) + F (0)�F (�=2) :
Solução:
De acordo com o Teorema de Fourier o valor da série de Fourier no ponto x é: F (x) = 12 [f (x+) + f (x�)].
Observando o grá…co de f (x) deduzimos que
F (�2�) + F (0)�F (�=2) = 12 [0 + 1] + 12 [0 + 1]� 12 [�1 + �] = �2 + 32
09. Determine a solução geral da EDO y00 � 5y0 + 6y = x+ 1:
Solução:
1o Passo: Solução geral da EDO homogênea associada.
A equação característica é �2 � 5�+ 6 = 0, com raízes reais �1 = 3 e �2 = 2. A solução geral é:
yH (x) = C1e
3x + C2e
2x
2o Passo: Solução particular da EDO não homogênea.
Uma solução particular é suposta da forma yP = Ax + B e substituindo essa solução na EDO encon-
tramos:
�4A+ 3 (Ax+B) = x+ 1, isto é, 3Ax� 4A+ 3B = x+ 1:
Igualando os coe…cientes, obtemos A = 1=6 e B = 11=36. A solução yP procurada é, portanto:
yP (x) =
1
6x+
11
36
O prncípio da superposição estabelece que a solução geral da EDO é:
yG (x) = yH (x) + yP (x) = C1e
3x + C2e
2x + 16x+
11
36
7
10. Determine a curva integral da EDO
�
x2 + y2 + 2
�
dx � (1� 2xy) dy = 0 que passa no ponto
A (1; 1) :
Solução:
Trata-se de uma EDO exata, porque
@P
@y
=
@
@y
�
x2 + y2 + 2
�
= 2y =
@
@x
(�1 + 2xy) = @Q
@y
e a curva integral que passa no ponto A (1; 1) é dadapor:Z x
1
P (t; 1) dt+
Z y
1
Q (x; t) dt = 0,Z x
1
�
t2 + 3
�
dt+
Z y
1
(2xt� 1) dt = 0,�
t3
3
+ 3t
�x
1
+
�
2xt2
2
� t
�y
1
= 0,
x3
3
+ 3x� 10
3
+ xy2 � y � x+ 1 = 0,
x3 + 3xy2 + 6x� 3y = 7
8
	Prova A
	Prova B