CALCULO I Aula8

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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Consideremos a circunfereˆncia de raio 1 centrada na origem:
Figura 39: Circunfereˆncia de raio 1 e centro na origem
Para cada ponto P = (x, y) na circunfereˆncia, temos que:
cosα =
cateto adjacente
hipotenusa
=
x
1
= x,
sinα =
cateto oposto
hipotenusa
=
y
1
= y,
tg α =
cateto oposto
cateto adjacente
=
y
x
=
sinα
cosα
.
Atrave´s da Figura 39, podemos notar que:
• cos 0 = 1, sin 0 = 0 e tg 0 = 0,
• cos pi
2
= 0, sin pi
2
= 1 e tg pi
2
na˜o existe,
• cos pi = −1, sin pi = 0 e tg pi = 0,
• cos 3pi
2
= 0, sin 3pi
2
= −1 e tg 3pi
2
na˜o existe.
Figura 40: Resumo
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 35
Figura 41: Triaˆngulo iso´celes
Para 45o = pi
4
, o triaˆngulo em questa˜o pode ser visto na Figura 41. Portanto, cos pi
4
= x
e usando o Teorema de Pita´goras, temos 1 = x2 + x2 enta˜o x = 1√
2
=
√
2
2
= y. Assim
cos pi
4
= x =
√
2
2
, sin pi
4
= y =
√
2
2
e tg pi
4
= y
x
=
√
2
2√
2
2
= 1.
Figura 42: Triaˆngulo iso´celes
Para α = 30o e α = 60o, o triaˆngulo em questa˜o pode ser visto na Figura 42. Pode-
mos notar pelo Teorema de Pita´goras que y =
√
3
2
. Portanto, cos pi
6
= cateto adjacente
hipotenusa
=
√
3
2
, sin pi
6
= cateto oposto
hipotenusa
= 1
2
e tg pi
6
= cateto oposto
cateto adjacente
=
√
3
3
. Ainda, cos pi
3
= cateto adjacente
hipotenusa
=
1
2
, sin pi
6
= cateto oposto
hipotenusa
=
√
3
2
e tg pi
6
= cateto oposto
cateto adjacente
=
√
3.
Observac¸a˜o 0.2.42. Todos os gra´ficos sa˜o perio´dicos, com per´ıodo de 2pi.
Domsin = R, Imsin=[−1,1]
Domcos = R, Imcos=[−1,1]
Domtg = {x ∈ R : x 6= ±pi
2
+ kpi, k ∈ N}, Imtg = R.
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Figura 43: Resumo
Figura 44: Gra´ficos das func¸o˜es trigonome´tricas
	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Conjunto dos números reais
	Módulo de um número real
	Existência de raízes
	Funções de uma variável real a valores reais
	Determinar o domínio de uma função
	Propriedades de funções
	Funções inversas
	Alguns tipos de funções