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.f+ ~m)r.-70 A f)~'t~~ -rOLO- S ,?r \\m ('I..\~)-/ lG(o) L' H J;.m .- o ./ 2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que ~~ (0,0) existe para todo vetar .ffunitário li e f não é contínua em (O,O). { y3 { x2y (I) f(x, y) = x2 + y2 se (x, y) =/= (O,O) (II) f(x, y) = x4 + y2 se (x, y) =/=(O,O) O se (x, y) = (O,O) O se (x, y) = (O,O) (11I) f(x, y) = V2X2 + 5y2 2. (2,5) Na lista de funções abaixo, existe uma função f tal que ~~(O,O) existe para todo vetar B unitário ü e f não é contínua em (O,O). { x2y (1) f(x, y) = ~4 I ~.? se (x, y) =1=(O, O) O se (x, y) = (O,O) (lIl) f(x, y) = V3X2 + 4y2 (x, y) =1=(O, O) (x, y) = (O, O) -A- MAT 2454 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012 (3,0) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabe-se que: (I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t + 1, t2, 2t5 + t4 − 2t3 − t2) esta´ contida no gra´fico de f , (II) a derivada direcional de f no ponto (3, 4), na direc¸a˜o do vetor ~u = (− √ 2 2 , √ 2 2 ) e´ igual a 31 √ 2 2 . Determine: 1. a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 4, f(3, 4)). De (I) segue que f(t+ 1, t2) = 2t5 + t4 − 2t3 − t2. (1) Como f e´ diferencia´vel temos, pela regra da cadeia: ∂f ∂x (t+ 1, t2) · 1 + ∂f ∂y (t+ 1, t2) · 2t = 10t4 + 4t3 − 6t2 − 2t. Tomando t = 2, ∂f ∂x (3, 4) · 1 + ∂f ∂y (3, 4) · 4 = 10 · 16 + 4 · 8− 6 · 4− 4 = 164. (2) De (II), sendo f diferencia´vel, temos ∂f ∂x (3, 4) · − √ 2 2 + ∂f ∂y (3, 4) · √ 2 2 = 31 √ 2 2 . Portanto −∂f ∂x (3, 4) + ∂f ∂y (3, 4) = 31. (3) Somando as equac¸o˜es (2) e (3), temos 5∂f ∂y (3, 4) = 195⇒ ∂f ∂y (3, 4) = 39. De (6), ∂f ∂x (3, 4) = 8. Portanto ∇f(3, 4) = (8, 39) Ale´m disso, tomando t = 2 em (1) f(3, 4) = (2 · 25 + 24 − 2 · 23 − 22) = 60. Portanto, a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 4, f(3, 4)) = (3, 4, 60) e´ (z − 60) = 8(x− 3) + 39(y − 4), ou z = 8x+ 39y − 120. 2. a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de f que conte´m o ponto (3, 4) nesse ponto. Se ~T e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (3, 4), temos ~T · ∇f(3, 4) = 0⇔ ~T = λ(−39, 8), λ ∈ R. Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente e´ (x, y) = (3, 4) + λ(−39, 8), λ ∈ R. -B- MAT 2454 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2o semestre de 2012 - Segunda Prova - 15/10/2012 (3,0) Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabe-se que: (I) a imagem da curva Γ : R → R3 dada por Γ(t) = (t2, t− 1, t5 + t4 − 4t3 + 2t2) esta´ contida no gra´fico de f , (II) a derivada direcional de f no ponto (4, 1), na direc¸a˜o do vetor ~u = (− √ 2 2 , √ 2 2 ) e´ igual a 11 √ 2. Determine: 1. a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (4, 1, f(4, 1)). De (I) segue que f(t2, t− 1) = t5 + t4 − 4t3 + 2t2. (4) Como f e´ diferencia´vel temos, pela regra da cadeia: ∂f ∂x (t2, t− 1) · 2t+ ∂f ∂y (t+ 1, t2) · 1 = 5t4 + 4t3 − 12t2 + 4t. Tomando t = 2, ∂f ∂x (4, 1) · 4 + ∂f ∂y (4, 1) · 1 = 5 · 16 + 4 · 8− 12 · 4 + 8 = 72. (5) De (II), sendo f diferencia´vel, temos ∂f ∂x (4, 1) · − √ 2 2 + ∂f ∂y (4, 1) · √ 2 2 = 11 √ 2. Portanto −∂f ∂x (4, 1) + ∂f ∂y (4, 1) = 22. (6) Subtraindo (6) de (5), temos 5∂f ∂x (4, 1) = 50⇒ ∂f ∂x (4, 1) = 10. De (6), ∂f ∂y (4, 1) = 32. Portanto, ∇f(4, 1) = (10, 32) Ale´m disso, tomando t = 2 em (4) f(4, 1) = (25 + 24 − 4 · 23 − 2 · 22) = 24. Portanto, a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (4, 1, f(4, 1)) = (4, 1, 24) e´ (z − 24) = 10(x− 4) + 32(y − 1), ou z = 10x+ 32y − 48. 2. a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de f que conte´m o ponto (4, 1) nesse ponto. Se ~T e´ um vetor tangente a` curva de n´ıvel de f no ponto (4, 1), temos ~T · ∇f(4, 1) = 0⇔ ~T = λ(−32, 10), λ ∈ R. Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente e´ (x, y) = (4, 1) + λ(−32, 10), λ ∈ R.
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