4. Considere a função f : D f ⊆ R2 → R definida da seguinte forma: f (x, y) = cos(3x)ey a. (1,5 val.) Calcule o polinómio de Taylor de 2a ordem, ...

a. Para calcular o polinômio de Taylor de 2ª ordem, P2(x,y), que aproxima a função f numa vizinhança do ponto (0,1), precisamos calcular as derivadas parciais de f até a ordem 2. Começando com a primeira derivada parcial em relação a x: fx(x,y) = -3sen(3x)ey A segunda derivada parcial em relação a x: fxx(x,y) = -9cos(3x)ey A primeira derivada parcial em relação a y: fy(x,y) = cos(3x)ey A segunda derivada parcial em relação a y: fyy(x,y) = cos(3x)ey A derivada parcial mista: fxy(x,y) = -3sen(3x)ey Agora podemos calcular o polinômio de Taylor de 2ª ordem, P2(x,y): P2(x,y) = f(0,1) + fx(0,1)x + fy(0,1)y + 1/2[fxx(0,1)x^2 + 2fxy(0,1)xy + fyy(0,1)y^2] Substituindo as derivadas parciais calculadas: P2(x,y) = cos(3) + 0 + (y-1) + 1/2[-9cos(3)x^2 - 6sen(3)(y-1)x - cos(3)(y-1)^2] Simplificando: P2(x,y) = -4cos(3) + (y-1) - 9/2cos(3)x^2 - 3sen(3)(y-1)x - 1/2cos(3)(y-1)^2 b. i. Para calcular o limite lim(x,y)→(0,1) cos(3x)ey − e− e(y− 1)− 1 2 (−9ex2 + e(y− 1)2 )√x2 + (y− 1)2, podemos usar o polinômio de Taylor de 2ª ordem, P2(x,y), que calculamos em a. Substituindo os valores de x e y no polinômio, temos: cos(3x)ey - e^(-e(y-1)) - 1/2(-9e(x^2) + e(y-1)^2)/(x^2 + (y-1)^2)^(1/2) Substituindo x=0 e y=1: cos(0)e - e^(-e(0-1)) - 1/2(-9e(0^2) + e(0-1)^2)/(0^2 + (0-1)^2)^(1/2) Simplificando: e - e^e + 1/2e/1 e - e^e + 1/2e ii. Para calcular a derivada dirigida, segundo a direção e sentido de crescimento máximo de f no ponto (0,1), precisamos encontrar o vetor unitário que indica a direção e sentido de crescimento máximo. Esse vetor é dado por: u = grad(f)(0,1)/|grad(f)(0,1)| Onde grad(f) é o vetor gradiente de f, dado por: grad(f) = (fx, fy) Calculando as derivadas parciais em (0,1): fx(0,1) = 0 fy(0,1) = e Portanto, o vetor gradiente em (0,1) é: grad(f)(0,1) = (0, e) E o vetor unitário que indica a direção e sentido de crescimento máximo é: u = (0,1) A derivada dirigida segundo a direção e sentido de crescimento máximo é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário: Duf(0,1) = grad(f)(0,1) . u Substituindo os valores: Duf(0,1) = (0, e) . (0,1) Duf(0,1) = e Portanto, a derivada dirigida segundo a direção e sentido de crescimento máximo de f no ponto (0,1) é e.