23 Funcoes trigonometricas de um angulo agudo

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AULA 23
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM ÂNGULO AGUDO:
PROF. PAULO
AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINIÇÕES:
Para os ângulos agudos, temos as seguintes definições das funções
trigonométricas:
• 
hipotenusa
opostocateto
seno =
• 
hipotenusa
adjacentecateto
seno =cos
• 
adjacentecateto
opostocateto
gente =tan ou 
seno
seno
gente
cos
tan =
• 
opostocateto
adjacentecateto
angente =cot , 
seno
seno
angente
cos
cot = ou
tagente
angente
1
cot =
• 
adjacentecateto
hipotenusa
ante =sec ou 
seno
ante
cos
1
sec =
• 
opostocateto
hipotenusa
ante =seccos ou 
seno
ante
1
seccos =
a
b
sen =a
a
c
=acos 
c
b
tg =a
b
c
g =acot 
c
a
=asec 
b
a
=aseccos
. a
90o-a
A B
C
a
b
c
Observação:
Das definições acima, temos:
( )
a
b
sen =-= aa 090cos ( )
a
c
sen =-= aa 090cos
ÂNGULOS NOTÁVEIS
Os ângulos de 300, 450 e 600 são utilizados com muita freqüência e
por isso convém memorizá-los. Para isto temos uma tabela que resume
esses valores:
300 450 600
sen 2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tg
3
3 1 3
OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Na trigonometria temos uma relação muito importante chamada:
RELAÇÃO FUNDAMENTAL 12cos2 =+ aasen ÔÓ
Ô
Ì
Ï
-=
-=
aa
aa
22
22
cos1
1cos
sen
sen
Relações auxiliares: aa 22 sec1 =+tg
aa 22 seccoscot1 =+ g
Exemplos:
1) Calcule o seno, o cosseno , a tangente, a cotangente, a secante e a
cossecante de a na figura seguinte:
Resolução:
Inicialmente vamos calcular a hipotenusa.
a2 = 72 + 242 fi a2 = 625 \ a = 25
Então, temos:
25
77
=fi= aa sen
a
sen
25
24
cos
24
cos =fi= aa
a
25
7
=atg
7
25
cot =ag
24
25
sec =a
7
25
seccos =a
2) Uma pessoa sobe uma rampa de 10m de comprimento e se eleva
verticalmente 5m. Qual o ângulo que a rampa forma com o plano
horizontal?
Resolução:
a
A B
C
a
7
24
.q
10m
5m
Seja q a medida do ângulo procurado. Então, temos:
030
2
1
10
5
=\=fi= qqq sensen
3) Um observador enxerga uma montanha segundo um ângulo a.
Caminhando 420m em direção à montanha, passa a enxergá-la
segundo um ângulo b. Calcule a altura da montanha, sabendo que
2
1
=atg e 
3
2
=btg .
Resolução:
 Observe, na figura, que:
 
2
3
3
2 h
x
x
h
tg =fi==b (1)
 4202
2
1
420
+=fi=
+
= xh
x
h
tga (2)
 De (1) e (2) temos:
 2h -
2
3h
= 420
 840420
2
=fi= h
h
Resposta: 840m.
4) Simplificando a fração 
senx
x2cos1-
, obteremos:
Resolução:
 ==
-
senx
xsen
senx
x 22cos1
senx
a b
h
420m x
EXERCÍCIOS:
1) Calcule o seno, cosseno e a tangente de a e de b na figura a
seguir:
2) (Vunesp) Uma rampa lisa, de 20m de comprimento, faz um
ângulo de 300 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe esta
rampa inteira eleva-se verticalmente:
a) 17m
b) 10m
c) 15m
d) 5m
e) 8m
3) (Fuvest) Calcule x indicado na figura.
4) (U.F.Viçosa) Satisfeitas as condições de existência, a expressão
x
gx
xsen
E seccos.
cot
1 2
˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê -
= , é idêntica a:
a) senx
b) cosx
c) 1
d) 0
e) secx
.
a
A B
C
a
5
12
b
.
x
y
300 600
100m
5) Se 00<x<900 e 
2
1
=senx , então o valor da expressão
E = cossecx + cosx.tgx é:
a)
2
5
b)
2
3
c)
2
1
d)
3
6
f) 1
Resolução dos exercícios:
1)
5
12
13
5
cos,
13
12
12
5
13
12
cos,
13
5
13169125 2222
===
===
=fi=fi+=
bbb
aaa
tgesen
tgesen
aaa
2) Observe a figura:
mx
xx
sen 10
202
1
20
300 =fi=fi=
Resposta: b
3) Observe, na figura, que:
 33600 yx
y
x
y
x
tg =fi=fi= (1)
 ( ) 31003
1003
3
100
300 +=fi
+
=fi
+
= yx
y
x
y
x
tg (2)
 De (1) e (2) temos:
.30
0
20m
x
 ( ) 310033 += yy
 35050 =fi= xy
Resposta: .350 m
4) x
senx
senx
x
x
x
gx
xsen
E cos
1
.
cos
cos
seccos.
cot
1 22
==˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê -
=
Resposta : b
5)
0
00
30
2
1
900
=fi
Ô˛
Ô
˝
¸
=
<<
x
senx
x
portanto, 
3
3
2
3
cos,2
1
seccos ==== tgxex
senx
x
Assim: 
2
5
2
1
2
3
3
.
2
3
2 =+=+=E
Resposta: a