L3P2 LAZZARIN ENGENHARIA QUÍMICA

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1. Em cada item, veri…que se W é ou não subespaço vetorial de V = R3 :
(a) W = f(x; y; z)jx; y; z 2 R e z = 0g:
(b) W = f(x; y; z)jy = x e z = 2xg;
(c) W = f(x; y; z)jx+ y + z = 0g;
(d) W = f(x; y; z)jx2 + y2 + z2 = 0g:
2. Em cada item veri…que se o vetor w dado é combinação linear dos outros
vetores dados.
(a) w = (1; 5) é combinação linear dos vetores v1 = (�1; 1), v2 = (6; 3) e
v3 = (2; 2)?
(b) w = (�1; 0; 3) é combinação linear dos vetores v1 = (0; 1; 6), v2 =
(0; 1; 2) e v3 = (1;�1;�1)?
(c) w = (0; 0; 0; 5) é combinação linear dos vetores v1 = (0; 1; 6; 3), v2 =
(0; 1; 2; 0) e v3 = (1; 0; 1; 4)?
3. Veri…que se os vetores dados são Linearmente Independentes (LI) ou se
são Linearmente Dependentes (LD).
(a) v1 =; v2 = (�1; 2); v3 = (0; 0):
(b) v1 = (1; 2; 3); v2 = (4; 5; 6); v3 = (7; 8; 9):
(c) v1 = (0;�1; 0); v2 = (1; 2; 1); v3 = (5; 9; 5):
(d) v1 = (1;�1; 0; 0); v2 = (1; 0; 1; 0); v3 = (0; 0; 1;�1); v4 = (0; 1; 0;�1):
4. Descubra e faça um grá…co dos subespaços vetoriais gerados:
(a) W =< (1;�2); (�3; 6) > subespaço do R2:
(b) W =< (1; 2; 0); (4; 1; 0); (6; 5; 0) > subespaço do R3:
(c) W =< (1; 2; 0); (4; 1; 0); (6; 5; 0) > subespaço do R3:
5. Veri…que se os conjuntos abaixo são bases dos espaços vetoriais indicados.
(a) f(1; 1); (0; 1)g é base do R2?
(b) f(1;�1); (�1; 1)g é base do subespaço W = f(x; y) : x = �yg?
(c) f(1;�1)g é base do subespaço W = f(x; y) : x = �yg?
(d) f(1; 2; 0); (4; 1; 1); (0; 1; 0)g é base do espaço vetorial R3?
6. Encontre a matriz mudança de base
(a) De � = f(1; 5); (2; 3)g para � = f(1; 0); (0; 1)g.
(b) De � = f(1; 0); (0; 1)g para � = f(1; 1); (0; 1)g.
(c) De � = f(1;�1;�1); (0; 1; 0); (1; 0; 1)g para � = f(1; 1; 0); (0; 1; 3); (0; 0; 1)g.
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(d) De � = f(1; 1; 0); (0; 1; 3); (0; 0; 1)g para � = f(1;�1;�1); (0; 1; 0); (1; 0; 1)g.
Sugestões: 1. veri…que se o vetor dado satisfaz um sistema linear homogêneo
ou faça um grá…co mostrando que temos uma reta ou um plano passando pela
origem.
2. Por exemplo no item a. faça w = xv1 + yv2 + zv3 monte
um sistema linear e tente encontrar os valores de x; y e z.
3.Por exemplo no item b. faça xv1 + yv2 + zv3 = (0; 0; 0) e
tente encontrar valores não nulos para x; y ou z: que satisfaça esta equação
linear homogênea.
4.Por exemplo no item b. Tome um vetor qualquer (a; b; c)
coloque ele em combinação linear dos outros vetores
(a; b; c) = x(1; 2; 0) + y(4; 1; 0) + z(6; 5; 0)
monte a matriz e escalone em busca de solução. Quando o sistema estiver na
forma escada aparecerá uma condição sobre a; b e c para que o sistema tenha
solução.
5. Veri…que se os vetores são LI e se geram o espaço vetorial
indicado. Lembre-se uma base do Rn sempre tem exatamente n vetores.
6. Coloque os vetores de uma base em combinação linear com
os vetores da outra. Os escalares encontrados formarão a matriz procurada: Por
exemplo no item a.
(1; 5) = a11(1; 0) + a21(0; 1)
(2; 3) = a12(1; 0) + a22(0; 1)
assim
[u]� = [I]
�
� [u]�
para todo u 2 R2 e [I]�� =
�
a11 a12
a21 a22
�
é a matriz procurada.
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