Lista 1 Prova 1 Álgebra Linear Engenharia Química Lazzarin

Prévia do material em texto

UFSM - E. QUÍMICA - LAZZARIN
L1P1 - Matrizes
1. Se A = (aij)3�4 B = (bij)3�4 são tais que aij = 3i� j e bij =
�
i:j se i � j
i� 1 se i > j :Encontre:
(a) A;
(b) BT = (dij) onde dij = bji (BT é chamada de matriz transposta de B);
(c) a fórmula geral para obter cada cij através dos índices i e j onde (cij) = A:BT ;
(d) C = A:BT ;
(e) D = A� 3B;
(f) Y = (yij) onde 6Y � 2A = 9B;
(g) X = (xij)3�3 onde CX = I3.
2. Calcule o determinante das seguintes matrizes, identi…cando quais são invertíveis:
(a)
�
2 �2
2 2
�
(b)
24 �2 1 33 4 1
�2 2 4
35
(c)
24 3 3 10 3 3
0 0 3
35
(d)
2664
3 3 2 1
0 3 3 2
0 0 3 3
0 0 0 3
3775
(e)
2664
1 2 �1 1
2 0 3 1
1 2 2 4
5 1 2 2
3775
(f)
266664
0 0 2 1 4
1 0 0 2 �1
0 0 3 3 1
�1 2 �5 2 1
�1 0 2 �1 2
377775
3. Sejam m e n números reais tais que m 6= n e as matrizes A =
�
2 1
3 5
�
e B =
� �1 1
0 1
�
. Qual a relação necessária entre m
e n para que a matriz nA+mB NÃO seja inversível?
4. Encontre o(s) possíveis valor(es) de x na matriz A =
24 1 2 0�1 x x
2 1 x
35, sabendo que det(A�1) = 411 .
5. Considere B =
24 1 �1 1�3 3 �3
�4 4 �4
35 e C =
24 2 �1 1�3 4 �3
�5 5 �4
35 : Calcule
(a) BC
(b) B3
(c) C2 e C199.
6. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que aij = 1 na matriz
abaixo, signi…ca que a estação i pode transmitir diretamente a estação j e aij = 0 signi…ca que a transmissão da estação i
não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula, signi…cando que uma estação não transmite diretamente a
si mesma.
A =
e1 e2 e3 e4 e5266664
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
377775
e1
e2
e3
e4
e5
1
(a) Construa um diagrama para representar as transmissões entre as estações, compatível com os dados da matriz A (disponha
cada ei a uma certa distância uma da outra e ligue ei a ej conforme tenha transmissão ou não).
(b) Calcule A2.
(c) Interprete o signi…cado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1, de modo a justi…car a a…rmação: " a matriz A2 rep-
resenta o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra, com uma única transmissão intermediária".
(d) Qual o signi…cado das matrizes A+A2; A3 e A+A2 +A3?
(e) Calcule detA, mostrando que A�1 não existe. Qual interpretação podemos dar para justi…ca a não existência de A�1.
Uma ideia: Por exemplo, em A+A2 o elemento c24 = 3, signi…ca que existe um caminho de e2 à e4 sem transmissão intermediária
(e2 ! e4) e mais dois caminhos com uma transmissão intermediária (e2 ! e3 ! e4) e (e2 ! e1 ! e4). Portanto, A+A2 signi…ca
os caminhos disponíveis para cada estação transmitir a outra com nenhuma ou uma única transmissão intermediária.
2