Exercícios Economia Matemática

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ERU 627 – MÉTODOS MATEMÁTICOS EM ECONOMIA 
1ª. LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Encontre um enunciado que é equivalente ao enunciado ba ⇔ usando apenas negação e 
conjunção. Resposta: )]([)]([ abba ¬∧¬∧¬∧¬ . OBS.: Para encontrar a resposta indicada, 
você precisa construir tabelas de valores lógicos como as mostradas abaixo. Lembrar que 
ba ⇔ é equivalente a ( ba ⇒ ) ^ ( ab ⇒ ). 
a b ba ⇒ ab ⇒ ba ⇔ 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
a b ¬ a ¬ b (a^ ¬ b) ¬ (a^¬b) (b^ ¬a) ¬ (b^ ¬a) [¬ (a^¬b)] ^[ ¬ (b^ ¬a)] 
V V F F F V F V V 
V F F V V F F V F 
F V V F F V V F F 
F F V V F V F V V 
Note que as duas últimas colunas das tabelas (em negrito) são idênticas, ou seja, os 
enunciados lógicos que as representam são equivalentes. 
 
2) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 
mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos, 30 os produtos P1 e P2, 50 os produtos 
P2 e P3, 60 os produtos P1 e P3, 120 o produto P1 e 75 o produto P2. Se todas as 200 pessoas 
entrevistadas deram preferência a pelos menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas somente 
consumiam o produto P3? b) Quantos consumiam pelos menos dois dos produtos? c) Quantos 
consumiam os produtos P1 e P2 e não P3? Resposta: a) 35; b) 80; c) 10. 
 
3) Prove que, para quaisquer três conjuntos A, B, C: ( )()( e ) CACBBA ⊂⇒⊂⊂ . 
Demonstração: Suponha que )( e )( CBBA ⊂⊂ . Se A = Ø, A claramente é um subconjunto 
de C (o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto). Temos que provar que 
CxAx ∈⇒∈ . Seja Ax∈ . Pelo fato de A está contido em B, Bx∈ , e pelo fato de B está 
contido em C, Cx∈ , o que completa a prova. 
 
4) Seja X um conjunto universal não-vazio e seja XA ⊆ . Prove que: a) AA cc =)( ; b) Øc = 
X. Demonstração: a) AAxXxxAxAxxAXA cccc =∈∈=∉∈== } e |{} e |{\)( . b) Por 
contradição, suponha que Øc ≠ X. Então existe Xx∈ tal que ∉x Øc. Mas isso implica que 
∈x Ø, que é uma contradição, pois o conjunto vazio não contém elementos. 
 
5) Sejam A e B conjuntos. Demonstre que: a) BABAA ∩=∩∩ )( ; b) ABAA =∩∪ )( . 
Demonstração: 
a) =∈∈∈=∩∈∈=∩∩ } e e |{)}( e |{)( BxAxAxxBAxAxxBAA
.} e |{ BABxAxx ∩=∈∈= 
b) .}|{)} e (ou |{)}(ou |{)( AAxxBxAxAxxBAxAxxBAA =∈=∈∈∈=∩∈∈=∩∪ 
 
6) Seja X = N o conjunto universal. Encontre os complementos dos seguintes conjuntos: 
a) A = {1, 2}; b) B = N; c) }6 e impar) é (|{ ≥∈= xxNxC . 
Resposta: a) }2|{ >∈= xNxAc ; b) =cB Ø; c) }5,3,1{}par é |{ ∪∈= xNxC c . 
 
7) Seja X um conjunto universal e seja XBA ⊆, . Prove: )\()\()(\ BXAXBAX ∩=∪ . 
Demonstração: =∉∉∈=∪∉∈=∪ } e |{)}(|{)(\ BxAxXxBAxXxBAX 
).\()\(}|{}|{ BXAXBxXxAxXx ∩=∉∈∩∉∈= 
 
8) Resolva a equação: 3=x . Resposta: 3±=x . 
 
9) Resolva a equação: 1233 −+=− xx . 
Resposta: Note que: 03 ≥−x ou 3≥x ; e 023 ≥+x ou 3/2−≥x . Logo a solução deve 
pertencer aos seguintes intervalos: )3/2,( −−∞ , )3,3/2(− e ),3( ∞ . Pode-se considerar 3 casos: i) 
1)23()3( −+−=−− xx , que dá 3−=x (solução válida, pois )3/2,(3 −−∞∈− ); ii) 
1)23()3( −+=−− xx , que dá 2/1=x (solução válida, pois )3,3/2(2/1 −∈ ); e iii) 
1233 −+=− xx , que dá 2−=x (que não é uma solução válida). Solução final: 3−=x ou 
2/1=x . 
 
10) Resolva a desigualdade: 23 <−x . Resposta: 232 <−<− x ou 51 << x . 
 
11) Para Nn∈ e nRx∈ , denota-se a norma de x por x . Prove que, para todo nRx∈ : a) 
0≥x ; b) 00 =⇔= xx ; c) xx −= . 
Respostas: a) ∑ ==
n
i i
xx
1
2 . Dado que 02 ≥ix para todo Rxi ∈ , 01
2 ≥∑ =
n
i i
x e, portanto, 
0≥x . b) 0,...,1,0,...,1,000 2
1
2 =⇔=∀=⇔=∀=⇔=⇔= ∑ = xnixnixxx ii
n
i i
; c) 
xxxxx
n
i i
n
i i
n
i i
==−=−=− ∑∑∑ === 1
2
1
22
1
2 )1()( . 
 
12) Demonstre as seguintes propriedades da norma para todo nRyx ∈, e Ra∈ : a) 
Positividade: 0≥x , com igualdade se e somente se 0=x ; b) Homogeneidade: xaax ⋅= ; e 
c) Desigualdade triangular: yxyx +≤+ . 
Resposta: ver Sundaram (1996, p.5-6). 
 
13) Demonstre que a métrica d satisfaz as seguintes propriedades para todo nRzyx ∈,, : a) 
Positividade: 0),( ≥yxd , com igualdade se e somente se yx = ; b) Simetria: ),(),( xydyxd = ; e 
c) Desigualdade triangular: ),(),(),( zydyxdzxd +≤ . 
Resposta: ver Sundaram (1996, p. 6). 
 
14) Seja )5,3,1( −=x e )1,0,2(=y . Encontre: a) a soma de x e y; b) o produto interno de x e y. 
Respostas: a) )4,3,3( −=+ yx ; b) 3−=xy . 
 
15) Sejam os vetores [ ]321=x e [ ]502=y . Obtenha os vetores yx + e x2 . 
Resposta: [ ]823=+ yx e [ ]6422 =x . 
 
16) Encontre as normas (comprimentos) e o cosseno do ângulo entre os vetores [ ]321=x 
e [ ]502=y no 3R . 
Resposta: 14=x , 29=y e 
2914
17/ =yxxy . 
 
17) Encontre a distância entre os vetores [ ]321=x e [ ]502=y no 3R . 
Resposta: 3=− yx . 
 
18) Seja o conjunto de vetores: )}7,2,1,3(),1,1,2,1(),10,0,6,2(),5,0,3,1{( −−−−− . Quais pares de 
vetores são ortogonais? 
Resposta: Denote )5,0,3,1( −−=a , )10,0,6,2(−=b , )1,1,2,1( −=c , e )7,2,1,3( −=d . Mostre que 
bcac == 0 ; isto implica que {a, c} e {b, c} são ortogonais. 
 
19) Quais dos seguintes subconjuntos de R são abertos em R? a) A = {2}; b) B = [0, 1); c) C = 
(0, 1); d) D = (0, 1) ∪ {2}. Respostas: a) A não é aberto em R porque 2∈A não é um ponto 
interior de A; b) B não é aberto em R, porque 0∈B não é um ponto interior de B; c) C é aberto, 
pois todos os ponto em C são pontos interiores de C; d) D não é aberto em R porque 2∈D não 
é um ponto interior de D. 
 
20) Quais dos conjuntos da questão anterior são fechados em R? Respostas: a) A é fechado em 
R porque o complemento de A é aberto em R; b) B não é fechado em R porque o complemento 
de B não é aberto em R; c) C não é fechado em R porque o complemento de C não é aberto 
em R; d) D não é fechado em R porque o complemento de D não é aberto em R. 
 
21) Considere o conjunto S = {x ∈ Rn : d(x, 0) ≤ r}. Identifique o interior e a fronteira deste 
conjunto. 
Respostas: Interior int S = {x ∈ Rn : d(x, 0) < r}; Fronteira b(S) = {x ∈ Rn : d(x, 0) = r}. 
 
22) Para cada um dos seguintes subconjuntos de R, determine o ínfimo (supremo) e o mínimo 
(máximo), se houver: a) A = N; b) B = Z; c) C = (0, 1); d) D = (-∞, 0]. 
Respostas: a) inf(A) = min(A) = 1, não há supremo e nem máximo; b) não há ínfimo, supremo, 
mínimo ou máximo; c) inf(C) = 0, sup(C) = 1, não há mínimo e nem máximo; d) sup(D) = 
max(D) = 0, não há ínfimo e nem mínimo. 
 
23) Para cada uma das seguintes sequencias, determine se ela converge ou não. Em caso de 
convergência, encontre o limite. a) Nnna nn ∈∀−= ,/)1( ; b) Nxnb
n
n ∈∀−= ,)1( . 
Resposta: a) A sequencia (an) converge para 0. Demonstração: Para qualquer ε>0, escolha 
Nn ∈0 tal que ε/10 >n . Para 0nn ≥ , obtém-se ε/1>n e, portanto, 
|0||0/)1(|/1 −=−−=> n
n annε . Logo, 0lim =na ; b) A sequencia (bn) não converge. 
Demonstração: Suponha, por contradição, que R∈α é o limite de (bn). Fazendo ε = 1, tem-se: 
1|)1(| >−− αnn para todo Nn∈ tal que n é par e 1|| +> αn . Portanto, não pode existir 
Nn ∈0 tal que 1|| <−αnb para todo 0nn ≥ , o que contradiz a suposição de que (bn) 
converge para α . 
 
24) Mostre que a sequencia definida por nnan −=
2 para todo Nn∈ diverge para ∞. 
Demonstração: Seja Rc∈ . Escolha Nn ∈0 tal que cn +≥ 10 . Então, para todo 0nn ≥ , 
cccccnnnnan ≥+=+≥−=−=
22 )1()1( e, portanto, (an) diverge para ∞. 
 
25) Qual das seguintes sequencias é monótona não decrescente (monótona não crescente, 
limitada, convergente)? a) Nnnan ∈∀+= ,/11 ; b) Nnnb
n
n ∈∀−+= ,/)1(1 . 
Resposta: a) (an) é monótona não crescente porque nn anna =+<++=+ /11)1/(111 para todo 
Nn∈ e é limitada porque 21 ≤< na para todo Nn∈ . Porque (an) é monótona e limitada, 
ela deve ser convergente, ou seja, ela converge para 1; b) (bn) não é nem monótona não 
decrescente e nem monótonanão crescente porque 321 3/22/30 bbb =>=<= , mas é 
limitada porque 2/30 ≤≤ nb para todo Nn∈ . 
 
26) Encontre as sequencias (an + bn) e (anbn) dado que as sequencias (an) e (bn) são definidas 
por 22nan = e nbn /1= , respectivamente, para todo Nn∈ . Resposta: a) 
nnba nn /12
2 +=+ ; b) nba nn 2= . 
 
27) Prove a seguinte proposição sobre sequências: Se axn =lim e byn =lim , então 
bayx nn ±=± )lim( . Resposta: Dado arbitrariamente 0>ε , existem Nnn ∈21 , tais que 
2/1 ε<−⇒> axnn n e 2/2 ε<−⇒> bynn n . Seja },max{ 210 nnn = . Então 
10 nnnn >⇒> e 2nn > , logo 
εεε =+<−+−≤−+−=+−+ 2/2/)()()()()()( byaxbyaxbayx nnnnnn . Portanto, 
bayx nn +=+ )lim( . Mesmo argumento para nn yx − . 
28) Uma sequência tem seu n-ésimo termo dado por 
54
13
+
−
=
n
n
an . Prove que o limite desta 
sequência é igual a ¾. Resposta: Deve-se mostrar que, para qualquer dado 0>ε , existe um 
número Nn ∈0 tal que ε<− 4
3
na para todo 0nn > . Note que ε<+
−
=−
+
−
)54(4
19
4
3
54
13
nn
n
 
quando ε<
+ )54(4
19
n
 ou 
ε
1
19
)54(4
>
+n
, 
ε4
19
54 >+n , 




 −> 5
4
19
4
1
ε
n . Escolhendo 
)54/19(
4
1
0 −= εn , verifica-se que ε<− 4
3
na para todo 0nn > , tal que 
4
3
)(lim =
∞→
n
n
a e a 
prova está completa. 
 
29) Seja )1,2,0,1(1 −=x , )2,1,0,0(2 =x e )9,1,4,2(3 −=x . Esses vetores são linearmente 
independentes? 
Resposta: 033
2
2
1
1 =++ xxx ααα apenas quando 0321 === ααα . Logo, os vetores são 
linearmente independentes. 
 
30) Dos conjuntos de vetores abaixo, quais são linearmente dependentes e quais são 
linearmente independentes? 
a) S = {(1, -2)} b) S = {(0, 1, 0), (-2, 2, 0)} c) S = {(1, 1), (0, -3)} 
d) S = {(1, -2), (2, -4)} e) S = {(0, 1, 0), (-2, 2, 0), (-2, 3, 0)} 
Respostas: Linearmente Dependentes: (d) e (e); Linearmente Independentes: (a),( b) e (c). 
 
31) Dados os vetores: u1’= [1 0 0], u2’= [0 1 0] e x’= [1 2 a], pede-se: Qual valor “a” 
pode assumir para que os vetores u1’, u2’ e x’ sejam linearmente independentes? 
Resposta: Qualquer valor, desde que “a” seja diferente de zero. 
32) Demonstre que se A é uma matriz não singular n x n, então At é não singular e (At)-1 = (A-
1
)
t. 
Resposta: Como At é não singular segue de R(At) = R(A) a não singularidade de A. Usando o 
teorema provado na questão anterior, obtém-se I = It = (A-1A)t = At(A-1)t. Portanto, (At)-1 = (A-
1
)
t. 
 
33) Mostre que se A e B são matrizes não singulares n x n, então AB é não singular e (AB)-1 = 
B
-1
A
-1. 
Resposta: Pela regra de multiplicação de matrizes, (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 
= I. Portanto, (AB)-1 = B-1A-1. 
34) Calcule o determinante da matriz 










=
315
746
238
A . Resposta: |A| = 63. 
35) Dada a matriz 





=
zy
xw
W . Troque as linhas 1 e 2 de W e obtenha uma nova matriz 






=
xw
zy
Y . Compare o determinante de Y com o de W. 
Resposta: |W| = wz – yx. |Y| = yx – wz = - (wz – yx) = - |W|. 
 
36) Compare os determinantes das matrizes 





=
2221
1211
aa
aa
A e 





=
2221
1211
kaa
kaa
B . 
Resposta: 21122211|| aaaaA −= e ||)()(|| 21122211 AkaakaakB =−= . 
 
37) Para cada uma das seguintes matrizes, determine seu posto: a) A = (0); b) B = (1); c) 






=
10
12
C ; d) 





−
=
110
112
D . 
Respostas: a) R(A) = 0; b) R(B) = 1; c) R(C) = 2; d) R(D) = 2. 
 
38) Qual é o posto da matriz 










−
−
=
1102
2211
3102
A ? 
39) Qual a forma quadrática definida pela matriz 





−
−
=
71
15
B ? 
Resposta: Note que |B1| = 5 > 0 e |B2| = |B| = 34 > 0. Logo, a forma quadrática definida pela 
matriz B é definida positiva. 
40) Identifique a forma quadrática definida pela matriz 




 −
=
11
31
C . 
Resposta: Nota-se que esta matriz passa no teste para definida positiva, pois 11 =C e 
12 =C . Entretanto, ela não uma matriz simétrica e, portanto, não se pode concluir, utilizando 
este método (menores principais), que ela é definida positiva. De fato, tem-se 
21
2
2
2
1
' 3 xxxxAxx −+= , que é negativa para )1 ,1(=x . [ver outro exemplo e comentários em 
Sundaram, 1996, p.55). 
 
41) Dada a matriz 





−
−
=
63
36
A . Encontre suas raízes características (ou autovalores). 
Resposta: r1 = -9 e r2 = -3. Como ambas as raízes características são negativas, A é definida 
negativa. 
 
42) A função )2/()632()( 23 −+−−= xxxxxf é contínua em 2=x ? Calcule: )(lim
2
xf
x→
. 
Resposta: Não. O limite pedido é igual a 1. 
 
43) Seja RRf →2: dada por 0)0,0( =f e para )0,0(),( ≠yx por 
22
),(
yx
xy
yxf
+
= . Mostre que f 
tem todas as derivadas parciais em qualquer ponto de seu domínio (incluindo o ponto (0, 0)), 
mas estas derivadas parciais não são contínuas no ponto (0, 0) e, portanto, f não é 
diferenciável em (0, 0). Resposta: ver Sundaram (1996, p. 46-47). 
 
44) Ache a primeira derivada de )/1(2 xxy += para 0≠x . Resposta: dy/dx = 2x – 1/x2 
 
45) Se )6)(3( 2 ++= xxy , calcule a derivada dxdy / . Resposta: dy/dx = (5/2)x3/2 + 6x + 3x-1/2 
46) Calcule as derivadas primeiras das funções: a) 





+
=
1
log
x
x
y e b)
xx
xx
ee
ee
y
−
−
+
−
= . 
Respostas: a) dy/dx = log e/(x(x+1)); b) dy/dx = 4/(ex + e-x)2 
47) Se 12 e 
12
2
+=
+
= uz
z
z
y , ache dudy / . Resposta: dy/du = 1/(2(u + 1)2). 
48) Se xyxyu ln−= , ache yx uu e . Resposta: ux = y – 1/x; uy = x – 1/y. 
 
49) Se yxyez /= , ache yx zz e . Resposta: zx = e
x/y; zy = e
x/y
(1 – x/y). 
50) Se yxexyz /1+= , mostre que 
xy
z
yx
z
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
. 
51) Se 03),( 33 =−+= axyyxyxf , ache dxdy / e dydx / . Resposta: dxdy / = (ay – x2)/(y2 – 
ax) 
 
52) Se a função de custo-conjunto para produzir as quantidades de yx e de dois bens é 
)5ln( yxC += , ache as funções de custo marginal com relação a yx e , respectivamente. 
Resposta: 
y
x
y
C
x
C y +∂
∂
∂
∂ =+=
5
 e )5ln( . 
 
53) Se uma função de produção é dada por 01254 222 =−++ xyyxz , onde z é a quantidade 
de produção final e x e y são as quantidades dos insumos, ache as produtividades marginais. 
Resposta: 
z
yxz
z
xy
x
z 56
y
46
 e 
−
∂
∂−
∂
∂ == . 
 
54) Seja RRf →3: dada por 722415),,( 222 ++−−−+= yzzyxxyxzyxf . Obtenha a 
matriz Hessiana associada a esta função e classifique a forma quadrática definida por ela. 
Resposta: 










−
−
−
==
220
241
018
),( HyxDf . Esta matriz é definida negativa. 
 
55) a) Prove que a interseção de dois conjuntos convexos é convexa; b) Dê um exemplo de 
dois conjuntos convexos tal que sua união é não convexa. 
Respostas: a) Seja A, B convexos. Seja BAyx ∩∈, e ]1,0[∈λ . Temos que mostrar que 
BAyx ∩∈−+ ])1([ λλ . Dado que A e B são convexos, temos Ayx ∈−+ ])1([ λλ e 
Byx ∈−+ ])1([ λλ . Portanto, BAyx ∩∈−+ ])1([ λλ ; b) A = {0}, B = {1}. 
 
56) Quais dos seguintes conjuntos são abertos, fechados, compactos e convexos: 
a) }1:),{( 222 =+∈ yxRyx . 
b) }1 e 0,0:),{( 2 ≥≥≥∈ xyyxRyx . 
Respostas: a) fechado, compacto e não-convexo; b) fechado, não-compacto; convexo. 
 
57) Para }32 e 10:{ 21
2 ≤≤≤≤∈= xxRxA e } e 10:{ 121
2 xxxRxB =≤≤∈= . 
a) Encontre BA + ; b) Encontre um hiperplano separando A e B. 
Resposta: a) }31 ,42 ,20:{ 1221
2 ≤−≤≤≤≤≤∈=+ xxxxRxBA ; b) Qualquer linha reta 
ax =2 , 21 << a pode separar A e B.58) Encontre um hiperplano separando o ponto (2, 2) do conjunto }1:),{( 222 ≤+∈ yxRyx . 
Resposta: Qualquer uma das seguintes alternativas atende ao solicitado: para c com 1<c<2, 
qualquer linha vertical que passa por (c, 0); qualquer linha horizontal que passa por (0, c); ou 
qualquer linha cyx 2=+ . 
 
59) Considere o hiperplano H(n, c) = {x ∈ R : nx = c} no espaço unidimensinal. Identifique 
os semi-espaços que são separados por esse hiperplano. 
Respostas: O hiperplano separa os semi-espaços (intervalos) [c/n, ∞) e (-∞, c/n]. 
 
60) Qual das seguintes funções é sobrejetiva (injetiva ou bijetiva)? 
a) ||,: xyRRf =→ ; b) ||,: xyRRf =→ + ; 
c) ||,: xyRRf =→+ ; d) ||,: xyRRf =→ ++ . 
Resposta: a) f não é sobrejetiva, pois -1∈R, mas não existe x pertencente aos reais tal que f(x) 
= -1. f não é injetiva, pois 1≠ -1, mas f(1) = f(-1) = 1. f não é bijetiva porque não é sobrejetiva 
e nem injetiva; b) f é sobrejetiva. Para qualquer +∈ Ry , deve-se fazer x = y para obter f(x) = 
y. f não é injetiva, pois 1≠ -1, mas f(1) = f(-1) = 1. f não é bijetiva; c) f não é sobrejetiva, mas 
é injetiva e, por conseguinte, não é bijetiva; d) f é sobrejetiva, injetiva e bijetiva. 
 
61) Calcule as seguintes integrais: (a) dxxx )4( 2 +−∫ ; (b) 
21
3
r
rdr
−
∫ . 
Resposta: a) cxx +− 2/3
3
23
3
1 ; b) cr +−− 213 . 
 
62) Calcule a integral ∫ + dxxx 3)1(4 utilizando os métodos de integração por substituição e 
integração por partes. Resposta: cxxxy ++−+= 5
5
14 )1()1( . 
 
63) O custo marginal 'y como uma função de x unidades produzidas é dado por 25602' xxy −+= . 
Ache as funções de custo total e médio, se o custo fixo é igual a 65. 
Resposta: custo total: 
3
3
5230265 xxxy −++= ; custo médio: 2
3
565 302 xx
xx
y −++= . 
 
64) Se a função de receita marginal é 
2268)(' xxxR −−= , determine as funções de receita total e de 
demanda. Resposta: 
3
3
2238 xxxR −−= e 2
3
238 xxy
x
R −−== . 
 
65) A propensão marginal a poupar é 1/3. Quando a renda é igual a zero, o consumo é de 11 bilhões de 
reais. Ache a função consumo. Resposta: 
3
21 =−=
dx
ds
dx
dc ; ∫ +== cxdxc 3232 . Se x = 0, c = 11 e, 
portanto, 11
3
2 += xc . 
 
66) Se o fluxo de investimento é dado por 
7/320)( ttI = e o estoque de capital inicial em t=0 é igual a 
25, ache a função que representa a evolução do estoque de capital, K . Resposta: 2514 7/10 += tK . 
 
67) Calcule as seguintes integrais: (a) ∫ +−
1
0
2 )32( dxxx ; (b) ∫ +
a
a
dzza
2
)( . Respostas: a) 7/3; b) 
2
2
7 a . 
68) Calcule as seguintes integrais: (a) ∫ +−
1
0
2 )32( dxxx ; (b) ∫ +
a
a
dzza
2
)( . Respostas: a) 7/3; 
b) 2
2
5 a . 
69) Avalie as integrais impróprias: (a) ∫
∞
1
3
2 dxx ; (b) ∫
∞
1
6 dx
x
. 
Respostas: a) 3 (converge); b) Integral imprópria diverge e não tem um valor definido. 
 
70) Se o fluxo de investimento líquido é 
2/16)( ttI = , determine: (a) a acumulação de capital durante 
o primeiro ano; (b) a acumulação de capital durante os nove primeiros anos; (c) a quantia total de 
capital após os nove primeiros anos, se o capital inicial é de R$ 500,00. Respostas: a) R$ 4,00; b) 
R$ 108,00; c) R$ 608,00. 
 
71) Se a taxa de crescimento é contínua a 5% ao ano, sendo o número inicial da população igual a 200, 
qual a população após 10 anos? Resposta: 329,8. Esta resposta é obtida usando a expressão 
itePP 0= 
ao fazer 2000 =P , 05,0=i e 10=t . 
 
72) A função de demanda é 
2320 xy −= e a função de oferta é 22xy = . Ache o excedente do 
consumidor e o excedente do produtor sob condições de concorrência perfeita. Resposta: EC = 16; EP 
= 32/3. 
 
73) Se a função de demanda é 2432 xxy −−= , ache o excedente do consumidor se 30 =x . 
Resposta: 36)11)(3()432(
3
0
2 =−−−= ∫ dxxxEC . 
74) Se a função de demanda é 
239 xy −= , ache o excedente do consumidor se o bem é gratuito, isto 
é, se 00 =y . Resposta: 3926 . 
 
75) A quantidade demandada e o preço correspondente, sob condições de concorrência 
perfeita, são determinados pelas funções de demanda e de oferta 216 xy −= e xy += 4 , 
respectivamente. Determine o excedente do produtor correspondente ( y representa o preço e 
x , a quantidade). Resposta: 
2
9
3
0
)4()7)(3( =+−= ∫ dxxEP .