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1 Cálculo Aplicado à Administração Prof. Nelson Pereira Castanheira Aula 3 Probabilidades Introdução Probabilidades Distribuição de probabilidades: a) binomial b) Poisson c) normal Tema 1 – Probabilidades Conceitos Fundamentais Teoria das Probabilidades Experimento aleatório Espaço amostral Eventos: simples, composto, certo, impossível ܲ ܣ = ݊ú݉݁ݎ ݀݁ ݒ݁ݖ݁ݏ ݁݉ ݍݑ݁ ݁ݒ݁݊ݐ ܣ ݀݁ ܿݎݎ݁ݎ ݊ú݉݁ݎ ݀݁ ݒ݁ݖ݁ݏ ݁݉ ݍݑ݁ ݁ݏܽç ܽ݉ݏݐݎ݈ܽ ܵ ܿݎݎ݁ Valores limites das probabilidades P(A) = 0 , quando A = 0 (há certeza de não acontecer) P(A) = 1 , quando A = S (há certeza de acontecer) 2 Probabilidade do acontecimento Probabilidade do não acontecimento ܳ ܣ + ܲ ܣ = 1 → ܲ(ܣ) → ܳ(ܣ) Experimento: joga-se uma moeda honesta • Espaço amostral: S = {cara, coroa} • Evento: A = {deu cara} ܲ ܣ = ଵ ଶ ݑ 50% Agora o evento que consiste em jogarmos, uma única vez, três moedas Sendo K = cara , C = coroa e sendo A = {deu uma única cara}, temos: • S = {KCC, KKC, KKK, CKC, CKK, CCK, CCC, KCK} ܲ ܣ = 38 Agora o evento que consiste em jogarmos, uma única vez, um dado honesto. Seja o evento: • A = {deu 5} • S = {1, 2, 3, 4 , 5, 6} Então: ܲ ܣ = 16 Jogam-se dois dados honestos • S = {36 resultados possíveis} • A = {a soma dos dois dados é 6} • A = {(1 , 5), (2 , 4), (3 , 3), (4 , 2), (5 , 1)} ܲ ܣ = 536 3 Um número é sorteado entre os inteiros de 1 até 10. Qual a probabilidade de ele ser o 4? • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} • A = {4} ܲ ܣ = 110 Eventos mutuamente exclusivos Ocorrendo um deles, o outro não pode ocorrer Exemplo: joguei um dado • Sejam os eventos: A = {deu o número 3} B = {deu o número 4} Então, se ocorreu o evento A, não pode ter ocorrido o evento B e vice-versa Os eventos A e B são mutuamente exclusivos Tema 2 – Regras da Multiplicação e da Soma Teoria das Probabilidades Regra da multiplicação 1o experimento: “a” resultados 2o experimento: “b” resultados Obs.: significa interseção e corresponde à multiplicação. Lê-se “e” ܲ 1º ∩ 2º = ܽ. ܾ Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos Obs.: significa união e corresponde à soma. Lê-se “ou” ܲ ܣ ∪ ܤ = ܲ ܣ + ܲ(ܤ) 4 Joguei um dado. Qual a probabilidade de ter dado 4 ou 5? ܲ 4 ∪ 5 = ܲ 4 + ܲ(5) ܲ 4 ∪ 5 = 16 + 16 = 26 Eventos não mutuamente exclusivos São eventos que podem ocorrer simultaneamente • Exemplo: experimento que consiste em retirar uma carta de um baralho comum com 52 cartas Sejam os eventos: • A = {extração de um ás} • B = {extração de uma carta de ouros} Observe que, ao ocorrer A, poderá ter ocorrido B Regra da adição para eventos não mutuamente exclusivos ܲ ܣ ∪ ܤ = ܲ ܣ + ܲ ܤ − ܲ(ܣ ∩ ܤ) Retirei uma carta de um baralho honesto. Qual a probabilidade dessa carta ser um ás ou uma carta de ouros? ܲ áݏ = 452 ܲ ݑݎݏ = 1352 ܲ áݏ ݑ ܿܽݎݐܽ ݀݁ ݑݎݏ= 452 + 1352 − 452 . 1352 = 1652 5 Tema 3 – Distribuição Binomial de Probabilidades Recordando fatorial 3! = 3 . 2 . 1 = 6 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 0! = 1 (por definição) Recordando combinação ܥହ,ଷ = ହ!ଷ! . ହିଷ ! ܥହ,ଷ = ଵଶ.ଶ = 10 Uma distribuição de probabilidades é um modelo matemático para a distribuição real de frequências Tratando-se de distribuição de probabilidade, a variável X é dita variável aleatória A distribuição binomial é uma distribuição discreta, de probabilidade aplicável, sempre que o processo de amostragem é do tipo de Bernoulli, ou seja: a) em cada tentativa existem dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos, denominados sucesso e fracasso b) as séries de tentativas ou observações são eventos independentes c) a probabilidade de sucesso, indicada por “p”, permanece constante de tentativa para tentativa (processo estacionário) 6 Distribuição Binomial ܲ ܺ = ܥே,.ܺ. ݍேି = ே! ! ேି ! . . ݍேି Importante: • p = probabilidade de sucesso • q = probabilidade de fracasso p + q = 1 Experimento: jogar um dado 5 vezes • P(três 6 em cinco lances) = ? p = 1/6 ; q = 5/6 N = 5 (no de tentativas) X = 3 (no de sucessos) ܲ ܺ = 3 = ܥହ,ଷ . ଷ. ݍହିଷ= 5!3! 5 − 3 ! . (1 6⁄ )ଷ . (5 6⁄ )ହିଷ ܲ ܺ = 3 = 10 . 1216 . 2536 ܲ ܺ = 3 = 0,0321 ݑ 3,21% Tema 4 – Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é usada quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço. Os eventos são independentes e o processo é estacionário 7 Obs.: = no médio de sucessos (é sempre um valor conhecido) P(X )= . ݁ି ܺ! Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de 5 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que em uma hora, selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 3 chamadas? ܲ(ܺ = 3 = 5) = 5ଷ .݁ିହ3!= 125 . 0,006746 = 0,1404 ݑ 14,04% Parâmetros da distribuição de Poisson Média: = N . p Variância: S2 = N . p . q Desvio padrão: ܵ = ݏଶ Tema 5 – Distribuição Normal de Probabilidades A distribuição normal é contínua e simétrica em relação à média. A curva que representa a distribuição normal é mesocúrtica e frequentemente descrita como curva em forma de sino, sendo também conhecida como Curva de Gauss Distribuição Normal Uma variável aleatória discreta e contínua pode assumir qualquer valor fracionário dentro de um intervalo definido de valores 8 Curva da Distribuição Normal de Probabilidades f(X) X Z Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuídos pode ser convertido em valores normais padronizados z pelo uso da fórmula: ࢠ = ܺ − ܵ Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,2 0,0793 0,0832 0.0871 0,0910 A vida média de um tipo de lâmpada segue uma distribuição normal, com média = 2000 horas e desvio padrão S = 200 horas. Qual a probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar entre 2000 e 2400 horas? Distribuição normal 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 X - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Z f(X) P (2000 a 2400 horas) = ? ݖ = ܺ − ܵ = 2400 − 2000200 ݖ = + 2 ܲ(ܱ ≤ ݖ ≤ +2,0 = 0,4772 ܲ 2000 ≤ ܺ ≤ 2400= 0,4772 ݑ 47,72% 9 O que isso significa? • Significa que a área limitada pela curva e pelo eixo horizontal X, para valores de z variando de 0 até +2, corresponde a 47,72% da área total sob a curva Síntese Conceitos de probabilidades Teoremas da soma e da multiplicação Distribuição de probabilidades: a) binomial b) Poisson c) normal Referências de Apoio CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. 5. ed. Curitiba: Intersaberes, 2010. BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
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