GAAV Lista 1

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
- CAMPUS NEPOMUCENO 
 
1 
 
Lista 1 – Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
Vetores 
Profa. Msa. Camila L. Bernardino 
1) Calcule as seguintes somas e diferenças: 
a) (𝑖 + 2𝑗 − 3�⃗⃗�) + (2𝑖 − 𝑗 + 5�⃗⃗�) 
b) (𝑖 + 2𝑗 − 4�⃗⃗�) − (2𝑖 + 5𝑗 + 6�⃗⃗�) + (3𝑖 − 5𝑗 + 7�⃗⃗�) 
 
2) Determine a extremidade do segmento que representa o vetor �⃗� = (2, −5), sabendo que 
sua origem é o ponto 𝐴(−1, 3). 
 
3) Dados os vetores �⃗⃗� = (3, −1) e �⃗� = (−1,2 ), determine o vetor �⃗⃗⃗� sabendo que 
4(�⃗⃗� − �⃗�) +
1
3
�⃗⃗⃗� = 2�⃗⃗� − �⃗⃗⃗�. 
 
4) Dados os vetores �⃗⃗� = (3, −4) e �⃗� = (−
9
4
, 3 ) verifique se existem números 𝑎 e 𝑏 tais que 
�⃗⃗� = 𝑎�⃗� e �⃗� = 𝑏�⃗⃗�. 
 
5) Dados os pontos 𝐴(−1, 2, 3) e 𝐵(4, −2, 0) determine o ponto 𝑃 tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
6) Determine 𝑎 e 𝑏 de modo que os vetores �⃗⃗� = (4, 1, −3) e �⃗� = (6, 𝑎, 𝑏) sejam paralelos. 
 
7) Sejam �⃗� = 𝑖 + 2𝑗 − 3�⃗⃗� e �⃗� = 2𝑖 + 𝑗 − 2�⃗⃗�. Determine os valores unitários paralelos aos 
vetores: 
a) �⃗� + �⃗⃗� 
b) �⃗� − �⃗⃗� 
c) 2�⃗� − 3�⃗⃗� 
 
8) Calcule as normas de cada um dos seguintes vetores: 
a) �⃗� = 𝑖 − 2𝑗 + 4�⃗⃗� 
b) �⃗⃗� = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 
c) 𝑐 = 2𝑖 − 𝑗 + 3�⃗⃗� 
 
9) Demostre que os pontos 𝐴(1, 2, 2), 𝐵(3, 3, 4), 𝐶(4, 5, 3) e 𝐷(2, 4, 1) são vértices de um 
paralelogramo. 
 
10) Determine o valor de 𝑥 para o qual os vetores 𝑥𝑖 + 3𝑗 + 4�⃗⃗� e 3𝑖 + 𝑗 + 2�⃗⃗� são 
perpendiculares. 
 
11) Verifique se são colineares os pontos 𝐴(2, 1, −1), 𝐵(3, −1, 0) e 𝐶(1, 0, 4). 
 
12) Demonstre que não existe um número real 𝑥 tal que os vetores 𝑥𝑖 + 2𝑗 + 4�⃗⃗� e 
𝑥𝑖 − 2𝑗 + 3�⃗⃗� sejam perpendiculares. 
 
13) Ache o ângulo entre os vetores �⃗� = 3𝑖⃗⃗⃗⃗ + 3𝑗 e �⃗⃗� = 2𝑖 + 𝑗 − 2�⃗⃗�. 
 
 
 
14) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos 𝐴(3, 2, 1), 𝐵(3, 2, 2) e 
𝐶(3, 3, 2). 
 
15) Calcule os seguintes produtos internos: 
 
a) 〈(1, −2, 3), (2, 2, −5)〉 
b) 〈(−2, 3, −1), (3, −2, 7)〉 
 
16) Dados os vetores �⃗⃗� = (1, 𝑎, −2𝑎 − 1), �⃗� = (𝑎, 𝑎 − 1, 1) e �⃗⃗⃗� = (𝑎, −1, 1), determine 𝑎 de 
modo que 〈�⃗⃗�, �⃗�〉 = 〈�⃗⃗� + �⃗�, �⃗⃗⃗�〉. 
 
17) Se �⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗⃗� e �⃗⃗� = 𝑏1𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑏3�⃗⃗�, utilize a expressão 
〈�⃗�, �⃗⃗�〉 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 como definição de produto interno e demonstre as propriedades 
usuais: 
a) 〈�⃗�, �⃗⃗�〉 = 〈�⃗⃗�, �⃗�〉 
b) 〈�⃗�, �⃗⃗� + 𝑐〉 = 〈�⃗�, �⃗⃗�〉 + 〈�⃗�, 𝑐〉 
c) 𝑥〈�⃗�, �⃗⃗�〉 = 〈𝑥�⃗�, �⃗⃗�〉 = 〈�⃗�, 𝑥�⃗⃗�〉 
 
18) Demonstre que se �⃗�, �⃗⃗�, 𝑐 e 𝑑 são vetores quaisquer, então: 
〈(�⃗� ∧ �⃗⃗�), (𝑐 ∧ 𝑑)〉 = |
〈�⃗�, 𝑐〉 〈�⃗�, 𝑑〉
〈�⃗⃗�, 𝑐〉 〈�⃗⃗�, 𝑑〉
| 
 
19) Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto 𝐴(2, 1, 6) e os 
três vértices adjacentes nos pontos 𝐵(4, 1, 3), 𝐶(1, 3, 2) e 𝐷(1, 2, 1). 
 
20) Dados os pontos 𝐴(1, 2, 3), 𝐵(−6, −2, 3) e 𝐶(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 
3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ − 2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
21) Determine o vetor unitário perpendicular aos vetores �⃗� = 𝑖 − 2𝑗 + 3�⃗⃗� e �⃗⃗� = 3𝑖 − 𝑗 +
2�⃗⃗�. 
 
22) Determine o vetor unitário ortogonal ao vetor �⃗� = (2, −1, 1). 
 
23) Dados os pontos 𝐴(3, 𝑚 − 1, −4) 𝑒 𝐵(8, 2𝑚 − 1, 𝑚), determinar m de modo que 
‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ‖ = √35. 
 
24) Obter um ponto 𝑃 do eixo das abcissas equidistantes dos pontos 
𝐴(2, −3, 1) 𝑒 𝐵(−2, 1, −1). 
 
25) Os lados do triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
〈𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 + 〈𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 + 〈𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉. 
 
26) Calcular 𝑛 para que seja de 30° o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (1, 𝑛, 2) e 𝑗. 
 
27) Determinar o vetor �⃗�, ortogonal ao vetor �⃗⃗� = (2, −3, −12) e colinear ao vetor 
�⃗⃗⃗� = (−6, 4, −2). 
 
28) Verifique se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo 𝐴(2, 1, 3), 𝐵(3, 3, 5) 𝑒 𝐶(0, 4, 1). 
 
 
 
29) Determine o vetor projeção do vetor �⃗⃗� = (1, 2, −3) na direção de �⃗� = (2, 1, −2). 
 
30) Mostre que, se �⃗⃗� é ortogonal a �⃗� e a �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� é também ortogonal a �⃗� + �⃗⃗⃗�. 
 
31) Calcular a norma dos vetores �⃗⃗� + �⃗� e �⃗⃗� − �⃗� sabendo que ‖�⃗⃗�‖ = 4, ‖�⃗�‖ = 3 e o ângulo 
entre �⃗⃗� e �⃗� é de 60°. 
 
32) Use o produto misto para demostrar que, se duas linhas quaisquer em um 
determinante de terceira ordem são iguais, o valor desse determinante é zero. 
 
33) Seja �⃗� = 𝑖 + 2𝑗 − �⃗⃗� e �⃗⃗� = −𝑖 + 3�⃗⃗�. Calcule: 
 
a) 〈�⃗�, �⃗⃗�〉 
b) �⃗� ∧ �⃗⃗� 
c) 
�⃗⃗�
‖�⃗⃗�‖
 
d) ‖�⃗� ∧ �⃗⃗�‖ 
 
34) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 1, 0) e 
𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, −3, −1). Nas mesmas condições determinar um vetor de módulo 5. 
 
35) Dado o triângulo de vértices 𝐴(0, 1, −1), 𝐵(−2, 0, 1) 𝑒 𝐶(1, −2, 0), calcular a medida da 
altura relativa ao lado BC. 
 
36) Dados os vetores �⃗⃗� = (0, 1, −1), �⃗� = (2, −2, −2) e �⃗⃗⃗� = (1, −1, 2), determinar o vetor 
�⃗�, paralelo a �⃗⃗⃗�, que satisfaz à condição: �⃗� ∧ �⃗⃗� = �⃗�. 
 
37) Verifique se são coplanares os seguintes vetores: 
 
a) �⃗⃗� = (3, −1, 2), �⃗� = (1, 2, 1) e �⃗⃗⃗� = (−2, 3, 4). 
b) �⃗⃗� = (2, −1, 0), �⃗� = (3, 1, 2) e �⃗⃗⃗� = (7, −1, 2) 
 
38) Para que valores de 𝑚 os pontos 𝐴(𝑚, 1, 2), 𝐵(2, −2, −3), 𝐶(5, −1, 1) 𝑒 𝐷(3, −2, −2) são 
coplanares? 
 
39) Os vetores �⃗� = (2, −1, −3), �⃗⃗� = (−1, 1, −4) e 𝑐 = (𝑚 + 1, 𝑚, −1) determinam um 
paralelepípedo de volume 42. Calcular 𝑚. 
 
40) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados: 
 
a) 𝐴(1, 0, 0), 𝐵(0, 1, 0), 𝐶(0, 0, 1) 𝑒 𝐷(4, 2, 7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) a) (3, 1, 2) 
b) (2, -8, 9) 
 
2) (1, -2) 
 
3) �⃗⃗⃗� = (−
15
2
,
15
2
) 
 
4) 𝑎 = −
4
3
 e 𝑏 = −
3
4
 
 
5) (14, -10, -6) 
 
6) 𝑎 =
3
2
 e 𝑏 = −
9
2
 
 
7) a) (3, 3, -5) 
b)(-1, 1, -1) 
c) (-4, 1, 0 ) 
 
8) a) √21 
b) 1 
c) √14 
 
9) Demonstrar 
 
10) 𝑥 =
11
3
 
 
11) Não 
 
12) Demonstrar 
 
13) 𝜃 = 45° 
 
14) 45°, 45° 𝑒 90° 
 
15) a) -17 
b) -19 
 
16) a = 2 
 
17) Demonstrar 
 
18) Demonstrar 
 
19) 15 
 
20) (
7
9
,
4
9
,
4
9
) 
 
21) (
√3
15
, −
7√3
15
, −
√3
5
) 
 
22) (0,
1
√2
,
1
√2
) é um dos possíveis 
 
23) 𝑚 = −3 ou 𝑚 = −1 
 
24) 𝑃(1, 0, 0) 
 
25) 169 
 
26) 𝑛 = ±√15 
 
27) �⃗� = 𝑡(3, −2, 1), 𝑡 ∈ ℝ 
 
28) �̂� 
 
29) 
10
9
(2, 1, −1) 
 
30) Demonstrar. 
 
31) √37 𝑒 √13 
 
32) Demonstrar. 
 
33) a) -4 
b)(6, -2, 2) 
c)(
1
√6
,
2
√6
, −
1
√6
) 
d)2√11 
 
34) (
1
√3
, −
1
√3
, −
1
√3
) ou (−
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
) e 
5 (
1
√3
, −
1
√3
, −
1
√3
) ou 5 (−
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
) 
 
35) 
3√35
7
 
 
36) (-2, 2, -4) 
 
37) a) não 
b) sim 
 
38) 𝑚 = 4 
 
39) 2 ou −
8
3
 
 
40) 2