Lista 1 GAAV

Prévia do material em texto

GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA VETORIAL
LISTA DE EXERCI´CIOS I - MATRIZES
Exerc´ıcio 0.0.1 Sejam A =
[
2 −3 5
6 −5 4
]
, B =


4
−3
5

 e C =


7 3 2
−4 3 5
6 1 −1

.
O que sa˜o a12, a22, a23, b11, b31, c13 e c33 ?
Exerc´ıcio 0.0.2 Sejam A =
[
1 2 3
2 1 4
]
, B =


1 0
2 1
3 2

 , C =


3 −1 3
4 1 5
2 1 3

 ,
D =
[
3 −2
2 4
]
, E =


2 −4 5
0 4 4
3 2 1

 e F =
[
−4 5
2 3
]
. Calcule :
(a) DF + AB (c) (2D + 3F )t
(b) A(C + E) (d) BtC +A
Exerc´ıcio 0.0.3 Se A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
2 1
3 2
]
e C =
[
−2 7
5 −1
]
, mostre que AB = AC.
Exerc´ıcio 0.0.4 Se A =
[
−2 3
2 −3
]
e B =
[
3 6
2 4
]
, mostre que AB = 0¯.
Exerc´ıcio 0.0.5 Se A =
[
0 1
1 0
]
, mostre que A2 = I2.
Exerc´ıcio 0.0.6 Seja A =
[
4 2
1 3
]
. Ache (a) A2 + 3A e (b) 2A3 + 3A2 + 4A+ 5I2.
Exerc´ıcio 0.0.7 Sejam A =
[
1 3 2
2 −1 3
]
e B =


0 1
2 2
3 −1

. Calcule (AB)t.
Exerc´ıcio 0.0.8 Sejam A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
2 1
0 1
]
. Calcule AB e BA.
Exerc´ıcio 0.0.9 Encontre um valor de x tal que ABt = 0¯, em que A =
[
x 4 −2
]
e
B =
[
2 −3 5
]
.
1
Exerc´ıcio 0.0.10 Encontre x, y, z e w ∈ IR tais que
[
x y
z w
][
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Exerc´ıcio 0.0.11 Se A =
[
3 −2
−4 3
]
, ache B tal que B2 = A.
Exerc´ıcio 0.0.12 Responda, justificando sua resposta.
(a) Os nu´meros reais teˆm a propriedade da comutatividade, isto e´, a · b = b · a, quaisquer
que sejam a, b ∈ IR. A mesma propriedade vale para matrizes ? Isto e´, se A e B sa˜o matrizes
quadradas, e´ verdade que AB = BA ?
(b) Se a e b sa˜o nu´meros reais tais que ab = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0. O mesmo vale para
matrizes ? Isto e´, se A e B sa˜o matrizes tais que AB = 0¯, e´ verdade que A = 0¯ ou B = 0¯ ?
(c) Sejam a, b e c nu´meros reais. Se a 6= 0 e a · b = a · c enta˜o b = c. Esta propriedade vale
para matrizes ?
(d) Se A e´ uma matriz quadrada, e´ verdade que os elementos de A2 sa˜o todos maiores ou iguais
o zero ?
Exerc´ıcio 0.0.13 Sejam A e B matrizes n× n.
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2 ? E se AB = BA ? Justifique .
(b) Se AB = 0¯, enta˜o BA = 0¯ ? Justifique.
Exerc´ıcio 0.0.14 Mostre que as matrizes A =
[
1 1/y
y 1
]
, em que y e´ um nu´mero real na˜o-
nulo, verificam a equac¸a˜o X2 = 2X.
Exerc´ıcio 0.0.15 Mostre que se A e B sa˜o matrizes que comutam com a matriz M =
[
0 1
−1 0
]
,
enta˜o AB = BA.
Exerc´ıcio 0.0.16 Responda Verdadeiro ou Falso, justificando :
(a) Se A2 = −2A4, enta˜o (In +A
2)(In − 2A
2) = In;
(b) Se B = AAt, enta˜o B = Bt;
(c) Se A2 = 0¯ enta˜o A = 0¯.
2