Aula 02 Trabalho e energia de deformação

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TRABALHO E ENERGIA DE 
DEFORMAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II
PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA
E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com 
Mossoró – RN
2016
• Até então, os métodos estudados para determinação dos esforços
e deslocamentos das estruturas foram obtidos a partir do
equilíbrio das forças e momentos atuantes no corpo;
• Ampliada a complexidade das estruturas, no que diz respeito ao
carregamento, à geometria e às condições de contorno, é
conveniente recorrer a métodos baseados no equilíbrio da energia
para determinar a resposta da estrutura ao carregamento externo.
Sendo assim, os conceitos de trabalho e energia tornam-se
fundamentais no estudo da Mecânica.
I N T R O D U Ç Ã O
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• A Mecânica Newtoniana trabalha com grandezas vetoriais: forças,
momentos, etc.
• A Mecânica Lagrangiana trabalha com grandezas escalares:
trabalho e energia.
• Os princípios variacionais baseados em trabalho e energia podem
ser utilizados para obter as equações de equilíbrio de:
▫ Sistemas discretos = equações algébricas.
▫ Sistemas contínuos = equações diferenciais.
I N T R O D U Ç Ã O
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• No caso de sistemas contínuos, os conceitos de trabalho e energia
podem ser utilizados para obter soluções aproximadas do
problema:
▫ Método de Rayleigh-Ritz.
▫ Método dos Elementos Finitos.
• Os métodos numéricos para análise estrutural mais usuais são
baseados em métodos de energia.
I N T R O D U Ç Ã O
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
TRABALHO EXTERNO
• Trabalho de uma força
▫ Uma força realiza trabalho quando provoca no corpo um deslocamento que
está na mesma direção dela. FdxdW   PW
2
1


0
FdxW
Para um comportamento 
linear geométrico
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
TRABALHO EXTERNO
• Trabalho de uma força
▫ Incremento de trabalho drFdW  cos drFdW r
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TRABALHO EXTERNO
• Trabalho de uma força
▫ Trabalho ao longo de uma trajetória
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 
2
1
2
1
21 )cos(F dsFdrW 
TRABALHO EXTERNO
• Trabalho de um momento
▫ Um momento realiza trabalho quando causa no corpo um deslocamento
rotacional ao longo de sua linha de ação MdθdW MθW
2
1


θ
0
MdθW
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TRABALHO EXTERNO
• Trabalho de um momento
▫ Incremento de trabalho
dMdW 
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Quando as cargas são aplicadas a um corpo, elas deformam o
material. Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma
de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido
em trabalho interno denominado energia de deformação.
• Essa energia é armazenada no corpo e provocada pela ação da
tensão normal ou da tensão de cisalhamento.
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
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• Tensão Normal
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Material linear elástico
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• Tensão de Cisalhamento
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Material linear elástico
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• Energia de deformação para vários tipos de carregamento
▫ ESFORÇO AXIAL
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
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• Energia de deformação para vários tipos de carregamento
▫ MOMENTO FLETOR
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
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• Energia de deformação para vários tipos de carregamento
▫ MOMENTO DE TORÇÃO
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
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• Energia de deformação para vários tipos de carregamento
▫ ESFORÇO CORTANTE
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• A energia de deformação total (U) pode ser dada pela soma da
energia desenvolvida por cada tipo de esforço. Sendo assim, a
energia de deformação proveniente de todos os esforços internos
sendo desenvolvidos simultaneamente pode ser dada por:
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
dx
GJ
T
dx
GA
Vf
dx
EI
M
dx
EA
N
U
LL
S
LL
 












0
2
0
2
0
2
0
2
2222
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• Estando a estrutura no seu regime elástico e sendo desprezada a
dissipação de energia por outros meios (plasticidade, cinética,
calor, reações químicas, etc.), toda sua energia mecânica se
conserva, de tal modo que o trabalho realizado por todas as
forças externas atuando sobre uma estrutura (W) será convertido
em trabalho interno ou energia de deformação (Ui).
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
iUW 
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Sendo assim, considerando um corpo sujeitos a diversas forças
externas Fi e consequentes deslocamentos δi (ambos em seus
sentidos generalizados), no seu regime elástico e sem perda de
energia, pode-se inferir, pelo princípio da conservação da energia,
que:
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
dx
GJ
T
dx
GA
Vf
dx
EI
M
dx
EA
N
F
LL
S
LL
ii  












0
2
0
2
0
2
0
2
22222
1 
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• O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns
casos, para calcular deslocamentos em estruturas.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
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• O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns
casos, para calcular deslocamentos em estruturas.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
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• O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns
casos, para calcular deslocamentos em estruturas.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Usando o princípio da conservação da energia, determinar o deslocamento na
extremidade da viga, no sentido e direção da carga P. Considere apenas o efeito
do momento fletor e que EI é constante.
E X E M P L O 0 1
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• Calcule o deslocamento vertical para baixo no ponto D da treliça abaixo
utilizando o princípio da conservação da energia. Todas as barras da treliças
possuem a mesma seção e mesmo material. EA é constante.
E X E M P L O 0 2
A
D
B
C
Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra
• HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012.
• HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais . 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2010.
• SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e método dos
deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
R E F E R Ê N C I A S
Métodos de energia - Eric Mateus Fernandes Bezerra