Aula de Tópicos de Cálculo

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Tópicos de Cálculo 
 
 
Noções básicas de álgebra elementar
 
 
 
 
1ª Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
1. Conjuntos Numéricos 
 Naturais : N ={0, 1, 2, 3,......, } 
 Inteiros : Z={ -, ...., -2, -1, 0, 1, 2,......, } 
 Racionais : Q = {
b
a
 tal que a, b  Z e b  0} 
 Irracionais: I = {Todos os números que não podem ser escrito como um racional} 
 Reais : R = Q  I 
 Complexos : C = {z = a + bi tal que a, b  R e i2 = – 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Propriedades das operações de Adição e Multiplicação 
 Para  a, b, c  R 
 a + b = b + a (comutativa) 
 a  b = b  a (comutativa) 
 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (associativa) 
 (a  b)  c = a  (b  c) = a  b  c (associativa) 
 a + 0 = a (elemento neutro na adição) 
 a  0 = 0 
 a  1 = a (elemento neutro no produto) 
 (a + b)  c = a  c + b  c (distributiva) 
2.1. Lembrete: Sinais nas operações de adição e subtração algébrica: 
 Efetua-se a operação prevalecendo o sinal do maior. 
Exemplos: 
1) –2 + 3 = 1 
2) 5 – 3 = 2 
3) 2 – 7 = – 5 
4) – 2 – 7 = – 9 
5) 2 + 7 = 9 
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2.2. Lembrete: Sinais nas operações de multiplicação e divisão algébrica temos: 
 Sinais iguais 
o  Resposta positiva 
 
 
 Sinais diferentes 
o  Resposta negativa 
 
 
 
Exemplos: 
1) (-2).(3) = -6 
2) (5).(-3) = -15 
3) (2).(–7) = -14 
4) (-2).(–7) = 14 
5) (2)(7) = 14 
6) (-2)(7) = -14 
7) 1 + 2(8 – 2(3 + 1)) = 
8) 2 + 3(5 + 3(1 – 3)) = 
 
3. Ordem de prioridade das operações aritméticas e algébricas 
 
 
 
 
(+)  (+) = + 
(–)  (–) = + 
(+)  (+) = + 
(–)  (–) = + 
(+)  (–) = – 
(–)  (+) = – 
(+)  (–) = – 
(–)  (+) = – 
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Ex e r c í c i os 
1) Obter o valor da expressão 23[4((51)+23(31))] 
Solução: 
23[4((51)+23(31))] = 23[4((4) + 2  3(2))] 
= 23[4(4 + 2  6)] 
= 23[4(0)] = 2 
 
Logo, 23[4((5  1) + 23(3  1))] = 2 
 
2) Obter o valor da expressão (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) 
Solução: 
(5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = (5+8÷(2×(3-2×(2)))) 
 = (5+8÷(2×(3-4))) 
 = (5+8÷(2×(-1))) 
 = (5+8÷(-2)) 
 = (5-4) 
 = 1 
Logo, (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = 1 
 
 
4. Decomposição de um número em um produto de fatores primos 
A decomposição de um número em um produto de fatores primos, onde o número é divido por 2, 
3, 5, 7... 
Exemplos: 
1. 20 = 2*2*5, 
2. 30 = 2*3*5, 
3. 36 = 2*2*3*3, 
4. 45 = 3*3*5, 
 
 
 
 
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5. Potenciação 
 
 an = aaaaaa...aa , 
Onde: a : Base, n : Expoente, an : Potência. 
5.1. Estudos de Casos 
 
 Quando a base é positiva a potência será sempre positiva. 
Exemplos: 1) (2)4 =(2)(2)(2)(2) = 16 
 2) (2)3 = (2)(2)(2) = 8 
 3) (5)3 = (5)(5)(5) = 125 
 
 Quando a base é negativa e o expoente par a potência será sempre positiva. 
Exemplos: 1) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 
 2) (-3)2 = (-3)(-3) = 9 
 3) (-7)2 = (-7)(-7) = 49 
 
 Quando a base é negativa e o expoente ímpar A potência será sempre negativa. 
Exemplos: 1) (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = - 27 
 2) (-2)5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = - 32 
 3) (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = - 125 
5.2. Propriedades 
I. am  an = am+n 
Exemplos: 1) 2423 = 24+3 = 27 
2) 32333-4 = 32+3-4 = 31 
3) a5a-3 = a5-3 = a2 
II. am  an = am-n 
Exemplos: 1) 242-2 = 24(-2) = 26 
2) 2523 = 253 = 22 
3) y6y4 = y6-4 = y2 
4) x5x-3 = x5-(-3) = x8 
III. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (23)3 = 2333 
2) (2a)3 = 23a3 
3) (3b)2 = 9b2 
 
n fatores 
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IV. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (52)3 = 5323 
2) (2y5)3 = (2y)3(5)3 = (2)3(y)3(5)3 = 23y353 
V. (am)n = amn 
Exemplos: 1) (22)3 = 26 
2) (2y5)3 = (2)3 (y5)3 = 23y15 
VI. a1 = a 
Exemplos: 1) 21 = 2 
2) -71 = -7 
3) m1 = m 
VII. a0 = 1 
Exemplos: 1) 20 = 1 
2) x0 = 1 
VIII. a–n =
na
1 
Exemplos: 1) 4-2 = 
0625,0
16
1
4
1
2

 
2) 2-1 = 
12
1
 = 0,5 
3) 
2-3
1
 = 32 = 9 
4) 
3-7
1
 = 73 
IX. n pnp aa  
Exemplos: 1) 3 232 22  
2) 7 575 22  
3) 2421  
 
 
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6. Radiciação 
 a raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an=b, 
ou seja, 
bn
=a  an=b , n  R* 
 
6.1. Propriedades 
I. n bm = pn b pm  
Exemplos: 1) 
15 310
 = 
515 b 510 
=
3 32
 
2) 
18 38
 = 
2 2 18 310
=
9 35
 
 
II. n ba  = nbn a  
Exemplos: 1) 
 6
=
 3 2 
 
2) 
4x 
=
x 4 
=
x 2
 
 
III. 
n
b
a
 = 
n b
n a 
Exemplos: 1) 
2
4 5
416
4 5
4
16
5

 
2) 
2
3
3 8
3 27
3
8
27

 
IV.  mn b = n bm 
Exemplos: 1)   33 55 xx 
 
2)   5 95 35 3 22  
 
V. n bm = nmb 
Exemplos: 1) 10 35 3 
 
2) 
6333 
 
 
 
 
 
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Ex em pl o 
1) Simplificar a expressão 2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. . 
Solução: 
2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. = 
2
1
3
2
2
1
1322
1
223







 
 y.x.y.x..
 = 
2
1
3
2
31
2
1
2
1
2
23







 
y..x.
 
 = 
2
1
3
7
2
1
2
3
23







 
y..x.
 = 67414321 23 y..x.  
Logo, 2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. = 67414321 23 y..x.  
2) Simplificar a expressão com expoente positivo 
3 2963 z.y.x.x.a
. 
Solução: 
 
3 2963 z.y.x.x.a
 =  
3
1
2
1
2963








z.y.x.x.a
= 
3
1
12
9
33








z.y.x.x.a
 = 
3
1
2
3
3
4
z.y.x.a
 
Logo, 
3 2963 z.y.x.x.a
= 
3
1
2
3
3
4
z.y.x.a
 
Ex e r c í c i os 
1) Qual é o valor de 
 
13
5
1
45
2
0
22










y 
a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 
2) Qual é o valor de 
10
5620
1025
)1025()1010()109(

 
 
a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 
3) Simplificar as expressões abaixo 
a) 
3
3028
10
22  b) 2
1
3
1
2
1
3
2
34316125









 c) 



















4
3
4
3
3
2
3
2
1616.2727
 
 d) 
42
28
n
1n33

  e) 3
22
2
2
33
32
ba2
xy3
ba
yx9















