Aula_7_Corrente_Resistencia

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 7 
 
Corrente e Resistência 
Até o momento estudamos as interações de cargas elétricas em repouso, agora 
estudaremos as cargas em movimento 
Introdução 
Uma corrente elétrica é o movimento de cargas de uma 
região para outra. 
Os exemplos de correntes elétricas são inúmeros e 
envolvem várias profissões: 
• Meteorologistas estudam relâmpagos e o movimento de cargas 
na atmosfera. 
• Biólogos, fisiologistas e bioengenheiros se interessam pelas 
correntes nervosas que controlam os músculos; 
• Engenheiros elétricos – sistemas de energia elétrica, sistemas de 
proteção contra raios, armazenamento de informações. 
Embora uma corrente elétrica seja um movimento de partículas carregadas, 
nem todas as partículas que se movem produzem um acorrente elétrica. 
Para que exista uma corrente elétrica através de uma dada superfície é preciso que haja um fluxo 
líquido de cargas através da superfície. 
Os elétrons livres em um fio de cobre - direções aleatórias - 
velocidade média de 106 m/s. Plano imaginário perpendicular ao fio - 
os elétrons passando nos dois sentidos bilhões de vezes/segundo. 
Não haverá fluxo líquido de cargas. Ligando uma bateria - o 
número de elétrons que atravessam o plano em um sentido se tornará 
maior e haverá corrente. 
O fluxo de água em uma mangueira – representa o movimento de 
cargas positivas (prótons das moléculas de água) da ordem de 
milhões de C/s. Não existe fluxo líquido de cargas, já que existe um 
movimento de cargas negativas (elétrons das moléculas de água) que 
compensa o movimento de cargas positivas. A corrente elétrica 
associada ao movimento da água no interior da mangueira é zero. 
Corrente elétrica 
Neste capítulo vamos nos limitar ao estudo de correntes constantes de elétrons 
de condução em condutores metálicos. 
Equilíbrio eletrostático: em um circuito fechado feito de 
material condutor, todos os pontos possuem o mesmo potencial 
e não pode existir um campo elétrico no interior do material. 
Embora existam elétrons de condução disponíveis, não estão 
sujeitos a uma força elétrica e, portanto, não existe corrente. 
Introduzirmos uma bateria no circuito: o potencial não é 
mais o mesmo em todo o circuito. Campos elétricos são criados 
no interior do material, exercendo uma força sobre os elétrons 
de condução que os faz se moverem em uma certa direção e, 
portanto, produzir uma corrente. 
Depois de um pequeno intervalo de tempo o movimento dos 
elétrons atinge um valor constante e a corrente entra no 
regime estacionário (deixa de variar com o tempo). 
Seção reta de um condutor no qual existe 
uma corrente. 
Se uma carga dq passa por um plano 
hipotético (como aa’ na figura) em um 
intervalo de tempo dt, a corrente i nesse 
plano é definida como: 
Podemos determinar por integração a carga que passa pelo plano no intervalo de 
tempo de 0 a t: 
a corrente i pode 
variar com o tempo. 
No regime estacionário (não varia com o tempo) a corrente é a mesma nos 
planos aa’, bb’ e cc’. Isso é uma consequência do fato de que a carga é 
conservada. Para cada elétron que passa pelo plano cc’ um elétron deve 
passar pelo plano aa’. 
A unidade de corrente no SI é o Coulomb por segundo, que 
recebeu o nome de Ampère em homenagem ao físico francês 
André-Marie Ampère (1775 – 1836): 
A corrente elétrica definida na eq. ao lado é uma grandeza 
escalar (carga e tempo são grandezas escalares). 
As setas indicam o sentido em 
que as cargas estão se 
movendo. Essas setas não são 
vetores! 
As figuras acima mostram uma corrente 𝑖0 se dividindo em dois ramos. Como a carga 
é conservada, a soma das correntes nos dois ramos é igual à corrente inicial: 
Como ilustra a figura b, a equação acima continua a ser válida mesmo que os fios 
sejam retorcidos. As setas indicam somente o sentido em que as cargas estão se 
movendo em um condutor, e não uma direção no espaço. 
O sentido da corrente 
As setas na figura ao lado indicam a corrente no 
sentido em que partículas positivamente carregadas 
(chamados portadores de carga) seriam forçadas 
pelo campo elétrico a se mover no circuito. 
Na verdade, no caso do fio de cobre, os portadores de carga são elétrons, partículas 
negativamente carregadas e se moveriam no sentido oposto ao indicado nas setas 
(sentido real). Porém, por razões históricas, usamos a seguinte convenção: 
A seta da corrente é desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se 
moveriam (sentido convencional), mesmo que os portadores sejam negativos e se 
movam no sentido oposto. 
Densidade de corrente 
A densidade de corrente descreve como as cargas fluem em determinado ponto do 
circuito. Trata-se de uma grandeza vetorial, cujo sentido do vetor descreve o sentido 
do fluxo neste ponto. 
Essa grandeza tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que 
constituem a corrente se as cargas forem positivas, e a mesma direção e o sentido 
oposto se as cargas forem negativas. O módulo é dado por: 
Podemos escrever a corrente que atravessa um elemento de área como 𝐽 . 𝑑𝐴 , em que 
𝑑𝐴 é o vetor área do elemento, perpendicular ao elemento. A corrente total que 
atravessa a superfície é, portanto, 
Se a corrente é uniforme em toda a superfície e paralela a 𝑑𝐴 , 𝐽 também é uniforme e 
paralela a 𝑑𝐴 . Neste caso, a última equação se torna: 
A unidade de densidade de corrente no SI é o ampère por metro quadrado (A/m²). 
A densidade de corrente pode ser representada por um 
conjunto de linhas, conhecidas como linhas de corrente. 
Na transição da figura ao lado (de um conduto mais largo para um 
mais estreito), a carga é conservada, portanto a quantidade de 
carga e de corrente não mudam. O que muda é a densidade de 
corrente, que é maior no condutor mais estreito. O espaçamento 
das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de 
corrente. Quanto mais próximas, maior a densidade. 
Área total da 
superfície. 
Velocidade de deriva 
Quando um condutor não está sendo percorrido por uma corrente os elétrons de 
condução se movem aleatoriamente, sem que haja uma direção preferencial. 
Quando existe uma corrente, os elétrons continuam a se mover aleatoriamente, mas 
tendem a derivar (desviar) com uma velocidade de deriva (ou velocidade de 
arraste) na direção oposta à do campo elétrico que produziu a corrente. 
A velocidade de deriva é muito pequena em 
relação à velocidade com a qual os elétrons se 
movem aleatoriamente. 
Nos condutores de cobre da fiação elétrica 
residencial a velocidade de deriva dos elétrons é da 
ordem de 10−5 ou 10−4 m/s, enquanto a velocidade 
aleatória é da ordem de 106 m/s. 
Podemos usar a figura abaixo para relacionar a velocidade de deriva dos elétrons de 
condução em um fio ao módulo da densidade de corrente no fio. 
Por conveniência vamos analisar os portadores 
de cargas positivas. Neste caso, os portadores 
se movem com velocidade de deriva na 
direção do campo elétrico. Por convenção, o 
sentido da densidade de corrente é o mesmo da 
corrente. 
Vamos fazer as seguintes suposições: 
 todos os portadores de carga se movam com a mesma velocidade de deriva 𝑣𝑑; 
 a densidade de corrente é a mesma em toda a seção reta A do fio; 
 a seção reta do fio é constante. 
Neste caso, o número de portadores em um pedaço do fio de 
comprimento L será dado por: 
O número de portadores por unidade de volume 
Como cada portador possui uma carga e, a carga total dos portadores nesse pedaço do 
fio é dada por: 
Como os portadores estão todos se movendo com velocidade 𝑣𝑑 , essa carga atravessauma seção reta do fio em um intervalo de tempo: 
Uma vez que a corrente é a taxa de variação com o tempo do fluxo de carga em uma 
seção reta, teremos: 
Explicitando a velocidade de deriva e lembrando que J = i/A, teremos: 
Em forma vetorial: 
O produto ne, que no SI é medido em C/m³, é chamado de densidade de carga dos 
portadores. 
 No caso de portadores positivos ne é positivo e, portanto, 𝐽 e 𝑣 𝑑 têm o mesmo 
sentido. 
 No caso de portadores negativos ne é negativo e 𝐽 e 𝑣 𝑑 têm sentidos opostos. 
Exemplo 1 – densidade de corrente uniforme e não uniforme 
Solução 
Resistência e resistividade 
Quando aplicamos a mesma diferença de potencial às extremidades de barras de 
mesmas dimensões feitas de cobre e de vidro os resultados são muito diferentes. 
A característica do material que determina essa diferença é a resistência elétrica. 
Medimos a resistência entre dois pontos de um condutor aplicando uma diferença de 
potencial V entre esses pontos e medindo a corrente i resultante. A resistência R é 
definida como sendo a razão ente o potencial aplicado e a corrente medida: 
A unidade de resistência no SI é o volt por ampère, que recebeu o 
nome ohn (Ω) em homenagem ao físico alemão Georg Simon Ohm 
(1787-1854): 
Um condutor cuja função em um circuito é introduzir 
uma certa resistência é chamado de resistor. 
Sabemos que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico do e que a 
corrente está relacionada com a densidade de corrente em um determinado 
ponto. Logo, podemos definir uma nova grandeza, chamada resistividade (ρ) de um 
material, como sendo a razão entre o módulo do campo elétrico e o módulo da 
densidade de corrente: 
Nos diagramas de circuitos elétricos um resistor é 
representado pelo símbolo: 
Quanto maior for a resistividade, maior será o 
campo elétrico necessário para produzir uma dada 
densidade de corrente, ou menor será a densidade 
de corrente gerada por um dado campo elétrico. 
Combinando as unidades de E e J 
no SI , obtemos a unidade da 
resistividade ρ: 
Um condutor perfeito deveria ter 
resistência igual a zero e um isolante 
perfeito deveria ter resistência infinita. 
Os metais e as ligas metálicas são os 
materiais com menor resistividade e 
também os melhores condutores. A 
resistividade de um isolante é cerca de 
1022 vezes mais elevado do que a de um 
condutor. 
Podemos falar também da condutividade σ de um material, que é simplesmente o 
inverso da resistividade: 
As equações abaixo são válidas apenas para materiais isotrópicos, ou seja, 
materiais cujas propriedades são as mesmas em todas as direções. 
A unidade da condutividade no SI é 
Um bom condutor de eletricidade possui condutividade muito 
maior que um isolante. 
Cálculo da resistência a partir da resistividade 
Quando conhecemos a resistividade de um material, como o cobre, por exemplo, não é 
difícil calcular a resistência de um fio desse material. 
A resistência está relacionada ao dispositivo (dimensões e forma) e a resistividade está 
relacionada à propriedade do material. 
Seja A a área da seção reta, L o comprimento 
e V a diferença de potencial entre as 
extremidades do fio. 
Se a densidade de corrente é uniforme ao longo de toda a seção reta, o campo 
elétrico e a densidade de corrente são diretamente proporcionais ao longo do fio: 
Lembrando que: 
Neste caso, podemos combinar as equações anteriores com a equação que relaciona E 
e J para obter: 
Lembrando que a razão entre V e i é a definição de resistência: 
Comparando as duas equações para V teremos: 
Quando ρ for constante R também será constante. Essa 
equação só se aplica a condutores isotrópicos homogêneos 
de seção reta uniforme. 
As grandezas macroscópicas V, i e R são de grande interesse em medidas 
elétricas. Para estudar as propriedades elétricas dos materiais usamos as 
grandezas microscópicas E, J e ρ. 
Variação da resistividade com a temperatura 
A resistividade de um condutor metálico quase sempre cresce com o aumento da 
temperatura, como indica a figura abaixo: 
À medida que a temperatura aumenta, os íons 
do condutor vibram com uma amplitude 
mais elevada, aumentando a probabilidade das 
colisões dos elétrons com os íons. Isso dificulta 
o arraste dos elétrons através do condutor 
e, portanto, faz diminuir a corrente. 
A relação entre temperatura e resistividade para a maioria dos metais é quase linear 
para uma faixa de temperatura. Isso nos possibilita escrever uma fórmula empírica 
que é adequada para a maioria das aplicações práticas: 
Onde 𝑇0 é uma temperatura de referência e 𝜌0 é a resistividade a essa temperatura. 
Costuma-se escolher como referência 𝑇0=293 K (temperatura 20º C). 
Como a temperatura entra na equação acima apenas como uma diferença, tanto faz 
usar a escala Celsius ou a escala Kelvin, já que o valor de um grau nas duas escalas é 
o mesmo ( K = C + 273). 
A constante 𝛼 que aparece na equação é conhecida como coeficiente de 
temperatura da resistividade e é escolhida para que a concordância da 
resistividade calculada com a resistividade medida experimentalmente seja a melhor 
possível para a faixa de temperatura considerada. 
Exemplo 2 – densidade de corrente uniforme e não uniforme 
A figura abaixo mostra um homem e uma vaca, ambos a uma distância D = 60,0 m do 
local onde um relâmpago de corrente I = 100 kA atingiu o solo. A corrente se espalha 
pelo solo de modo a preencher uniformemente um hemisfério com centro no ponto 
em que o relâmpago atingiu o solo. Os pés do homem estão separados por uma 
distância ∆𝑟ℎ= 0,50 𝑚; as patas dianteiras e as patas traseiras da vaca estão separadas 
por uma distância ∆𝑟𝑣= 1,50 𝑚. A resistividade do solo é 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑜 = 100 Ω.𝑚. A resistência do 
homem, entre o pé direito e o pé esquerdo, e a resistência da vaca, entre os cascos 
dianteiros e os cascos traseiros, são iguais: R = 4,00 kΩ. 
(a) Qual é a corrente 𝒊𝒉 que atravessa o corpo do homem? 
Solução - exemplo 2 
Idéias-chave 
(1) O relâmpago cria um campo elétrico e um potencial elétrico no solo em volta do 
ponto de impacto. 
(2) Como um dos pés do homem está mais próximo do ponto de impacto do que o 
outro, é estabelecida uma diferença de potencial ∆V entre os pés do homem. 
(3) Essa diferença de potencial ∆V faz com que uma corrente i atravesse o corpo do 
homem. 
Como a corrente I do relâmpago se espalha uniformemente pelo solo, a densidade 
de corrente a uma distância r do ponto de impacto pode ser expressa na forma: 
Área da superfície curva do hemisfério. 
Com a equação que fornece a resistividade, podemos encontrar o módulo do campo 
elétrico: 
Com esse resultado, podemos encontrar o potencial elétrico entre um ponto situado a 
uma distância D do ponto de impacto e um ponto situado a uma distância D+∆r: 
Calculando a integral: 
Se um dos pés do homem está a uma distância D do impacto e o outro a uma 
distância D+∆r, a diferença de potencial entre os pés será dada pela equação 
acima. Essa diferença de potencial faz passar uma corrente 𝑖ℎ pelo corpo do homem. 
Para calcular o valor dessa corrente, lembremos que: 
Na equação anterior, V é o valor absoluto da diferença de potencial. Logo, 
De acordo com o enunciado o problema: 
Essa corrente é suficiente para causar contrações musculares involuntárias; o 
homem vai sofrer um choque violento, mas provavelmente não terá danos 
permanentes. O homem pode tornar o choque insignificante simplesmente 
juntando os pés. 
(b) Qual é a corrente que atravessa o corpo da vaca? 
Podemos usar novamente a equação para a corrente encontrada noitem (a), mas 
dessa vez 
Para esse valor a corrente que atravessa o corpo da vaca é 
Esse valor é suficiente para matar a vaca. A 
corrente é maior por causa do maior valor de 
∆r. 
Lei de Ohm 
Como vimos, o resistor é um condutor com um valor específico de resistência. Essa 
resistência é a mesma, seja qual for o valor absoluto e o sentido (polaridade) da 
diferença de potencial aplicada. 
Alguns dispositivos podem ter resistências que variam de acordo com a 
diferença de potencial aplicada. 
Para caracterizar esses dispositivos, aplicamos 
uma diferença de potencial aos terminais do 
dispositivo e a corrente resultante é medida em 
função de V. 
A polaridade é tomada arbitrariamente como sendo positiva da esquerda para a 
direita, bem como o sentido da corrente. 
O gráfico mostra i em função de V 
para um certo dispositivo. 
Como o gráfico é uma linha reta que 
passa pela origem, a razão i/V (que 
corresponde à inclinação da reta) 
é a mesma para qualquer valor de 
V. 
Isso significa que a resistência do dispositivo é independente do valor absoluto 
e da polaridade da diferença de potencial aplicada V. 
O gráfico mostra i em função de V 
para outro dispositivo. 
Neste caso só existe corrente quando 
a polaridade de V é positiva e a 
diferença de potencial aplicada é maior 
que 1,5V. 
Além disso, no trecho do gráfico em que existe corrente a razão entre i e V não é 
constante, mas depende do valor da diferença de tensão aplicada. 
Em casos como estes fazemos uma distinção entre os dispositivos que obedecem a lei 
de Ohm os que não obedecem a lei de Ohm. 
A lei de Ohm é a afirmação de que a corrente que atravessa um dispositivo é sempre 
diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo. 
A palavra lei deveria, na verdade, estar entre aspas, porque a lei de Ohm fornece um 
modelo idealizado que descreve muito bem o comportamento de alguns materiais, 
porém não fornece uma descrição geral para todos os materiais. 
Um dispositivo obedece a lei de Ohm se a 
resistência do dispositivo não depende do valor 
absoluto nem da polaridade da diferença de 
potencial aplicada. 
É frequente ouvir a afirmação de que V = iR é uma expressão matemática da lei de 
Ohm. Isso não é verdade! 
Essa equação é usada para definir o conceito de resistência e se aplica a todos os 
dispositivos que conduzem corrente elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. 
A essência da lei de Ohm está no fato de que o gráfico de i em função de V é linear, ou 
seja, R não depende de V. 
Podemos expressar a lei de Ohm de forma mais geral se nos concentrarmos nos 
materiais e não nos dispositivos. Neste caso, a relação relevante passa a ser: 
Um material obedece a lei de Ohm se a resistividade do material não depende do 
módulo nem da direção do campo elétrico aplicado. 
Potência em circuitos elétricos 
A figura mostra um circuito formado por uma 
bateria B ligada por fios de resistência desprezível a 
um componente não-especificado que pode ser um 
resistor., ou qualquer outro dispositivo elétrico. 
A bateria mantem uma diferença de potencial de 
valor absoluto V entre os seus terminais e entre os 
terminais do componente. 
Como existe um circuito fechado ligando os dois terminais da bateria e como a 
diferença de potencial produzida pela bateria é constante, uma corrente constante i 
atravessa o circuito no sentido do terminal a para o terminal b. A quantidade de 
carga dq que atravessa o circuito em um intervalo de tempo dt é dada por: 
Ao completar o circuito a carga dq tem seu potencial reduzido de V e, portanto, sua 
energia é reduzida de um valor dado por: 
A redução da energia potencial elétrica no percurso de a a b deve ser acompanhada 
por uma conversão da energia para outra forma qualquer. 
A potência associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia por 
unidade de tempo: 
Além disso, P é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o 
componente. 
Se o componente for um resistor a energia se transforma em energia térmica e 
tende a provocar um aumento na temperatura do resistor. 
De acordo com a última equação, a unidade de potência elétrica é dada por: 
A unidade recebeu esse nome em homenagem ao matemático e 
engenheiro escocês James Watt (1736-1819) 
No caso de um resistor ou outro dispositivo de resistência R, podemos combinar as 
equações: 
e 
e obter, para a taxa de dissipação de energia elétrica devida à resistência, as 
seguintes expressões: 
e 
Exemplo 3 – taxa de dissipação de energia 
Solução - exemplo 3 
Exercícios – lista 4 
(1) Na figura abaixo uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto 
de resistividade 731 Ω.m, raio menor a = 2,00 mm, raio maior b = 2,30 mm e 
comprimento L = 1,94 cm. A densidade de corrente é uniforme ao longo de uma seção 
reta perpendicular ao eixo do objeto. Qual é a resistência do objeto? 
(2) Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A, comprimento L e 
resistividade ρ. Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e 
esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 30,0 e a corrente seja 
multiplicada por 4,00. Supondo que a densidade do fio não mude, determine: 
(a) A razão entre o novo comprimento e L; 
(b) A razão entre a nova seção reta e A.