Equação dos laços (seção 1.1) UFF-VR

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Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Equação dos laços (malhas) 
Um método de analisar um circuito é pela Equação dos Laços, ou das malhas. Esse 
método consiste em atender a Lei de Kirchoff das tensões, logo, nas equações teremos 
um valor de corrente multiplicado pelo valor de uma resistência (pela lei de Ohm, E = R I ). 
Para proceder com esse método, é necessário um número exato de equações que atenda 
cada circuito, ou seja, precisamos de um número certo de laços (cada laço nos fornece 
uma equação), e contemplar todos os componentes do circuito (resistores, fontes, etc.) 
através dos laços. Para conhecermos o número de laços necessário, aplicamos a fórmula: 
1 NBL
Onde: 
 
L
 Número de laços (equações) necessários. 
B
 Número de ramos. Ramo é cada caminho que há entre dois nós. 
N
 Número de nós. Um nó é um ponto onde se juntam 3 ou mais componentes 
 simultaneamente. 
Esses laços são distribuídos de forma totalmente aleatória tanto no sentido quanto no 
percurso, as únicas regras são: contemplar todos os componentes do circuito, como foi 
dito acima, e o laço deve sempre percorrer uma malha, que é qualquer percurso fechado 
no circuito, sem levar em conta se há ou não fontes de tensão. 
Havendo fontes de corrente no circuito, sugere-se que apenas um laço passe por ela, pois 
esse laço vai ter o próprio valor da corrente da fonte. 
 
Obs: De qualquer maneira que forem distribuídos os laços pelos circuitos obteremos o 
resultado correto, então, a forma que eles serão distribuídos neste solucionário não é a 
única forma de solução correta, sendo interessante o aluno distribuir os laços de outras 
formas também, para melhor fixação do método. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Em alguns circuitos desta lista nos depararemos com sistemas de três equações e três 
incógnitas, existem muitos métodos para se resolver esses sistemas e você tem liberdade 
de escolher o método que quiser. Um deles é a Regra de Cramer, um método simples e 
muito útil. Este apêndice irá tratar resumidamente deste método: 
Regra de Cramer 
A Regra diz que: 
 
“Se é um sistema de equações lineares em incógnitas tal que, 
 ,então o sistema tem uma única solução. Esta solução é 
bAx  n n
 
 A
A
x
det
det 1
1 
  0det A
 
 A
A
x
det
det 2
2 
 
 A
A
x nn
det
det

...
onde é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de pelas 
entradas da matriz” 
jA
A













nb
b
b
b

2
1
Fonte: Álgebra Linear com Aplicações (8ª edição) - Howard Anton e Chris Rorres 
APÊNDICE 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Lista 1 
Seção 1.1 
Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
A) 
Seguindo os procedimentos descritos no slide introdutório, vamos analisar na prática as 
informações desse circuito: 
1 NBL
Lembrando que um nó é a junção de 3 ou mais componentes, observamos que neste circuito 
temos 2 nós (destacados em vermelho): o de “cima” onde se juntam os resistores de 1Ω, 3Ω, e 2Ω; 
e o nó de “baixo”, onde se juntam a fonte de 3V e os resistores de 3Ω e 4Ω. 
Outra informação necessária é o número de ramos, que é o caminho entre dois nós, neste circuito 
existem 3 ramos, mostrados acima pelas setas azuis. Aplicando a fórmula dos laços necessários: 
123 L
2L
Logo são necessários 2 laços para que a equação dos laços seja plenamente aplicada neste 
circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Neste caso, o laço passa pela fonte de 3V no sentido contrário ao da sua corrente, logo seu 
valor entra na equação com sinal positivo antes da igualdade: 
Agora distribuímos os dois laços de forma aleatória pelo circuito, atendendo todos os 
componentes, uma forma possível é: 
Observe que os dois laços foram distribuídos contemplando todos os componentes. Agora vamos 
escrever as equações de cada laço, lembrando que escreveremos a Lei de Kirchoff das tensões 
teremos sempre uma das correntes (laços) acima, multiplicando os resistores que elas percorrem. 
Um detalhe importante, os dois laços se encontram no resistor de 3Ω na mesma direção, logo eles 
se somam nas equações. Quando o laço passar por uma fonte de tensão , o valor da tensão da 
fonte entra na equação antes da igualdade obedecendo a regra abaixo: 
ai
bi
ai
03)3()13(  ba ii
- + *sentido do laço. 
*sinal que a tensão da fonte vai receber nas equações. 
*valor da fonte. 
*resistores que o 
laço toca 
*resistor no qual os laços 
se encontram 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
ai
bi
Observando agora o laço : 
bi
Como ele não passa por nenhuma fonte de tensão, não teremos nenhum valor independente. Os 
laços se encontram no resistor de 3Ω, mas agora a corrente é nossa referência. Escrevendo 
sua equação: 
0)423()3(  ba ii
03)3()4(  ba ii
Então, montando essas equações em um sistema: 
0)9()3(  ba ii
Aia 1 Aib
3
1

Resolvendo o sistema obtemos: 
ai
bi
bi
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
ai
bi
Conhecendo todas as incógnitas necessárias, já podemos encontrar e : 
0i 0e
A corrente é o próprio valor da corrente calculada, observe no circuito que elas 
estão no mesmo sentido, por isso são iguais em módulo e magnitude: 
0i b
i
bii 0
Ai
3
1
0 
Para a tensão o critério é o mesmo, lembrando que a queda de tensão é sempre contrária 
ao sentido da corrente, logo a corrente que passa pelo resistor de 4Ω, é positiva em relação 
a pois estão em sentidos contrários. Logo, pela lei de Ohm: 
0e
bi
0e
3
1
44 00  eie b
Ve
3
4
0 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
B) 
Antes de tudo, vamos analisar quantos nós e quantos laços esse circuito possui: 
Como assinalado acima, este circuito possui 2 nós e 3 ramos . Aplicando a fórmula dos laços: 
1 NBL
123 L
2L
Logo são necessários 2 laços para satisfazer plenamente o circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Vamos distribuir agora de forma aleatória os laços pelos ramos do circuito: 
ai
bi
Observe que a corrente passa pelos resistores de 4Ω e 3Ω, e a corrente passa pelos 
de 3Ω, 2Ω e 1Ω, e as duas correntes se encontram no resistor de 3Ω no sentido contrário entre si. 
A corrente passa pela fonte de tensão no mesmo sentido de sua corrente, observando mais 
uma vez a regra, vemos que o valor da fonte será aplicado com sinal negativo antes da igualdade. 
ai bi
ai
- + 
Feitas tais observações, montaremos agora o sistema dos dois laços arbitrados: 
05)3()7(  ba ii
0)6()3(  ba ii
ai
bi
*4+3 
*1+2+3 
*aqui a corrente aparece 
negativa pois tomamos por base 
a corrente . 
Em relação a , a corrente 
é negativa! 
ai
bi
bi ai
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Resolvendo o sistema de equações: 
05)3()7(  ba ii
0)6()3(  ba ii
ai
bi
Aia
11
10
 Aib
11
5

Encontramos : 
ai
bi
Voltando ao circuito: 
A corrente desejada é a própria corrente encontrada, porém, por estar em sentido 
contrário recebe o sinal negativo: b
i0i
bii 0
Ai
11
5
0 







11
5
0i
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Observe que o laço passa peloresistor de 1Ω no mesmo sentido de . Logo ele será 
calculado com um sinal negativo. Pela lei de Ohm: 
 bie  10
Ve
11
5
0 







11
5
10e
0e
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
C) 
Observando este circuito, vemos que ele possui 2 nós e 3 ramos: 
Logo, precisamos de 2 laços para descrever plenamente as equações dos laços para este circuito. 
1 NBL
123 L
2L
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo aleatoriamente os laços: 
Escrevendo as equações, e montando o sistema: 
ai
bi
02)2()3(  ba ii
0)9()2(  ba ii
ai
bi
Aia
23
18
 Aib
23
4

Resolvendo o sistema, encontramos: 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Voltando no circuito: 
ai
bi
A corrente possui o mesmo valor que a corrente calculada: 
bi0i
bii 0
Ai
23
4
0 
Observe que dois laços passam pelo resistor de 2Ω, onde se quer conhecer a tensão. Neste caso, 
aplica-se normalmente a lei de Ohm, mas com relação à corrente, faremos um somatório entre 
elas, as que estão no sentido contrário ao sentido de pré estabelecido terão sinal positivo, 
e as que estão no mesmo sentido terão sinal negativo. Neste caso será negativa e 
será positiva: ai
0e
bi
 ab iie  20







23
18
23
4
20e
Ve
23
28
0 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
D) 
Analisando o circuito, observamos que ele possui 2 nós e 3 ramos (os ramos não serão mais 
destacados daqui em diante) : 
Logo, precisamos de 2 laços para este circuito. 
Com isso: 
123 L
2L
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo os laços: 
ai
bi
Montando as equações: 
01)3()3(  ba ii
0)10()3(  ba ii
ai
bi
O que nos dá: 
Aia
21
10
 Aib
7
1

Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Começando pela corrente : 
Voltando ao circuito para encontrar os valores desejados: 
ai
bi
0i
bii 0







7
1
0i
Ai
7
1
0 
Agora a tensão . Como os dois laços passam no mesmo sentido de , a soma será 
entre os dois valores negativos: 
0e 0
e
 ba iie 10



















7
1
21
10
10e
Ve
3
1
0 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
E) 
Este circuito é um pouco maior, mas não muda em nada o modo de avaliar os nós e ramos que ele 
possui. Então observe os nós, e os caminhos entre eles mostrados abaixo: 
Vemos então que o circuito possui 3 nós, e 5 caminhos entre os nós, logo, 5 laços. Aplicando na 
fórmula: 
135 L
3L
São necessários 3 laços para este circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo livremente os laços, uma forma possível é: 
ai
bi ci
)3(ai
2)1()4(  cb ii
ai
bi
Montando as equações para estes laços: 
)8()1( cb ii 
0
0
02 
ci
Resolvendo o sistema obtemos: 
Aia
3
2
 Aib
31
16
 Aic
31
2

Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
ai
bi
ci
Analisando os laços, vamos encontrar as incógnitas de interesse: 
Vamos analisar primeiramente as correntes: 
cii 0
Ai
31
2
0 
bii 1
Ai
31
16
1 
Agora analisaremos as tensões: 
cie  30
Ve
31
6
0 
aie  21
Ve
3
4
1 







31
2
30e







3
2
21e
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
F) 
Neste circuito, observe que não podemos juntar todos os elementos na linha de baixo em somente 
um nó. A distribuição dos nós fica da seguinte forma: 
Então esse circuito possui 4 nós, e 6 ramos. Aplicando à fórmula obtemos: 
146 L
3L
Sendo necessários 3 laços para descrever plenamente as equações dos laços neste circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo aleatoriamente os laços pelas malhas: 
ai
ci
bi
Observe que mesmo escolhendo um caminho diferente, pegando os resistores pela malha mais 
externa, todos os elementos foram contemplados. 
 
Montando o sistema de equações para cada laço: 
 4)5( ba ii 
  )4()11(4 cba iii 
ai
bi
1)4()4(  cb ii
0
0
0
ci
Resolvendo o sistema obtemos: 
Aia
19
4
 Aib
19
5
 Aic
76
39

Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
ai
ci
bi
Agora que já conhecemos as incógnitas necessárias, iremos encontrar os valores postos pelo 
problema: 
ba iii 0
Ai
19
1
0 
19
5
19
4
0 i
*observe que o laço 
está no mesmo sentido que 
 , em contrapartida, o 
laço no contrário. 
ai
0i
bi
Analisando a corrente : 
0i
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
bie  10
Ve
19
5
0 







19
5
10e
Analisando agora a queda de tensão : 
0e
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
G) 
Destacando os nós do circuito: 
Então o circuito possui 3 nós. Os ramos, entre os nós, são 5. 
135 L
3L
São necessários 3 laços para satisfazer este circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo livremente os 3 laços: 
Montando o sistema de equações para essa configuração: 
ai
ci
bi
 2)6( ba ii 
  )1()5(2 cba iii 
ai
bi
)4()1( cb ii 
0
0
02 
ci
O sistema nos fornece: 
Aia
49
19
 Aib
49
8
 Aic
49
2

Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Finalmente, podemos agora encontrar as incógnitas de interesse: 
ai ci
bi
cb iii 0
Ai
49
6
0 
49
2
49
8
0 i
 bie  20
Ve
49
16
0 







49
8
20e
Analisando a corrente : 
0i
Analisando a queda de tensão : 
0e
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
H) 
Analisando os nós e os ramos deste circuito: 
Vemos que o circuito possui 3 nós, e 5 ramos: 
135 L
3L
São necessários 3 laços para descrever plenamente o circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Distribuindo arbitrariamente os laços pelas malhas: 
ai ci
Montando as equações de cada laço: 
 3)6( ba ii 
  2)1()4(3  cba iii
ai
bi
)2()1( cb ii 
0
0
0
ci
Aia
2
1

Aib 1 Aic
2
1

Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Encontrando os valores de interesse: 
ai ci
ba iii 0
Ai
2
1
0 
1
2
1
0 i
 cb iie 10
Ve
2
1
0 







2
1
110e
Obtendo a corrente : 
0i
Obtendo a queda de tensão : 
0e
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
I) 
Este circuito possui uma particularidade, há um curto ligado após a fonte de tensão, impedindo que 
os três resistores que estão diretamente em paralelo com este curto recebam corrente. Se eles não 
recebem corrente, fica claro que não interferem em nada no circuito, podendo ser descartados 
diretamente. Então, simplesmente ignoraremos esses três resistores a partir de agora, e não 
passaremos laço algum por eles. 
Conforme destacado acima, o circuito possui 3 nós, e 5 ramos: 
135 L
3L
Precisamos de 3 laços para aplicar as equações dos laços, neste circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
ai
bi
ci
Então, distribuiremos os laços ignorando os três resistores que não recebem corrente da fonte:Montando as equações dos laços arbitrados: 
 1)1( ba ii 
  )2()6(1 cba iii 
ai
bi
)3()2( cb ii 
0
0
01
ci
Aia
11
14
 Aib
11
3
 Aic
11
2

O que nos fornece: 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
cii 0
Ai
11
2
0 
Calculando, agora, as variáveis de interesse: 
Ve 00 
Obtendo a corrente : 
0i
A tensão está situada em um 
resistor que não recebe corrente, se não 
há corrente passando por ele, logo não 
há tensão retida nele. Então: 
0e
ai
bi
ci
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
J) 
Encontrando os nós e os ramos no circuito: 
Logo o circuito possui 3 nós, e 6 caminhos entre dois nós consecutivos, ou seja, 6 ramos: 
136 L
4L
Precisamos de 4 laços para atender este circuito. 
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Passando esses 4 laços livremente pelo circuito: 
ai
bi
ci
di
Montando as equações destes laços: 
 3)6( ba ii 
  )4(3 ba ii 
ai
bi
1)3()3(  dc ii
0
0
01
ci
)6()3( dc ii 
0
di
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
Resolvendo esse sistema: 
mAia
15
4
 mAib
5
1

mAic
3
2

mAid
3
1

Encontrando os valores de interesse: 
ai
bi
ci
di
cd iii 0
mAi
3
1
0 
mmi
3
2
3
1
0 
Obtendo a corrente : 
0i
Eletricidade Aplicada Equação dos laços Lista 1 
 ab iike  20
Ve
15
2
0 






 mmke
15
4
5
1
20
Obtendo a queda de tensão : 
0e