Aula -integral definida

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Ca´lculo I - Integral Definida
Prof. Josinaldo Menezes
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
16 de maio de 2013
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Somas Finitas A´rea
A´rea
Qual a a´rea da regia˜o sombreada R que se encontra acima do eixo x, abaixo da
curva de y = 1− x2, e entre as retas verticais x = 0 e x = 1?
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Somas Finitas A´rea
Como na˜o ha´ uma fo´rmula geome´trica simples para calcular a a´rea exata de
R, vamos aproxima´-la utilizando a aproximac¸a˜o da soma superior:
A ≈ 1.1
2
+
3
4
.
1
2
=
7
2
= 0, 875 (1)
Dividindo em 4 partes:
A ≈ 1.1
4
+
15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
=
25
32
= 0, 78125 (2)
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Somas Finitas A´rea
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Somas Finitas A´rea
Por outro lado, se utilizarmos a aproximac¸a˜o por soma inferior
A ≈ 15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
+ 0.
1
4
=
17
32
= 0, 53125
A conclusa˜o e´ que 0, 53125 < A < 0, 78125.
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Somas Finitas A´rea
Por fim, utilizamos a aproximac¸a˜o do ponto me´dio:
A ≈ 63
64
.
1
4
+
55
64
.
1
4
+
39
64
.
1
4
+
15
64
.
1
4
= 0, 671875.
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Somas Finitas Aproximac¸a˜o do ponto me´dio
Aproximac¸a˜o do ponto me´dio
Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de igual largura ∆x,
∆x =
b− a
n
(3)
e se, f(ck) for o valor de f em dado ponto ck no k-e´simo subintervalo, esse
processo resultara´ em uma soma finita com a seguinte forma
f(c1)∆x+ f(c2)∆x+ f(c3)∆x+ ...+ f(cn)∆x. (4)
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Soma de Riemann
Soma de Riemann
Consideremos uma func¸a˜o arbitra´ria f definida em um intervalo fechado [a, b],
Definimos os subintervalos de [a, b], na˜o necessariamente da mesma largura.
Escolhemos n− 1 pontos {x1, x2, x3, ..., xn−1} entre a e b:
x0 = a ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b. (5)
O conjunto P = {x0, x1, x2, ..., xn−1, xn} e´ chamado partic¸a˜o de [a, b].
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Soma de Riemann
A partic¸a˜o P divide [a, b] em n subintervalos fechados:
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ..., [xn−1, xn] (6)
O k-e´simo subintervalo de P e´ [xk−1, xk], onde k e´ um inteiro entre 1 e n.
A largura do primeiro intervalo [x0, x1] e´ ∆x1, e a largura do k-e´simo
subintervalo e´ ∆xk, onde
∆xk = xk − xk−1 (7)
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Soma de Riemann
Selecionamos um ponto em cada subintervalo, sendo ck o ponto escolhido no
k-e´simo subintervalo.
Cosntruimos um retaˆngulo em cada subintervalo com base no eixo x e que
toca a curva em (ck, f(ck)).
Em cada subintervalo tomamos o produto f(ck,∆xk), que pode ser negativo,
positivo ou nulo. O mo´dulodo valor encontrado e´ a a´rea do retaˆngulo
desenhado em cada subintervalo.
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Soma de Riemann
Somamos todos esses produtos e obtemos
SP =
n∑
k=1
f(ck) ∆xk (8)
que e´ uma soma de Riemann para f no intervalo [a, b].
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Soma de Riemann
Outras escolhas de partic¸a˜o da˜o-nos outras somas de Riemann.
Definimos a norma de uma partic¸a˜o P , que chamamos ||P ||, como a maior
de todas as larguras dos subintervalos.
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Soma de Riemann
Exemplo: O conjunto P = {0; 0, 2; 0, 6; 1; 1, 5; 2} e´ uma partic¸a˜o de [0, 2].
Os subintervalos sa˜o: [0; 0, 2], [0, 2; 0, 6], [0, 6; 1], [1; 1, 5] e [1, 5; 2].
Os comprimentos deles sa˜o: ∆x1 = 0, 2, ∆x2 = 0, 4, ∆x3 = 0, 4, ∆x4 = 0, 5
e ∆x5 = 0, 5.
A partic¸a˜o tem norma ||P || = 0, 5.
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Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann
Integral definida - Limites da Soma de Riemann
Seja f(x) uma func¸a˜o definida em um intervalo fechado [a, b]. Dizemos que um
nu´mero I e´ a integral definida de f em [a, b] e que I e´ o limite das somas de
Riemann
n∑
k=1
f(ck)∆xk (9)
se a seguinte condic¸a˜o e´ satisfeita:
Dado qualquer nu´mero � ≥ 0, existe um nu´mero correspondente δ ≥ 0, tal
que, para qualquer partic¸a˜o P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] com ||P || ≤ δ e
qualquer escolha de ck em [xk−1, xk], temos
|
n∑
k=1
f(ck) ∆xk − 1| ≤ �. (10)
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Integral Definida Notac¸a˜o da Integral Definida
Integral definida - Notac¸a˜o
O s´ımbolo para a integral definida e´∫ b
a
f(x) dx (11)
onde
a e´ o limite inferior de integrac¸a˜o
b e´ o limite superior de integrac¸a˜o
f(x) e´ o integrando
dx indica que a varia´vel de integrac¸a˜o e´ x.∫
e´ o sinal de integral.
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Integral Definida Notac¸a˜o da Integral Definida
As somas de Riemann de f em [a, b] convergem para a integral definida
I =
∫ b
a
f(x) dx. (12)
Assim, f e´ integra´vel no intervalo [a, b].
Quando o limite existe,
lim
||P ||→0
n∑
k=1
f(ck) ∆xk = I =
∫ b
a
f(x) dx. (13)
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Integral Definida Notac¸a˜o da Integral Definida
Se pensarmos em termos do nu´meros de subintervalos n, temos
lim
n→∞
n∑
k=1
f(ck) ∆xk = I =
∫ b
a
f(x) dx. (14)
A integral depende da func¸a˜o e na˜o da letra que usamos para a varia´vel,
sendo chamada de varia´vel artificial.
Uma func¸a˜o cont´ınua e´ integra´vel. Isto e´, se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um
intervalo [a, b], enta˜o sua integral definida em [a, b] existe.
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Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas
Propriedades das Integrais Definidas
Quando f e g sa˜o integra´veis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz as
regras:
Ordem de integrac¸a˜o: ∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx (15)
Intervalo de largura zero: ∫ a
a
f(x) dx = 0 (16)
Multiplicac¸a˜o por constante:∫ b
a
k f(x) dx = k
∫ b
a
f(x), dx (17)
para qualquer constante k.
Soma e Subtrac¸a˜o:∫ b
a
[f(x)± g(x)] dx =
∫ b
a
f(x) dx±
∫ b
a
g(x) dx. (18)
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Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas
Aditividade ∫ b
a
f(x) dx+
∫ c
b
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx. (19)
Desigualdade max−min:
(min f).(b− a) ≤
∫ ba
f(x) dx ≤ (maxf).(b− a) (20)
Dominac¸a˜o
1 Se f(x) ≥ g(x) em [a, b], enta˜oZ b
a
f(x) dx ≥
Z b
a
g(x) dx. (21)
2 Se f(x) ≥ 0 em [a, b], enta˜o Z b
a
f(x) dx ≥ 0. (22)
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Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas
Exemplo: Suponha que∫ 1
−1
f(x) dx = 5,
∫ 4
1
f(x) = −2,
∫ 1
−1
h(x) dx (23)
Enta˜o,
1 ∫ 1
4
f(x) dx = −
∫ 4
1
f(x) dx = 2 (24)
2 ∫ 1
−1
[2 f(x) + 3h(x)] dx = 2
∫ 1
−1
f(x) dx+ 3
∫ 1
−1
h(x) dx = 31 (25)
3 ∫ 4
−1
f(x) dx =
∫ 1
−1
f(x) dx+
∫ 4
1
f(x) dx = 5− 2 = 3 (26)
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A´rea sob uma curva
A´rea sob uma curva
Se y = f(x) for na˜o negativa e integra´vel em um intervalo fechado [a, b], enta˜o a
a´rea sob a curva y = f(x) em [a, b] sera´ a integral de f de a ate´ b:
A =
∫ b
a
f(x) dx. (27)
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A´rea sob uma curva
Exemplo: Calcular
∫ b
a
f(x) dx e determinar a a´rea A sob y = x no intervalo [0, b],
sendo b ≥ 0.
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A´rea sob uma curva
Consideramos uma partic¸a˜o P que subdivide [0, b] em n subintervalos de
igual largura ∆x, sendo
∆x =
b− 0
n
=
b
n
. (28)
Situamos ck na extremidade direita de cada subintervalo
P = {0, b
n
,
2b
n
, ...,
nb
n
= b} (29)
onde ck = k bn .
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A´rea sob uma curva
Assim,
n∑
k=1
f(ck)∆x =
n∑
k=1
kb
n
.
b
n
=
n∑
k=1
kb2
n2
(30)
=
b2
n2
n∑
k=1
k =
b2
n2
.
n(n+ 1)
2
(31)
=
b2
2
(
1 +
1
n
)
(32)
Quando n→∞, ∫ b
0
x dx =
b2
2
(33)
Como a integral, nesse caso, e´ a a´rea, temos que
A =
bh
2
=
b2
2
. (34)
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A´rea sob uma curva
Podemos generalizar o exemplo para
∫ b
a
x dx, onde a ≤ 0.∫ b
a
x dx =
∫ 0
a
x dx+
∫ b
0
x dx (35)
= −
∫ a
0
x dx+
∫ b
0
x dx =
−a2 + b2
2
, (36)
onde a ≤ b.
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A´rea sob uma curva
Similar ao exemplo anterior, podemos encontrar
1 Z b
a
c dx = c(b− a) (37)
onde c e´ uma constante.
2 Z b
a
x2 dx =
b3
3
− a
3
3
(38)
onde a ≤ b.
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A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua
Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua
Se f for integra´vel em [a, b], enta˜o seu valor me´dio em [a, b] sera´
M(f) =
1
a− b
∫ b
a
f(x) dx. (39)
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A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua
Exemplo: o valor me´dio de f(x) =
√
4− x2 em [−2, 2] e´ dado por
M(f) =
1
2− (−2)
∫ 2
−2
√
4− x2 dx = 1
4
.2pi =
pi
2
(40)
onde usamos ∫ 2
−2
√
4− x2 dx = 2pi (41)
que e´ a a´rea do semic´ırculo centrado na origem e com raio 2.
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo
O Teorema do Valor Me´dio para Integrais Definidas
Se f for cont´ınua em [a, b], enta˜o em algum ponto c em [a, b],
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx. (42)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo
Uma func¸a˜o pode na˜o assumir seu valor me´dio. Por exemplo,
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo
Exemplo: o valor me´dio de f(x) = 4− x em [0, 3] e´
M(f) =
1
a− b
∫ b
a
f(x) dx (43)
=
1
3− 0
∫ 3
0
(4− x) dx (44)
=
1
3
(∫ 3
0
4 dx−
∫ 3
0
x dx
)
(45)
=
1
3
[
4(3− 0)−
(
32
2
− 0
2
2
)]
(46)
= 4− 3
2
=
5
2
. (47)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo
O ponto do dom´ınio dado em que f realmente assume esse valor e´ dado por
4− x = 5
2
(48)
ou seja, x = 32 , que e´ o ponto c do teorema do valor me´dio.
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
Se f(t) for uma func¸a˜o integra´vel em um intervalo finito I, a integral de
a ∈ I ate´ x ∈ I define uma nova func¸a˜o F (x):
F (x) =
∫ x
a
f(t) dt. (49)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o F (x) =
∫ b
a
f(t) dt e´ cont´ınua em [a, b] e
deriva´vel em (a, b) e sua derivada e´ f(x).
F ′(x) =
d
dx
∫ b
a
f(t) dt = f(x) (50)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
Prova:
Usamos a definic¸a˜o da derivada de F (x), quando x e x+ h esta˜o em (a, b):
F ′(x) = lim
h→0
F (x+ h)− F (x)
h
(51)
= lim
h→0
1
h
(∫ x+h
a
f(t) dt−
∫ x
a
f(t) dt
)
(52)
= lim
h→0
1
h
(∫ x+h
a
f(t) dt+
∫ a
x
f(t) dt
)
(53)
= lim
h→0
1
h
(∫ a
x
f(t) dt+
∫ x+h
a
f(t) dt
)
(54)
= lim
h→0
1
h
∫ x+h
x
f(t) dt (55)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
Usamos o teorema do valor me´dio:
1
x+ h− x
∫ x+h
x
f(t) dt =
1
h
∫ x+h
x
f(t) dt = f(c) (56)
Tomamos o limite h→ 0, que significa x+ h→ x e c→ x, ou seja,
f(c)→ f(x),
lim
h→0
f(c) = f(x). (57)
Conclusa˜o:
F ′(x) = lim
h→0
1
h
∫ x+h
x
f(t) dt (58)
= lim
h→0
f(c) = f(x). (59)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar:
1
d
dx
∫ x
a
cos t dt = cosx (60)
2
d
dx
∫ x
0
1
1 + t2
dt =
1
1 + t2
. (61)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exerc´ıcios
Calcular dy/dx, se
1 y =
∫ 5
x
3t sen t dt:
dy
dx
=
d
dx
∫ 5
x
3t sen t dt =
d
dx
(
−
∫ x
5
3t sen t dt
)
(62)
= − d
dx
(∫ x
5
3t sen t dt
)
= −3x senx. (63)
2 y =
∫ x3
1
cos dt:
3 y =
∫ 4
1+3x2
1
2+et dt:
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
Se f(t) e´ cont´ınua em qualquer ponto de [a, b] e se F e´ qualquer primitiva de
f em [a, b], enta˜o ∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a) (64)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
Prova:
A parte 1 do Teorema Fundamental do Ca´lculo nos diz que
G(x) =
∫ x
a
f(t) dt (65)
sendo G(x) a primitiva de f .
Para alguma constante C, temos que F (x) = G(x) + C.
Assim,
F (b)− F (a) = [G(b) + C]− [G(a) + C] (66)
= G(b)−G(a) (67)
=
∫ b
a
f(t) dt−
∫ a
a
f(t) dt (68)
=
∫ b
a
f(t) dt− 0 =
∫ b
a
f(t) dt. (69)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
O Teorema Fundamental do Ca´lculo pode ser reescrito como∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a) (70)
= F (x)
]b
a
(71)
=
[
F (x)
]b
a
(72)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
Exemplos:
1 ∫ pi
0
cosx dx = senx
]pi
0
(73)
= senpi − sen 0 = 0− 0 = 0. (74)
2 ∫ 1
2
0
dx√
1− x2 = arcsenx
] 1
2
0
(75)
= arcsen
1
2
− arcsen 0 = pi
6
− 0 = pi
6
. (76)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule
1 Z 4
1
„
3
2
√
x− 2
x
«
dx (77)
2 Z 1
−1
3x2
p
x3 − 1 dx (78)
3 Z ln 2
0
e3x dx (79)
4 Z pi/4
pi/4
tg x dx (80)
2 Determinar a a´rea delimitada pelo eixo x e pela para´bola y = 6− x− x2.
3 Considere o gra´fico da func¸a˜o f(x) = senx entre x = 0 e x = 2pi. Calcular:
1 a integral definida de f(x) em [0, 2pi]
2 a a´rea entre o gra´fico de f(x) e o eixo x em [0, 2pi].
4 Determinar a a´rea da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de
f(x) = x3 − x2 − 2x, sendo −2 ≤ x ≤ 2.
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exerc´ıcios
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Seja f cont´ınua no intervalo sime´trico [−a, a].
Se f e´ par, enta˜o ∫ a
−a
f(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx. (81)
Se f e´ impar, enta˜o ∫ a
−a
f(x) dx = 0. (82)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Prova:
∫ a
−a
f(x) dx =
∫ 0
−a
f(x) dx+
∫ a
0
f(x) dx (83)
= −
∫ −a
0
f(x) dx+
∫ a
0
f(x) dx (84)
=
∫ −a
0
−f(x) dx+
∫ a
0
f(x) dx (85)
Utilizando a substituic¸a˜o: u = −x e du = −dx,∫ a
−a
f(x) dx =
∫ a
0
f(−u) du+
∫ a
0
f(x) dx. (86)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Se f e´ par, enta˜o f(−x) = f(x),Z a
−a
f(x) dx =
Z a
0
f(u) du+
Z a
0
f(x) dx (87)
= 2
Z a
0
f(x) dx. (88)
Se f e´ ı´mpar, enta˜o f(−x) = −f(x),Z a
−a
f(x) dx = −
Z a
0
f(u) du+
Z a
0
f(x) dx (89)
= 0. (90)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Exemplo: a integral de uma func¸a˜o par∫ 2
−2
(x4 − 4x2 + 6) dx = 2
∫ 2
0
(x4 − 4x2 + 6) dx (91)
= 2
[
x5
5
− 4x
3
3
+ 6x
]2
0
(92)
= 2
(
32
5
− 32
3
+ 12
)
(93)
=
232
15
. (94)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo A´rea entre Curvas
A´rea entre Curvas
Se f e g sa˜o cont´ınuas com f(x) ≥ g(x) ao longo de [a, b], enta˜o a a´rea entre as
curvas y = f(x) e y = g(x) de a ate´ b e´ a integral de (f − g) desde a ate´ b:
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx (95)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determinar a a´rea da regia˜o compreendida entre a para´bola y = 2− x2 e a
reta y = −x.
2 Calcular a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante que e´ limitada acima por
y =
√
x e abaixo pelo eixo x e pela reta y = x− 2.
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	Somas Finitas
	Área
	Aproximação do ponto médio
	Soma de Riemann
	Integral Definida
	Integral definida - Limites da Soma de Riemann
	Notação da Integral Definida
	Propriedades das Integrais Definidas
	Área sob uma curva
	Valor Médio de uma função contínua
	O Teorema Fundamental do Cálculo
	Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1
	Exercícios
	Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2
	Exercícios
	Integrais Definidas de Funções Simétricas
	Área entre Curvas
	Exercícios