Ensaio Academico-Teorema Fundamental do Calculo-Fernando Vahanle.

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VISÕES DOS ESTUDANTES DA UNIVERSIDADE LÚRIO – FACULDADE DE ENGENHARIA, SOBRE O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO E SUA RELAÇÃO COM AS SOMAS DAS ÁREAS RIEMANN. 
Fernando Amade Vahanlé[footnoteRef:2] [2: ] 
Faculdade de Ciências Naturais, Matemática e Estatística-Universidade Rovuma-Moçambique
Resumo: Este ensaio tem por objectivo apresentar as visões dos estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral têm sobre o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com as Somas das áreas Riemann, para tal foi submetido um inquérito no google forms aos estudantes do 2 º e 3 º anos da Universidade Lúrio – Faculdade, o ensaio recupera numprimeiro momento uma breve contextualização histórica sobre oTeorema Fundamental do Cálculo e das Somas de Riemann nos livros textos de Cálculo Diferencial e Integral. Busca-se, a partir da análise de conteúdo, investigar sobre a relação existente entre os dois conteúdos e a seguir apresenta as percepções dos estudantes em relação ao Teorema Fundamental do Cálculo e Somas de Riemann, os resultados obtidos são comentados em nossas considerações finais onde entendemos que sobre o método de Exaustão não houve um aprofundamento por parte dos docentes por falta de obras que abordam detalhadamente sobre o método visto que a assimilação do método de exaustão (Somas de Riemann, por exemplo), cria possibilidade de resolver uma série de problemas importantes da geometria e, pode ser absorver mais profundamente a ideia de limite e serve de óptima introdução para o estudo cálculo integral.
Palavras-chave: Visões; Teorema Fundamental do Cálculo; Método de Exaustão (Somas de Riemmann).
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Abstract:This essay aims to present the views of students who have already learned the Integral Calculus have on the Fundamental Theorem of Calculus (TFC) and its relationship with the Sums of the Riemann areas, for this purpose a survey was submitted on google forms to students of 2nd and 3rd years of Lúrio University - Faculty, the essay recovers at first a brief historical contextualization about the Fundamental Theorem of Calculus and Riemann Sums in the textbooks of Differential and Integral Calculus. Based on the content analysis, we seek to investigate the relationship between the two contents and then present the students' perceptions of the Fundamental Theorem of Calculus and Riemann Sums, the results obtained are commented on in our final considerations where we understand that on the Exhaustion method there was no deepening on the part of the teachers due to the lack of works that deal in detail about the method 
1Licenciado em ensino de Matemática com Habilitações em ensino de Física, pela Universidade Pedagógica de Nampula – Mestrando em Educação/Ensino de Matemática pela Universidade Rovuma.fernando.vahanle@unilurio.ac.mz
since the assimilation of the exhaustion method (Riemann's sums, for example), creates the possibility to solve a series of problems important aspects of geometry and, can be absorbed more deeply the idea of ​​limit and serves as a great introduction to the study of integral calculus.
Keywords: Visions; Fundamental Theorem of Calculus; Exhaustion Method (Riemmann's Sums).
INTRODUÇÃO 
Neste ensaio serão arrolados resultados de uma pesquisa que faz parte de um trabalho realizado para o Módulo de Teorema Fundamental do Cálculo deMestrado em Educação Matemática cujo objectivo foi investigar a visão dos estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral em relação ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com as Somas das áreas Riemann. Desejamos ainda verificar como os autores relacionam os conceitos sobre o TFC eo Método de Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo).
De acordo com (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) o problema de cálculo de área de uma região plana é antigo. Os gregos, há aproximadamente 2.500 anos, já sabiam como encontrar a área de qualquer polígono. A ideia da técnica empregada era dividir o polígono em triângulos ou rectângulos e em seguida somar as áreas obtidas. No caso em que a região plana era qualquer, o método utilizado era o da exaustão, que consiste em inscrever ou circunscrever a figura com polígonos cujas áreas eram conhecidas e melhorar a aproximação da área desejada, aumentando o número de polígonos inscritos ou circunscritos.
A abordagem de (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) em comparação ao (Stewart, 2013) no que concerne a definição do método de exaustão conjuga, porém tenha uma abordagem matemática um pouco diferente. 
No livro de (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) introduz o conceito de supremo ínfimo de um conjunto. E afirma que uma área como sendo igual a medida interna do supremo das áreas e também igual a medida externa do supremo das áreas.
O método de exaustão é uma inspiração das ideias de Eudoxo. Eudoxo, também chamado de Eudoxo de Cnido, nasceu em 408 a.c na antiga cidade grega de Cnido, na Ásia menor (actualmente é Knidos e pertence a Turquia), foi um matemático, astrónomo e filósofo que viveu durante o período clássico grego, que foi marcado por muitas disputas e invasões, que foi o pano de fundo político e social da Grécia nesse período (Eves, 2004).
Por sua vez, (Boyer, 1996) defende que o método de exaustão trabalha com figuras curvilíneas e trata os conceitos dos infinitésimos, o conceito de Soma Superior e Soma Inferior, o que muito influenciaria os criadores do cálculo integral.
O método de exaustão foi uma óptima ferramenta na sua época para aproximar-se do cálculo integral. E teve um impacto muito grande nas futuras gerações para a formalização do cálculo.
Portanto, todos autores convergem para o mesmo ponto quanto ao método de exaustão.
O (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) aborda as somas de Riemann de uma forma mais fechada sem comentar tanto do método, apenas se ocupando nos lemas e provando-os. Enquanto (Stewart, 2013) tem uma didáctica mais acessível e directa. E mostra de forma discreta uma relação (de semelhança) entre as somas de Riemann e o método de exaustão de Eudoxo-Arquimedes. E ainda acrescenta que, dependendo do grau de precisão (número de partições) a soma de Riemann aproxima-se do valor real da integral definida o que é verdade também no método de exaustão de Eudoxo-Arquimedes.
Flemming e Gonçalves (s.d), por sua vez, assim como demais autores, a soma de Riemann é definida pela seguinte soma:
Segundo Flemming e Gonçalvez (s.d), o teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Ele nos diz que conhecendo a primitiva de uma função contínua , Podemos calcular a sua integral definida . Com isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos que envolvem o cálculo de integral definida.
Sendo que uma integral definida pode ser apresentada como o limite de somas
E que o TFC pode ser usado para resolver problemas evolvendo integrais definidas de acordo com Diva Maria Flaming e Mirian Buss Gonçalves, notamos uma relação entre a soma de Riemann (que é a soma apresentada pelo limite) e o TFC visto que ambos podem ser usados para o mesmo propósito, apesar de que a soma de Riemann não nos fornece a solução exata do problema, ele nos fornece uma aproximação em que pra obtemos o valor exato precisamos calcular o limite da soma (soma de Riemann).
Foi Com Newton e Leibniz que se achou a relação entre o cálculo integral e diferencial. E essa descoberta formou o teorema fundamental do cálculo, tal como (Stewart, 2013) explica:
O nome Teorema Fundamental do Cálculo é apropriado, pois ele estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O mentor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descobriu que esses dois problemas estão, na verdade, estreitamente relacionados. Ele percebeu que a derivação e a integração são processos inversos. O Teorema Fundamental do Cálculo dá a relação inversaprecisa entre a derivada e a integral. Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorema Fundamental os capacitava a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de somas (…). (Stewart, 2013).
E (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) também dá o crédito aos dois cientistas, Leibniz e Newton como os desenvolvedores sistemáticos do cálculo e ainda acrescenta que o uso do TFC é vantajoso:
Calcular integrais definidas usando somas de Riemann é trabalhoso, mesmo para funções simples (…) o Teorema Fundamental do Cálculo que estabelece uma conexão entre as operações de derivação e integração. Este teorema permite encontrar a integral definida, para uma certa classe de funções, de maneira rápida e simples sem utilizar limites de somas (…) Este teorema foi estabelecido independentemente por Sir Isaac Newton (1642-1727) na Inglaterra e GottfriedLeibniz (1646-1716) na Alemanha. (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012).
Isaac Barrow desenvolveu uma abordagem do cálculo diferencial muito próxima da que conhecemos actualmente. Na concepção de (Eves, 2004)Barrow foi o primeiro a perceber de maneira plena que a diferenciação e a integração são operações inversas, tais constatações aparecem provadas em suas obras Lectiones. Ou seja, Barrow, que foi professor de Newton, apesar de não ter formalizado, é pioneiro nas constatações das ideias centrais do TFC.
(Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012) é mais simplista demonstrando a primitividade de uma função e só apresenta um teorema:
O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado para calcular a integral definida de uma função , quando se conhece uma primitiva de . No que segue (…) toda função contínua em [a,b] possui uma primitiva. (Batista, Toma, Fernandes, & Janesch, 2012)
O (Stewart, 2013) reparte o teorema em TFC1 e TFC2:
(…) Abreviamos o nome deste teorema por TFC1. Em palavras, ele afirma que a derivada de uma integral definida com relação a seu limite superior é seu integrando calculado no limite superior (…) A Parte 2 do Teorema Fundamental afirma que se conhecermos uma primitiva de , então poderemos calcular simplesmente subtraindo os valores de nas extremidades do intervalo [a,b]. (Stewart, 2013)
Da Costa e Guerra (2009) , mencionam que o Teorema Fundamental do Cálculo permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de uma função f (x) integrável no intervalo fechado [a, b], podemos calcular a sua integral.
Estes dois autores que escreveram o livro com o título Cálculo I Final, não abordam nada sobre a relação existente entre as somas de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo duma forma explicita. Eles dizem no final do trecho apresentado acima que “o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, conhecendo uma função primitiva de uma função f(x) integrável no intervalo fechado [a, b], podemos calcular a sua integral”, o que nos leva afirmar que referem-se a integral definida da referida função f(x) com a e b como limites de integração o que podemos escrever como uma soma de Riemann.
A soma de Riemann, embora usadas no cálculo de áreas limitadas de uma função usando conceito de limite, não foi esse o motivo para o qual que ela foi desenvolvida, ela foi desenvolvida para a formalização do cálculo integral pelo alemão Bernhanrd Riemann (1826-1866) que realizou um estudo mais aprofundado sobre a integral e formulou a definição actual da integral, nos padrões da análise moderna conforme Lima (2012) cited by (Da Silva, Eloi, & Goldfarb).
O trecho acima aprsenta-nos mais uma relação do teorema fundamental do Cálculo com a soma de Riemann, visto que a soma de Riemann foi desenvolvida com o principal objetivo da formalização do integral, um dos principais elementos que compõe o Teorema Fundamental do Cálculo.
Em todas as passagens apresentadas e comentadas acima podemos notar que os autores abordam a cerca da relação existente entre o teorema fundamental do cálculo e soma de Riemann de diferentes maneiras e em diferentes aspetos. Sempre que se aborda sobre o Teorema fundamental do Cálculo, nunca falta abordar-se sobre a Soma de Riemann. Em todos os manuais que foram citados nas passagens acima sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, a soma de Riemann é apresentada para cálculo de área de forma exaustiva como forma de introdução ao TFC que facilita o processo.
METODOLOGIA
A pesquisa foi desenvolvida a partir da percepção dos estudantes do 2 º e 3 º anos da Universidade Lúrio – Faculdade de Engenharia, sobre Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e Somas de Riemann e a relação existente entre TFC e SR. A primeira fase deste trabalho consistiu no estudo e na pesquisa bibliográfica da história do Cálculo Integral, visando aprofundar os conhecimentos a respeito do Teorema Fundamental do Cálculo e Somas de Riemann, Num segundo momento analisar e discutir os dados colhidosde um inquérito submetido aos estudantes através do Google Forms cujo objectivo foi investigar àpercepção que os mesmo estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral possuem em relação ao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com as Somas das áreas Riemann.
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS COLECTADOS 
Para fazer análise e interpretação dos dados obtidos com a aplicação do inquérito, optamos em analisar cada questão e ilustrar os gráficos obtidos atravésdo Google Forms. Apresentamos a seguir um relato resumido de resultados obtidos na pesquisa, destacando os factos que consideramos mais relevantes. 
Questão 1:Você aprendeu sobre as somas das áreas Riemann (Também conhecido como somatório de Riemann)?
Com esta questão, pretende-se saber se os estudantes aprenderam as somas de riemann, dos 26 inqueridos 22 estudantes responderam que aprenderam e 4 estudantes disseram que não aprenderam, para os que aprenderam 20 estudantes aprenderam na universidade e 2 estudantes pesquisaram em casa, tal como se pode, tal como se pode ver nas imagens abaixo:
Imagem 2: 	 Imagem 2.1: 
As respostas obtidas na questão 1, nos remetem ao entendimento de que os estudantes aprenderam somas de riemann visto que mais de 70% dos estudantes afirmam que aprenderam na universidade e os outros além de aprenderem na universidade, através da internet em casa foram pesquisar sobre as somas de riemann para melhorar a aprendizagem. 
Questão 2: Você Aprendeu sobre Teorema Fundamental do Cálculo? 
Esta questão tem como intuito, saber dos estudantes se aprenderam sobre o teorema fundamental do cálculo, sendo que as respostas obtidas traduzem-se pelas imagens dos gráficos seguintes: 
 Imagem 3: Imagem 3.1: 
Para esta questão, perto de 95% dos estudantes afirmam que, aprenderam sobre o teorema fundamental do cálculo na universidade. As respostas dadas pelos inquiridos para esta questão, remeti-nos à acreditar que eles aprenderam melhor sobre o teorema fundamental do cálculo sem recorrer a internet.
Questão 3: Qual é o seu nível de Percepção sobre o Somatório de Riemann?
A questão número 3 objectiva aferir o nível de percepção sobre o somatório de Riemann, sendo os resultados representado pelo gráfico abaixo:
 Imagem 4: 	
Questionados sobre o nível de percepção sobre o somatório de Riemann, pouco menos de 30% dos inquiridos responderam que entendiam o suficiente, pouco mais de 40% dos estudantes afirmaram que percebiam pouco, e quase 8% deles afirmaram que nada percebiam e 19% dos estudantes afirmaram que percebiam tudo, deixando de forma clara evidente que os estudantes não perceberam sobre o somatório de Riemann. O outro cenário provável é os docentes, não terem aprofundado sobre o conteúdo e os estudantes não manifestarem o interesse em pesquisar sobre o somatóriode Riemann. 
Questão 4: Qual é o seu nível de percepção sobre o Teorema Fundamental de Cálculo? A questão número 4 objectiva aferir o nível de percepção sobre o teorema fundamental do cálculo, sendo os resultados representado pelo gráfico abaixo: Imagem 5	
Questionados sobre o nível de percepção sobre o teorema fundamental do cálculo, mais de 40% dos inquiridos responderam que entendiam o suficiente, pouco mais de 25% dos estudantes afirmaram que percebiam pouco, e quase 8% deles afirmaram que nada percebiam e 23% dos estudantes afirmaram que percebiam tudo, deixando de forma clara evidente que os estudantes perceberam sobre o teorema fundamental do cálculo. Ficou claro que os docentes, em relação ao teorema fundamental do cálculo foi um conteúdo muito aprofundado e os estudantes manifestaram interesse em pesquisar sobre o conteúdo. 
Questão 5:Você acha que existe uma relação entre o Teorema Fundamental de Cálculo e o Somatório de Riemann?
Na quinta questão do inquérito, pretende-se saber se o estudante sabe da relação existente entre o teorema fundamental do cálculo e o somatório de Riemann e as respostas obtidas traduzem-se no gráfico seguinte:
Imagem 6: 	
Para esta questão, mais de 90% dos estudantes afirmam saber da existência da relação entre o teorema fundamental do cálculo e o somatório de Riemann. 
Questão 6: A interpretação geométrica da integral definida pode ser feita. 
Com esta questão, pretende-se saber se os estudantes mostrariam que entendem o conceito integral definida num certo intervalo fechado e que a interpretação geométrica podia ser notada de uma forma teórica conhecendo os conceitos da definição de integrais como limite de somas de Riemann. Pois as áreas de soma de Riemann embora com algumas limitações demonstram geometricamente como é feito o cálculo da área limitada por uma curva. Sendo os resultados representado pelo gráfico abaixo:
Imagem 7:
As respostas obtidas na questão 6, nos remetem ao entendimento de que os estudantes entendem o conceito integral definida num certo intervalo fechado e que a interpretação geométrica podia ser notada de uma forma teórica conhecendo os conceitos da definição de integrais como limite de somas de Riemann, visto que mais de 60% dos estudantes responderam correctamente esta questão.
Questão 7: O cálculo da área limitada por uma curva numa região variável [a,b] de uma função integrável mostra-se mais simples e exata recorrendo.
O objectivo desta questão é de perceber se os estudantes entendem as limitações das somas de Riemann para funções por exemplo transcendentais e o exaustivo cálculo necessário para se chegar a uma aproximação muito fiel. Por outro lado, o teorema fundamental do cálculo torna mais simples o cálculo de integrais definidas conhecendo a sua derivada. As respostas obtidas foram traduzidas pelo gráfico abaixo:
Imagem 8:
Para esta questão,38,5% dos estudantes afirmam que, percebem as limitações das somas de Riemann para funções por exemplo transcendentais e o exaustivo cálculo necessário para se chegar a uma aproximação muito fiel e perto 62% dos estudantes não percebem as limitações das somas de Riemann isso pode ser consequência directa da falta de aprofundamento sobre o somatório de Riemann por parte dos docentes, e estudantes.
Questão 8: O teorema fundamental do cálculo mostra que.
A questão número 8 objectiva aferir se o estudante conhecendo o teorema fundamental do cálculo e o método de exaustão (somas de Riemann, por exemplo) esperava-se que o estudante soubesse o quão útil é o TFC (teorema fundamental do cálculo) em relação ao método de exaustão e notasse a relação muito íntima existente entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, visto que a diferenciação é o processo inverso da integração (vice-versa). Os resultados representado pelo gráfico abaixo:
Imagem 9:
Questionados sobre a utilidade do TFC (teorema fundamental do cálculo) em relação ao método de exaustão o somatório de Riemann, 50% dos inquiridos afirmam existir uma relação entre o teorema fundamental do cálculo e o método de exaustão que é usado para o cálculo de áreas ou volumes de regiões usando um cálculo previamente conhecido, obtendo uma melhor aproximação do valor da área. 
Conclusões 
De acordo com as respostas colhidas do inquérito dirigido aos estudantes da Universidade Lúrio – Faculdade de Engenharia, sobre suas percepções em relação à teorema fundamental do calculo e sua relação com as somas das áreas de Riemann chegamos às seguintes conclusões:
· Os estudantes têm um conhecimento significativo sobre o teorema fundamental do cálculo e em relação ao somatório de Riemann eles mostraram possuir pouco conhecimento;
· Os estudantes mostraram saber da existência da relação entre o teorema fundamental do cálculo e o somatório de Riemann, com base na relação muito íntima existente entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, visto que a diferenciação é o processo inverso da integração (vice-versa); 
· Os docentes em relação ao método de exaustão, eles não aprofundaram o conteúdo por falta de obras, manuais que abordam sobre o assunto;
· A assimilação do método de exaustão (somas de Riemann, por exemplo) , é um conceito útil, porque cria possibilidade de resolver uma série de problemas importantes da geometria e, pode ser absorver mais profundamente a ideia de limite e serve de óptima introdução para o estudo cálculo integral.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresente pesquisa teve como finalidade mostrar visões dos estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral têm sobre o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com o Método de Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo). Possibilitou-nos investigar e analisar através de uma pesquisa bibliográfica o enfoque como diferentes autores fazem as abordagens em relaçãoao Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com o Método de Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo).
Ao iniciar essa pesquisa pudemos verificar como os diferentes autores abordam o Teorema Fundamental do Cálculo e as Somas das Áreas Riemann,em todas as passagens apresentadas e comentadas acima podemos notar que os autores abordam a cerca da relação existente entre o teorema fundamental do cálculo e soma de Riemann de diferentes maneiras e em diferentes aspetos. Sempre que se aborda sobre o Teorema fundamental do Cálculo, nunca falta abordar-se sobre a Soma de Riemann. Em todos os manuais que foram citados nas passagens acima sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, a soma de Riemann é apresentada para cálculo de área de forma exaustiva como forma de introdução ao TFC que facilita o processo.
Para o autor James Stewart, apresenta um conteúdo bem didáctico e de forma rigorosa os teoremas. O método de exaustão é explicado de uma forma rápida na página 2 sem mesmo demostrar na prática como suceder. E alertam que será praticado e entendido melhor no capítulo 5,A soma de Riemann é apresentada em 5.2, na página 337 e relaciona-se com a integral de uma função contínua no intervalo definido.Para os restantes autores citado neste trabalho apresentam um conteúdodifícil percepção sobreo Método de Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo) comparado com o livro de Stewart. Embora seja de difícil percepção apresentam vários detalhes indispensáveis.
No decorrer do trabalho, importou-nos investigar sobre as visõeso dos estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral têm sobre o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e sua relação com o Método de Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo) por meio de um inquérito, dos resultados obtidos levou- nos à acreditar que os estudantes têm um conhecimento significativo sobre o teorema fundamental do cálculo e em relação ao somatório de Riemanneles mostraram possuir pouco conhecimento e por parte dos docentes em relação ao método de Exaustão, eles não aprofundaram o conteúdo por falta de obras, manuais que abordam sobre o assunto de uma forma mais detalhada.
Por tanto, podemos considerar que a assimilação do método de exaustão (somas de Riemann, por exemplo), é um conceito útil,porque cria possibilidade de resolver uma série de problemas importantes da geometria e, pode ser absorver mais profundamente a ideia de limite e serve de óptima introdução para o estudo cálculo integral.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
ÁVILA, G. Arquimedes, o Rigor e o Método in Matemática Universitan. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. São Paulo, 1986, v. 4. ______. Introdução à Análise Matemática. Editora EdgardBiücherLtda, São Paulo, 1993.
BARROS, R. M. & MELONI, L. G. P. (2006). O Processo de Ensino e Aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral por meio de Metáforas e Recursos Multimídia. Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, 34. 
BATISTA, E., TOMA, E. Z., FERNANDES, M. R., & JANESCH, S. M. (2012). Cálculo II. Florianópolis: UFSC.
BOYER, C. B. (1996). História da matemática (2 ed.). São Paulo: Blucher.
DA COSTA, G. A., & GUERRA, F. (2009). Cálculo I. Florianópolis.
DA SILVA, C. B., Eloi, C. Q., & GOLDFARB, M. C. (s.d.). Somas de Riemann e Teorema Fundamental: Contextalização em livros de Cálculo.
EVES, H. (2004). Introdução à História da Matemática. Tradução: HigynoHugueiros Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP. 
FLEMMING, D. M., & Buss, M. G. (s.d.). Cálculo A. (6ª).
LIMA, L. J. G. (2012). Da Integral de Riemann para a Integral de Lebesgue. Trabalho de Conclusão de Curso. Belo Horizonte: Universidade Federal de Minas Gerais. 
STEWART, J. (2013). Cálculo (7ª ed.). (A. C. Moretti, & A. C. Martins, Trads.) America do Norte: Cengage Learning Edições.
OLIVEIRA, Vanessa Castro de; OLIVEIRA, Cristiano Peres; VAZ, Francieli Aparecida – A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM. Encontro Regional de Estudantes de Matemática da Região Sul, 2014. Bagé/RS, Brasil. 2014. 
APÊNDICE 
Inquérito sobre as visões dos estudantes que já aprenderam o Cálculo Integral têm sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e sua relação com as Somas das Áreas Riemann:Universidade Lúrio-Faculdade de Engenharia. 
Nível:		ano.
Caro(a) Estudante! O presente inquérito é referente a uma pesquisa concernente à percepções dos estudantes sobre as aulas de cálculo integral em relação ao teorema fundamental do cálculo e sua relação com as somas das areas Riemann na cadeira de Cálculo I, com o objectivo de fazer um ensaio acadêmico para o Módulo de Teorema Fundamental do Cálculo do Mestrado em Educação Matemática-Unirovuma. 
Marque com x o quadradinho que corresponde a sua resposta ou preencha os espaços em branco.
Você aprendeu sobre as somas das áreas Riemann (Também conhecido como somatório de Riemann)?
Sim 		Não 	
Se sim, onde você aprendeu?
Na Universidade Em Casa ou Biblioteca (sem uso de internet) 	Na Internet		
Você aprendeu sobre o teorema fundamental do Cálculo?
Sim 		Não 	
Se sim, onde você aprendeu?
Na Universidade Em Casa ou Biblioteca (sem uso de internet) 	Na internet 		
Qual é o seu nível de percepção sobre o somatório de Riemann?
Percebi Pouco 	Percebi tudo 	Nada percebi		Percebi o suficiente 
Qual é o seu nível de percepção sobre o teorema fundamental do Cálculo?
Percebi Pouco 	Percebi tudo 	Nada percebi		Percebi o suficiente
Você acha que existe uma relação entre o teorema fundamental do Cálculo e o Somatório de Riemann?
Sim 		Não 
A interpretação geométrica da integral definida pode ser feita:
A partir da definição de limite 
A partir da definição de integrais como teorema fundamental do cálculo 
A partir da definição de integrais como limite de somas de Riemann 
Nenhuma das alternativas 
O cálculo da área limitada por uma curva numa região variável [a,b] de uma função integrável mostra-se mais simples e exata recorrendo:
O teorema fundamental do cálculo 
Integral de Riemann 
Depende do tipo de função 
O teorema fundamental do cálculo mostra que:
Se uma determinada quantidade de área pode ser calculada por Exaustão (Somas de Riemann, por exemplo), então pode ser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivação, entendida como o processo de achar uma função conhecendo-se a sua derivada. 
A segunda derivada de uma função definida num intervalo [a, b] demostra que f’(b) – f’(a) é igual a F(b) - F(a) (sendo F(x) a antiderivada de f(x) que é uma área da função f(x) no intervalo [a, b]. .
Qualquer primitiva de f(x) servirá para cálculo da .