Integral - Sandro Lúcio

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Integral - Agronomia
Sandro Lúcio Silva Júnior
Agronomia
Email: sandrolsj700@gmail.com
Junho de 2020
mailto:sandrolsj700@gmail.com
Nota do Autor
Caro leitor, esse material tem como intuito facilitar o aprendizado dos cálculos de Integral
estudados em Agronomia, caso você encontre algum erro neste material, ou se tiver alguma
sugestão para melhorá-lo e alguma dúvida, favor enviar-me um e-mail:
sandrolsj700@gmail.com.
Junho de 2020
Muito Obrigado!
mailto:sandrolsj700@gmail.com
Sumário
1 - O que é Integral?;
2 - Integral Indefinida (Cálculo I);
2.1 - Tabela das Principais Integrais Elementares;
2.2 - Propriedades da Integral Indefinida;
2.3 - Exercícios Exemplos;
3 - Integral Definida (Cálculo II);
3.1 - Exercícios Exemplos;
3.2 - Cálculo de Área;
(eixo das ordenadas)
(eixo das abcissas)
1 - O que é Integral?
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge
naturalmente em dezenas de problemas da física, como por exemplo na
determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida
a sua velocidade instantânea em todos os instantes. O processo de se calcular a
integral de uma função é chamado de integração.
Exemplo Aplicação - Agronomia
• Calcular a área de uma fazenda.
Definição mais simples possível:
• É uma ferramenta usada para calcular área abaixo de uma curva.
2 - Integral Indefinida (Cálculo I)
• Para estudo da integral, primeiro é trabalhado a integração indefinida, que
consiste no processo inverso da derivação (Cálculo I).
Definição: primitiva = F(x): função que gera outra função F(x) = ∫ f(x) 
Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) se F’(x) = f(x).
F(x) é também chamada de anti-derivada.
▪ Exemplo: F(x) é primitiva (anti-derivada) de f(x)
F(x) f(x)
x 1
2x2 4x
cosx - senx
x3 + 2 3x2
F(x) f(x)
x - 2 1
senx cosx
senx - 1 cosx
x4 + 5 3x3
• Derivada e Integral → um é o processo inverso do outro.
• Exemplo:
- Função: 2x2 Derivada de 2x2 = 2.(2x2-1) = 4x
Integral de 4x = 4x2 = 2x2
2
Definição:
• Tipo (Fórmula): ∫ f(x)dx = F(x) + C
• Onde:
∫ = integral da função
F(x) = antiderivada ou primitiva de f(x)
dx = é a diferencial que serve para identificar a variável da função 
C ou K = constante indeterminada
2.1 - Tabela das Principais Integrais Elementares
Tabela das Principais Integrais Elementares
1) ∫ dx = x + C 5) ∫ ex dx = ex + C
2) ∫ 1 dx ou ∫ dx = ln(x) + C
x x
6) ∫ senx dx = - cosx + C
3) ∫ xa dx = x(a+1) + C
(a+1) 
7) ∫ cos dx = senx + C
4) ∫ ax dx = ax + C
lna
8) ∫ tgx dx = ln(secx) + C
2.2 - Propriedades da Integral Indefinida
• Tipo:
1ª) ∫ K . f(x) dx = k. ∫ f(x) dx
2ª) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• Exemplo:
1ª a) ∫ 11.(3x2 + x - 1) dx = 11. ∫ (3x2 + x - 1) dx
1ª b) ∫ 2/3.sen(4y + 2) dy = 2/3 ∫ sen(4y + 2) dy
2ª c) ∫ [(2x + 1) + (x2 + x + 5)] dx = ∫ (2x + 1) dx + ∫ (x2 + x + 5) dx
2ª d) ∫ [(x – 8) + senx] dx = ∫ (x – 8) dx + ∫ senx dx
2.3 - Exercícios Exemplos
• Ao término de uma integral indefinida acrescenta-se ao resultado uma
constante (C ou K). A acrescentação da constante pode ser qualquer uma.
Calcule as integrais indefinidas:
a) ∫ x3 dx
I = x4 + C
4 
b) ∫ 12x5 dx 
I = 12x6
6
I = 2x6 + K
c) ∫ senx dx
I = - cosx + C
d) ∫ senƟ dƟ
I = - cosƟ + K
e) ∫ (4x3 - 9x2 + 2x + 12) dx
I = 4x4 - 9x3 + 2x2 + 12x
4 3 2 
I = x4 - 3x3 + x2 + 12x + C 
f) ∫ (6x2 + 8ex - 1) dx
I = 6x3 + 8ex - 1x
3
I = 2x3 + 8ex - x + K
g) ∫ x6 dx
I = x7 + C
7
h) ∫ (x2 + 6x -8) dx
I = x3 + 6x2 - 8x
3 2
I = x3 + 3x2 - 8x + K
3
Resolva “1º Lista de Exercícios - Integral - Indefinida”
1º Lista de Exercícios - Integral - Indefinida.pdf
3 - Integral Definida (Cálculo II)
• Em seguida, trata-se a integral definida (Cálculo II), que é a integral
propriamente dita, e sua relação com o problema de determinar a área de uma
figura plana.
• Sua resolução é a mesma de uma integral indefinida. A diferença é que na
integral definida, após finalizar sua resolução, atribuímos valores à variável e
não se acrescenta mais uma constante (C ou K).
Definição:
• Tipo (Fórmula): ∫𝐛
𝐚
𝐟(x) dx
• Onde:
∫ = integral da função
a e b = intervalo da função (limites inferior e superior)
f(x) = integrando
3.1 - Exercícios Exemplos
Calcule as integrais definidas:
a) ∫𝟎
𝟐
6.x2 dx
I = 6.x3
2
0
3
I = 2.x3 
2
0
I = 2.(2)3 - [2.(0)3]
I = 16 - 0
I = 16 
b) ∫𝟏
𝟐
8.x - 3 dx
I = 8.x2 - 3.x 
2
1
2
I = 4.x2 - 3.x 
2
1
I = 4.(2)2 - 3.(2) - [4.(1)2 - 3.(1)]
I = 16 - 6 - (4 - 3) 
I = 16 - 6 - 4 + 3
I = 9
Resolva “2º Lista de Exercícios - Integral - Definida”
2º Lista de Exercícios - Integral - Definida.pdf
3.2 - Cálculo de Área
• Cálculo da área A de uma função qualquer em um determinado intervalo a < x 
< b. u.a = unidade de área
*** não existe área negativa
• A área S (ou A) da figura será dada pela integral definida: ∫𝒃
𝒂
𝒇(x) dx
Calculando com duas funções:
• Tipo (Fórmula): A = ∫𝐛
𝐚
[𝐟(x) - g(x)] dx
• Onde:
A = área
∫ = integral da função
a e b = intervalo da função (limites inferior e superior)
f(x) = é uma reta
g(x) = é uma parábola
Exemplo: A = ∫b
a
[f(x) - g(x)] dx
• f(x) = 3x + 2 e g(x) = x2 intervalos: 0 ≤ x ≤ 1
A = ∫0
1
(3.x + 2 - x2) dx
A = 3.x2 + 2.x - x2
1
0
2
A = 3.(1)2 + 2.(1) - (1)2 - [ 3.(0)2 + 2.(0) - (0)2]
2 2
A = 3 + 2 - 1 - [0] 
2 3
A = 9 + 12 – 2
6 
A = 19 u.a
6
Calculando sem os intervalos: a e b
∫𝑎
𝑏
(4 - x2) dx
1º) Descobrir o intervalo de integração [a, b] pela fórmula de bhaskara → y = 0
4 – x2 = 0 𝐱 =
−𝐛 ± 𝐛𝟐−𝟒.𝐚.𝐜
𝟐.𝐚
-x2 = -4
x = ± - √4
x’ = - 2
x” = 2
2º) ∫−2
2
(4 - x2) dx
A = 4.x - x3
2
−2
3
A = 4.(2) - (2)3 - [4.(-2) - (-2)3 ]
3 3
A = 8 - 8 - [-8 + 8 ]
3 3
A = 8 - 8 + 8 - 8) 
3 3
A = 16 - 16
3
A = 32 u.a
3
Resolva “3º Lista de Exercícios - Integral - Definida - Cálculo De Área”
3º Lista de Exercícios - Integral - Definida - Cálculo De Área.pdf
Referências
• FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Livro: Cálculo
A: Funções, Limite, Derivação e Integração. 6. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2006. 448 p ISBN 9788576051152 (broch.).
• Assista: Youtube/omatematico.com: Curso Rápido de Integrais: 
https://www.youtube.com/watch?v=m1Rl2zDwgos&list=PLE6qFDd4x9w-
OeOgr2vL_HZygXVX_pd8Q&index=2&t=0s
• Wikipédia. Integral. Disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral#C%C3%A1lculo_de_integrais
https://www.youtube.com/watch?v=m1Rl2zDwgos&list=PLE6qFDd4x9w-OeOgr2vL_HZygXVX_pd8Q&index=2&t=0s
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral#C%C3%A1lculo_de_integrais