aplicação de derivada

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Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas
Prof. Dr. Josinaldo Menezes
EC&T - UFRN
10 de maio de 2013
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas 10 de maio de 2013 1 / 44
Extremos de Func¸o˜es Ma´ximos e M´ınimos Absolutos
Ma´ximos e M´ınimos Absolutos
Seja f uma func¸a˜o de dom´ınio D. Enta˜o
f tem um valor ma´ximo absoluto em D em um ponto c se f(x) ≤ f(c), para
qualquer x em D
f tem um valor m´ınimo absoluto em D no ponto c se f(x) ≥ f(c), para
qualquer x em D.
Ma´ximos e m´ınimos absolutos sa˜o chamados extremos absolutos.
Ma´ximos e m´ınimos absolutos sa˜o tambe´m chamados ma´ximos e m´ınimos
globais ou extremos globais.
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Extremos de Func¸o˜es Ma´ximos e M´ınimos Absolutos
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Extremos de Func¸o˜es Exerc´ıcio
Exerc´ıcio
Seja a func¸a˜o y = x2. Analisar a existeˆncia de extremos globais nos intervalos:
1 auseˆncia de ma´ximo absoluto e presenc¸a de m´ınimo absoluto 0 em x = 0 no
intervalo D = (−∞,∞).
2 ma´ximo absoluto 4 em x = 2 e m´ınimo absoluto 0 em x = 0 no intervalo
D = [0, 2].
3 ma´ximo absoluto 4 em x = 2 e auseˆncia de m´ınimo absoluto no intervalo
D = (0, 2].
4 auseˆncia de extremos globais no intervalo D = (0, 2).
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Extremos de Func¸o˜es Exerc´ıcio
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Extremos de Func¸o˜es O Teorema do Valor Extremo
O Teorema do Valor Extremo
Seja f e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], enta˜o f assume tanto um valor
ma´ximo M como um valor m´ınimo m em [a, b].
Ha´ nu´meros x1 e x2 em [a, b] tais que f(x1) = m e f(x2) =M e
m ≤ x ≤M para qualquer outro valor de x em [a, b].
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Extremos de Func¸o˜es Extremos Locais ou Relativos
Extremos Locais ou Relativos
Uma func¸a˜o f tem um valor ma´ximo local em um ponto interior c de seu
dom´ınio se f(x) ≤ f(c), para qualquer x em um intervalo aberto que
contenha c.
Uma func¸a˜o f tem um valor m´ınimo local em um ponto interior c de seu
dom´ınio se f(x) ≥ f(c), para qualquer x em um intervalo aberto que
contenha c.
Uma lista contendo todos os ma´ximos e m´ınimos locais incluira´ tambe´m os
ma´ximos e m´ınimos absolutos, se houver.
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Extremos de Func¸o˜es Primeiro Teorema da Derivada para Valores de Extremos Locais
Primeiro Teorema da Derivada para Valores de Extremos
Locais
Se f possui um valor ma´ximo ou m´ınimo local em um ponto c interior de seu
dom´ınio e se f ′ e´ definida em c, enta˜o
f ′(c) = 0.
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Extremos de Func¸o˜es Primeiro Teorema da Derivada para Valores de Extremos Locais
Prova: Se f(c) e´ um ma´ximo local, enta˜o f(x)− f(c) ≤ 0:
Para (x− c) > 0, temos f(x) ≤ 0 e
f ′(c) = lim
x→c+
f(x)− f(c)
x− c ≤ o
Para (x− c) < 0, temos f(x) ≤ 0 e
f ′(c) = lim
x→c+
f(x)− f(c)
x− c ≥ o
Assim, f ′(c) = 0.
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Extremos de Func¸o˜es Pontos Cr´ıticos e Extremos Absolutos
Pontos Cr´ıticos e Extremos Absolutos
Um ponto interior do dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´ zero ou indefinida
e´ um ponto cr´ıtico de f .
Para calcular os extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f em um
intervalo fechado e finito:
1 Calculamos f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2 Tomamos o maior e o menor dentre os valores obtidos.
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Extremos de Func¸o˜es Pontos Cr´ıticos e Extremos Absolutos
Exemplo: Considerando a func¸a˜o y = x2, os valores ma´ximo e m´ınimo absolutos
no intervalo [−2, 1] sa˜o encontrados fazendo-se
A func¸a˜o e´ deriva´vel em todo intervalo → na˜o ha´ f ′(x)→ ±∞.
Como f ′(x) = 2x = 0, o u´nico ponto cr´ıtico e´ x0 = 0.
Os valores de f nos pontos cr´ıticos nas extremidades sa˜o f(0) = 0,
f(−2) = 4 e f(1) = 1.
A conclusa˜o e´:
O valor ma´ximo absoluto e´ 4 em x = −2.
O valor m´ınimo absoluto e´ 0 em x = 0.
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Extremos de Func¸o˜es Teorema de Rolle
Teorema de Rolle
Suponha que y = f(x) seja cont´ınua em todos os pontos do intervalo fechado
[a, b] e deriva´vel em todos os pontos de seu interior (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o
ha´ pelo menos um m´ınimo c em (a, b) no qual
f ′(c) = 0
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Extremos de Func¸o˜es Teorema de Rolle
Exemplo: na func¸a˜o polinomial f(x) = x
3
3 − 3x, o teorema de Rolle e´ notado
nos pontos
f ′(x) = x2 − 3 = 0
ou seja, x = ±√3.
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Extremos de Func¸o˜es Teorema do Valor Me´dio
Teorema do Valor Me´dio
Suponha que y = f(x) seja cont´ınua em todos os pontos do intervalo fechado
[a, b] e deriva´vel em todos os pontos de seu interior (a, b). Enta˜o ha´ pelo menos
um ponto c em (a, b) em que
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c)
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Extremos de Func¸o˜es Teorema do Valor Me´dio
Prova: Considerando o gra´fico da figura abaixo, a reta g(x) e´
g(x) = f(a) +
f(b)− f(a)
b− a (x− a).
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Extremos de Func¸o˜es Teorema do Valor Me´dio
A func¸a˜o h(x) = f(x)− g(x) e´
h(x) = f(x)− g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)
b− a (x− a).
Com h(x) obedecendo ao Teorema de Rolle com h(a) = h(b) = 0,
h′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)
b− a = 0
ou seja,
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
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Extremos de Func¸o˜es Teorema do Valor Me´dio
Exemplo: Considerando f(x) = x2 e o intervalo 0 ≤ x ≤ 2, temos
f(x) = x2 e´ deriva´vel para (0, 2).
f(0) = 0 e f(2) = 4.
Assim, f ′(x) = 2x e f ′(c) = 2c = 4−02−0 = 2, ou seja, c = 1.
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos
quaisquer em I.
1 Se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, enta˜o f e´ crescente em I.
2 Se f(x2) < f(x1) sempre que x1 < x2, enta˜o f e´ decrescente em I.
Uma func¸a˜o crescente ou decrescente em I e´ chamada monotoˆnica em I.
O intervalo I pode ser finito ou infinito.
Em outra notac¸a˜o usa-se ≤ para crescente e < para estritamente crescente.
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = x2:
e´ crescente no intervalo (−∞, 0].
e´ decrescente no intervalo [0,∞).
e´ monotoˆnica no intervalo (−∞, 0]U [0,∞).
na˜o e´ monotoˆnica no intervalo (−∞,∞).
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Teste da Primeira Derivada e as Func¸o˜es Crescentes de Decrescentes
Teste da Primeira Derivada e as Func¸o˜es Crescentes de
Decrescentes
Suponha que f seja cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b):
1 Se f ′(x) > 0 em qualquer ponto x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente em [a, b].
2 Se f ′(x) < 0 em qualquer ponto x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente em [a, b].
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Teste da Primeira Derivada e as Func¸o˜es Crescentes de Decrescentes
Exemplo: seja a func¸a˜o f(x) = x3 − 12x− 5
f ′(x) = 3x2 − 12 = 0 indica que os pontos cr´ıticos sa˜o x = ±2.
No intervalo −∞ < x < −2 a func¸a˜o e´ crescente pois f ′(x) > 0.
No intervalo −2 < x < 2 a func¸a˜o e´ decrescente pois f ′(x) < 0.
No intervalo 2 < x <∞ a func¸a˜o e´ crescente pois f ′(x) > 0.
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o cont´ınua f , e que f seja deriva´vel em
qualquer ponto de certo intervalo que contenha c, exceto possivelmente no
pro´prio c.
Movendo-se ao longo de c, da esquerda para a direita:
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
1 Se f ′ muda de negativa para positiva em c, enta˜o f possui um m´ınimo local
em c.
2 Se f ′ muda de positiva para negativa em c, enta˜o f possui um ma´ximo local
em c.
3 Se f ′ na˜o muda de sinal em c, enta˜o c na˜o e´ um extremo local de f .
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Func¸o˜es Monotoˆnicas e o Teste da Primeira Derivada Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
Exemplo: Seja a func¸a˜o f(x) = (x2 − 3)ex.
Como e´ cont´ınua e deriva´vel para todo x, temos
f ′(x) = (x2−)ex − 2xex = (x2 + 2x− 3)ex = 0
que resulta nos pontos cr´ıticos x = −3 e x = 1.
No intervalo x < −3, f ′ > 0 e assim f e´ crescente.
No intervalo −3 < x < 1, f ′ < 0 e assim f e´ decrescente.
No intervalo x > 1, f ′ > 0 e assim f e´ crescente.
Conclusa˜o: ha´ um ma´ximo local em x = 3 e ha´ um m´ınimo local em x = 1.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Concavidade para Cima e para Baixo
Concavidade para Cima e para Baixo
O gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel y = f(x) em I aberto e´
Coˆncavo para baixo se f ′ e´ decrescente em I.
Co˜ncavo para cima se f ′ e´ crescente em I.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas O Teste da Segunda Derivada para a Concavidade
O Teste da Segunda Derivada para a Concavidade
Seja f(x) uma func¸a˜o duplamente deriva´vel em um intervalo I
Se f ′′(x) > 0 em I, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo para cima.
Se f ′′(x) < 0 em I, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo para baixo.
Exemplo 1: Considerando a func¸a˜o y = x3 temos que y′′ = 6x e
y′′ < 0→ x < 0, neste intervalo o gra´fico de y e´ coˆncavo para baixo.
y′′ > 0→ x > 0, neste intervalo o gra´fico de y e´ coˆncavo para cima.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas O Teste da Segunda Derivada para a Concavidade
Exemplo 2: Se y = x2 temos que y′′ = 2 e
A curva e´ coˆncava para cima em (−∞,∞), y′′ > 0 sempre.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Ponto de Inflexa˜o
Ponto de Inflexa˜o
Um ponto de inflexa˜o e´ um ponto onde o gra´fico de uma func¸a˜o possui uma reta
tangente e onde ha´ mudanc¸a de concavidade.
Exemplo 1: Considerando a func¸a˜o y = 3 + senx no intervalo [0, 2pi], temos
o ponto de inflexa˜o (pi, 3).
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Ponto de Inflexa˜o
Exemplo 2: a func¸a˜o y = x4 na˜o possui ponto de inflexa˜o pois apesar de
y′′ = 12x2 = 0 em x = 0, na˜o ha´ mudanc¸a de sinal de y′′.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Ponto de Inflexa˜o
Exemplo 3: f(x) = x
1
3 tem um ponto de inflexa˜o pois
y′′ =
d
dx
(
1
3
x−
2
3
)
= −2
9
x−
5
3
que na˜o existe para x = 0.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1 Determinar os pontos cr´ıticos de f(x) = x
1
3 (x− 4) = x 43 − 4x 13 e analisar o
comportamento da func¸a˜o.
2 O deslocamento de uma part´ıcula ao longo de uma reta horizontal obedece a
func¸a˜o s(t) = 2t3 − 14t+ 22t− 5, para t > 0. Qual sua velocidade e
acelerac¸a˜o? Em seguida, descreva o movimento. Utilize:
v(t) = s′(t)
a(t) = v′(t) = s′′(t).
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Teste da Segunda Derivada
Teste da Segunda Derivada
Suponha que f seja cont´ınua em um intervalo aberto que contenha x = c.
1 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) < 0, enta˜o f possui um ma´ximo local quando x = c.
2 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0, enta˜o f possui um m´ınimo local quando x = c.
3 Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, enta˜o o teste e´ inconclusivo.
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Teste da Segunda Derivada
Exemplo: O gra´fico da func¸a˜o f(x) = x4 − 4x3 + 10 e´ esboc¸ado seguindo oa
passos:
1 Identificar onde esta˜o os extremos de f : f ′ = 4x3 − 12x2 = 0, isto e´ x = 0 e
x = 3.
2 Determinar os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´
decrescente:
x < 0 0 < x < 3 x > 3
f ′ < 0 f ′ < 0 f ′ > 0
decrescente decrescente crescente
3 Separamos os intervalos onde as concavidades sa˜o diferentes. A partir de
f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12x(x− 2) = 0, temos
x < 0 0 < x < 2 x > 2
f ′′ > 0 f ′′ < 0 f ′′ > 0
para cima para baixo para cima
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Teste da Segunda Derivada
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Considere a func¸a˜o f(x) = (x+1)
2
1+x2 :
1 Encontre seu dom´ınio.
2 Ache as derivadas primeira e segunda.
3 Quais os seus pontos cr´ıticos?
4 A func¸a˜o possui ma´ximo e m´ınimos relativos?
5 Em que intervalos f e´ crescente ou decrescentes?
6 A func¸a˜o possui algum ponto de inflexa˜o?
7 Indique os intervalos em que o gra´fico da func¸a˜o possui concavidade para
cima ou para baixo.
8 A func¸a˜o possui ass´ıntotas horizontais ou verticais?
9 Esboce o gra´fico de f(x).
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Concavidade e Esboc¸o de Curvas Exerc´ıcios
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas 10 de maio de 2013 36 / 44Otimizac¸a˜o Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problema 1:
Uma caixa sem tampa sera´ feita recortando-se pequenos quadrados congruentes
dos cantos de uma folha de estanho medindo 12× 12 polegadas e dobrando-se os
lados para cima. Que tamanho os quadrados das bordas devem ter para que a
caixa chegue a` sua capacidade ma´xima?
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Otimizac¸a˜o Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
O volume da caixa e´
V (x) = x(12− 2x)2 = 144x− 48x2 + 4x3
cujo dom´ınio e´ 0 ≤ x ≤ 6.
V ′(x) = 144− 96x+ 12x2 = 12(2− x)(6− x)
que indica que os pontos cr´ıticos, V ′(x) = 0, sa˜o x = 2 2 x = 6.
V (x) no ponto cr´ıtico e nas extremidades sa˜o: V (2) = 128, V (0) = 0 e
V (6) = 0.
O volume ma´ximo e´ 128pol3, que e´ conseguido cortando-se quadrados com
2pol de lado.
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Otimizac¸a˜o Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problema 2:
Projetar uma lata de um litro com a forma de um cilindro reto. Quais as
dimenso˜es para menos material?
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas 10 de maio de 2013 39 / 44
Otimizac¸a˜o Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problemas de Otimizac¸a˜o Aplicada
Problema 3:
Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio igua a 2. Qual
e´ a maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais sa˜o as suas dimenso˜es?
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Formas Indeterminadas e a Regra de L’hoˆpital Formas Indeterminadas
Formas Inderterminadas
Se f(x) e g(x) sa˜o zero em x = a, enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
gera 00 , que e´ uma expressa˜o matema´tica sem significado: uma forma
indeterminada.
Ha´ outras formas indeterminadas, como por exemplo, ∞∞ , ∞.0, ∞−∞ e ∞0.
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Formas Indeterminadas e a Regra de L’hoˆpital Regra de L’hoˆpital - Primeira Forma
Regra de L’hoˆpital - Primeira Forma
Suponha que f(a) = g(a) = 0, que f ′(a) e g′(a) existam e que g′(a) 6= 0. Enta˜o,
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
f ′(a)
g′(a)
Prova:
f ′(a)
g′(a)
=
limx→a
f(x)−f(a)
x−a
limx→a
g(x)−g(a)
x−a
= limx→ af(x)− f(a)
g(x)− g(a) = limx→a
f(x)
g(x)
Exemplo:
lim
x→0
=
3x− senx
x
=
3− cosx
1
∣∣
x→0 =
1
2
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas 10 de maio de 2013 42 / 44
Formas Indeterminadas e a Regra de L’hoˆpital Regra de L’hoˆpital - Forma Mais Forte
Regra de L’hoˆpital - Forma Mais Forte
Suponha que f(a) = g(a) = 0, que f e g sejam deriva´veis em um intervalo I
contendo a e que g′(x) 6= 0 em I se x 6= a. Enta˜o,
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
Exemplo:
lim
x→0
√
1 + x− 1− x2
x2
= lim
x→0
(1/2)(1 + x)( − 1/2)− 12
2x
= lim
x→0
−(1/4)(1 + x)( − 3/2)
2
= −1
8
Prof. Dr. Josinaldo Menezes (EC&T - UFRN) Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas 10 de maio de 2013 43 / 44
Formas Indeterminadas e a Regra de L’hoˆpital Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
Usar a regra de L’Hoˆpital para calcular os limites:
1 limx→0
√
1+x−1
x
2 limx→0 x−sen xx3
3 limx→0 1−cos xx+x2
4 limx→0+ sen xx2
5 limx→0− sen xx2
6 limx→pi2
sen x
1+tg x
7 limx→∞
[
x sen
(
1
x
)]
8 limx→0+
√
x lnx
9 limx→0
(
1
sen x − 1x
)
10 limx→0+(1 + x)
1
x
11 limx→∞ x
1
x
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	Teorema do Valor Médio
	Funções Monotônicas e o Teste da Primeira Derivada
	Funções Crescentes e Decrescentes
	Teste da Primeira Derivada e as Funções Crescentes de Decrescentes
	Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
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	Concavidade para Cima e para Baixo
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	Exercícios
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