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Lista de exercícios 3
Pré-Cálculo
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
Entrega: Segunda-feira 31/08
1. Explique como obter o grá�co de д(x ) a partir do grá�co de f (x ). Esboce os grá�cos
utilizando essa informação.
(a) f (x ) = x2, д(x ) = (x + 2)2
(b) f (x ) = x2, д(x ) = x2 + 2
(c) f (x ) =
√
x , д(x ) = −√x + 1
(d) f (x ) =
√
x , д(x ) =
√−x + 1
2. Dados os grá�cos de f e д, obtenha uma expressão para a função д.
(a) f (x ) = x2
 0
 1
 2
 3
 4
-2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
g(x)
(b) f (x ) = x3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
g(x)
(c) f (x ) = |x |
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
g(x)
(d) f (x ) = x2
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)
g(x)
3. Obtenha f + д, f − д, f д e f/д e seus domínios.
(a) f (x ) = x − 3, д(x ) = x2
(b) f (x ) =
√
4 − x2, д(x ) = √1 + x
(c) f (x ) = 2x , д(x ) =
4
x+4
(d) f (x ) = 2x+1 , д(x ) =
x
x+1
4. Obtenha f ◦ д, д ◦ f , f ◦ f e д ◦ д e seus domínios.
1
(a) f (x ) = 2x + 3, д(x ) = 4x − 1
(b) f (x ) = x2, д(x ) = x + 1
(c) f (x ) = 2x , д(x ) =
x
x+2
(d) f (x ) = xx+1 , д(x ) = 2x − 1
(e) f (x ) = 1√
x
, д(x ) = x2 − 4x
5. In�a-se um balão esférico de forma que seu raio aumente à taxa constante de 1 cm/s.
(a) Obtenha uma função f que modele o raio do balão em função do tempo.
(b) Obtenha uma função д que modele o volume do balão em função do raio.
(c) Obtenha д ◦ f . O que essa função representa?
6. Esboce o grá�co da função polinomial dada. Certi�que-se que seu grá�co exibe todas as
intersecções com os eixos e o comportamento adequado nos extremos.
(a) P (x ) = (x − 1) (x + 2)
(b) P (x ) = x (x − 3) (x + 2)
(c) P (x ) = x3 − x2 − 6x
(d) P (x ) = x6 − 2x3 + 1
7. Esboce os grá�cos das funções y = x2, y = x3, y = x4 e y = x5 para −1 ≤ x ≤ 1 sobre
os mesmos eixos coordenados (ou seja, desenhe os grá�cos sobrepostos na mesma folha).
Como você espera que seja o grá�co de y = x100 nesse intervalo? E o grá�co de y = x101?
Por quê?
8. Obtenha todas as raízes reais dos seguintes polinômios.
(a) P (x ) = 12x3 − 20x2 + x + 3
(b) P (x ) = 2x6 − 3x5 − 13x4 + 29x4 − 27x2 + 32x − 12
(c) P (x ) = x3 + 4x2 + 3x − 2
9. Esboce o grá�co das funções f e д no mesmo conjunto de eixos.
(a) f (x ) = 2x , д(x ) = 2−x
(b) f (x ) = 3−x , д(x ) =
(
1
3
)x (c) f (x ) =
(
2
3
)x
, д(x ) =
(
4
3
)x
10. Uma certa população de gatos foi introduzida em um pequeno campus universitário, com
uma população inicial de 8 gatos. Biólogos estimam que a população felina dobre a cada
ano.
(a) Obtenha uma função que modele o número de gatos após t anos.
(b) Estime a população após 8 anos.
11. Um paraquedista salta de uma altura considerável do chão. A resistência do ar que ele
sofre é proporcional à sua velocidade e a constante de proporcionalidade é 0,2. Pode-se
mostrar que a velocidade de descida do paraquedista num instante t é dado por
v (t ) = 25(1 − e−0,2t ),
com t em segundos e v em metros por segundo (m/s).
(a) Obtenha a velocidade inicial do paraquedista.
(b) Obtenha a velocidade após 5 s e após 10 s
2
(c) Desenhe um grá�co de v (t )
(d) A velocidade máxima de um objeto em queda é chamada de velocidade terminal. Do
grá�co obtido na parte (c), obtenha a velocidade terminal.
12. Mostre que f e д, dadas, são inversas uma da outra.
(a) f (x ) = x − 6, д(x ) = x + 6
(b) f (x ) = 3x , д(x ) = x3
(c) f (x ) = 2x − 5, д(x ) = x + 52
(d) f (x ) = 1
x
, д(x ) =
1
x
(e) f (x ) =
√
4 − x2,0 ≤ x ≤ 2
д(x ) =
√
4 − x2,0 ≤ x ≤ 2
(f) f (x ) = x + 2
x − 2 , д(x ) =
2x + 2
x − 1
3