coeficiente de poison

Prof. Dr. Ben-Hur Albuquerque
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Aula 02
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Barra delgada, homogênea e isotrópica carregada axialmente  as tensões satisfazem a Lei de Hooke enquanto não for excedido o limite de elasticidade do material.
Coeficiente de Poisson
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material homogêneo  suas várias propriedades mecânicas são independentes do ponto considerado
Coeficiente de Poisson
material isotrópico  suas várias propriedades mecânicas são independentes da direção considerada
 Deformação específica transversal
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Coeficiente de Poisson ()  Valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal (Siméon Denis Poisson – matemático francês).
Coeficiente de Poisson
P
x
dz/2
Lz
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Coeficiente de Poisson
Relações que descrevem totalmente as condições de deformações específicas sob carga axial paralela ao eixo x:
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Exemplo: Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500mm de comprimento e 16mm de diâmetro. Sob a ação da carga axial de 12kN, o seu comprimento aumenta em 300m e seu diâmetro reduz em 2,4m. Determinar E e  do material.
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Da lei de Hooke:
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Estados Múltiplos de Carregamento
(carregamento multiaxial)
Princípio da superposição  O efeito de um carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos.
	
Como calcular as deformações x, y e z?
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Estados Múltiplos de Carregamento
(carregamento multiaxial)
	
Lei de Hooke generalizada
Válido se:
1) Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o produz; e,
2) A deformação resultante de uma dada força é pequena e não afeta as condições de aplicação das outras forças.
Atenção aos sinais!!!
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Exemplo: A Figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão de compressão uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de -24m. Determinar: (a) a variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E = 200GPa e  = 0,29.
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y = z = 300
y = yBC = 30040 = 12m
z = zBD = 30060 = 18m
(b) 
x = y = z = p
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Dilatação Volumétrica
Enquanto se encontra livre de tensões, o elemento tem volume unitário (V = 1).
As tensões x, y e z levam à forma de um paralelepípedo retângulo de volume
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Dilatação Volumétrica
1>>  => Desprezando-se os produtos entre as deformações específicas
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 Variação de volume = e
Como o volume inicialmente era unitário, e = representa a variação de volume por unidade de volume
e = dilatação volumétrica específica ou dilatação cúbica específica
Como:
e = v – 1 = εx + εy + εz
ou
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Corpo submetido à pressão uniforme hidrostática p => 
k = módulo de compressibilidade volumétrica do material (Mpa)
Adotando-se: 
Dilatação Volumétrica
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Corpo sujeito à pressão hidrostática  contração de volume  dilatação cúbica é negativa e < 0  k > 0
Dilatação Volumétrica
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Coeficiente de Poisson é positivo  
Materiais ideais:
se  = 0  poderia ser dilatado em qq direção sem sofrercontrações laterais se  =  k =  e = 0 (material perfeitamente incompressível)
 
Dilatação Volumétrica
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Curiosidade:
=> Para materiais usuais, no regime elástico, a aplicação de um alongamento em uma direção leva a um aumento de volume (e>0).
Dilatação Volumétrica
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Determinar a variação de volume V do bloco de aço, quando se aplica a ele uma pressão hidrostática p = 180MPa. Sabe-se que E = 200GPa e  = 0,29.
Exercício 
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Deformação de cisalhamento
Princípio da superposição  O efeito de um carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos.
Lei de Hooke Generalizada
Estado Geral de Tensões
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Deformação de cisalhamento
deformação de cisalhamento (distorção do cubo) => Paralelepípedo oblíquo
em radianos
Redução do ângulo formado pelas faces orientadas segundo x e y  
 é positiva, caso contrário é negativa.
Definição:
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Deformação de cisalhamento
 Gráfico tensão x deformação de cisalhamento (xy x xy)  ensaio de torção
 Para valores de tensão que não excedam o limite de proporcionalidade no cisalhamento (Lei de Hooke):
G = módulo de elasticidade transversal
(s = Ee)
em Pa
Curiosidade:
E/3 < G < E/2
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Deformação de cisalhamento
Então, considerando o cubo elementar submetido às tensões yz e zx:
para o estado geral das tensões  aplicar o princípio da superposição, desde que nenhuma das tensões envolvidas exceda o limite de proporcionalidade
para material homogêneo e isotrópico:
	
 		
 		
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Deformação de cisalhamento
Generalização da Lei de Hooke:
	
 		
  radianos
G  mesma unidade de 
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Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal G=600MPa. O bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a placa superior é submetida à força P. 
Sabendo-se que a placa superior se move de 0,8mm sob ação da força, determine: a) a deformação de cisalhamento no material; b) a força P que atua na placa superior.
Exercício 
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a) 
b) 
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Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
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F = Pcos e V = P sen
F = result. forças int. distribuídas normais à seção
V = força cortante, result. forças distrib. tangenciais
Tensões Em Planos Oblíquos Ao Eixo
 = F/A 
 = V/A	
A0 = A cos	
  = P cos2/A0 e  = P sencos/A0 
 Para =45º:
  = P /2A0 e =P/2A0
Seja A0 e A:
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Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
máx em um plano que forma um ângulo de 45º com o eixo da força 
					 neste plano também é máxima = m
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Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 (1)
P
P
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Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 é um ângulo muito pequeno 
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Relação entre m e x:
 (1)
Mas:
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
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Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 (1)
x << 1  
Deformação de cisalhamento
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Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre E,  e G:
 e 
  
A = seção transversal da barra
  
  
  
Deformação de cisalhamento
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Exercício: Um círculo de diâmetro d = 230mm é desenhado em uma placa de alumínio sem tensões, de espessura t=20mm. Aplicam-se, então, forças que atuam no plano da placa, causando as tensões normais x = 84MPa e z = 140MPa. Adotando-se  = 1/3 e E = 70GPa, determinar as variações que ocorrem: a) no comprimento do diâmetro AB; b) no comprimento do diâmetro CD; c) na espessura da placa; d) no volume da placa.
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(para um volume unitário)
 (por und. volume)
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Para pensar:
 e se houvesse y?
 e se as tensões fossem de compressão?
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Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
Adotamos até agora que as tensões normais são uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal perpendicular ao eixo de uma barra.
Porém, na vizinhança do ponto de aplicação da carga esta suposição não se verifica.
P
P
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P
P
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
Desta forma, é razoável concluir que, na determinação de tensões