coeficiente de poison

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Prof. Dr. Ben-Hur Albuquerque
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Aula 02
1
Barra delgada, homogênea e isotrópica carregada axialmente  as tensões satisfazem a Lei de Hooke enquanto não for excedido o limite de elasticidade do material.
Coeficiente de Poisson
2
material homogêneo  suas várias propriedades mecânicas são independentes do ponto considerado
Coeficiente de Poisson
material isotrópico  suas várias propriedades mecânicas são independentes da direção considerada
 Deformação específica transversal
3
Coeficiente de Poisson ()  Valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal (Siméon Denis Poisson – matemático francês).
Coeficiente de Poisson
P
x
dz/2
Lz
4
Coeficiente de Poisson
Relações que descrevem totalmente as condições de deformações específicas sob carga axial paralela ao eixo x:
5
Exemplo: Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500mm de comprimento e 16mm de diâmetro. Sob a ação da carga axial de 12kN, o seu comprimento aumenta em 300m e seu diâmetro reduz em 2,4m. Determinar E e  do material.
6
Da lei de Hooke:
7
Estados Múltiplos de Carregamento
(carregamento multiaxial)
Princípio da superposição  O efeito de um carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos.
	
Como calcular as deformações x, y e z?
8
Estados Múltiplos de Carregamento
(carregamento multiaxial)
	
Lei de Hooke generalizada
Válido se:
1) Cada efeito está linearmente relacionado com a força que o produz; e,
2) A deformação resultante de uma dada força é pequena e não afeta as condições de aplicação das outras forças.
Atenção aos sinais!!!
9
Exemplo: A Figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão de compressão uniforme em todas as faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de -24m. Determinar: (a) a variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Adotar E = 200GPa e  = 0,29.
10
y = z = 300
y = yBC = 30040 = 12m
z = zBD = 30060 = 18m
(b) 
x = y = z = p
11
Dilatação Volumétrica
Enquanto se encontra livre de tensões, o elemento tem volume unitário (V = 1).
As tensões x, y e z levam à forma de um paralelepípedo retângulo de volume
12
Dilatação Volumétrica
1>>  => Desprezando-se os produtos entre as deformações específicas
13
 Variação de volume = e
Como o volume inicialmente era unitário, e = representa a variação de volume por unidade de volume
e = dilatação volumétrica específica ou dilatação cúbica específica
Como:
e = v – 1 = εx + εy + εz
ou
14
Corpo submetido à pressão uniforme hidrostática p => 
k = módulo de compressibilidade volumétrica do material (Mpa)
Adotando-se: 
Dilatação Volumétrica
15
Corpo sujeito à pressão hidrostática  contração de volume  dilatação cúbica é negativa e < 0  k > 0
Dilatação Volumétrica
16
Coeficiente de Poisson é positivo  
Materiais ideais:
se  = 0  poderia ser dilatado em qq direção sem sofrercontrações laterais se  =  k =  e = 0 (material perfeitamente incompressível)
 
Dilatação Volumétrica
17
Curiosidade:
=> Para materiais usuais, no regime elástico, a aplicação de um alongamento em uma direção leva a um aumento de volume (e>0).
Dilatação Volumétrica
18
Determinar a variação de volume V do bloco de aço, quando se aplica a ele uma pressão hidrostática p = 180MPa. Sabe-se que E = 200GPa e  = 0,29.
Exercício 
19
20
Deformação de cisalhamento
Princípio da superposição  O efeito de um carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos.
Lei de Hooke Generalizada
Estado Geral de Tensões
21
Deformação de cisalhamento
deformação de cisalhamento (distorção do cubo) => Paralelepípedo oblíquo
em radianos
Redução do ângulo formado pelas faces orientadas segundo x e y  
 é positiva, caso contrário é negativa.
Definição:
22
Deformação de cisalhamento
 Gráfico tensão x deformação de cisalhamento (xy x xy)  ensaio de torção
 Para valores de tensão que não excedam o limite de proporcionalidade no cisalhamento (Lei de Hooke):
G = módulo de elasticidade transversal
(s = Ee)
em Pa
Curiosidade:
E/3 < G < E/2
23
Deformação de cisalhamento
Então, considerando o cubo elementar submetido às tensões yz e zx:
para o estado geral das tensões  aplicar o princípio da superposição, desde que nenhuma das tensões envolvidas exceda o limite de proporcionalidade
para material homogêneo e isotrópico:
	
 		
 		
24
Deformação de cisalhamento
Generalização da Lei de Hooke:
	
 		
  radianos
G  mesma unidade de 
25
Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal G=600MPa. O bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a placa superior é submetida à força P. 
Sabendo-se que a placa superior se move de 0,8mm sob ação da força, determine: a) a deformação de cisalhamento no material; b) a força P que atua na placa superior.
Exercício 
26
a) 
b) 
27
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
28
F = Pcos e V = P sen
F = result. forças int. distribuídas normais à seção
V = força cortante, result. forças distrib. tangenciais
Tensões Em Planos Oblíquos Ao Eixo
 = F/A 
 = V/A	
A0 = A cos	
  = P cos2/A0 e  = P sencos/A0 
 Para =45º:
  = P /2A0 e =P/2A0
Seja A0 e A:
29
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
máx em um plano que forma um ângulo de 45º com o eixo da força 
					 neste plano também é máxima = m
30
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 (1)
P
P
31
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 é um ângulo muito pequeno 
32
Relação entre m e x:
 (1)
Mas:
Deformação de cisalhamento
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
33
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre m e x:
 (1)
x << 1  
Deformação de cisalhamento
34
Aspectos complementares na deformação sob carga axial: relações entre E,  e G.
Relação entre E,  e G:
 e 
  
A = seção transversal da barra
  
  
  
Deformação de cisalhamento
35
Exercício: Um círculo de diâmetro d = 230mm é desenhado em uma placa de alumínio sem tensões, de espessura t=20mm. Aplicam-se, então, forças que atuam no plano da placa, causando as tensões normais x = 84MPa e z = 140MPa. Adotando-se  = 1/3 e E = 70GPa, determinar as variações que ocorrem: a) no comprimento do diâmetro AB; b) no comprimento do diâmetro CD; c) na espessura da placa; d) no volume da placa.
36
(para um volume unitário)
 (por und. volume)
37
Para pensar:
 e se houvesse y?
 e se as tensões fossem de compressão?
38
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
Adotamos até agora que as tensões normais são uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal perpendicular ao eixo de uma barra.
Porém, na vizinhança do ponto de aplicação da carga esta suposição não se verifica.
P
P
39
P
P
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
Desta forma, é razoável concluir que, na determinação de tensões
em uma barra, devemos analisar as deformações específicas produzidas na barra por essas tensões.
A teoria matemática da elasticidade é usada na determinação da distribuição de tensões aos casos de aplicação de forças em extremidades.
40
Para forças aplicadas nos centros das placas, estas deverão se mover em relação à outra sem rotação  encurtamento da barra e aumento da largura e da espessura. 
Assim:
 eixo da barra se mantém retilíneo;
 as seções planas se mantêm planas após a deformação e todos os elementos se deformam da mesma maneira;
x
y
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
41
 distribuição de deformações específicas ao longo do material deve ser uniforme (ze x = - y);
 Lei de Hooke pode ser aplicada se as tensões não excederem o limite de proporcionalidade do material (y=Ey);
 a distribuição de tensões é uniforme ao longo da peça  
x
y
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
42
Por meio de métodos matemáticos avançados (Teoria da Elasticidade), obtém-se os resultados dos estudos da distribuição de tensão no entorno do ponto de aplicação da carga em uma placa retangular.
b
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
43
b
Princípio de Saint-Venant  com exceção dos pontos na vizinhança dos pontos de aplicação da força, a distribuição de tensões uniforme pode ser adotada independentemente do ponto de aplicação da carga (p/ qq tipo de carregamento). 
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
44
Assim:
Torna-se possível substituir um tipo de carregamento por outro mais simples (cálculo das tensões de uma peça estrutural), desde que:
carregamento real seja estaticamente equivalente ao carregamento adotado;
nas proximidades dos pontos de aplicação das forças a determinação das tensões se faz por mét. matemáticos avançados ou experimentais, não sendo usada a simplificação acima.
Distribuição das tensões e deformações específicas causadas por carregamento axial
45
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
Quando uma peça estrutural possui descontinuidades, como furos ou variação brusca de seção, podem ocorrer altos valores de tensões nestes pontos de descontinuidade.
46
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
OBS: resultados obtidos experimentalmente através de método fotoelástico.
47
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
Os resultados obtidos dependem apenas das relações entre os parâmetros geométricos envolvidos, ou seja, da relação r/d no caso de furo circular e D/d no caso de arredondamentos, sendo portanto independentes das propriedades dos materiais da barra.
48
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
O engenheiro que tiver de projetar ou estudar peças desse tipo não necessitará obter uma análise fotoelástica.
Ao projetista interessa o valor máximo da tensão em certa seção, sendo a distribuição real de tensão um dado de menor importância (máx<adm).
49
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES
Define-se a relação:
calculada na seção crítica de descontinuidade.
Coeficiente de concentração de tensão
Os coeficientes de concentração de tensão são expressos em termos de relações entre os parâmetros geométricos envolvidos. 
50
Providências de Projeto!!!
3,0
2,8
2,6
2,4
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
2,2
P’
D
P
d
d
d
P
P’
D
Furo Circular
Adoçamentos
D/d = 2,0
D/d = 1,5
D/d = 1,25
D/d = 1,1
K
r/d
r
r
51
Exercício: Uma barra chata de aço é constituída de duas partes de 10 mm de espessura, uma com 40 mm e outra com 60 mm de largura, ligadas por uma região de transição (adoçamento) com 8 mm de raio (r). Determinar a máxima carga axial P que pode ser suportada pela barra, sendo a tensão admissível do material que a compõe adm=165 MPa.
52
Cálculo das relações geométricas:
D/d = 60/40 = 1,50
r/d = 8/40 = 0,20
Da tabela de K:
K=1,72
Então como :
e máx não pode exceder adm=165 MPa, adotando-se esse valor tem-se:
méd=165/1,72 = 96 MPa.
Como: méd=P/A, tem-se:
P = 40mm x 10mm x 96MPa = 38,4 kN
53
A
B
C
D
300 mm
800 mm
300 mm
40 mm
80 kN
80 kN
20 mm
6 mm
Exercício: A tira de aço mostrada na Figura está sujeita a uma carga axial de 80 kN. Sabendo-se que a mesma possui 10 mm de espessura, determine a tensão normal máxima desenvolvida na tira e o deslocamento de uma das extremidades em relação à outra. A tensão de escoamento do aço é σe=700 MPa e Eaço= 200GPa.
54
Exercícios de Revisão
1) A conexão BD consiste de uma barra única 30x12 mm. Sabendo que cada pino tem 10 mm de diâmetro, determine o valor máximo da tensão normal média na conexão BD se  = 20°.
55
Exercícios de Revisão
2) Um momento M de intensidade 2500 N.m é aplicado ao virabrequim de um motor. Para a posição mostrada, determine:
a força P requerida para manter o sistema do motor em equilíbrio;
a tensão normal média na biela BC, a qual tem uma seção transversal uniforme de 450 mm².
56
Exercícios de Revisão
SOLUÇÃO:
57
Exercícios de Revisão
3) Uma carga P = 12 kN é suportada por duas peças de madeira de seção retangular 75x125mm que são coladas conforme a figura. Determine as tensões normal e cisalhante no plano colado.
58
Exercícios de Revisão
SOLUÇÃO:
59
Exercícios de Revisão
4) Os dois membros de madeira mostrada, que suportam uma carga de 20 kN, são unidos por placas de compensado com suas superfícies de contato totalmente coladas. A tensão última de cisalhamento na cola é de 2,8 MPa e a folga entre os membros é 8 mm. Determine o comprimento L necessário para cada placa se um fator de segurança 3,5 deve ser alcançado.
60
61
TORÇÃO
 Inicialmente  e  em peças de seção transversal circular, sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças
 Conjugados  momentos de torção, momentos torcionais ou torque (TM e TR) => mesma intensidade e sentidos opostos
Ex: Motores
62
TORÇÃO
 Outras aplicações: 
 turbina a vapor ligada a um gerador de eletricidade;
 eixos de acionamento de veículos e maquinarias.
63
TORÇÃO
Análise preliminar das tensões em um eixo circular:
A soma dos momentos das forças dF em relação ao centro tem a mesma intensidade do torque T, escreve-se então:
Mas,
c
T
A
T’
B
64
TORÇÃO
 O momento de torção produz tensões de cisalhamento  nas faces (planos) perpendiculares ao eixo da barra circular.
As condições de equilíbrio para serem satisfeitas exigem a existência de tensões  nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo da barra circular.
Materiais coesivos e homogêneos  o deslizamento não ocorre realmente, mas a tendência ao delizamento vai existir, provando a existência de tensões de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra e em planos longitudinais, simultaneamente.
65
Deformações nos eixos circulares
 Momento de torção (T) aplicado na extremidade livre
 Ângulo de torção ():
- proporcional a T ?
- proporcional a L ?
Ângulo de torção
Isto significa que para um eixo de mesma seção e mesmo material, mas com o dobro do comprimento, o ângulo de torção será duas vezes maior, para o mesmo momento T.
TORÇÃO
66
Objetivos:
- determinar a relação entre , L e T.
- determinar a distribuição das tensões .
TORÇÃO
67
Propriedade importante dos eixos circulares:
Quando um eixo circular (maciço ou vazado) fica submetido à torção, todas as seções transversais se mantêm planas e conservam a sua forma (indeformáveis)  as seções transversais apresentam ângulos de torção diferentes, mas cada seção gira como uma placa rígida
TORÇÃO
68
Isto se dá porque o eixo circular é AXISSIMÉTRICO, isto é, sua aparência se mantém a mesma quando o eixo é observado de algum ponto fixo e é rodado de certo ângulo arbitrário.
TORÇÃO
69
Seja um eixo circular de comprimento L e raio c, torcido de um ângulo 
Retira-se do interior do eixo um cilindro de raio , marcando-se um
elemento de área definido por dois círculos adjacentes e duas geratrizes muito próximas.
Após a aplicação de um momento de torção o elemento se transforma em um losango.
TORÇÃO
70
 e  em radianos
 e  são pequenos  AA´ = L e AA´ = 
Deformação de cisalhamento =>  => medida pela variação do ângulo formado pelos lados do elemento. Neste caso formado pelas linhas AB e A’B.



TORÇÃO
71
Tensões no regime elástico
T gerando tensões de cisalhamento < e  aplicação da Lei de Hooke
 
 
Enquanto a tensão de escoamento (ou limite de proporcionalidade) não for atingido, a tensão de cisalhamento () na barra circular varia linearmente com a distância  ao eixo da barra
Módulo de elasticidade transversal
72
TORÇÃO
73
Lembrando...
 
Fórmulas da torção em regime elástico
e
e
 
 
TORÇÃO
c
T
A
T’
B
74
e
J = momento de inércia polar de um círculo de raio c em torno
 do centro = 
c1 = diâmetro interno
c2 = diâmetro externo
Se [T] = N.m; [c ou ] = m; [J] = m4  [] = N/m2 = Pa
Para o caso de eixo circular de seção vazada  
TORÇÃO
75
Exemplo: Um eixo circular vazado de aço tem comprimento L = 1,5m e diâmetros interno e externo respectivamente de 40 a 60mm. (a) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo, para que as tensões de cisalhamento não excedam 120MPa? (b) Qual é o valor mínimo da tensão de cisalhamento para este caso?
T
1,5 m
60 mm
40 mm
76
(b) 
(a)
SOLUÇÃO
77
Elementos a e b em uma barra circular submetida à torção
elemento a : somente tensões cisalhantes 
 (cisalhamento puro)
 elemento b : combinação de tensões normais e tensões cisalhantes
TORÇÃO
78
 elemento c (forma um ângulo de 45º com o eixo da barra):
Analisando (a) =>
Analisando (b) =>
79
80
material dúctil
material frágil
T
T’
T
T’
(a)
(b)
Analisando as peças abaixo, qual é a frágil e qual a dúctil?
81
Exercício: O eixo mostrado na figura está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Sabendo-se que o eixo possui seção circular com raio de 75,0 mm, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na superfície e a 15 mm do centro da seção respectivamente. Desprezar o peso próprio do eixo.
82
Solução:
Diagrama de corpo livre do lado esquerdo:
Ponto A:
Ponto B:
83
Exercício: O eixo circular BC é vazado e tem diâmetros interno e externo de 90mm e 120mm, respectivamente. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar, para o carregamento indicado: (a) o valor máximo e o valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC; (b) qual o diâmetro necessário nos eixos AB e CD se a tensão admissível no material é 65MPa.
D
C
120 mm
B
d
A
0,9 m
0,7 m
0,5 m
TB = 14 kN.m
Tc = 26 kN.m
TA = 6 kN.m
TD = 6 kN.m
84
Solução:
Diagrama de corpo livre:
Trecho AB:
Trecho BC:
a) Eixo BC:
85
Diagrama de corpo livre:
Trecho BC:
a) Eixo BC:
b) Eixos AB e CD: T=6,0 kN.m e adm = 65 MPa
Solução:
86
Exercício: O projeto preliminar de um eixo de transmissão levou à escolha de uma barra de seção vazada, com diâmetro interno de 100mm e diâmetro externo de 150mm. Pede-se determinar o máximo torque que poderá ser transmitido, sendo a tensão admissível do material 82MPa, nas seguintes situações: (a) do projeto preliminar; (b) supondo um eixo sólido maciço de mesmo peso daquele do anteprojeto; (c) supondo um eixo de seção vazada com 20mm de diâmetro e de mesmo peso do eixo do anteprojeto.
87
88
89
Ângulo de torção no regime elástico

 em radianos
No regime elástico  é proporcional ao momento de torção T
TORÇÃO
90
f
T
JG/L
Máquina de testes de torção
 
TORÇÃO
91
Exemplo de aplicação:Que valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular mostrado, de modo que o ângulo de torção produzido seja de 2º? Adotar para o módulo de elasticidade G o valor 80GPa para o aço.
TORÇÃO
T
1,5 mm
60 mm
40 mm
92
SOLUÇÃO
93
Exemplo de aplicação: Calcular, para o eixo de seção vazada do exemplo anterior, o valor do ângulo de torção que provoca uma tensão de cisalhamento de 70MPa na face interna do eixo.
e
 
T
1,5 mm
60 mm
40 mm
94
Projetos de eixo de transmissão
Principais especificações:
 potência a ser transmitida;
 velocidade de rotação do eixo ().
Projeto:
A máxima tensão de cisalhamento admissível (regime elástico) não deve ser excedida quando o eixo transmitir a potência requerida na velocidade especificada.
TORÇÃO
95
 = velocidade angular do corpo (rad/s)
f = frequência do movimento de rotação, número de revoluções por segundo (1/s = Hz)
(N.m/s) ou watts (W)
Usual em aplicações práticas:
1hp = 746N.m/s
1W = 1N.m/s
 
Potência associada com a rotação de um corpo rígido submetido a um torque T é:
TORÇÃO
96
 
Exercício: um engenheiro quer dimensionar um eixo maciço para transferir a potência de um motor de 5hp, operando a 3600rpm. Qual o diâmetro mínimo deste eixo, sabendo que o mesmo é feito com material cuja tensão admissível ao cisalhamento é 59MPa?
TORÇÃO
97
 
d=9,5mm
SOLUÇÃO
98
 
Exercício: Um eixo feito de um tubo de aço com 50 mm de diâmetro externo deve transmitir 100 kW de potência girando a uma frequência de 20 Hz. Determine a espessura do tubo que deverá ser usado, se a tensão de cisalhamento não pode exceder 60 MPa.
TORÇÃO
99
TORÇÃO
 
100
 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM EIXOS CIRCULARES
Consideramos até o momento que o eixo estava carregado por placas rígidas presas solidamente a ele.
Ocorre que, na prática, os torques são geralmente aplicados através de flanges, ou de engrenagens conectadas ao eixo por chavetas que se encaixam em rasgos. No caso de eixos com mudança abrupta no diâmetro de sua seção transversal, as concentrações de tensão ocorrerão próximas da descontinuidade, com as mais altas tensões ocorrendo em A.
101
 
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM EIXOS CIRCULARES
102
 
Essas tensões podem ser reduzidas com o uso de adoçamento do ângulo, tendo o valor máximo da tensão de cisalhamento no adoçamento expresso como:
Onde K é o coeficiente de concentração de tensão.
CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM EIXOS CIRCULARES
103
 
Exercício: O eixo de seção variável mostrado deve girar a 900 rpm transmitindo potência de uma turbina para um gerador. A classe do aço especificado no projeto tem uma tensão de cisalhamento admissível de 55 Mpa. (a) Para o projeto preliminar mostrado, determine a potência máxima que pode ser transmitida. (b) Se no projeto final o raio do adoçamento for aumentado de forma que r=24 mm, qual será a variação percentual e, relação ao projeto preliminar, na potência que poderá ser transmitida?
TORÇÃO
95 mm
r = 14 mm
104
TORÇÃO
 
105