Analise peirluigi

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MAT 206 - Ana´lise Real - 1◦ semestre de 2014
Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Notas das aulas e exerc´ıcios sugeridos - Atualizado 9.11.2014
1. Segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014
Apresentac¸a˜o do curso. Veja-se o arquivo relativo a`s informac¸o˜es do curso na minha pagina web
www.ime.usp.br/∼pluigi
***
O primeiro conjunto nume´rico que encontramos na matema´tica e´ o conjunto N dos nu´meros naturais.
As operac¸o˜es de soma e produto, com as propriedades usuais, sa˜o bem definidas em N, enquanto na˜o
podemos dizer o mesmo para as inversas, subtrac¸a˜o e divisa˜o. Para poder definir e usar estas duas
operac¸o˜es inversas introduzimos os conjuntos Z (inicial de Zahlen, in Alema˜o, que significa nu´mero) dos
nu´meros inteiros relativos, e Q dos nu´meros racionais (frac¸o˜es de nu´meros inteiros). O conjunto Z e´
introduzido para definir a subtrac¸a˜o e Q para a divisa˜o.
O sistema Q dos nu´meros racionais poderia constituir a base de boa parte da matema´tica, enquanto
poderia ser suficiente para resolver a grande maioria dos problemas matema´ticos, mas na˜o todos!
O mais famoso “problema” dos nu´meros racionais foi descoberto pela escola matema´tica de Pita´goras
no VI se´culo a.C: usando o cla´ssico Teorema de Pita´goras, se consideramos um quadrado de lado 1, a
diagonal mede um nu´mero d tal que d2 = 2 (veremos depois que tal nu´mero se chama raiz quadrada).
Enta˜o, podemos provar que na˜o existe nenhum nu´mero racional cujo quadrado seja 2.
Proposic¸a˜o 1. (com demonstrac¸a˜o) Na˜o existe nenhum nu´mero racional cujo quadrado seja 2.
Definic¸a˜o 2. Dado um nu´mero a ≥ 0 dizemos que b e´ uma raiz quadrada de a, denotada por √a se
b ≥ 0 e b2 = a.
Observac¸a˜o 3. De acordo com a definic¸a˜o acima e´ errado dizer que −2 = √4, mas as igualdades corretas
sa˜o 2 =
√
4 e −2 = −√4.
Exerc´ıcio 1. Deˆ a prova da Proposic¸a˜o ??.
Exerc´ıcio 2. Prove que 3
√
2 na˜o existe em Q.
Exerc´ıcio 3. Prove que
√
3 na˜o existe em Q.
A proposic¸a˜o ?? diz que na˜o existe em Q o nu´mero
√
2. Da´ı, podemos tentar resover o problema
(e outros) ampliando a famı´lia dos nu´meros racionais (analogamente a`quilo que se faz passando de N
a Z e de Z a Q) e definindo um novo conjunto: o dos nu´meros reais, R. A definic¸a˜o dos nu´meros
irracionais, todavia, na˜o e´ ta˜o simples. Ale´m disso, a unia˜o dos racionais e dos irracionais, que iria formar
o conjunto nume´rico desejado, o conjunto R dos nu´meros reais, deveria satisfazer as mais conhecidas
propriedades alge´bricas, normalmente usadas (as operac¸o˜es cla´ssicas). As provas de todos estes fatos e´
longa e complicada.
Escolhemos, portanto, uma outra abordagem a` definic¸a˜o dos nu´meros reais, que e´ mais abstrata, dita
abordagem axioma´tica aos nu´meros reais.
Na definic¸a˜o seguinte, o leitor deve pensar em R em princ´ıpio sem nenhuma conexa˜o com os nu´meros
conhecidos; como se fosse um conjunto “abstrato”, encontrado pela primeira vez.
1
2
Definic¸a˜o axioma´tica de R. O conjunto R, dito dos ”nu´meros reais”, e´ um conjunto onde sa˜o
definidas duas operac¸o˜es, soma e produto, uma relac¸a˜o de ordem e um axioma de continuidade, tais que
as propriedades seguintes sejam verificadas:
S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;
S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);
S3) Existeˆncia do elemento neutro da soma: existe um elemento de R, denotado por 0, tal que,
∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e´ dito elemento neutro da soma;
S4) Existeˆncia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, b, dito oposto de a, tal que a + b = 0.
Este oposto b pode ser denotado por −a e a operac¸a˜o a+ (−a) = 0 pode ser escrita simplesmente
a− a = 0.
Analogamente temos propriedade do produto:
P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;
P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);
P3) Existeˆncia do elemento neutro do produto: existe um elemento de R, denotado por 1, tal que,
∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e´ dito elemento neutro do produto;
P4) Existeˆncia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, b tal que a · b = 1; b e´ dito
inverso de a e pode ser escrito como 1/a.
A propriedade distributiva liga soma e produto:
SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.
Em R e´ definida uma relac¸a˜o de ordem (total) que e´ conexa a` soma e ao produto pelas duas propriedades
seguintes:
OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, enta˜o a+ c ≤ b+ c;
OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, enta˜o ac ≤ bc.
Exerc´ıcio 4. Escreva a definic¸a˜o de relac¸a˜o de ordem em um conjunto. Deˆ exemplos, da vida real, de
relac¸o˜es de ordem e de relac¸o˜es que na˜o sa˜o de ordem.
Exerc´ıcio 5. Provar que o conjunto Q dos nu´meros racionais verifica todas as propriedades acima.
Exerc´ıcio 6. Provar, usando as propriedades acima dos nu´meros reais, as propriedades seguintes:
1) ∀a ∈ R, a · 0 = 0;
2) ∀a ∈ R, a > 0⇒ −a < 0;
3) ∀a, b ∈ R, se a > 0 e b < 0, enta˜o ab < 0;
3b) ∀a, b ∈ R, se a > 0 e b > 0, enta˜o ab > 0;
3c) ∀a, b ∈ R, se a < 0 e b < 0, enta˜o ab > 0;
4) ∀a, b, c ∈ R, se c < 0, se a ≤ b, enta˜o ac ≥ bc;
5) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se a2 ≤ b2.
6) ∀a, b,∈ R, com a > 0, b > 0, a ≤ b se e somente se 1/a ≥ 1/b;
7) nos itens 4,5,6 vale a desigualdade estrita tese se for verificada na hipo´tese?
O exerc´ıcio acima pode desorientar, parecendo o´bvio. De fato, queremos que as propriedades acima
sejam provadas so´ usando as 11 propriedades alge´bricas introduzidas acima em R, que deve ser pensado
como um conjunto abstrato.
Vamos agora introduzir o axioma de continuidade, aquilo que torna realmente diferente R de Q.
3
Definic¸a˜o 4. Dados dois nu´meros reais a e b, e´ dito intervalo de extremos a e b cada um dos conjuntos
seguintes:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
O primeiro e o quarto dos intervalos anteriores sa˜o ditos rispectivamente fechado e aberto. Na˜o esque-
cemos os intervalos
[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a},
(a,+∞) = {x ∈ R : x > a},
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.
O primeiro e o terceiro sa˜o fechados, enquanto o segundo e o quarto sa˜o aberto. Lembramos que +∞
e −∞ na˜o sa˜o elementos de R.
Consideramos agora uma sequeˆncia (infinita) de intervalos fechados, Ik = [ak, bk] tais que Ik ⊆ Ik−1 e
bk− ak = bk−1 − ak−1
2
. Na igualdade anterior, o nu´mero 2, que aparece pela primeira vez, e´ definido por
2 = 1 + 1, assim como todos os nu´meros inteiros usados para “contar” os intervalos sa˜o definidos como
somas de 1.
Observe que, acima, se o primeiro intervalo da sequeˆncia e´ denotado por Ik0 = [a0, b0] temos bk−ak =
b0 − a0
2k
.
Axioma de continuidade. Dada uma sequeˆncia (infinita) de intervalos fechados Ik como acima,
existe e e´ u´nico um elemento de R que pertence a todos os Ik.
Definic¸a˜o 5. Dado a > 0 se existe um nu´mero real b > 0 tal que b2 = a, chamamos b de raiz quadrada
de a.
Usando o axioma de continuidade poderiamos provar que cada a positivo (ou seja > 0) possui raiz
quadrada. Pore´m a prova sera´ feita depois da introduc¸a˜o das func¸o˜es cont´ınuas.
Exerc´ıcio 7. Usando as propriedades alge´bricas dos nu´meros reais, em particular o item 5 do exerc´ıcio
6, prove que a raiz quadrada de a > 0, se existir, e´ u´nica.
******
Exerc´ıcio 8. Seja U um conjunto, A e B subconjuntos de U . Denotamos por CUA o complementar de
A em U , ou seja o conjunto dos elementos de U que na˜o pertencem a A. Prove as seguintes leis (ditas de
De Morgan):
1) CU (A ∪B) = CUA ∩ CUB,
2) CU (A ∩B) = CUA ∪ CUB.
2. Quarta feira 19 de fevereiro de 2014
Exerc´ıcio 9. Prove que Q na˜o verifica o axioma de continuidade.
Exerc´ıcio 10. Provar as propriedades distributivas: dados treˆs conjuntos A, B e C,
4
1) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),
2) A ∩ (B∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
Como consequeˆncia do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte.
Teorema 6 (Princ´ıpio de Arquime´des). (com demonstrac¸a˜o) Dados dois nu´meros reais a, b com
0 < a < b, existe um nu´mero inteiro N tal que Na > b.
O teorema de Arquime´des permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 11. Prove, usando o Princ´ıpio de Arquimedes, que o conjunto dos nu´meros reais positivos
na˜o admite mı´nimo. Ou seja, provar que na˜o existe o nu´mero positivo menor de todos os outros.
Exerc´ıcio 12. Prove que, dados dois nu´meros reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um nu´mero
racional m/n tal que a < m/n < b e que existe um nu´mero racional s tal que a < s < b.
O exerc´ıcio acima mostra uma consequ¨eˆncia do Princ´ıpio de Arquimedes: o fato bem conhecido de
que entre dois nu´meros reais esta˜o infinitos nu´meros racionais e infinitos nu´meros irracionais.
Seja agora E um subconjunto de R. Um nu´mero real M e´ dito majorante de E se x ≤ M para todo
x ∈ E. Um nu´mero real m e´ dito menorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.
Um conjunto E e´ dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e´ dito
limitado inferiormente se admite pelo menos um menorante. E´ dito limitado se e´ limitado superiormente
e inferiormente.
Se E e´ limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mı´nimo dos majorantes; se E e´
limitado inferiormente definimos ı´nfimo de E, inf E, o ma´ximo dos minorantes. Se E e´ ilimitado superi-
ormente escrevemos supE = +∞, se E e´ ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.
O ma´ximo de um conjunto E e´ o elemento maior, se existe, enquanto o mı´nimo e´ o elemento menor,
se existe.
Um conjunto e´ dito finito se possui um nu´mero finito de elementos.
O fato seguinte e´ uma consequeˆncia do axioma de continuidade (em alguns livros e´ dado como o axioma
de continuidade).
Teorema 7 (Existeˆncia do supremo e do ı´nfimo). (com demonstrac¸a˜o) Um conjunto de nu´meros
reais, limitado superiormente (inferiormente) admite supremo (´ınfimo) em R.
Q na˜o verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exerc´ıcio. E´ uma consequ¨eˆncia
do fato que, por exemplo, na˜o existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.
3. Sexta feira 21 de fevereiro de 2014
Exerc´ıcio 13. Prove o Princ´ıpio de Arquimedes.
Exerc´ıcio 14. Deˆ a demonstrac¸a˜o do Teorema ??.
Exerc´ıcios: Determine o superemo e o ı´nfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o ma´ximo e o
mı´nimo.
15. (2, 3) 16. [0,+∞)
17. [−5, 1) ∪ (1, 4] 18. (0, 3] ∪ [3, 5]
5
19.
{
1− 1
n
, n ≥ 1
}
∪
{
1 +
1
n
, n ≥ 1
}
20.
⋃
n≥2
(
− 1
2n
, 1− 1
n
]
21. {x ∈ Q : x2 < 2} 22.
{
2n
n2 + 1
, n ∈ N
}
Exerc´ıcio 23. Determine supremo, ı´nfimo, ma´ximo e mı´nimo (se existem) do conjunto:
A =
{
1− 1
n
, n ≥ 1
}
,
Exerc´ıcio 24. Seja A =
⋃
n≥2
An, onde, para cada n, An =
(
− 1
2n
, 1− 1
n
]
. Determine supremo,
ı´nfimo, ma´ximo e mı´nimo (se existem).
Exerc´ıcio 25. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Provar que supA ≤ supB e
inf A ≥ inf B.
Dado un nu´mero real a, definimos mo´dulo (ou valor absoluto) de a nu´mero na˜o negativo
|a| =
{
a se a ≥ 0
−a se a < 0.
Exerc´ıcio 26. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,
|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.
Resolver algumas das inequac¸o˜es seguintes.
27. x2 − 2x− 1 ≤ 0 28. 3x2 − x+ 2 > 0
29.
x− 2
x+ 1
>
1
x− 1 30.
x2 + x− 1
x2 − 2x+ 1 ≤
1
2
31. x4 − 3
4
x2 >
1
4
32. x2 ≤ 1
33.
2
x
+ 3 <
4
x
− 1 34. 3
x2
+ 1 ≤ x2 − 1
35.
√
x− 1 < x− 3 36. √x2 + 2x− 1 > 3− x
37.
√
x− 1 < √x 38. |x2 − 4x− 5| > −x
39.
√−x < 5 + x 40. | − 6x+ 3| > −x+ 2
Topologia da reta real
Definic¸a˜o 8. Dados um elemento x ∈ R e um nu´mero δ, real e positivo, o intervalo (x− δ, x+ δ) e´ dito
vizinhanc¸a de x com raio δ. O nu´mero x e´ tambe´m chamado centro da vizinhanc¸a.
Definic¸a˜o 9. Um subconjunto A e´ de R e´ dito aberto se, para cada x ∈ A existe δ > 0 tal que
(x− δ, x+ δ) ⊆ A
Observe que na definic¸a˜o acima o raio δ depende evidentemente de x.
Definic¸a˜o 10. O conjunto vazio e´ aberto.
6
Podemos observar que a propriedade de ser aberto do conjunto vazio ∅ poderia ser obtida da definic¸a˜o
??, na˜o tendo nenhum elemento que possa na˜o respeitar a regra que a definic¸a˜o preveˆ.
Definic¸a˜o 11. (Veja-se o exerc´ıcio 8) Dado um subconjunto E de R, o conjunto dos elementos de R que
na˜o pertencem a E e´ dito complementar de E em R e denotado por CE.
Definic¸a˜o 12. Um subconjunto C de R e´ dito fechado se o complementar e´ aberto.
Exerc´ıcio 41. Um intervalo (a, b) e´ sempre uma vizinhanc¸a. Determine o centro e o raio.
Exerc´ıcio 42. Diga se os conjuntos seguintes sa˜o abertos, fechados, nem abertos nem fechados.
1. (2, 3] 2. [0, 2) ∩ [1, 5]
3. [0, 1] ∩Q 4. {x ∈ R : 1 < |x| < 2}
5. (0, 3] − {2} (”−” significa: tirando 2
do conjunto anterior)
6. {x ∈ R : x+ x2 < 2}
7. N 8. (0, 2) ∪ 3
Outros exerc´ıcios.
Rudin, p. 16, n. 1.
Apostol, p. 33, n. 3,4,5,7,8,10.
4. Segunda feira 24 de fevereiro de 2014
Exerc´ıcio 43. Prove as propriedades seguintes.
a) A unia˜o de uma famı´lia qualquer de conjuntos abertos e´ um aberto.
b) A intersec¸a˜o de uma famı´lia qualquer de conjuntos fechados e´ um fechado.
c) A intersec¸a˜o de um nu´mero finito de conjuntos abertos e´ um aberto.
d) A unia˜o de um nu´mero finito de conjuntos fechados e´ um fechado.
Exerc´ıcio 44. Mostre um exemplo de uma famı´lia infinita de conjuntos abertos cuja intersec¸a˜o na˜o e´
um aberto.
Exerc´ıcio 45. Mostre um exemplo de uma famı´lia infinita de conjuntos fechados cuja unia˜o na˜o e´ um
fechado.
Definic¸a˜o 13. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p ∈ R e´ dito ponto de fronteira de E se
cada vizinhanc¸a de p conte´m pontos de E e pontos de CE. A fronteira de E e´ o conjunto dos pontos de
fronteira e e´ denotada pelo s´ımbolo FE.
O leitor pode observar que, pela definic¸a˜o acima, um ponto de fronteira de um conjunto E pode
pertencer a E ou pode na˜o pertencer.
Proposic¸a˜o 14. (com demonstrac¸a˜o) Dado E ⊆ R, a unia˜o E ∪ FE e´ um conjunto fechado.
Exerc´ıcio 46. Prove que um conjunto E ⊆ R e´ fechado se e somente se FE ⊆ E.
Exerc´ıcio 47. Prove que, dado E ⊆ R, a fronteira de E e´ um conjunto fechado.
Exerc´ıcio 48. Prove a Proposic¸a˜o ??.
7
Definic¸a˜o 15. Dado um conjunto E contido em R, a unia˜o E ∪FE e´ dita fecho de E e e´ denotada por
E.
Exerc´ıcio 49. Dado E ⊆ R, prove que E e´ o mı´nimo conjunto fechado que conte´m E, ou seja, prove
que: se C e´ fechado e conte´m E, enta˜o E ⊆ C.
Definic¸a˜o 16. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p ∈ E e´ dito interior de E se existe uma
vizinhanc¸a (p− δ, p+ δ) contida em E.
Exerc´ıcio 50. E´ fa´cil provar que um ponto que pertence a E na˜o pode ser ao mesmo tempo interior e
de fronteira (mas uma das duas propriedaes sim, ele possui).
Exerc´ıcio 51. E´ igualmente fa´cil provar que o conjunto dos pontos interiores de E e´ aberto.
Exerc´ıcio 52. Determine os pontos interiores, a fronteira e o fecho dos conjuntos do exerc´ıcio 43.
Definic¸a˜o 17. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p ∈ R e´ dito ponto de acumulac¸a˜o de E
se cada vizinhanc¸a de p conte´m infinitos pontos de E.
Observac¸a˜o 18. O leitor observe que as definic¸o˜es de ponto de fronteira e de acumulac¸a˜o sa˜o distintas.
Por outro lado, analogamente aos pontos de fronteira, um ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto E pode
pertencer a E ou pode na˜o pertencer.
Exerc´ıcio 53. Determine os pontos interiores, a fronteira e o fecho dos conjuntos do exerc´ıcio 43.
Exerc´ıcio 54. Tente escrever um exemplo de conjunto infinito que tem so´ um ponto de fronteira.
Exerc´ıcio 55.Tente escrever um exemplo de conjunto que tem so´ um ponto de acumulac¸a˜o.
Observac¸a˜o 19. Observe que, se E e´ um conjunto finito, todos os pontos dele sa˜o de fronteira, enquanto
na˜o temos pontos de acumulac¸a˜o.
Teorema 20 (de Bolzano-Weierstrass). (com demonstrac¸a˜o) Um subconjunto limitado e infinito (ou
seja que possui infinitos elementos) possui (pelo menos) um ponto de acumulac¸a˜o.
5. Sexta feira 28 de fevereiro de 2014
Aula do Prof. Gaetano Siciliano. Exerc´ıcios sobre nu´meros reais e topologia da reta real.
6. Sexta feira 7 de marc¸o de 2014
Introduc¸a˜o a`s func¸o˜es
Definic¸a˜o 21 (de func¸a˜o). Dados A e B conjuntos quaisquer, uma func¸a˜o f : A → B e´ una lei que a
cada elemento de A associa um e so´ um elemento de B.
8
A se chama domı´nio da func¸a˜o, B e´ dito contradomı´nio. O conjunto dos valores atingidos por f se
chama imagem de f , em s´ımbolos, Im (f) ou f(A), ou seja:
Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.
Im (f) e´ um subconjunto do contradomı´nio (pode ser igual).
Uma func¸a˜o f e´ dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E´ dita sobre-
jetora se Im (f) = B. Se f e´ injetora e sobrejetora e´ chamada bijetora (ou correspondeˆncia biun´ıvoca).
Definic¸a˜o 22 (de func¸a˜o real). Dado um subconjunto E de R, uma func¸a˜o real com varia´vel real e´ uma
func¸a˜o f : E → R.
Observac¸a˜o 23. O curso de Ana´lise real aborda basicamente o estudo das func¸o˜es reais com varia´vel
real.
Alguns exemplos de func¸o˜es reais com varia´vel real.
(1) f : R→ R, f(x) = x.
(2) As poteˆncias com expoente inteiro e positivo, f : R→ R, definidas por f(x) = xn. As poteˆncias
sa˜o injetoras?
(3) f : [0, 1] → R, f(x) = x2. O domı´nio (e provavelmente a imagem desta func¸a˜o) e´ diferentes
daquele de g(x) = x2, se x ∈ R. Observe que, se duas func¸o˜es teˆm domı´nios diferentes sa˜o duas
func¸o˜es distintas, mesmo se possuem a mesma lei alge´bica que as define.
(4) Os polinoˆmios, ou seja, as somas finitas de poteˆncias com expoente inteiro e positivo e coeficientes
reais: p : R ∈ R, p(x) = ∑nj=1 ajxj .
(5) As func¸o˜es racionais, ou seja as frac¸o˜es de polinoˆmios f(x) = p(x)/q(x), definidas em conjuntos
onde o denominador na˜o se anula.
Os dois seguintes sa˜o exemplos de func¸o˜es definidas atrave´s de leis alge´bricas diferentes em
diferentes partes do domı´nio.
(6) f : R→ R, f(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0.
(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =
{
x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3
x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.
(8) A func¸a˜o sinal de x, definida em R, sign (x) =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0.
(9) A func¸a˜o parte inteira de x, definida em R, [x] e´ o maior inteiro relativo que na˜o supera x.
(10) A func¸a˜o de Dirichlet, f : R→ R, f(x) =
{
1 se x ∈ Q
0 se x ∈ R \Q.
Exerc´ıcio 56. Observe que, pela ferramenta que temos agora, na˜o e´ poss´ıvel determinar a imagem de
f(x) = x2 e das outras poteˆncias de expoente inteiro e positivo, com a u´nica excec¸a˜o do expoente 1.
Discuta este fato.
Exerc´ıcio 57. Responda a` pergunta do exemplo 2.
9
Exerc´ıcio 58. Quanto vale [1/2]? [−1/2]? [3]?
Definic¸a˜o 24. E´ dito gra´fico de uma f : E → R o subconjunto de R2
G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.
Observac¸a˜o 25. A func¸a˜o
√
x, assim como n
√
x, na˜o sabemos por enquanto se e´ definida e onde. Ou
seja, na˜o sabemos dizer sobre a existeˆncia da raiz quadrada e da raiz n-esima de um nu´mero real. Uma
resposta sera´ dada depois da introuduc¸a˜o das func¸o˜es cont´ınuas.
Exerc´ıcio 59. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E´ chamada impar
se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e´ par e que x
3 − x
x2 + 1
e´ impar.
Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma func¸a˜o dada. Dado um subconjunto C de B, e´ dito
imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.
Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a func¸a˜o g : B → R, definida por g(x) = f(x) para
todo x ∈ B e´ dita restric¸a˜o de f em B, o s´ımbolo e´ f |B .
Se f : A → B e´ injetora, definimos a func¸a˜o inversa de f como a func¸a˜o g : Im f → A que associa a
cada y ∈ Im f o u´nico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e´ tambe´m chamada invers´ıvel e a func¸a˜o
inversa e´ denotada, em geral, por f−1.
Observac¸a˜o 26. Cuidado: na˜o fac¸a confusa˜o entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e´
um conjunto e a func¸a˜o inversa, quando existe, que e´ uma func¸a˜o. A notac¸a˜o na˜o ajuda, sendo f−1 o
mesmo s´ımbolo para os dois conceitos.
Exerc´ıcio 60. Dada f : E → R, prove que, para todo D ⊆ R e C ⊆ E, temos f(f−1(D)) ⊆ D e
f−1(f(C)) ⊆ C. Procure exemplos onde vale a igualdade e outros onde vale a inclusa˜o estrita.
Em particular, prove que, se f e´ sobrejetora, vale f(f−1(D)) = D e que f−1(f(C)) = C se f e´ injetora.
Observac¸a˜o 27. O leitor pode ver que a definic¸a˜o de func¸a˜o invers´ıvel na˜o requer que a func¸a˜o seja
sobrejetora. Basta que seja injetora e acertar consequentemente o domı´nio da inversa como a imagem da
func¸a˜o inicial.
Sejam dadas duas func¸o˜es f : A → R e g : B → R, tais que Im (f) ⊆ B. Definimos func¸a˜o composta
g ◦ f : A→ R, a func¸a˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Analogamente, se Im (g) ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Uma func¸a˜o f : E → R e´ dita mono´tona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2
em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).
Uma func¸a˜o f : E → R e´ dita mono´tona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada
x1, x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).
Exerc´ıcio 61. Estudar a monotonia das func¸o˜es seguintes:
(1) f : R→ R, f(x) = x2,
(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,
(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) = |x|,
10
(4) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.
Exerc´ıcio 62. Provar que a soma de duas func¸o˜es crescentes e´ uma func¸a˜o crescente. A composic¸a˜o
de duas func¸o˜es crescentes e´ uma func¸a˜o crescente? E o produto? A inversa de uma func¸a˜o estritamente
crescente e´ uma func¸a˜o estritamente crescente?
Exerc´ıcio 63. E´ evidente que uma func¸a˜o estritamente mono´tona e´ invers´ıvel. E´ verdadeiro ou falso o
vice-versa, ou seja, que uma func¸a˜o invers´ıvel e´ estritamente mono´tona?
Uma func¸a˜o e´ dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e´ limitada (superior-
mente, inferiormente). Neste caso o supremo (´ınfimo) de f , sup f (inf f) e´, por definic¸a˜o, o supremo
(´ınfimo) de Im (f). Se f na˜o e´ limitada superiormente, dizemos que sup f = +∞. Se na˜o e´ limitada
inferiormente, dizemos que inf f = −∞.
Exerc´ıcio 64. Prove que cada func¸a˜o f : R→ R e´ soma de uma func¸a˜o par e de uma func¸a˜o impar.
7. Segunda feira 10 de marc¸o de 2014
As func¸o˜es cont´ınuas
Definic¸a˜o 28 (func¸a˜o cont´ınua). Sejam E um subconjunto de R, f : E → R uma func¸a˜o dada e
x ∈ E um ponto dado. Dizemos que f e´ cont´ınua em x se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que
f(x) ∈ (f(x)− ε, f(x) + ε) para todo x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩E. A f e´ dita cont´ınua se e´ cont´ınua em todos
os pontos do domı´nio.
Em outras palavras a definic¸a˜o acima diz que f e´ cont´ınua em x se, dada uma vizinhanc¸a V de f(x),
existe uma vizinhanc¸a U de x tal que f(U ∩ E) ⊆ V .
Exerc´ıcio 65. Sejam f : E → R uma func¸a˜o dada e x ∈ E um ponto isolado de E (um ponto isolado de
um conjunto e´ um ponto do conjunto que na˜o e´ de acumulac¸a˜o). Prove que f e´ cont´ınua em x.
O significado do conceito de continuidade em x (que e´ parecido – mas na˜o igual – ao de limite, que
veremos depois) diz que, quando x se aproxima de x, enta˜o f(x) se aproxima de f(x). Se x for isolado
em E, ele na˜o tem pontos que se aproximam. Portanto f e´ trivialmente cont´ınua em x; pore´m, por outro
lado, a continuidade na˜o e´ interessante no caso dos pontos isolados, porque o conceito de func¸a˜o cont´ınuaquer dizer que “a imagem muda pouco quando a varia´vel muda pouco”.
Exerc´ıcio 66. Prove que f(x) = x e´ cont´ınua em todos os x reais.
Exerc´ıcio 67. Prove que f(x) = |x| e´ cont´ınua em todos os x reais.
Exerc´ıcio 68. Dados c ∈ R e f : R → R, definida por f(x) = c para todo x (func¸a˜o constante), prove
que f e´ cont´ınua.
Dada f : E → R, um ponto x ∈ E tal que f na˜o e´ cont´ınua em x e´ dito ponto de descontinuidade.
Exerc´ıcio 69. Determine os pontos de descontinuidade das func¸o˜es parte inteira, sinal e da func¸a˜o de
Dirichlet.
Observac¸a˜o 29. Considerando f(x) = 1/x, na˜o e´ correto dizer que 0 e´ ponto de descontinuidade, porque
0 na˜o pertence ao domı´nio.
11
Exerc´ıcio 70. (dif´ıcil) (Veja Rudin pag. 76, ex. 10.) Seja f : (0, 1]→ R definida como
f(x) =
{
1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)
0 se x e´ irracional.
Prove que f e´ cont´ınua nos pontos irracionais de (0, 1] e descont´ınua nos racionais.
Proposic¸a˜o 30 (A´lgebra das func¸o˜es cont´ınuas). (com demonstrac¸a˜o) Sejam f : E → R, g : E → R
duas func¸o˜es cont´ınuas em um ponto x ∈ E. Enta˜o:
(1) f + g e´ cont´ınua em x;
(2) f · g e´ cont´ınua em x;
(3) f/g e´ cont´ınua em x (posto que g(x) 6= 0).
Observac¸a˜o 31. A prova da continuidade do quociente e´ mais fa´cil usando o Teorema da conservac¸a˜o
do sinal (Teorema ?? abaixo).
Exerc´ıcio 71. Grac¸as a` proposic¸a˜o acima e´ fa´cil verificar que os polinoˆmios e as func¸o˜es racionais sa˜o
cont´ınuas. Verifique os detalhes desta afirmac¸a˜o.
Proposic¸a˜o 32 (Continuidade das func¸o˜es compostas). (demonstrac¸a˜o por exerc´ıcio) Sejam duas
func¸o˜es f : A → R e g : B → R tais que Im (f) ⊆ B. Dado x ∈ A, suponhamos que f seja cont´ınua em
x e g em f(x). Enta˜o, g ◦ f e´ cont´ınua em x.
Vamos ver agora os teoremas cla´ssicos das func¸o˜es cont´ınuas. Entre as consequeˆncias deles, poderemos
finalmente definir a func¸a˜o raiz quadrada (mais em geral a raiz n-esima).
Teorema 33 (Conservac¸a˜o do sinal). (com demonstrac¸a˜o) Seja f : E → R uma func¸a˜o cont´ınua
em um ponto x ∈ E. Suponhamos f(x) > 0. Enta˜o existe uma vizinhanc¸a de x, (x − δ, x + δ), tal que
f(x) > 0 para todo x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ E.
O leitor na˜o tera´ dificuldade em adaptar o resultado acima ao caso em que f(x) seja negativo.
Exerc´ıcio 72. Prove os treˆs itens da a´lgebra das func¸o˜es cont´ınuas.
Exerc´ıcio 73. Prove a Proposic¸a˜o ??.
Exerc´ıcio 74. Prove o Teorema de conservac¸a˜o do sinal.
Exerc´ıcio 75. Prove que uma func¸a˜o f : R → R e´ cont´ınua se e somente se para cada aberto A (no
contradomı´nio) a imagem inversa dele, f−1(A), e´ um aberto (no domı´nio).
Outros exerc´ıcios.
Rudin, pag. 75, n. 5, 13, 15.
Apostol, pag. 166, n. 28; pag. 169, n. 21, 22.
8. Quarta feira 12 de marc¸o de 2014
A teoria das func¸o˜es cont´ınuas poderia ser elaborada para uma ana´lise matema´tica baseada nos
nu´meros racionais. Todos os resultados acima continuariam valendo. O seguinte na˜o. Ele precisa do
axioma da continuidade. Na˜o e´ por acaso que e´ dado para func¸o˜es definidas em intervalos.
Teorema 34 (de anulamento). (com demonstrac¸a˜o) Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua (em
[a, b]). Suponhamos f(a) · f(b) < 0. Enta˜o, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
12
Exerc´ıcio 76. Todas as hipo´teses do enunciado acima sa˜o importantes para a demonstrac¸a˜o (geralmente
e´ assim: se um teorema e´ corretamente expresso, na˜o tem hipo´teses supe´rfluas). O leitor procure exemplos
de func¸o˜es cont´ınuas em conjuntos que na˜o sa˜o intervalos para as quais o teorema de anulamento na˜o
vale.
Exerc´ıcio 77. O teorema de anulamento e´ um teorema de existeˆncia e na˜o fornece diretamente uma
te´cnica para encontrar a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o f(x) = 0. Todavia, um algoritmo para aproximar
soluc¸o˜es de equac¸o˜es f(x) = 0 e´ fa´cil para ser determinado. Seja f : [a, b] → R cont´ınua e tal que
f(a) · f(b) < 0. Seja c1 = a+ b
2
o ponto me´dio do intervalo. Se f(c1) = 0, o problema e´ resolvido. Sena˜o,
o novo intervalo [a1, b1] e´ obtido escolhendo aquela metade de [a, b] tal que f(a1) ·f(b1) < 0. Continuando
o processo, na˜o temos nenhuma certeza de encontrar uma soluc¸a˜o, mas sim uma sua aproximac¸a˜o. Se,
digamos, ao passo n, observamos que bn − an = b− a
2n
, o ponto me´dio c do n-e´simo intervalo tem uma
distaˆncia menor de
b− a
2n+1
de uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (embora na˜o tenhamos a menor ideia de quem seja
a soluc¸a˜o exata).
Consequeˆncia importante do Teorema de anulamento e o seguinte Teorema dos valores intermedia´rios.
Cabe ao leitor lembrar as definic¸o˜es de supremo e ı´nfimo de uma func¸a˜o (pag. ??).
Teorema 35 (dos valores intermedia´rios). (com demonstrac¸a˜o) Sejam I um intervalo de R e f : I → R
uma func¸a˜o cont´ınua. Enta˜o, a imagem de f e´ feita por todos os valores entre inf(f) e sup(f).
Observac¸a˜o 36. O teorema e´ falso se o domı´nio na˜o e´ um intervalo (pense em f(x) = 1/x que na˜o
admite zero como imagem).
Corola´rio 37. Uma func¸a˜o cont´ınua aplica intervalos em intervalos.
Grac¸as ao teorema dos valores intermedia´rios podemos finalmente resolver o problema da imagem de
x2 (e de muitas outras func¸o˜es). Problema que foi apresentado e na˜o resolvido na aula do dia 7 de marc¸o.
Pegamos por exemplo o domı´nio [0, 2] e f : [0, 2]→ R, definida por f(x) = x2.
Pelas propriedades alge´bricas dos nu´meros reais sabemos provar que: a) f(x) ≥ 0 para todo x; b) f
e´ estritamente crescente; c) atinge o ma´ximo em x = 2 e o mı´nimo em x = 0; d) o ma´ximo vale 4 e o
mı´nimo 0. Portanto a imagem de f e´ contida em [0, 4], mas podemos afirmar que coincide com [0, 4] so´
usando o teorema dos valores intermedia´rios.
O teorema dos valores intermedia´rios permite (finalmente) provar a existeˆncia da raiz quadrada de
um nu´mero positivo. Seja de fato a > 0 dado e seja a func¸a˜o x2 − a. Tal func¸a˜o e´ negativa em zero e
positiva para x suficientemente grande (pelo Teorema de Arquime´des). Portanto se anula em um ponto
b, evidentemente positivo. Ou seja existe b tal que b2 = a. Este b e´ a raiz quadrada de a, cuja unicidade
ja´ foi provada. Portanto podemos definir agora f : [0,+∞)→ R, f(x) = √x.
Outros exerc´ıcios.
Apostol, pag. 172, n. 1, 2, 3.
Este comentario final, abaixo, e´ uma parcial correc¸a˜o da ana´loga parte na pa´gina ??, onde teˆm algumas
impreciso˜es.
Como consequeˆncia do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte.
Teorema 38 (Princ´ıpio de Arquime´des). (com demonstrac¸a˜o) Dados dois nu´meros reais a, b com
0 < a < b, existe um nu´mero inteiro N tal que Na > b.
13
O teorema de Arquime´des permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 11. Prove, usando o Princ´ıpio de Arquimedes, que o conjunto dos nu´meros reais positivos
na˜o admite mı´nimo. Ou seja, provar que na˜o existe o nu´mero positivo menor de todos os outros.
Exerc´ıcio 12. Prove que, dados dois nu´meros reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um nu´mero
racional m/n tal que a < m/n < b e que existe um nu´mero irracional s tal que a < s < b.
As propriedades acima sa˜o de natureza alge´brica e tambe´m Q as verifica; na˜o sa˜o consequeˆncia do
Princ´ıpio de Arquimedes.
9. Sexta feira 14 de marc¸o de 2014
Exerc´ıcio 78. Raiz n-e´sima. Analogamente podemos definir a raiz n-e´sima de um nu´mero positivo se
n for par, e de um nu´mero real qualquer se n for impar. O leitor pode provar que a raiz existe e que
f(x) = n
√
x e´ definida em [0,+∞) se n e´ par e em R se n e´ impar.
Exerc´ıcio 79. Poteˆncias com expoente racional. Usando a definic¸a˜o de raiz n-e´sima e, em particular,
o fato de que ela existe, podemos definir uma poteˆncia com expoente racional.
Comec¸amos definindo x0 = 1 para cada x 6= 0. Esta definic¸a˜o, absolutamente abstrata, permitea
extensa˜o das propriedades das poteˆncias aos casos que envolvem x0: sabemos que xm/xm = 1. por outro
lado, se queremos aplicar xm/xm = xm−m, a u´nica possibilidade e´ dada da escolha acima.
Em seguida: dados x real e positivo e m,n inteiros positivos, definimos precisamente:
xm/n = n
√
xm =
(
n
√
x
)m
.
Podemos ir ale´m: dados x ∈ R e m inteiro positivo, definimos
x−m =
1
xm
.
As duas definic¸o˜es acima permitem definir
xm/n = n
√
xm =
(
n
√
x
)m
, x > 0, m, n ∈ Z,m, n 6= 0.
Observamos o seguinte.
a) A func¸a˜o f(x) = xm/n, definida em (0,+∞) pode ser extendida em 0 se na˜o tiver problema em
anulamento de denominadores. O leitor verifique para quais valores de m,n e´ poss´ıvel.
b) A func¸a˜o f(x) = xm/n, definida em (0,+∞) pode ser extendida aos x ≤ 0 se na˜o tiver problema
em anulamento de denominadores e raizes de ı´ndice par de nu´meros negativos. O leitor verifique para
quais valores de m,n e´ poss´ıvel.
c) O leitor prove que as poteˆncias de expoente racional verificam as cla´ssicas propriedades das poteˆncias:
xr · xs = xr+s, xr · yr = (xy)r, (xr)s = xrs. (O caso do expoente inteiro e´ imediato e na˜o precisa ser
aprofundado.)
d) A poteˆncia 00 na˜o e´ definida. O leitor pode tentar explicar quais poss´ıveis problemas encontraria
uma tentativa de associar um valor a 00.
Observac¸a˜o 39. O passo seguinte seria a definic¸a˜o de poteˆncia com expoente real. Nos cursos de Ca´lculo
na˜o e´ dedicado muito espac¸o ao aprofundamento deste conceito, e sa˜o usadas sem grandes problemas
func¸o˜es do tipo xα, onde x e´ real e positivo e α e´ real, e ax, onde a e´ real e positivo e x e´ real. (E´
inclusive definida a func¸a˜o xx para todo x real e positivo.) Fica claro que, por exemplo, 2pi na˜o pode
significar o produto do nu´mero 2 por si “pi vezes”. Uma possibilidade para definir 2pi e obte´-lo como um
14
processo de aproximac¸a˜o de sequeˆncias de poteˆncias 2m/n quando os expoentes racionais aproximam pi.
Mais simplesmente podemos definir
2pi = sup{2m/n, onde m,n ∈ N, e m/n < pi}.
por esta via na˜o e´ particularmente dif´ıcil (mas na˜o e´ totalmente trivial) provar que 2x e´ estritamente
crescente. Fica mais complicado todavia provar a continuidade e a derivabilidade.
A estrate´gia que usaremos neste curso para a apresentac¸a˜o das poteˆncias con expoente real sera´ outra.
Baseia-se na teoria da integrac¸a˜o e portanto na˜o pode ser desenvolvida agora. A avantagem principal
desta abordagem, ale´m do fato de permitir ao estudante ver um outro ponto de vista, e´ a extrema
facilidade da demostrac¸a˜o das principais propriedades de xα e ax.
* * *
Vamos ver agora a continuidade das func¸o˜es inversas. Primeiramente observamos o fato seguinte
(veja-se o exerc´ıcio 63). As func¸o˜es estritamente mono´tonas sa˜o invers´ıveis, mas o vice-versa e´ falso.
-
6
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@
@
@
@
O acima e´ o gra´fico de f : (−1, 1)→ R, f(x) =
{
−x se − 1 ≤ x < 0
x+ 1 se 0 ≤ x < 1.
Ale´m disso, e´ fa´cil ver que f e´ descont´ınua em zero. Por outro lado a func¸a˜o
g : (−1, 0) ∪ [1, 2] → R, g(x) =
{
−x se − 1 ≤ x < 0
x se 1 ≤ x ≤ 2 e´ cont´ınua e´ invers´ıvel, mas com inversa
descont´ınua em 1.
-
6
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�
�
�
�
@
@
@
@
@
Exerc´ıcio 80. Escreva a func¸a˜o inversa (determinando o domı´nio) e desenhe o gra´fico.
15
Sobre a relac¸a˜o entre invers´ıbilidade, monotonia e continuidade valem os resultados seguintes.
Lema 40. (com demonstrac¸a˜o) Seja I intervalo de R e f : I → R cont´ınua e invers´ıvel. Enta˜o, f e´
estritamente mono´tona em I.
O lema acima e´ usado para a demonstrac¸a˜o do teorema seguinte.
Teorema 41 (Continuidade da func¸a˜o inversa). (com demonstrac¸a˜o) Seja I intervalo de R e f : I → R
cont´ınua e invers´ıvel. Enta˜o, f−1 e´ cont´ınua.
Uma consequeˆncia do teorema acima e´ a continuidade de n
√
x (no oportuno domı´nio que depende do
fato de n ser par o impar). Usando a continuidade do quociente de func¸o˜es cont´ınuas e da composic¸a˜o, e´
fa´cil ver a continuidade de xm/n, m,n ∈ Z.
Exerc´ıcio 81. Apresente os detalhes das afirmac¸o˜es acima e prove o Lema ?? e o Teorema ??.
10. Segunda feira 17 de marc¸o de 2014
Seja f : E → R uma func¸a˜o definida em um subconjunto E de R qualquer. Definimos o ma´ximo de f ,
max(f) em s´ımbolos, o ma´ximo da imagem de f . O mı´nimo de f , min(f), e´ definido como o mı´nimo da
imagem de f .
E´ claro que temos inu´meros exemplos de func¸o˜es que na˜o possuem ma´ximo nem mı´nimo. O seguinte
teorema, devido a Weierstrass1, garante a existeˆncia do ma´ximo e do mı´nimo de uma func¸a˜o cont´ınua
definida em um conjunto limitado e fechado (um subconjunto limitado e fechado de R e´ chamado com-
pacto).
Teorema 42 (de Weierstrass). (com demonstrac¸a˜o) Uma func¸a˜o cont´ınua definida em um conjunto
compacto possui ma´ximo e mı´nimo.
Exerc´ıcio 82. A hipo´tese de compacidade do domı´nio e´ essencial. O leitor procure um exemplo de uma
func¸a˜o cont´ınua definida em um conjunto na˜o limitado que na˜o possui ma´ximo (ou mı´nimo) e um exemplo
de uma func¸a˜o cont´ınua definida em um conjunto na˜o fechado que na˜o possui ma´ximo (ou mı´nimo).
* * *
Vamos ver agora o conceito de continuidade uniforme.
Definic¸a˜o 43 (continuidade uniforme). Dado um subconjunto E de R, uma func¸a˜o f : E → R e´ dita
uniformemente cont´ınua se, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ E e |x − y| < δ, enta˜o
εf(x)− f(y)| < ε.
Teorema 44. (com demonstrac¸a˜o) Uma func¸a˜o cont´ınua definida em um conjunto compacto e´ uni-
formemente cont´ınua.
Exerc´ıcio 83. Deˆ a demonstrac¸a˜o do teorema anterior.
Exerc´ıcio 84. Prove que x2 (definida em R) na˜o e´ uniformemente cont´ınua. Prove che 1/x na˜o e´
uniformemente cont´ınua em (0, 1).
1Karl Weierstrass, 1815-1897, foi um dos grandes refundadores e reorganizadores da ana´lise matema´tica moderna, base-
ando o trabalho na clareza dos axiomas e das demonstrac¸o˜es.
16
Exerc´ıcio 85. (Apostol, pag. 166) Dar um exemplo de uma func¸a˜o que e´ cont´ınua num ponto de um
intervalo e descont´ınua em todos os outros pontos do intervalo, ou provar que na˜o existe uma tal func¸a˜o.
(Sugesta˜o: pense na func¸a˜o de Dirichlet.)
Outros exerc´ıcios.
Rudin, pag. 75, n. 6, 12.
11. Quarta feira 19 de marc¸o de 2014
Os limites de func¸o˜es
O conceito de limite de uma func¸a˜o esta´ relacionado a` continuidade de uma func¸a˜o. Contudo, os dois
conceitos sa˜o distintos. Na apresentac¸a˜o seguinte temos que dividir a definic¸a˜o de limite em va´rios casos.
Em alguns destes casos, por exemplo nos limites para x que tende para infinito, o limite na˜o tem conexa˜o
com o conceito de continuidade.
Primeiro tipo de limite (limite finito de uma func¸a˜o em um ponto).
Definic¸a˜o 45. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulac¸a˜o de E. Seja f : E → R uma
func¸a˜o dada. O nu´mero real l e´ dito limite de f(x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ E tal que 0 < |x− x| < δ.
Observac¸a˜o 46. Lendo com atenc¸a˜o a definic¸a˜o, percebemos que a definic¸a˜o acima na˜o cuida do valor da
func¸a˜o em x, que por sua vez pode na˜o pertencer a E (neste caso f(x) na˜o e´ definido) ou pode pertencer,
mas tendo l 6= f(x).
Se considerarmos, por exemplo, f : (−1, 1)→ R, f(x) =
{
x se x 6= 0
1 se x = 0
, podemos provar facilmente,
usando a definic¸a˜o, que limx→0 f(x) = 0 6= f(0) = 1.
Se considerarmos f : (0, 1) → R, f(x) = x, temos limx→0 f(x) = 0, mas f(0) na˜o existe, como 0 na˜o
pertence ao domı´nio.
No caso em que x ∈ E, a definic¸a˜o de limite dada acima e´ estritamente conexa com a continuidade
de f em x (enquanto, se x /∈ E, sabemos que a continuidade de f em x na˜o faz sentido). Em outras
palavras, e´ imediata a prova doteorema seguinte.
Teorema 47. Seja E um subconjunto de R e x ∈ E um ponto de acumulac¸a˜o de E. Uma func¸a˜o
f : E → R e´ cont´ınua em x se e somente se
lim
x→x
f(x) = f(x).
Exerc´ıcio 86. Prove o teorema acima.
Segunda parte da aula: exerc´ıcios em sala de aula de preparac¸a˜o para a P1.
12. Sexta feira 21 de marc¸o de 2014
Como uma aluna mostrou para mim, teˆm alguns erros: na definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua e no exercc´io
60. Em azul podem ser encontradas as correc¸o˜es.
17
Segundo tipo de limite (limite finito quando x tende para ±∞).
Definic¸a˜o 48. Sejam E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente e f : E → R uma func¸a˜o
dada. O nu´mero real l e´ dito limite de f(x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→+∞ f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ E, tal que x > r.
Exerc´ıcio 87. Escreva a definic¸a˜o acima no caso ana´logo onde x tende para −∞.
A prova dos dois teoremas seguintes pode ser dada desenvolvendo a mesma estrate´gia do ana´logo
resultado para as func¸o˜es cont´ınuas. Omitimos os detalhes.
Teorema 49 (Conservac¸a˜o do sinal para os limites).
Caso 1: Seja E um subconjunto de R e x um ponto de acumulac¸a˜o de E. Suponhamos
lim
x→x
f(x) = l ∈ R, l > 0.
Enta˜o existe uma vizinhanc¸a de x, (x− δ, x+ δ), tal que f(x) > 0 para todo x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ E.
Caso 2: Seja E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente). Suponhamos
lim
x→+∞
(ou x→−∞)
f(x) = l ∈ R, l > 0.
Enta˜o existe um intervalo I = (a,+∞) (ou I = (−∞, b) no caso em que x → −∞), tal que f(x) > 0
para todo x ∈ I ∩ E.
Exerc´ıcio 88. Prove o teorema acima no caso 2 (sendo o caso 1, de fato, igual ao teorema de conservac¸a˜o
do sinal para as func¸o˜es cont´ınuas, Teorema ??).
Teorema 50 (A´lgebra dos limites - formas finitas). Seja dada uma das duas situac¸o˜es seguintes:
1) E um subconjunto de R e x um ponto de acumulac¸a˜o de E; ou
2) E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente).
Sejam f, g : E → R duas func¸o˜es dadas. Sejam dados os limites
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R.
Enta˜o,
(1) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = l +m (soma);
(2) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);
(3) limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (quociente).
Exerc´ıcio 89. Prove, usando a definic¸a˜o de limite, que limx→+∞
1
x
= 0.
Segunda parte da aula: exerc´ıcios em sala de aula de preparac¸a˜o para a P1.
18
13. Segunda feira 24 de marc¸o de 2014
Prova P1.
14. Quarta feira 26 de marc¸o de 2014
Terceiro tipo de limite (limite infinito em um ponto).
Definic¸a˜o 51. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulac¸a˜o de E. Seja f : E → R uma
func¸a˜o dada. Dizemos que +∞ e´ o limite de f(x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x
f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.
Exerc´ıcio 90. Escreva a definic¸a˜o acima no caso ana´logo onde o limite e´ −∞.
Exerc´ıcios: prove, usando a definic¸a˜o de limite, que os limites seguintes sa˜o corretos.
91. lim
x→0
1
x2
= +∞ 92. lim
x→+∞
1
x2
= 0
Quarto tipo de limite (limite infinito quando x tende para ±∞).
Definic¸a˜o 52. Sejam E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente e f : E → R uma func¸a˜o
dada. Dizemos que +∞ e´ o limite de f(x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→+∞ f(x) = +∞,
se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ E, tal que x > r.
Exerc´ıcio 93. Escreva a definic¸a˜o acima nos casos ana´logos onde x tende para −∞ e o limite e´ −∞
(quantos sa˜o os casos?)
Exerc´ıcios: prove, usando a definic¸a˜o de limite, que os limites seguintes sa˜o corretos.
94. lim
x→0
1
x4
= +∞ 95. lim
x→+∞ x = +∞
96. lim
x→−∞ x
2 = +∞ 97. lim
x→+∞
x
x+ 1
= 1
No caso em que (pelo menos) um dos dois limites, de f ou de g seja infinito, temos alguns casos onde
podemos dar uma regra geral de resoluc¸a˜o do limite da soma, do produto e do quociente. Sa˜o as assim
chamadas “forma infinitas resolv´ıveis”. Temos outros casos nos quais uma regra geral na˜o existe e os
limites devem ser abordados caso a caso.
Os casos do teorema seguinte, assim como as “formas indeterminadas”, sa˜o bem conhecidos aos estu-
dantes desde o curso de Ca´lculo 1. Aqui so´ vamos apresentar os resultados que, por outro lado, na˜o sera´
necessa´rio mencionar em sala de a´ula, sendo outro o corac¸a˜o do curso de Ana´lise real.
19
Teorema 53 (A´lgebra dos limites - formas infinitas e resolv´ıveis). Seja dada uma das duas situac¸o˜es
seguintes:
1) E um subconjunto de R e x um ponto de acumulac¸a˜o de E; ou
2) E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente). Temos os casos seguintes:
1) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
2) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
3) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = +∞;
4) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞, enta˜o lim
x→x
(ou x→±∞)
(f(x) + g(x)) = −∞;
Produto: limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
5a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
5b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
5c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞;
5d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞;
limx→x
(ou x→±∞)
(f(x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
6a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
6c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = −∞;
Quociente: limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:
7a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
7b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x− δ, x+ δ);
20
7d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x− δ, x+ δ);
limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes:
7a) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m > 0;
7b) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = m ∈ R, m < 0;
7c) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = −∞ ou l < 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x− δ, x+ δ);
7d) se lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞ ou l > 0, e lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x− δ, x+ δ);
Na˜o temos a possibilidade de escrever uma a´lgebra dos limites para as formas seguintes. A existeˆncia
e o valor do limites nos casos seguintes depende do exerc´ıcio:
+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.
Os limites que se apresentam numa das formas anteriores sa˜o ditos em forma indeterminada.
Observac¸a˜o 54. Cabe destacar que um limite que se apresenta em uma forma indeterminada na˜o
significa que na˜o existe, mas que na˜o temos uma regra geral para determinar se existe e quanto vale.
Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem)
98. lim
x→0
x
x+ 1
99. lim
x→1
x2 + 1
x− 1
100. lim
x→0
x3 + x+ 3
4x2 − 2x+ 1 101. limx→+∞
2x+ x2
2x2 + x− 1
102. lim
x→+∞
x3 + 3x− 2x2 − 2x+ 1 103. limx→0
x2 + x− 4
2x2
104. lim
x→2
x2 + x− 5
x2 − 4x+ 4
Teorema 55 (do confronto dos limites). Primeiro resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto
de acumuluc¸a˜o de E ou seja E um subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente).
Sejam f, g, h : E → R func¸o˜es dadas. Suponhamos que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os
limites
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l, e lim
x→x
(ou x→±∞)
h(x) = l, onde l ∈ R.
Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = l.
21
Segundo resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumuluc¸a˜o de E ou seja E um
subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g : E → R func¸o˜es dadas.
Suponhamos que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l ∈ R,
e suponhamos que exista o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x).
Enta˜o, este limite e´ ≥ l.
Terceiro resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumuluc¸a˜o de E ou seja E um
subconjunto de R na˜o limitado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g : E → R func¸o˜es dadas.
Suponhamos que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = +∞.
Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(x) = +∞.
Exerc´ıcio 105. Prove o primeiro e o segundo resultado. Prove o caso x→ +∞ ou x→ −∞
Exerc´ıcio 106. Prove este terceiro resultado. Em seguida, deˆ o enunciado no outro caso poss´ıvel
(qual pode ser?).
Exerc´ıcio 107. Prove, usando a definic¸a˜o, que limx→0 |x| = 0.
Exerc´ıcio 108. Prove, usando a definic¸a˜o, que limx→+∞ n
√
x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.
Exerc´ıcio 109. Aplicac¸a˜o do teorema do confronto: prove que se f(x) e´ limitada e limx→x
(ou x→±∞)
g(x) =
0, enta˜o, limx→x
(ou x→±∞)
(f(x)g(x)) = 0.
Teorema 56 (limite de func¸o˜es compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o
limite
lim
x→x
(ou x→±∞)
f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.
Seja g(x) uma outra func¸a˜o dada e suponhamos que exista o limite
lim
x→l
g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.
Suponhamos que a composic¸a˜o g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x pro´ximo
de x. Enta˜o,
lim
x→x
(ou x→±∞)
g(f(x)) = m.
22
Observac¸a˜o: parece estranha a hipo´tese f(x) 6= l para x 6= x e x pro´ximo de x. Todavia, se na˜o for
verificada a condic¸a˜o, o limite da composic¸a˜o pode na˜o ser m, como no caso seguinte:
f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =
{
0 se x 6= 0
1 se x = 0.
E´ fa´cil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.
Uma condic¸a˜o suficiente que pode substituir a condic¸a˜o acima e´ g(l) = m, se m e l for reais, ou seja g
cont´ınua em l. Veja-se a Proposic¸a˜o ??.
Um exemplo de limite que pode ser provado usando o teorema acima e´
limx→+∞
√
x2 + 1 = +∞.
Exerc´ıcio 110. Calcule o limite acima, mostrando, nos detalhes, como e´ usado o teorema.
Definic¸a˜o 57 (limites direito e esquerdo). Seja E um subconjunto de R e x ∈ E um ponto de acumulac¸a˜o
direito de E, ou seja, tal que cada intervalo (x, x+ δ) possui (infinitos) pontos de E.2
Seja f : E → R uma func¸a˜o dada. O nu´mero real l e´ dito limite lateral direito de f(x) para x que
tende para x do lado direito, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x+
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (x, x+ δ) ∩ E.
Seja x ∈ E um ponto de acumulac¸a˜o esquerdo de E, ou seja, tal que cada intervalo (x − δ, x) possui
(infinitos) pontos de E.
Seja f : E → R uma func¸a˜o dada. O nu´mero real l e´ dito limite lateral direito de f(x) para x que
tende para x do lado direito, em s´ımbolos escreve-se
lim
x→x−
f(x) = l,
se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (x− δ, x) ∩ E.
Exerc´ıcio 112. Deˆ a ana´loga definic¸a˜o no caso de limites laterais quando l = +∞ ou −∞.
Teorema 58 (sem prova). Seja E um subconjunto de R e x ∈ E um ponto de acumulac¸a˜o direito e
esquerdo (i.e. bilateral) de E. Seja f : E → R uma func¸a˜o dada. Enta˜o:
lim
x→x
f(x) = l se e somente se lim
x→x+
f(x) = l = lim
x→x−
f(x).
Exerc´ıcios:
113. Diga qual e´, entre as seguintes, a definic¸a˜o correta do limite lim
x→4
f(x) = 7.
2Exerc´ıcio 111. Prove que, neste caso, e´ equivalente dizer ”pelo menos um ponto de E” ou ”infinitos pontos de E”. A
raza˜o e´ que o intervalo (x, x+ δ) ja´ exclui x. Justifique nos detalhes.
23
a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ
e x 6= 4 enta˜o, |f(x)− 7| < λ.
b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0,
se |x− 4| < µ enta˜o, |f(x)− 7| < λ.
c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe
x tal que |x− 4| < λ e |f(x)− 7| < µ.
d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que
se |x−4| < λ e x 6= λ enta˜o, |f(x)−7| <
µ.
e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se
|x− 4| < λ e x 6= 4 enta˜o |f(x)− 7| < µ.
f) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
114. Suponhamos que
lim
x→+∞ f(x) = −∞.
Diga qual, entre as afirmac¸o˜es seguintes, e´ correta .
a) Se x > 0 enta˜o f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para
cada x > ε.
c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que
para x > η temos f(x) > ε > 0.
d) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
115. Consideramos a proposic¸a˜o seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I,
seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e que lim
x→x0
f(x) = 0.
Enta˜o, lim
x→x0
g(x) = 0. A proposic¸a˜o e´:
a) Verdadeira se colocamos a hipo´tese su-
plementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.
b) Verdadeira se colocamos a hipo´tese
suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.
c) Verdadeira sem necessidade de outras
hipo´teses suplementares.
d) Verdadeira se colocamos a hipo´tese
suplementar f(x0) = g(x0) = 0.
e) Falsa, tambe´m colocando as hipo´teses
suplementares acima.
116. Dada f : R→ R, suponhamos que lim
x→+∞f(x) = −∞. Enta˜o:
a) f e´ decrescente. b) lim
x→+∞f(x
2) = +∞.
c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x ≥ m.
e) lim
x→−∞f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e´ cor-
reta.
117. Dada f : N → N, f(x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das
afirmac¸o˜es sa˜o corretas.
a) f e´ injetora. b) f e´ sobrejetora.
c) f e´ limitada inferiormente. d) A notac¸a˜o f(x) = x+ 1 non faz sen-
tido porque o domı´nio e´ N e a varia´vel a
ser usada deve ser denotada por n.
Exerc´ıcio 118. Procure uma f : R→ R que na˜o seja crescente, mas que verifique
lim
x→+∞ f(x) = +∞. Esta func¸a˜o deve ser definitivamente crescente? Isto e´, existe r
tal que f e´ crescente em (r,+∞)?
24
15. Sexta feira 28 de marc¸o de 2014
A derivada de uma func¸a˜o: definic¸a˜o e algumas aplicac¸o˜es
Seja I um intervalo de R, f : I → R uma func¸a˜o dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equac¸o˜es
y = f(x0) +m(x− x0) representam as retas secantes ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) (so´ excluindo
a reta vertical que tem equac¸a˜o x = x0).
Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no gra´fico de f , (x, f(x)). O quociente
f(x)− f(x0)
x− x0
se chama raza˜o incremental de f , relativa a x0 e x e e´ o coeficiente angular da secante por (x0, f(x0))
e (x, f(x)). Se existe o limite desta raza˜o quando x → x0, este limite da´, intuitivamente, o coeficiente
angular de uma “reta posic¸a˜o limite” das secantes (quando x→ x0).
Definic¸a˜o 59. Se existe e e´ finito o limite
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = l,
enta˜o dizemos que f e´ deriva´vel em x0 e o nu´mero l se chama derivada de f em x0.
a derivada de f em x0 (se existe) e´ denotada, normalmente, por um dos s´ımbolos seguintes:
f ′(x0),
df
dx
(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0 .
O primeiro e´ aquele mais comun.
Uma outra forma de escrever a raza˜o incremental e portanto o limite acima e´ obtida pondo x−x0 = h.
Temos
f(x0 + h)− f(x0)
h
e lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
,
A noc¸a˜o de derivada e´ pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de umafunc¸a˜o em um ponto.
Dada f : I → R, se f e´ deriva´vel em todos os pontos de I, dizemos que f e´ deriva´vel e fica bem definida
uma nova func¸a˜o, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.
Se f e´ deriva´vel x0, a reta de equac¸a˜o y = f(x0) + f
′(x0)(x − x0) e´ definida reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (x0, f(x0)).
Atenc¸a˜o: a precedente e´ a definic¸a˜o de reta tangente; outras poss´ıveis definic¸o˜es, como “a reta que
encosta o gra´fico so´ em um ponto”, sa˜o corretas so´ em casos muito particulares, por exemplo a circun-
fereˆncia.
Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).
-
6
x1 x0
-
6
HHHHHHHHHHHH
x0
25
Exerc´ıcio 119. Na para´bola de equac¸a˜o y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a` parabola
forma um aˆngulo de pi/4 com o eixo x.
Derivadas de algumas func¸o˜es elementares.
FUNC¸A˜O f(x) DERIVADA f ′(x)
c (func¸a˜o constante) 0
xn (n ∈ N, n ≥ 1) nxn−1
Exerc´ıcio 120. Prove os resultados da tabela acima.
Exerc´ıcio 121. Dados os gra´ficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gra´ficos das derivadas.
-
6
c a
-
6
a b
-
6
c da
-
6
c d
Exerc´ıcio 122. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so´ a` forc¸a peso (desconsiderando o
atrito do ar). A func¸a˜o espac¸o dependendo do tempo e´ s(t) =
1
2
gt2, onde g e´ a constante gravitacional
terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.
Exerc´ıcio 123. Seja f(x) = x3. Calcule, usando a definic¸a˜o de derivada, f ′(0), f ′(−2), f(1/2).
Exerc´ıcio 124. Prove que a derivada de uma func¸a˜o par (e deriva´vel) e´ uma func¸a˜o impar; e que a
derivada de uma func¸a˜o impar (e deriva´vel) e´ uma func¸a˜o par.
Exerc´ıcio 125. Prove que a func¸a˜o |x| na˜o e´ deriva´vel em zero.
26
16. Segunda feira 31 de marc¸o de 2014
Proposic¸a˜o 60 (Continuidade de uma func¸a˜o deriva´vel). (com demonstrac¸a˜o) Seja f : I → R uma
func¸a˜o deriva´vel em um ponto x0 ∈ I. Enta˜o, f e´ cont´ınua em x0.
Proposic¸a˜o 61 (Algebra das derivadas). (com demonstrac¸a˜o) Sejam f, g : I → R duas func¸o˜es
deriva´veis em um ponto x0 ∈ I. Enta˜o sa˜o deriva´veis em x0 as func¸o˜es f ± g, f · g, 1/g e f/g (nestes
u´ltimos dois casos se g(x0) 6= 0) e temos as fo´rmulas seguintes:
(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),
(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),
(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),
(4) (1/g)′(x0) = − g
′(x0)
(g(x0))2
,
(5) (f/g)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
(g(x0))2
Como exemplo, se n e´ inteiro positivo e x 6= 0, D 1
xn
= −n 1
xn+1
Proposic¸a˜o 62 (Derivada da func¸a˜o composta). (com demonstrac¸a˜o) Sejam dadas duas func¸o˜es
f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f deriva´vel em um ponto x0 ∈ I e g deriva´vel em
y0 = f(x0). Enta˜o g ◦ f e´ deriva´vel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f ′(x0).
Demonstrac¸a˜o. Dado x ∈ I, consideramos a raza˜o incremental
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 .
Vamos dividir a prova em dois casos. Caso A: suponhamos que exista um intervalo (x0 − a, x0 + a) tal
que f(x) 6= f(x0) para todo x ∈ (x0 − a, x0 + a) ∩ I e (obviamente) x 6= x0. Neste caso temos
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 =
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0)
f(x)− f(x0)
x− x0 . (1)
Ou seja, para todo x ∈ (x0 − a, x0 + a) ∩ I e x 6= x0 podemos escrever o quociente com f(x)− f(x0) no
denominador. Consideramos agora a func¸a˜o h : J → R, definida por
h(y) =

g(y)− g(y0)
y − y0 se y 6= y0
g′(y0) se y = y0.
Sendo g deriva´vel em y0, enta˜o h e´ cont´ınua em y0 (consequeˆncia direta do teorema ??). A composic¸a˜o
h ◦ f : (x0 − a, x0 + a) ∩ I → R e´ definida por
(h ◦ f)(x) =

g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x)0 se x 6= x0
g′(y0) se x = x0.
27
O leitor pode fazer as (simples) contas que justificam esta u´ltima fo´rmula. Aplicando a proposic¸a˜o ??,
temos a continuidade de h ◦ f em x0, portanto (de novo pelo teorema ??) temos o limite
lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0) = g
′(y0).
Por outro lado, pela derivabilidade de f em x0, temos
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = f
′(x0).
Enfim, pela a´lgebra dos limites (nas formas finitas – teorema ??),
lim
x→x0
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 = g
′(y0) · f ′(x0).
Caso B: vamos agora eliminar a hipo´tese auxiliar do caso A. Portanto, na˜o sabendo para quais valores de
x temos f(x) 6= f(x0), temos que proceder com cuidado. Contudo, uma pequena variac¸a˜o do me´todo do
caso A continua valendo neste sentido: seja h como acima. A diferenc¸a com o caso A esta´ na composic¸a˜o
G(x) = (h ◦ f)(x) =

g(f(x))− g(f(x0))
f(x)− f(x0) se f(x) 6= f(x0)
g′(y0) se f(x) = f(x0).
G e´ cont´ınua em x0 e portanto
lim
x→x0
G(x) = g′(y0).
Por outro lado, na˜o sendo poss´ıvel escrever a igualdade (??) acima, consideramos
g(f(x))− g(f(x0))
x− x0 = G(x)
f(x)− f(x0)
x− x0 .
(O leitor verifique que a igualdade acima e´ verifica tambe´m quando f(x) = f(x0) sendo trivialmente nulos
os dois membros). Os limites das duas func¸o˜es do segundo membro existem. Pela a´lgebra dos limites
temos finalmente a tese do teorema. �
17. Quarta feira 2 de abril de 2014
Proposic¸a˜o 63 (Derivada da func¸a˜o inversa). (com demonstrac¸a˜o) Seja I intervalo, f : I → R
invers´ıvel e g : Im (f)→ R a func¸a˜o inversa de f . Seja f cont´ınua em um ponto x0 e a inversa cont´ınua
em y0 = f(x0). Se f e´ deriva´vel em x0 e f
′(x0) 6= 0, enta˜o, g e´ deriva´vel em y0 e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).
Exerc´ıcio 126. Prove a proposic¸a˜o acima.
Como aplicac¸a˜o dos u´ltimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas.
FUNC¸A˜O f(x) DERIVADA f ′(x)
n
√
x (= x1/n)
1
n
x1/n−1 (veja-se a analogia com as outras fo´rmulas)
xm/n (m,n inteiros)
m
n
xm/n−1 (veja-se a analogia com as outras fo´rmulas)
Exerc´ıcio 127. Encontre um ponto P na hipe´rbole de equac¸a˜o y =
1
1 + x
tal que a tangente por P
encontre a origem do plano.
28
Exerc´ıcio 128. Encontre a equac¸o˜es das tangentes a` para´bola y = x2 − 4x + 3 que passam pela
origem.
Exerc´ıcio 129. Calcule a a´rea do triaˆngulo que tem como vertices os pontos comuns das para´bolas
y = x2 e y = x − x2 e o ponto de intersec¸a˜o entre o eixo das abscissas e a tangente a` para´bola 2y = x2
em (−2, 2).
Exerc´ıcios. Determine em quais pontos sa˜o deriva´veis as func¸o˜es seguintes e calcule as derivadas.
130. signx · x2 √|x|
131. |x2 + x| 132. [x]
Exerc´ıcios. Calcule as derivadas das func¸o˜es seguintes.
133. x sen 2x 134. cos( senx)
135.
x2 + 2
x3 − 3x 136. cos
(
x− 1
x+ 2
)
137. arctg
√
x 138.
√
arctgx
139.
senx2
tg (x+ 2)
140.
√
x+
1
3
√
x4 + 1
Exerc´ıcio 141. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico em (x0, f(x0)) da func¸a˜o seguinte.
142. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2
Exerc´ıcio 143. Diga em quais pontos a func¸a˜o seguinte e´ deriva´vel e calcule a derivada (nos pontos
onde existe). Depois, diga se a derivada e´ cont´ınua.
f(x) =

2x
x2 + 2
x > 0
0 x = 0
x
−x2 − 3 x < 0
Vamos estudar agora os ma´ximos e mı´nimos, absolutos e relativos.
Definic¸a˜o 64. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma func¸a˜o.
a) O ma´ximo absoluto de f e´ o ma´ximo (se existe) da imagem de f . O mı´nimo absoluto de f e´ o
mı´nimo (se existe) da imagem de f .
b) Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de ma´ximo absoluto se f(x0) e´ o ma´ximo absoluto de f . Um
ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de mı´nimo absoluto se f(x0) e´ o mı´nimo absoluto de f .
c) Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de ma´ximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que
f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A∩(x0−δ, x0+δ). Um ponto x0 ∈ A e´ dito ponto de mı´nimo relativo
se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).
29
Exerc´ıcio 144. Seja a func¸a˜o f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, oma´ximo e o mı´nimo de f (porque existem?) e os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos.
Exerc´ıcio 145. Determine, justificando a resposta, os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e
relativo de f(x) =

x2 se − 1 ≤ x < 0
2 se x = 0
3− x se 0 < x ≤ 3
.
As definic¸o˜es acima envolvem func¸o˜es quaisquer, ou seja, que podem ser ou na˜o ser cont´ınuas nem
deriva´veis. Contudo, se a func¸a˜o estudada e´ deriva´vel, a sua derivada nos da´ informac¸o˜es sobre os
ma´ximos e os mı´nimos.
Teorema de Fermat. ((com demonstrac¸a˜o)) (Condic¸a˜o necessa´ria para a existeˆncia dos pontos
de ma´ximo ou de mı´nimo relativo.) Seja I intervalo de R e f : I → R uma func¸a˜o dada. Seja x0 um
ponto interior de I (ou seja, um ponto que pertence a I, mas na˜o e´ extremo) e seja tambe´m um ponto
de ma´ximo ou de mı´nimo relativo de f . Suponhamos que f seja deriva´vel em x0. Enta˜o, f
′(x0) = 0.
Dada uma func¸a˜o f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto cr´ıtico ou ponto
estaciona´rio.
Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domı´nio sa˜o internos e f e´ deriva´vel. Sabemos que
x = 0 e´ ponto de ma´ximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f ′(0) = 0,
coisa que pode ser calculada facilmente.
O vice-versa do teorema na˜o vale. Dada uma func¸a˜o f , se f ′(x0) = 0, na˜o sabemos se x0 e´ ponto de
ma´ximo ou mı´nimo relativo. x = 0 e´ ponto cr´ıtico de f(x) = x3, mas na˜o e´ ponto de ma´ximo nem de
mı´nimo relativo.
O teorema de Fermat e´ usado so´ para estudar pontos interiores ao domı´nio. Se, por exemplo, consi-
deramos f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e´ ponto de mı´nimo e 1 e´ ponto de ma´ximo. Pore´m, f ′(x) = 1,
para todo x. Neste caso os pontos de ma´ximo e de mı´nimo sa˜o os extremos do domı´nio; o teorema de
Fermat na˜o pode ser aplicado.
Resumindo, os pontos de ma´ximo ou de mı´nimo relativo de uma func¸a˜o f : I → R, devem ser
procurados entre:
(1) os pontos internos do domı´nio onde f e´ deriva´vel e a derivada e´ zero;
(2) os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel;
(3) os extremos de I.
Exemplo: f(x) = x3/3 − x2/2 − 3; a func¸a˜o e´ definida em R, que e´ aberto (todos os pontos sa˜o
interiores), e´ deriva´vel em R e a derivada se anula em 0 e 1. Estes dois pontos sa˜o candidatos a ser pontos
de ma´ximo ou de mı´nimo relativo, mas ainda na˜o temos condic¸o˜es suficientes para dizer se de fato sa˜o.
Para estudar pontos de ma´ximo ou de mı´nimo relativo, precisamos de um teorema, o Teorema do valor
me´dio ou de Lagrange, que e´ um dos mais importantes da Ana´lise matema´tica. Veremos este teorema
em breve. O exerc´ıcio seguinte formhece condic¸o˜es suficientes para obter pontos de ma´ximo ou mı´nimo
relativo, so´ no caso de extremos de intervalos.
Exerc´ıcio 146. Seja f : [a, b]→ R deriva´vel. Prove (pelo menos) uma das relac¸o˜es seguintes:
(1) se f ′(a) > 0, enta˜o a e´ ponto de mı´nimo relativo;
30
(2) se f ′(a) < 0, enta˜o a e´ ponto de ma´ximo relativo;
(3) se f ′(b) > 0, enta˜o b e´ ponto de ma´ximo relativo;
(4) se f ′(b) < 0, enta˜o b e´ ponto de mı´nimo relativo.
18. Sexta feira 4 de abril de 2014
Exerc´ıcios em sala de aula.
Exerc´ıcio 1: entre todos os nu´meros reais, na˜o negativos, cuja soma e´ 1, determine aqueles cujo produto
e´ ma´ximo.
Ideia da resoluc¸a˜o: se x, y sa˜o reais e ≥ 0, a func¸a˜o (de duas varia´veis) produto f(x, y) = xy eviden-
temente na˜o tem ma´ximo. Contudo, x e y tem o v´ınculo y = 1− x; portanto podemos montar a func¸a˜o
g(x) = x(1 − x), definida em [0, 1]. A g(x) possui ma´ximo absoluto porque podemos aplicar o Teorema
de Weierstrass. Lembrando da lista de candidatos a serem pontos de ma´ximo absoluto (pag. ??), temos
0, 1 e o (u´nico) ponto cr´ıtico interior, que e´ 1/2. A comparac¸a˜o das imagens determina a soluc¸a˜o do
exerc´ıcio.
Exerc´ıcio 147. Refac¸a de novo o excerc´ıcio. Ale´m disso, qual e´ o mı´nimo do produto?
Exerc´ıcio 148. O exerc´ıcio tem uma leitura geome´trica e pode ser equivalentemente formulado assim:
entre todos os retaˆngulos de per´ımetro fixado, igual a 2, determine aquele de a´rea ma´xima. Existe o
retaˆngulo de a´rea mı´nima?
Exerc´ıcio 149. (Generalizac¸a˜o do exerc´ıcio 1 acima.) Determine o ma´ximo de f(x) = xm(1−x)n, onde
m,n sa˜o inteiros positivos fixados e x ∈ [0, 1].
Exerc´ıcio 2: entre todos os nu´meros reais a e b, na˜o negativos e tais que a2 + b2 = 1, determine aqueles
cuja soma e´ ma´xima.
Exerc´ıcio 150. Analogamente ao exerc´ıcio anterior, este tambe´m tem uma leitura geome´trica e pode
ser equivalentemente formulado assim: entre todos os retaˆngulos inscritos numa circunfereˆncia de raio 1
determine aquele de per´ımetro ma´ximo. Existe o retaˆngulo de per´ımetro mı´nimo? Enuncie e aborde os
ana´logos problemas relativos a` a`rea ma´xima e mı´nima.
Exerc´ıcio 151. Enuncie e aborde os ana´logos problemas relativos aos retaˆngulos circumscritos.
Exerc´ıcio 3. No desenho seguinte temos duas tor-
res de altura a e b, respectivamente, e distaˆncia
d. Um passaro voa da cima da primeira torre,
encosta o cha˜o em P a vai para cima da segunda
torre. Ele percorre caminhos retos. Determine
P tal que o caminho percorrido seja mı´nimo. O
exerc´ıcio da´ a possibilidade de comparar o resul-
tado obtido com a lei de reflexa˜o da luz e a lei dos
senos de Snell sobre a refrac¸a˜o.
C
A
D
B
P
\
\
\
\
\\fi
fi
fi
fi
fi
fi
fi
fi
Exerc´ıcios Diga se existem o ma´ximo e o mı´nimo absolutos (e os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto)
das func¸o˜es seguintes nos conjuntos indicados ao lado.
31
152. x2 +
2
x
, (0,+∞) 153. x
1 + x2
, R
154. x− [x], R 155. x
2
1 + x2
, R
Exerc´ıcio 156. Divida 8 em duas partes tais que seja mı´nima a soma dos cubos delas.
Exerc´ıcio 157. Seja V o volume de um prisma reto, cuja base e´ um triaˆngulo equila´tero. Determine
o lado do triaˆngulos tal que a a´rea total seja mı´nima.
Exerc´ıcio 158. Entre todos os cilindros inscritos na esfera de raio 1 determine:
a) aquele de a´rea lateral ma´xima;
b) aquele de a´rea total ma´xima.
Exerc´ıcio 159. Entre todos os cones inscritos na esfera de raio 1 determine:
a) aquele de volume ma´ximo;
b) aquele de a´rea lateral ma´xima;
c) aquele de a´rea total ma´xima.
Exerc´ıcio 160. Entre todos os retaˆngulos de per´ımetro fixado determine aquele de a´rea ma´xima. Existe
aquele de a´rea mı´nima?
Exerc´ıcio 161. Entre todos os retaˆngulos de a´rea fixada determine aquele de per´ımetro mı´nimo. Existe
aquele de per´ımetro ma´ximo?
Exerc´ıcio 162. Seja dado um triaˆngulo retaˆngulo T . Denotamos por a e b as medidas dos catetos. Seja
dada a definic¸a˜o seguinte: um reta´ngulo e´ dito inscrito em T se dois dos seus lados esta˜o sobre os catetos
do triaˆngulo e um dos seus ve´rtices h esta´ na ipotenusa. Determine, entre todos os reta´ngulos inscritos
em T , aquele de a´rea ma´xima.
Exerc´ıcio 163. Seja dado um retaˆngulo de papela˜o (veja-se a figura abaixo), cujos lados medem h e
b respectivamente. Queremos construir uma caixa cortando, nos cantos, quatro quadrados de lado l e
levantandos os pedac¸os que sobram. Determine l tal que o volume seja ma´ximo.
Resposta: l =
b+ h−√b2 + h2 − bh
6
.
b
h
l 6
?
-ff
Exerc´ıcio 164. Queremos produzir latas de bebida gastando a menor quantidade poss´ıvel de alumı´nio.
Supondo que uma lata de bebida seja um cilindro circular reto, com a capacidade de V dada (por exemplo
350 ml), determine o raio da base e a altura que rendem a a´rea total mı´nima.
Resposta: r = 3
√
V
2pi
Exerc´ıcio 165. Entre todas as piraˆmides retas de base quadrada e de a´rea total fixada determine aquela
de volume ma´ximo.
32
Exerc´ıcio 166. No desenho abaixo o arco acima do retaˆngulo e´ a semicircunfereˆncia de dia´metro igual
a` base do retaˆngulo. Entre todas as figuras deper´ımetro fixado P , determine a medida dos lados que
rendem a a´rea ma´xima.
Exerc´ıcio 167. Imagine que o desenho na esquerda represente uma praia. Em B temos o nosso guarda-
sol. Queremos ir ao bar que esta´ em C. No ponto O comec¸a uma calc¸ada de madeira que chega ate´ o
bar, e onde podemos andar mais rapidamente do que na are´ia.
Suponhamos que a velocidade na are´ia seja 1 metro ao segundo, enquanto na calc¸ada 2m/sec. Supon-
hamos que os segmentos OB e OC sejam perpendiculares. Ale´m disso, a calc¸ada tem 10 metros de
comprimento, enquanto OB e´ 15 m. Partindo de B, determine em qual ponto da calc¸ada precisa entrar
(continuando dal´ı ate´ o bar) para render mı´nimo o tempo para chegar ao bar.
Exerc´ıcio 168. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre as para´bolas de
equac¸o˜es 2y = 4− x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2 − x− 6, determine aquele de comprimento ma´ximo.
B. O.
C.
-
6
Outros exerc´ıcios.
Rudin, p. 85, n. 1,2,5,6,7,8.
Apostol, p. 228, fac¸a alguns.
19. Segunda-feira, 7 de abril de 2014
Teorema 65 (de Rolle). (com demonstrac¸a˜o) Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e
deriva´vel em (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
33
Teorema 66 (de Lagrange ou do valor me´dio). (com demonstrac¸a˜o) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o
cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b). Enta˜o, existe um ponto c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
O Teorema de Lagrange permite (ale´m de ser um dos mais importantes resultados da Ana´lise) ligar a
derivada a` monotonia de uma func¸a˜o.
Teorema 67 (Primeiro teorema de monotonia de uma func¸a˜o). (com demonstrac¸a˜o) Seja I um
intervalo e f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel em todos os pontos de I. Enta˜o:
a) f e´ crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ I;
b) f e´ decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ I.
Se a func¸a˜o na˜o e´ definida em um intervalo, as implicac¸o˜es
f ′(x) ≥ 0 para todo x =⇒ f e´ crescente
f ′(x) ≤ 0 para todo x =⇒ f e´ decrescente
sa˜o falsas. A func¸a˜o 1/x e´ definida em R\{0}, possui derivada negativa para todo x 6= 0, mas na˜o e´
decrescente (e´ decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente).
Se a func¸a˜o na˜o e´ definida em um intervalo, as implicac¸o˜es
f e´ crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x
f e´ decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x
continuam valendo.
Observac¸a˜o 68. Mais precisamente e voltando ao teorema, vamos decompor as duas implicac¸o˜es do
item a):
i) f e´ crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x
ii) f ′(x) ≥ 0 para todo x =⇒ f e´ crescente.
O item i) acima e´ um resultado pontual, enquanto o item ii) e´ um resultado global, mais profundo.
Ou seja: a derivabilidade de f em todo I parece um resultado global, mas e´ simplesmente a ”soma” da
derivabilidade em todos os pontos, ou seja uma collec¸a˜o de resultados pontuais. O crescimento de uma
func¸a˜o, por outro lado, pode ser pensado so´ globalmente no domı´nio e nunca faz sentido dizer que uma
func¸a˜o e´ crescente em um ponto x.
De fato o item i) so´ precisa do teorema da conservac¸a˜o do sinal dos limites e na˜o usa o Teorema de
Lagrange, que, por outro lado, e´ crucial no item ii). Justamente, o item ii) cai se o domı´nio na˜o e´ um
intervalo, enquanto o i) continua valendo.
Observac¸a˜o 69. A implicac¸a˜o ⇐= do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em uma versa˜o
um pouco mais geral (e muito mais u´til nas aplicac¸o˜es):
a) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ crescente em todo I.
b) se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de
I, enta˜o f e´ decrescente em todo I.
34
Em outras palavras, se temos f : [a, b] → R cont´ınua em [a, b], para dizer que f e´ crescente em
[a, b] e´ suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b). Este fato e´ importante porque algumas vezes pode ser
complicado provar a derivabilidade nos extremos do intervalo.
Vamos enta˜o apresentar o pro´ximo resultado a` luz da observac¸a˜o acima.
Teorema 70 (Segundo teorema de monotonia). a) Se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos
internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de I, enta˜o f e´ estritamente crescente em todo I.
b) Se f : I → R e´ cont´ınua em I e deriva´vel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos
de I, enta˜o f e´ estritamente decrescente em todo I.
O vice-versa do teorema na˜o vale, no sentido que existem func¸o˜es estritamente crescentes tais que a
derivada pode na˜o ser > 0 em todos os pontos (pore´m deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro
teorema de monotonia).
Um exemplo e´ dado pela func¸a˜o x3 que e´ estritamente crescente em R, mas a derivada e´ nula em zero.
Sabemos que a derivada de uma func¸a˜o constante e´ nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange
podemos provar o vice-versa, se a func¸a˜o e´ definida em um intervalo.
Teorema 71 (Terceiro teorema de monotonia). Seja f : I → R (onde I e´ um intervalo), deriva´vel e tal
que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I. Enta˜o f e´ constante
Como ja´ dito, se o domı´nio na˜o e´ um intervalo, o teorema e´ falso.
f(x) =
{
1 se x ∈ (0, 1)
2 se x ∈ (1, 2)
e´ definida em um conjunto, (0, 1) ∪ (1, 2), que na˜o e´ um intervalo, e´ deriva´vel com derivada nula em
todos os pontos, mas na˜o e´ constante.
Exerc´ıcio 169. Deˆ a demonstrac¸a˜o dos teoremas vistos nesta a´ula.
Exerc´ıcio 170. Seja f : (a, b) → R uma func¸a˜o deriva´vel em (a, x) ∪ (x, b), onde x e´ um ponto do
intervalo onde na˜o sabemos se f e´ deriva´vel. Suponhamos que o limite limx→x f ′(x) exista e seja um
valor (finito) l ∈ R. E´ verdadeiro ou falso que f e´ deriva´vel em x e que f ′(x) = l?
Se o leitor acha que a resposta seja afirmativa, deˆ a demonstrac¸a˜o. Do contra´rio, se procure um
contraexemplo.
Se a proposic¸a˜o acima for falsa, temos uma hipo´tese suplementar a ser colocada na f para que f ′(x)
exista e seja l?
20. Quarta-feira, 9 de abril de 2014
Encerramos esta parte de apresentac¸a˜o da derivada e de algums teoremas importantes sobre a derivac¸a˜o
com algumas observac¸o˜es.
Exerc´ıcio 171. Se f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel em [a, b] e se f ′(a) · f ′(b) < 0, enta˜o existe um ponto
c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Poder´ıamos ter a tentac¸a˜o de associar o exerc´ıcio acima ao teorema de anulamento para as func¸o˜es
cont´ınuas. Todavia, ninguem garante que f ′(x) seja cont´ınua em [a, b] e portanto tal abordagem seria
errada. De fato, podemos corretamente resolver o exerc´ıcio usando o exerc´ıcio 146 e: a) observando que
35
pelo menos um entre o ma´ximo e o mı´nimo absoluto de f (que existe porque as condic¸o˜es do Teorema
de Weierstrass sa˜o respeitadas) cai em (a, b); b) aplicando em seguida o Teorema de Fermat.
Exerc´ıcio 172. Nos exerc´ıcios encontramos geralmente func¸o˜es que, se sa˜o deriva´veis, tambe´m teˆm
derivada cont´ınua. Podemos todavia montar exemplos de func¸o˜es deriva´veis em um intervalo com derivada
descont´ınua em alguns pontos do intervalo. Um exemplo e´ o seguinte. Aqui damos a ideia geral, o
leitor cuide dos detalhes. Consideramos o intervalo [0, 1] e as duas sequeˆncias de pontos xn = 1/2n e
yn = 1/(2n + 1), onde n e´ inteiro e na˜o negativo (precisamente, n pode ser zero na definic¸a˜o dos yn,
na˜o pode ser nulo para os xn). Tentamos definir uma func¸a˜o f(x), x ∈ [0, 1], tal que sejam verificadas
as condic¸o˜es seguintes: f(0) = 0; observamos que o intervalo (0, 1] e´ unia˜o dos intervalos [yn, yn−1].
Em cada intervalo [yn, yn−1], fixado n, queremos que o gra´fico de f(x) seja um triaˆngulo iso´sceles, onde
f(yn−1) = f(yn) = 0 e f(xn) = 1. O leitor observe que xn e o ponto me´dio de [yn, yn−1] e escreva a
expressa˜o alge´brica desta func¸a˜o. Esta f(x) tem