5 Lista de exercicio - Analise I

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Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB
Análise I
Professor: André Nagamine
5a Lista de Exerćıcios
1) Prove o teorema do sandúıche, ou seja:
Sejam f, g, h : X → IR, a ∈ X ′ e limx→a f(x) = limx→a g(x). Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para
todo x ∈ X − {a} então limx→a h(x) = L.
2) Seja a ∈ IR, mostre que se f(x) = ϕ(x)
ψ(x)
e limx→a ψ(x) = 0 então uma condição necessária
para que limx→a f(x) exista é que limx→a ϕ(x) = 0.
3) Mostre que: a fim de que um ponto a ∈ IR seja um ponto de acumulação à direita, ou
seja, a ∈ X ′+ é necessário e suficiente que exista uma sequência (xn) ∈ X, xn > a tal que
limxn = a.
4) Prove que dado a ∈ X ′+ ∩ X ′−, existe limx→a f(x) = L se, e somente se, existem e são
iguais os limites laterais:
lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) = L.
5) Enuncie os análogos dos teoremas 1, 3 e 4 para limites os limites: limx→+∞ f(x) = L e
limx→−∞ f(x) = L.
6) Faça a demonstração o Teorema 3 do exerćıcio anterior.
7) Dar a definição dos limites abaixo:
a) limx→a+ f(x) = +∞; b) limx→a− f(x) = +∞; c) limx→a+ f(x) = −∞;
d) limx→a− f(x) = −∞; e) limx→+∞ f(x) = +∞; f) limx→−∞ f(x) = +∞;
g) limx→+∞ f(x) = −∞; h) limx→−∞ f(x) = −∞.
8) Prove o chamado critério de Cauchy para funções, ou seja:
Sejam X ⊂ IR, a ∈ X ′ e f : X → IR. Para que exista limx→a f(x) é necessário e
suficiente que, dado arbitrariamente � > 0, se possa obter δ > 0, tal que para x, y ∈ X,
0 < |x− a| < δ e 0 < |y − a| < δ impliquem |f(x)− f(y)| < � .
9) Dizer que f(x)→ L+ com x→ a significa que dado � > 0 existe δ > 0 tal que, se x ∈ X e
0 < |x− a| < δ ⇒ L ≤ f(x) < L+ �. Analogamente define-se f(x)→ L− quando x→ a.
Seja f : X → IR, com f(x) 6= 0. Mostre que se f(x)→ 0+ com x→ a, então limx→a 1f(x) =
+∞; e se f(x)→ 0− com x→ a então limx→a 1f(x) = −∞.
10) Prove que lim+∞ x
3 − 7x2 + 2x− 9 = +∞.
11) Seja o polinômio real p(x) = xn+an−1x
n−1+· · ·+a1x+a0, mostre que limx→±∞ p(x) = +∞
se n for par e se n for ı́mpar tem-se limx→−∞ p(x) = −∞ e limx→+∞ p(x) = +∞.
12) Mostre os limites abaixo:
1
a) limx→±∞
6x2−5x+1
2x2+7x−8 = 3; b) limx→±∞
x2−x+1
x3+5
= 0; c) limx→−∞
x3+7x−4
x+1
= +∞.
13) Dados os polinômios p(x) = anx
n + · · · + a1x + a0 e q(x) = bmxm + · · · + b1x + b0 onde
anbm 6= 0. Prove que:
a) lim
x→±∞
p(x)
q(x)
=
an
bm
se n = m;
b) lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= 0 se n < m;
c) lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= +∞ se n > m, n−m é par e anbm > 0.
14) Considere o seguinte erro de digitação na definição de limite:
∀� > 0 ∃δ > 0; x ∈ X, 0 < |x− a| < �⇒ |f(x)− L| < δ.
Mostre que f cumpre essa condição se, e somente se, é limitada em qualquer intervalo
limitado de centro em a.
15) Seja X = Y ∪ Z, com a ∈ Y ′ ∩ Z ′. Dada f : X → IR, tomemos g = f|Y e h = f|Z . Se
limx→a g(x) = L e limx→a h(x) = L, então limx→a f(x) = L.
16) Seja f : IR − {0} → IR definida por f(x) = 1
1 + e
1
x
. Então limx→0+ f(x) = 0 e
limx→0− f(x) = 1.
17) Dê exemplos explicando o porquê que expressões do tipo “0
0
”, “∞ − ∞” e “00” são
consideradas indeterminações.
18) Seja f(x) = x+ 10senx para todo x ∈ IR. Então limx→+∞ f(x) = +∞ e limx→−∞ f(x) =
−∞. Prove o mesmo para a função g(x) = x+ x
2
senx.
19) Sejam f : X → IR monótona e a ∈ X ′+. Se existir uma sequência de pontos xn ∈ X com
xn > a, lim xn = a e lim f(xn) = L, então limx→a+ f(x) = L.
20) Dado a > 1, defina f : Q → IR pondo, para cada p
q
∈ Q, f(p
q
) = a
p
q . Prove que
limx→0 f(x) = 1.
21) Dado a > 1, defina g : IR → IR pondo g(x) = ax. Prove que limx→+∞ g(x) = +∞ e
limx→−∞ g(x) = 0.
22) Um número real c chama-se um valor de aderência de f no ponto a quando existe uma
sequência de pontos xn ∈ X − {a} tal que limn→∞ xn = a e limn→∞ f(xn) = c. Calcule o
conjunto dos valores de aderência da de f : IR− {0} → IR dada por f(x) = sen 1
x
.
23) Sejam X, Y ⊂ IR, f : X → IR, g : Y → IR com f(X) ⊂ Y . Se, para a ∈ X ′ e b ∈ Y ′
tem-se limx→a f(x) = b, limy→b g(y) = c e, além disso, f(x) 6= b para todo x ∈ X − {a},
então limx→a g(f(x)) = c. Mostre que a condição b ∈ Y ′ decorre de ser f(x) 6= b para
x 6= a.
2