Análise na Reta P2

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Florianópolis, 13 de novembro de 2020.
Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Matemática
Prova 2 de Análise na Reta (MTM3430)
Questão: 1 2 3 4 5 6 Total
Pontos: 11/2 2 11/2 1 2 2 10
Nota:
Instruções
� Interpretação, compreensão e resolução das questões fazem parte da avaliação. Você deve exibir todos
os racioćınios e deduções que levaram à obtenção da resposta. Se você usar algum teorema, indique e
explique como o teorema se aplica. Organize sua solução de modo coerente. Respostas não justificadas ou
incorretamente justificadas não serão consideradas.
� Qualquer resultado visto em aula, listas e/ou tarefas pode ser livremente utilizado desde que: (i) a utilização
do resultado não viole a ordem do exerćıcio em questão, (ii) o resultado não seja o mesmo que se pede para
provar no exerćıcio em questão.
Boa prova!
1. [11/2 Pontos] Sejam A ⊆ R aberto e F ⊆ R fechado. Mostre que
(a) A \ F é aberto.
(b) F \ A é fechado.
2. [2 Pontos] Suponha que K ⊆ R é um conjunto compacto. Mostre que
X = {xy + z |x, y, z ∈ K}
é compacto.
3. [11/2 Pontos] Em cada alternativa decida se a afirmação é verdadeira ou falsa, apresentando
uma prova para corroborar a sua decisão.
(a) int(X) ⊆ X.
(b) X ⊆ int(X).
4. [1 Ponto] Considere o subconjunto real
X = [0, 1) ∪ {2} ∪ [3, 4)
Determine int(X), X e X ′ mostrando todos os detalhes.
Análise na Reta - MTM3430 Página 2 Prova 2
5. Seja f : R→ R função real definida por
f(x) =
{
1− x se x ∈ Q
x− 1 se x /∈ Q
Mostre que
(a) [1 Ponto] limx→1 f(x) existe.
(b) [1 Ponto] se a ∈ R \ {1}, então limx→a f(x) não existe.
6. [2 Pontos] Seja f : R→ R uma função real e a ∈ R \ {0} tal que f(x + a) = f(x) para todo
x ∈ R. Mostre que, se limx→+∞ f(x) existe (e é real), então f é constante.