1 Lista de exercicio - Analise I

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Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB
Análise na Reta I
Professor: André Nagamine
1a Lista de Exerćıcios
1. Em IR exprima cada um dos conjuntos abaixo como uma reunião de intervalos:
a) o cojunto dos x ∈ IR tais que |x− 3|+ |x+ 3| < 8;
b) idem para |x2 − 2| ≤ 1;
c) |2x+ 1| ≤ 1;
d) |x− 5| < |x+ 1|;
e) (2x+ 3)6(x− 2) ≥ 0.
2. Mostre que ∀x, y ∈ IR valem as seguinte propriedades:
a) |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y|; b) |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.
3. Prove por indução que, dados x1, x2, . . . , xn em IR tem-se
|x1 + · · ·+ xn| ≤ |x1|+ · · ·+ |xn| e |x1 · x2 · · ·xn| = |x1||x2| . . . |xn|.
4. Prove que não existe um número racional r tal que r2 = 2. (Sugestão: usar a unicidade
de representação de um número inteiro em fatores primos).
5. Uma função f : IR → IR chama-se um homomorfismo quando se tem f(x + y) =
f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y), quaisquer que sejam x, y ∈ IR. Dê exemplo de um
homomorfismo f : IR→ IR.
i) Dado um homomorfismo f : IR→ IR prove que f(0) = 0;
ii) Prove também que, se f(x) 6= 0 ∀x ∈ IR, então f(1) = 1 e f é injetiva.
6. Dado o intervalo aberto não degenerado e finito da reta X = (a, b). prove que:
inf X = a e supX = b
7. Do mesmo modo que postulamos a existência do supremo e provamos a existência
do ı́nfimo, podiamos ter postulado a existência do ı́nfimo de qualquer conjunto limitado
inferiormente e provada que todo conjunto limitado superiormente possui supremo.Faça
isso como exerćıcio.
8. Considere Y ⊂ Q o conjunto das frações do tipo 1
2n
. Mostre que inf Y = 0 e supY = 1
2
.
9. Sejam X, Y ⊂ IR conjuntos limitados. Prove que
X ⊂ Y ⇒ inf X ≥ inf Y e supX ≤ supY
1
10. Sejam X ⊂ IR não-vazio , limitado superiormente, e c um número real. Tem-se
c ≤ supX se e somente se, para cada � > 0 real dado pode-se achar x ∈ X tal que
c− � < x. Enuncie e demostre um resultado análogo com inf em vez de sup.
11. Seja A ⊂ IR não-vazio e limitado. Dado c > 0, defina o conjunto c·A = {c · x; x ∈ A}.
Prove que c · A é limitado e que sup(c · A) = c · supA, inf(c · A) = c · inf A. Enuncie e
demostre o que ocorre quando c < 0.
12. Dados A, B ⊂ IR não-vazios e limitados, defina o conjunto A+B = {x+ y; x ∈ A, y ∈ B}.
Prove que:
a) A+B é limitado;
b) sup(A+B) = supA+ supB;
c) inf(A+B) = inf A+ inf B.
2