Problemas Torcao v4

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II - 2014-2015 
 
PROBLEMAS DE TORÇÃO 
 
Problema 1 
 
A viga em consola representada na figura tem secção em T e está submetida a 
uma carga distribuída e a uma carga concentrada, ambas aplicadas 
excêntricamente. 
 
(a) Determine a distribuição de tensões tangenciais devidas à torção na secção 
de encastramento. 
(b) Determine a máxima rotação de torção na referida barra. (G=80 GPa) 
 
 
Problema 2 (problema 1do 2º teste de 18 de Dezembro de 2006, modificado) 
 
Considere a estrutura representada na figura, contida no plano XY, de secção 
tubular constante, submetida à acção de quatro forças concentradas (segundo 
–Z), duas de valor P, actuando nos pontos E e H, e duas de valor 2P, actuando em 
F e G. A barra ABCD encontra-se encastrada em A e os apoios B, C e D apenas 
impedem os deslocamentos segundo a direcção Z. 
 
(a) Trace o diagrama de momentos torsores na barra ABCD. 
(b) Determine a máxima rotação de torção na referida barra. 
(c) Determine a distribuição de tensões devidas ao momento torsor na secção D 
da barra CD. 
 
Solução: (a) T=0 kNm; T=-10 kNm; T=10 kNm; (b) =0.0877 rad; (c) max=58.51 MPa 
Problema 3 
 
Uma viga com secção HEB200 encontra-se apoiada em A (apoio fixo com rótula 
cilíndrica) e em C (tirante vertical excêntrico) e está solicitada por uma carga 
P=5kN aplicada excentricamente na secção B (e=0.1m, ver perspectiva). 
 
(a) Trace o diagrama de momentos torsores na barra ABC. 
(b) Determine as tensões devidas ao momento torsor na secção A. 
(c) Determine a rotação de torção na secção C (G=80 GPa). 
Suponha agora que a carga pode ser aplicada em qualquer ponto do banzo na 
secção B. Determine o valor da excentricidade e de modo a que: 
(d) A rotação de torção da secção C seja nula. 
(e) A rotação de torção da secção B seja nula. 
 
Solução: (a) T=0.875 kNm, T=0.375 kNm; (b) =26.5 MPa, =15.9 MPa 
(c) =0.1136 rad; (d) e= -0.1m; (d) e= -0.075m; 
 
 
Problema 4 (problema 61 da colectânea) 
 
Considere uma viga em consola (i) de 1.5 m de comprimento, (ii) com uma 
secção em caixão representada na figura (dimensões à linha média), e (iii) 
submetida a um momento torsor na sua extremidade livre. Sabendo que a tensão 
de corte admissível é adm=84 MPa e o módulo de distorção vale G=80 GPa, 
determine: 
(a) O valor máximo do momento torsor. 
(b) O valor da rotação (em graus) na extremidade livre da consola, para o valor 
do momento torsor obtido na alínea anterior. 
 
A B 
C 
D 
140 
90 
80 
108 
Espessuras das paredes: 
tAB= tCD= 10mm 
tBC= 9mm 
tAD= 8mm 
[mm] 
 
 
Solução: (a) Tmax=13.3 kNm, (b) =0.029 rad (1.7º) 
 
 
 
Problema 5 (problema 1do 2º teste de 14 de Junho de 2005, modificado) 
 
Considere a estrutura representada, submetida a uma carga uniformemente 
distribuída p=30 kN/m aplicada no eixo da barra BC. A secção transversal é de 
parede fina fechada e o material é carecterizado por E = 200 GPa e G = 80 GPa. 
(a) Trace os diagramas de esforços da barra AB. 
(b) Trace os diagramas de tensões na secção A. 
(c) Determine as rotações do ponto B (em torno dos dois eixos horizontais). 
 
 
 
Solução: (a) T=60 kNm; (b) =50 MPa; =100 MPa; (c) =0.045 rad; =0. 
 
Problema 6 (problema 65 da colectânea, modificado) 
 
Considere a secção em caixão do tabuleiro de uma ponte em betão armado e 
pré-esforçado representada na figura seguinte. Determine a tensão tangencial 
máxima na secção devido à acção simultânea de um esforço transverso 
V2=1500 kN e um momento torsor T=6000 kNm. 
 
 
Solução: max=3.373 MPa na alma esquerda e ao nível de G. 
 
 
 
 
Problema 7 
 
Determine a distribuição de tensões tangenciais quando a secção transversal 
representada na figura (dimensões referidas à linha média) é submetida a um 
momento torsor de T=5000 kNm. 
 
 
Solução:  =35.34 MPa;  =31.41 MPa;  =94.23 MPa. 
 
 
 
Problema 8 (questão 2do 2º exame de 29 de Janeiro de 2010, modificado) 
 
Determine o valor do factor de rigidez à torção J da secção de parede fina 
representada na figura. Determine também as tensões tangenciais devidas à 
aplicação de um momento torsor T. As dimensões indicadas referem-se à linha 
média e todas as paredes finas tem espessura e, excepto as paredes superior e 
direita que têm o dobro da espessura. 
 
Solução: J=184a3e/17; =22T/(184a2); =11T/(184a2); =13T/(184a2); =4T/(184a2) 
 
 
Problema 9 
 
Considere a secção de parede fina fechada, de espessura constante e (e<<a), 
representada na figura constituída por duas partes fechadas ligadas entre si por 
quatro cordões de soldadura  as dimensões indicadas na figura estão referidas à 
linha média dos elementos de parede fina. Supondo a secção submetida a um 
momento torsor T, calcule o fluxo de corte a que cada cordão de soldadura terá 
de resistir. 
 
 
Solução: J=11ea3/3; f=T/(11a2) 
 
Problema 10 
 
Considere a estrutura plana (no plano X-Y) constituída por três barras de 
comprimento L, cuja secção transversal é circular vazada de raio interior R e raio 
exterior 2R. A estrutura tem comportamento elástico linear (E, ) e está submetida 
a uma força vertical P actuando segundo Z e aplicada no centro de gravidade 
da secção F. 
(a) Determine os diagramas de esforços na estrutura. 
(b) Determine, em função de P, L e R, a tensão tangencial máxima de torção na 
estrutura. 
(c) Trace, de forma tri-dimensional, o diagrama livre do nó E com as tensões que o 
actuam (devidas a M e T). 
(d) Trace, esquematicamente, um elemento infinitesimal de área na superficie 
exterior da barra BE com as tensões que o actuam. Determine as tensões 
normais máxima e mínima devidas à torção na barra BE e diga quais as 
direcções em que estas ocorrem. 
(e) Admitindo que o material tem uma tensão de cedência c, determine o valor 
da carga de cedência (Pc) da estrutura (devido a M e T). 
 
P 
L 
L/2 
L/2 
B 
C 
D 
E 
F 
1 
2 
G 
2R 
R 
A 
X 
Y 
Z 2 
1 
3 
2 
1 
3 
2 
3 
1 
 
Solução: (a) TBE=-PL, ME=PL/2, (b) max=4PL/15R3, (c) max=4PL/15R3=max, (d) 
I=III=max, (e) Pc=15R3c/43L 
 
 
 
Problema 11 
 
Considere a secção triangular compacta, equilátera de lado a, representada na 
figura, submetida a um momento torsor T. 
(a) Diga em que medida a função de tensão 

 indicada pode constituir uma 
função admissível para a secção e determine os valores das constantes A 
e C. 
(b) Utilizando a função 

 determinada na alínea anterior, determine: 
(b1) A constante de torção da secção ( J). 
(b2) A distribuição de tensões tangenciais (31 e 32) ao longo do eixo x2. 
(b3) O deslocamento u3 de G e dos três vértices da secção. 
 
 
x1 
x2 
G 
h=3a/2 
 
 
  AxxxxxaC  212322122 623
 
 
Solução: (a)
9
3
;
32
1 3a
A
a
C 
 ; (b) 
380
3 4a
J 
 
 
 
 
Problema 12 
 
Considere a secção de parede fina de espessura constante e (e<<a) 
representada na Figura (dimensões referidas à linha média), submetida a um 
momento torsor de valor T. Determine, em função a e e, o valor da constante de 
torção da secção. 
 
Solução: J = 468 ea3 
 
Problemas Resolvidos 
 
1. 
 
2c. 
 
 
4. 
 
6.