2ºANO AULA 5

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MARINHA DO BRASIL
COLÉGIO NAVAL
MATEMÁTICA
1T(RM2-T) AMANDA SILVÉRIO
1T(RM2-T) CAROLINA
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EXERCÍCIOS
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 CAPÍTULO IV- MATRIZES
MATRIZ INVERSÍVEL
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que 
A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que 
A . B = B . A = In. Se A não é inversível, dizemos que 
A é uma matriz singular.
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Exemplo
 
Sejam as matrizes A = ; então:
A . B =
 
B . A = 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Em resumo: Se A . B = B . A = I2; então, B é inversa de A, ou A é inversível, ou A é não singular.
 
Teorema
 
“ Se a matriz A é inversível , então é única a matriz B tal que A . B = B . A = I.
 Isto é, se A possui uma inversa, essa inversa é única.”
 
Demonstração
 
Admitimos que exista uma matriz H tal que:
 
A . H = H . A = I
 
Então:
H = I . H = ( B . A ) . H = B . ( A . H ) = B . I = B,
 
o que demonstra nossa tese.
 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Definição
 
Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A-1 (que é única) tal 
que A . A-1 = A-1 . A = I.
 
Note que A e A-1 comutam.
 
Exemplo:
Verificar se A = é matriz inversível e obter sua inversa.
 
Se existir A-1 = , devemos ter A.A-1 = I2.
 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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AA-1 = I2 
 (1)
  
 (2)
 De (1) e (2) decorre que c = 2 e a = -3.
 De (3) e (4) decorre que d = -1 e b = 2.
 
  
(3)
(4)
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Portanto, a matriz A é inversível e A-1 = 
 
 
Podemos observar que (A-1)-1 = A.
Observe que, para determinarmos a matriz inversa de A de ordem n pelo processo 
exposto acima, devemos resolver um sistema, com n equações e n incógnitas.
 
É exaustivo!
 
Há outros métodos para a inversão de matrizes, cada um deles com suas vantagens e 
desvantagens.
 
Teorema:
 
Seja A uma matriz inversível, vale a equivalência:
 A . X = B X = A-1 . B
   
 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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 Demonstração
 
Se A é invertível, existe A-1; então multiplicando-se por A-1 , “à esquerda”, ambos 
os membros da equação A . X = B, obtemos sucessivamente:
 
 
Então, A . X = B X = A-1 . B (I)
 
Inversamente , para X = A-1 . B, a equação A . X = B fica satisfeita:
A . X = A . ( A-1 . B ) = ( A . A-1 ) . B = I . B = B
 
Então, X = A-1 . B A . X = B (II)
De (I) e (II) vem a tese: A . X = B X = A-1 . B
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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 Teorema (Exercício)
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, inversíveis, então A . B é inversível e:
( A . B )-1 = B-1 . A-1
Demonstração
 
Temos:
 
Para provarmos que C = B-1 . A-1 é a matriz inversa de AB, basta mostrar que 
C.(A.B) = (A.B).C = In. De fato:
( A . B ) . ( B-1 . A-1 ) = A . ( B . B-1 ) . A-1 = A . In . A-1 = A . A-1 = In 
 ( B-1 . A-1 ) . ( A . B ) . = B-1 . ( A . A-1 ) . B = B-1 . In . B = B-1 . B = In
 
Das duas igualdades acima concluímos que A . B é inversível e sua inversa é B-1 . A-1
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Teorema : Seja A uma matriz quadrada de ordem n inversível, então
 
  
 
Demonstração
 
Temos:
A . A-1 = A-1 . A = In
 
Então , tomando as transpostas das matrizes iguais acima:
 
( A . A-1 )t = ( A-1 . A )t = Itn
( A . A-1 )t = ( A-1 . A )t = In
( A-1 )t . At = At . ( A-1 )t = In
 
A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação acima, 
que ( At )-1 = ( A-1)t.
 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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Teorema:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, inversível e um número real não nulo, 
então
   
 
Demonstração:
 
Temos:
 
Daí: 
 
A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação acima, 
que 
 
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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-
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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EXERCÍCIOS:
02) Para cada matriz abaixo, determine A-1, se existir:
 a) A=
01)
 CAPÍTULO IV- MATRIZES
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03) 
04)
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