2ª Aula Cubo inscrito e circunscrito na esfera

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2ª AULA
Cubo inscrito na esfera
Seja um cubo ABCDEFGH de aresta a inscrito numa esfera de raio R .
Uma seção do cubo possui a diagonal da face superior e inferior tem pontos ACGE e o centro da esfera. A distância entre os pontos A,C  e C,G medem respectivamente a√2 e a e o circulo com raio R, assim:
O triangulo retângulo possui para vértices os pontos EGC  e catetos a√2,  a  e hipotenusa 2R. 
Ao empregarmos o teorema de Pitágoras nesse triangulo teremos: 
Esfera inscrita no cubo
Ao possuir circunscrito um cubo ABCDEFGH de aresta a numa esfera de raio r , temos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm2. 
 
 
 
Solução. Observando que o raio da esfera mede a metade da aresta do cubo, temos:
2) Calcule a área de uma esfera circunscrita a um cubo cujo perímetro de suas arestas é 24
cm. 
Solução. Lembrando que a esfera circunscrita passa pelos oito vértices do cubo, seu diâmetro possui a mesma medida da diagonal do cubo. Aplicando as fórmulas, temos:
3) Calcule o volume de uma esfera inscrita em um cubo de área lateral igual a 64m². 
Solução. Observando a figura verifica-se que o raio da esfera vale a metade da aresta do quadrado. Pelas informações, temos:
i) 
ii) 
4) UFRJ (2003 – prova 2) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P, calcule o raio r.
Solução. Repare na figura que a projeção de P intercepta a face F no centro do quadrado ABCD. Esta face está a distância “x” do centro da esfera e vale (10 – r). A distância desta interseção ao vértice A vale a diagonal da face.
i) Diagonal da face F: 
ii) Cálculo de “r”: 
. Logo, 
.
5) (PUC-RIO –1953) Determine a razão entre o volume de uma esfera de raio R e o de um cubo nela inscrito. 
Solução. No cubo inscrito na esfera, sua diagonal é o dobro do raio da esfera. 
i) 
ii) Volume do cubo: 
iii) Volume da esfera: 
iv) Razão pedida: 
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