Apostila Derivadas

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DERIVADAS
1. CONCEITO
Chama-se derivada de um função y = f(x) ao limite da razão incremental ((y/(x) quando o incremento (x da variável independente tende a zero. Indica-se por f’(x); 
ou seja:
 = 
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
inclinação da reta secante PQ:
mPQ = tan ( = 
 = 
 ( razão incremental
inclinação da reta tangente em P:
mP = tan ( = 
 = f’(x)
Obs.: A derivada de uma função num ponto nos dá a inclinação da reta tangente a curva
 neste ponto, ou seja:
 
3. CÁLCULO DAS DERIVADAS
(i) f(x) = k , k ( R
y = k ( y + (y = k ( (y = k – y ( (y = k – k = 0 ( 
logo: 
(ii) f(x) = x n , n ( (
y = x n ( y + (y = (x + (x) n ( y + (y = 
(
( y + (y = 
 (
( (y = 
 (
( f ’(x) = 
logo:
(iii) f(x) = x –1
y = x –1 ( y + (y = 
 ( (y = 
 – y ( (y = 
 – 
 (
( 
= 
logo:
(iv) f(x) = sen x
y = sen x ( y + (y = sen(x + (x) ( (y = sen(x +(x) – y ( (y = sen(x+(x) – sen x ( 
 (y = 
 ( (y = 2.sen
.cos(x + 
) (
( 
 = 
= 
logo:
(v) f(x) = cos x
y = cos x ( y + (y = cos(x + (x) ( (y = cos(x +(x) – y ( (y = cos(x+(x) – cos x ( (y = -
 ( (y = -2.sen
.sen(x + 
) (
( 
 = 
= 
logo: 
(vi) f(x) = a x , a ( R+ – {1}
y = a x ( y + (y = a (x + (x) ( y + (y = a x.a (x ( (y = a x.a (x – y ( 
(y = a x.a (x – a x ( (y = a x (a (x – 1) (
( 
logo:
4. PROPRIEDADES
(i) f = u + v ( f’ = u’ + v’
com efeito, f(x) = u(x) + v(x) ( f ’(x) = 
 =
= 
generalizando: 
Obs.: f = u – v ( f ’ = u’ – v’
(ii) f = u ( v ( f ’ = u’ ( v + u ( v’
com efeito, f(x) = u(x). v(x) ( f’(x) = 
 =
= 
= 
= 
=
generalizando: 
Obs: f(x) = k.u(x) ( f’(x) = 0.v(x) + k.v’(x) ( f’(x) = k.v’(x), k ( R
(iii) 
com efeito, 
= 
= 
5. REGRA DA CADEIA
Se y = f(u), u = g(x) e as derivadas f’(u) e g’(x) existem, então a função composta definida por y = fog(x) tem derivada dada por y’ = f ’(u) . g’(x)
demonstração:
com efeito,
(y = f(g(x + (x)) – f(g(x))
(u = g(x + (x) – g(x) ( g(x + (x) = g(x) + (u = u + (u
f ’(u) = 
g’(x) = 
se (x(0 então g(x + (x)(g(x) e (u(0
logo: 
Ex.: y = (x 2 + 1) 3
y = u3 ( y’ = 3u2
u = x 2 + 1 ( u’ = 2x
generalizando: 
Obs.: Seja f uma função cuja derivada é f ’ e inversa é f –1. f –1’(x) = 
Ex.: f(x) = a x ( f –1(x) = log a x ( f ’(x) = a x ln a ( f ’of –1(x) = 
 (
f –1’(x) = 
 
logo: y = log a x ( y’ = 
6. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
6.1. CONCEITO
 Dada uma função y = f(x), derivável, chama-se diferencial desta função ao produto de sua derivada pelo acréscimo da variável independente, indica-se por: dy = f’(x).dx
6.2.INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
 A diferencial de uma função é o acréscimo da ordenada da tangente a curva num ponto P, quando é dado um acréscimo a variável independente.
Obs.: Para valores pequenos de (x temos (y ( dy, isto é, o acréscimo da função é aproximadamente igual a sua diferencial
Ex.: Calcular o acréscimo e a diferencial da função f(x) = x2, para x = 2 e (x = 0,1.
y = x2 ( y + (y = (x + (x)2 ( y + (y = x2 + 2.x.(x + ((x)2 ( 
( (y = 2.x.(x + ((x)2 ( acréscimo
dy = 2x.dx ( diferencial
x = 2 e (x = dx = 0,1 ; temos:
(y = 2.2.0,1 + 0,12 = 0,4 + 0,01 = 0,41
dy = 2.2.0,1 = 0,4
7. TEOREMA
Se uma função é derivável num ponto, então ela é contínua neste ponto.
demonstração:
com efeito,
f(x) – f(a) = 
, (x ( a
 (
( 
 (
( 
 ( 
 (
( 
logo: f(x) é contínua para x = a
Obs.: A recíproca desse teorema não é verdadeira, isto é, uma função pode ser contínua num ponto e no entanto não ser derivável no ponto.
8. DERIVADAS SUCESSIVAS
8.1 CONCEITO
A derivada primeira de uma função y = f(x), normalmente ainda é uma função derivável. Derivando a derivada primeira obtemos a derivada segunda da função; derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da função e assim sucessivamente. Indica-se por: f’(x), f’’(x), f’’’(x), f (4)(x), ... , f (n)(x)
Ex.: f(x) = e2x
y’ = 2e2x
y’’ = 4e2x
y’’’ = 8e2x
__ __ __ __
y(n) = 2 ne2x
8.2. REGRA DE LEIBNITZ
com efeito,
f = u.v ( f ’ = u’.v + u.v’ ( f ’’ = u’’.v + u’.v’ + u’.v’ + u.v’’ = u’’.v + 2u’.v’ + u.v’’ ( f ’’’ = u’’’.v + u’’.v’ + 2.(u’’.v’ + u’.v’’) + u’v’’ + u.v’’’ =
= u’’’.v + 3.u’’.v’ + 3.u’.v’’ + u.v’’’ ( ... (
( 
Ex.: f(x) = e ax.x 2
 u(x) = e ax ( u’(x) = a.e ax ( u’’(x) =a2.e ax ( u’’’(x) = a3.eax ( ... 
 ( u (n) (x) = a n.e ax
 v(x) = x 2 ( v’(x) = 2x ( v’’(x) = 2 ( v’’’(x) = 0 ( 
 ( v (4)(x) = v (5)(x) = ... = v (n)(x) = 0
 f (n)(x) = a n.e ax. x 2 + 
.a n-1.e ax.2x + 
 a n-2.e ax.2 = 
 = an - 2.e ax.( a2.x2 + 2.n.a.x + n.(n – 1))
9. DERIVAÇÃO DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
 Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma F(x, y) = 0, onde y = f(x)
Exs.: (i) 
 (ii) 
 
 ( 
 (
 ( 
10. TAXAS RELACIONADAS
 Sejam x = f(t) e y = g(t) duas funções diferenciáveis e F(x, y) = 0 uma função 
y = f(x) na forma implícita. As derivadas dx/dt e dy/dt nesta função implícita chamam-se taxas relacionadas da função.
Ex.: Uma escada de 5m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base encontra-se a 3m da parede ?
logo: a parte superior da escada desliza com a velocidade de 2,25 m/s
11. REGRA DE L’HOSPITAL
 Se 
 está indeterminado do tipo 
 ou 
 e existe 
, então 
Ex.: 
12. TEOREMA DE ROLLE
 Se f é uma função contínua no intervalo [a, b], derivável no intervalo (a, b) e 
f(a) = f(b), então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que f ’(c) = 0
demonstração:
com efeito,
se f é uma função constante no intervalo dado, então f ’(x) = 0 e o teorema é satisfeito para todo x pertencente ao intervalo dado
senão f não é constante e apresenta pelo menos um máximo M ou um mínimo m no intervalo dado
suponhamos que f no intervalo dado, apresenta um mínimo m = f(c) , temos:
f(x) – f(c) ( 0, (x ( V(c)
 e 
se ( f ’(c) então 
logo: f ’(c) = 0
Ex.: f(x) = sen x no intervalo [0, 2(]
 f é contínua em [0, 2(]
 f é derivável em (0, 2()
 f(0) = f(2() = 0
 f ’(x) = cos x , cos x = 0 ( x = (/2 ou x = 3(/2
Obs.: (i) se a função não é contínua em todo intervalo [a, b] , o Teorema de Rolle não se
 aplica, isto é, não podemos garantir a existência do ponto c tal que f ’(c) = 0
 (ii) se a função não é derivável em todo intervalo (a, b) , o Teorema de Rolle não
 se aplica, isto é, não podemos garantir a existência do ponto c tal que f ’(c) = 0
 (iii) o Teorema de Rolle nos diz que existe pelo menos um ponto c entre a e b no
 qual a reta tangente paralela ao eixo dos x
13. TEOREMA DE LAGRANGE (TEOREMA DO VALOR MÉDIO)
 Se f é uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b) , então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que 
demonstração:
com efeito,
consideremos a equação da reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)):
consideremos uma função auxiliar F(x) que nos dá a distância vertical entre um ponto da função e o ponto correspondente da reta secante:
vamos verificar se F(x) satisfaz ao Teorema de Rolle:
(i) F(x) é contínua em [a, b] , pois é a soma de duas funçõescontínuas
(ii) F(x) é derivável em (a, b), pois 
(iii) F(a) = F(b) = 0
vemos assim que o Teorema de Rolle pode ser aplicado à função F(x) no intervalo [a, b], isto significa que existe pelo menos um número real c entre a e b tal que F’(c) = 0;
F’(c) = 0 ( 
 
logo: 
Ex.: f(x) = x3 no intervalo [-2, 2]
 f é contínua em [-2, 2]
 f é derivável em (-2, 2)
 
 ( 
 ( 
 ( 
Obs.: o Teorema de Lagrange nos diz que existe pelo menos um ponto c entre a e b no
 qual a reta tangente a curva é paralela a reta secante que passa pelos pontos 
(a, f(a)) e (b, f(b))
14. TEOREMA DE CAUCHY
Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b] , deriváveis no intervalo (a, b) e 
g’(x) não se anula no intervalo (a, b) , então existe pelo menos um número real c entre a e b tal que 
15. FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
 Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b) tem-se:
(i) f ’(x) ( 0, (x ( (a, b) ( f é crescente em [a, b]
(ii) f ’(x) ( 0, (x ( (a, b) ( f é decrescente em [a, b]
com efeito,
consideremos os valores x1 e x2 pertencentes ao intervalo (a, b) com x1 ( x2. 
pelo Teorema de Lagrange ( (c | 
 (
( f(x2) – f(x1) = f ’(c) . (x2 – x1)
se f ’(c) ( 0 ( f(x2) – f(x1) ( 0 ( f(x2) ( f(x1) ( f(x1) ( f(x2) ( f é crescente
senão f ’(c) ( 0 ( f(x2) – f(x1) ( 0 ( f(x1) ( f(x2) ( f é decrescente
Ex.: f(x) = x2 ( f ’(x) =2x ( 2x = 0 ( x = 0
x ( 0 ( f ’(x) ( 0 ( f é decrescente
x ( 0 ( f ’(x) ( 0 ( f é crescente
16. MÁXIMOS E MÍNIMOS
16.1. CONCEITO
Seja uma função f derivável no intervalo (a, b) e seja x0 um ponto desse intervalo. Dizemos que f apresenta um máximo relativo ou local no ponto x0 , se (x ( V(x0), 
 f(x) ( f(x0) ; analogamente, dizemos que f(x) apresenta um mínimo relativo ou local num ponto x0 se (x ( V(x0), f(x) ( f(x0)
Obs.: Para determinarmos os extremos de uma função devemos pesquisar os valores de x em que a derivada primeira se anula e os pontos onde a derivada primeira não existe. Estes pontos críticos da função são os possíveis extremantes da função
16.2. TESTE DA SEGUNDA DERIVADA
 Seja x0 um ponto crítico de uma função f(x) no qual f ’(x) = 0 e f ’(x) existe numa vizinhança de x0. Se f ’’(x) existe, então:
(i) f ’’(x0) ( 0 ( x0 é maximante
(ii) f ’’(x0) ( 0 ( x0 é minimante
com efeito,
se f ’’(x) ( 0 ( f ’(x) é decrescente
 x ( x0 ( f ’(x) ( f ’(x0) ( f ’(x) ( 0 ( f(x) é crescente
 x ( x0 ( f ’(x) ( f ’(x0) ( f ’(x) ( 0 ( f(x) é decrescente
logo: x0 é maximante
senão f’’(x) ( 0 ( f ’(x) é crescente
 x ( x0 ( f ’(x) ( f ’(x0) ( f ’(x) ( 0 ( f(x) é decrescente
 x ( x0 ( f ’(x) ( f ’(x0) ( f ’(x) ( 0 ( f(x) é crescente
logo: x0 é minimante
17. CONCAVIDADE
 Seja y = f(x) a equação de uma curva , onde f(x) é uma função contínua, com derivadas contínuas:
(i) f ’’(x) ( 0 ( a curva tem a concavidade voltada para cima
(ii) f ’’(x) ( 0 ( a curva tem a concavidade voltada para baixo
Obs.: O ponto onde a curva muda de concavidade é chamado de ponto de inflexão da curva, nesse ponto a derivada segunda se anula
18. ASSÍNTOTAS
18.1. CONCEITO
 Seja y = f(x) a equação de uma curva. Uma reta r é uma assíntota à essa curva quando uma das coordenadas x ou y de um ponto P da curva tende ao infinito, este ponto se aproxima indefinidamente da reta, isto é, quando a função que dá a distância de P a r tem limite nulo
18.2. ASSÍNTOTA VERTICAL
 A reta x = a é assíntota vertical de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das situações abaixo ocorrer:
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
Ex.: (i)
 
 e 
 ( x = 4 é assíntota vertical
 (ii) 
 
 ( x = 0 é assíntota vertical
18.3. ASSÍNTOTA HORIZONTAL
A reta y = b é assíntota horizontal de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das situações abaixo ocorrer:
(i) 
(ii) 
Ex.: (i) 
 
 e 
 ( y = 2 e y = -2 são
 assíntotas horizontais
 (ii) 
 
 ( y = 0 é assíntota horizontal
18.4. ASSÍNTOTA OBLÍQUA
A reta y = ax + b (a ( 0) é assíntota oblíqua de uma curva de equação y = f(x) , quando pelo menos uma das situações abaixo ocorrer:
(i) 
 e 
(ii) 
 e 
com efeito,
(PMN: PM = PN cos ( ( 
PN = PQ – NQ ( 
 ( 
 ( 
( 
 ( 
 (
( 
 ( 
 ( 
 (
( 
 ( 
Obs.: (i) a dedução feita vale também para o caso em que x ( -(
 (ii) só devemos pesquisar assíntota oblíqua na direção em que ocorreu assíntota 
 horizontal
 (iii) se a função y = f(x) pode ser escrita na forma f(x) = ax + b +g(x), onde g(x) é uma função que tende a zero, quando x ( ( então y = ax + b é uma assíntota oblíqua à curva que representa f(x)
Ex.: 
 não tem assíntotas horizontais
 
 x = 0 é assíntota vertical
y = ax + b ( 
 
 y = x é assíntota oblíqua
19. ANÁLISE DE FUNÇÕES
Para analisarmos uma função y = f(x) devemos determinar, se possível:
(i) o domínio da função;
(ii) as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados;
(iii) a paridade e periodicidade de f;
(iv) o comportamento de f nos pontos de descontinuidade e nas fronteiras de seu domínio;
(v) o comportamento de f no infinito (-( e +();
(vi) os intervalos em que f é crescente ou decrescente e os máximos e mínimos de f;
(vii) os intervalos de concavidade da curva que representa f e seus pontos de inflexão;
(viii) as assíntotas das curvas que representam f;
(ix) o esboço do gráfico de f
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = f(x)g(x)
b) y = x k , k ( R
2) Determine as derivadas das funções abaixo:
�
a) y = tan x
b) y = cot x
c) y = sec x
d) y = csc x
e) y = arcsen x
f) y = arccos x
g) y = arctan x
h) y = arccot x
i) y = arcsec x
j) y = arccsc x
�
3) Determine as derivadas das funções abaixo:
a) y = 
b) y = 
c) y = 
d) y = arcsen x3
e) y = ln (cos 3x)
f) y = arctan e 2x
g) y = (x3 +11) 15
h) y = 
i) y = arcsec x 4
j) y = ln(ln(ln x))
k) y = sen2x + cos2x + arccos 
4) Calcule f’(4), se f(x) = arctan
5) Calcule f’(
), se f(x) = 
6) Ache um valor aproximado de 
.
7) Ache as derivadas enésimas das funções abaixo:
�
a) y = 1/x
b) y = sen x
c) y = ln(1 + x)
d) y = 
e) y = 
�
8) Ache as derivadas das funções abaixo:
�
a) x10 – y10 + ln(x.y) = 0
b) x.sen y – cos y + cos 2y = 0
c) y = cos(x + y)
d) 
�
9) Ache a derivada enésima das função y = 
10) Uma bola de neve é formada de tal maneira que seu volume aumenta na razão de 8dm3/min. Com que razão o raio é aumentado quando a bola tem 4dm de diâmetro?
11) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5m e raio da base de 1m. O tanque se enche de água a razão de 2m3/min. Com que velocidade sobe nível da água, quando a mesma está a 3m de profundidade?
12) A altura de um certo cilindro circular está aumentando a uma razão de 3cm/min e o raio da base está decrescendo a razão de 2cm/min. Determine a razão segundo a qual o volume do cilindro está variando quando a altura é de 10cm e o raio da base é 4cm.
13) Calcule os limites abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
�
14) Achar os pontos críticos das funções abaixo:
�
a) y = x4
b) y = x3
c) y = 1 – 
d) y = 
e) y = ex
f) 
g) y = x3 – 6x2 + 9x – 1
h) 
i) 
 , x ( [0, (/2]
j) y = xx
k) 
l)m) y = 2.sen x + cos 2x , x ( (0, ()
�
15) Uma lata de forma cilíndrica deve conter um certo volume V. Quais são as dimensões de uma tal lata que gaste a menor quantidade possível de material para ser feita.
16) A seção reta de um túnel tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. O perímetro da seção é igual a 18m. Determine o raio do semicírculo para que a área da seção seja máxima.
17) Um grande vidro plano de comprimento L, deve passar em pé por um canto retangular de um corredor, passando de uma parte de largura a para outra de largura b. Qual o comprimento L máximo que o vidro pode ter para que a manobra seja possível.
18) Qual deve ser a inclinação de um telhado, que proteja um vão de amplitude A, para que a água permaneça no mesmo o menor tempo possível ?
19) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes. Com uma faz-se um círculo com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja máxima ?
20) Um cartaz deve conter 50cm2 de matéria impressa com duas margens de 4cm cada em cima e em baixo e duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que sua área seja mínima.
21) Use o princípio de Fermat: “ A luz caminha de um ponto A para outro ponto B segundo uma trajetória que torna mínimo o tempo de percurso ” ; para demonstrar a Lei da refração de Snell-Decartes.
22) Um quadrilátero tem três lados congruentes de comprimento igual a 8. Determine o comprimento do quarto lado que maximize a área.
23) Achar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão das funções abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
�
24) Analise as funções abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Determine as derivadas das funções abaixo:
�
a) y = 
b) y = 
c) y = 2x.sen x – (x2 – 2).cos x
d) y = x.cot x
e) y = ln x. log x – ln a.log a x
f) y = 
g) y = (a 2/3 – x2/3) 3/2
h) y = 
i) y = 
j) y = arcsen
k) y = ln arcsen x + 
ln 2 x + arcsen ln x
l) y = (cos x) sen x
m) y = 
n) y = 
o) y = x x
p) y = 
q) y = 
�
2) Sendo f(x) = x n, calcule: S = f(1) + 
3) Verifique se a função y = cos ex + sen ex é solução da equação diferencial 
y’’ – y’ + y.e2x = 0
4) Calcule y’’, sendo y = sen(x + y)
5) Dois navios A e B navegam a partir do ponto O segundo rotas que formam ângulo AÔB =120º. Com que velocidade estão se separando os dois navios quando 
OA = 8 milhas e OB = 6 milhas. Sabendo-se que A navega a 20 milhas/hora e 
 B a 30 milhas/h
6) Seja um círculo C de raio R e centro O. Imagine um motociclista, a noite, correndo ao longo de C no primeiro quadrante, em direção a origem. Considere o ponto no eixo do x, iluminado pelo farol da motocicleta. Determine a velocidade com esse ponto se aproxima da origem em função de R, S e v, onde S é a distância da origem à motocicleta, tomada ao longo de C, v é a velocidade da motocicleta.
7) Sabendo que 
 existe e é finito, determine o valor numérico desse limite, sendo a e b constantes reais
8) A tangente traçada pelo ponto A a um círculo de raio r tem marcado um segmento AN de mesmo tamanho que o arco AM. A reta MN corta o prolongamento do diâmetro AO no ponto B. Determine OB , em função de r e AÔM e calcule 
9) Achar os pontos críticos das funções abaixo:
�
a) 
b) y = 
c) 
d) y = x – ln (1 + x)
e) 
�
10) Uma lâmpada pende sobre o centro de uma mesa redonda de raio r. A que altura da mesa deve esta a lâmpada para que a iluminação de um objeto que se encontra a beira da mesa seja a melhor possível? 
(A iluminação é diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de incidência dos raios luminosos e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao foco )
11) Determine o ponto da curva y = 
 mais próximo do ponto (c, 0)
12) De um tronco redondo de diâmetro d deve-se cortar uma viga de seção retangular. Quais deverão ser a largura x e altura y desta seção para que a viga tenha resistência máxima possível:
a) na compressão ?
b) na flexão ?
Obs.: Na resistência da viga à compressão é proporcional à área de sua seção transversal e a resistência a flexão é proporcional ao produto da largura desta seção pelo quadrado de sua altura.
13) Analise as funções abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
�
RESPOSTAS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) a) y’ = 
 b) y’ = 
�
2) a) y’ = 
 b) y’ = 
 c) y’ = 
 d) y’ = 
 e) y’ = 
 f) y’ = 
 g) y’ = 
 h) y’ = 
 i) y’ = 
 j) y’ = 
�
3) a) y’ = 
b) y’ = 
c) y’ = 
d) y’ = 
e) y’ = 
f) y’ = 
g) y’ = 
h) y’ = 
i) y’ = 
j) y’ = 
k) y’ = 
4) 21/20
5) 
6) 2,0071
�
7) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
�
8) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
�
9) 
10) 0,16 dm/min
11) 1,77 m/min
12) - 351,7 cm3/min
�
13) a) 1
 b) 2/(2
 c) 2
 d) 4
 e) 1/e
 f) e3
 g) e
 h) e-1/3
 i) 1
 j) 1
�
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
2) 
4) 
5) 42,7 milhas/h
6) 
7) 1
8) 2r
9) a) ymax. = 9/16 quando x = 3,2
 b) ymax. = 1 quando x = 0
 c) 
, quando x = 
 e 
, quando x = 
; k ( (
 d) ymin = 0, quando x = 0
 e) ymin = e, quando x = 1
10) 
11) 
12) a) 
 b) 
 e 
�
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
fy’ = 3.(x2 + 1)2.2x = 6x.(x2 + 1)2
� EMBED Word.Picture.8 ���
�
�
�	� PAGE �16�
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r
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