Lista de Exerc+¡cios Fluxo do Vetor Campo El+®trico & Lei de Gauss

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Colégio Naval
	
Prof. Victor Rocha Rodrigues da Silva - 3ª Série do Ensino Médio - 2o bimestre / 2011
Lista de Exercícios
(Fluxo do Vetor Campo Elétrico & Lei de Gauss)
Fluxo do Vetor Campo Elétrico (Fluxo Elétrico)
Considere uma caixa triangular fechada sendo atravessada por um campo elétrico uniforme e horizontal de magnitude 7,80 . 104 N/C como mostra a figura. Calcule o fluxo do vetor campo elétrico (fluxo elétrico) através da:
superfície retangular vertical (srv);
superfície inclinada (si);
superfície inteira da caixa.
Resolução:
O fluxo elétrico (
) de um campo elétrico uniforme através de uma superfície plana de área A é a grandeza física escalar definida por:
(a)
(b)
(c) 
1º modo
Observações:
lateral da frente: a normal está perpendicular ao plano da página e para fora da mesma, θ = 90º.
lateral detrás: a normal está perpendicular ao plano da página e para dentro da mesma, θ = 90º.
base: a normal está perpendicular à base e para baixo, θ = 90º.
2º modo
Lei de Gauss
A linha ag é uma das diagonais de um cubo. A partícula com carga elétrica q está localizada na extensão da linha ag, muitíssimo próxima do vértice a do cubo. Determine aproximadamente o fluxo elétrico em cada uma das faces do cubo que apresenta o ponto a como vértice.
Resolução:
O fluxo elétrico (
) de um campo elétrico uniforme através de uma superfície plana de área A é a grandeza física escalar definida por:
No presente caso, as linhas de campo elétrico que emanam da partícula com carga elétrica são praticamente tangentes a cada uma das 3 faces em questão, sendo assim θ = 90º, e, portanto,
.
 
Fluxo do Vetor Campo Elétrico (Fluxo Elétrico) & Lei de Gauss
Tópicos de Física: questão 88 – pág. 63 (vide Resolução no Manual do Professor 3 localizado no interior do DVD)
Tópicos de Física: questão 89 – pág. 63 (vide Resolução no Manual do Professor 3 localizado no interior do DVD)
Quatro superfícies fechadas (S1, S2, S3 e S4) contêm as cargas elétricas –2Q, +Q e –Q como mostra a figura. Encontre o fluxo elétrico para cada uma das superfícies.
Resolução:
Lei de Gauss
S1: 
 => 
S2: 
 => 
S3: 
 => 
S4: 
=> 
Considere um cone de altura h e com base de raio R localizada sobre um plano horizontal. Um campo elétrico uniforme penetra no cone como mostra a figura. Determine o fluxo elétrico através do cone.
Resolução: 
Lei de Gauss
Uma partícula de carga elétrica q está localizada no centro de um anel com densidade linear uniforme de carga elétrica λ e raio a, como mostra a figura. Determine o fluxo do vetor campo elétrico (fluxo elétrico) através da esfera (superfície gaussiana) de raio R < a centrada na partícula.
Resolução:
Lei de Gauss
observação: a carga elétrica contida no anel 
 não está localizada no interior da superfície gaussiana, e, portanto, não gera fluxo elétrico através desta.
Uma linha finíssima e infinitamente longa localizada a distância d do ponto O contêm carga elétrica uniformemente distribuída com densidade linear de carga elétrica λ, como mostra a figura. Determine o fluxo elétrico total através da superfície da esfera de raio R centrada em O resultado de tal distribuição linear de carga elétrica para dois casos distintos: quando R < d e quando R > d. 
Resolução:
1º caso (R < d)
Lei de Gauss
2º caso (R > d)
Teorema de Pitágoras
observação: L é o comprimento da linha que está localizada dentro da esfera.
Lei de Gauss
Na figura, uma partícula com carga elétrica q está a uma distância d / 2 diretamente acima do centro de um quadrado de lado d. Determine o fluxo elétrico através do quadrado? Considere para tal o meio como sendo o vácuo. (Sugestão: Pense no quadrado como sendo uma das faces de um cubo de aresta d.)
Resolução:
Considere um cubo com a partícula com carga elétrica q em seu centro. Em virtude da simetria da questão, pode-se afirmar que o fluxo elétrico através de cada uma de suas faces será o mesmo. Tal fato facilita em muito a resolução do problema! Pela Lei de Gauss pode-se determinar o fluxo elétrico total através do cubo, que pode ser considerado uma superfície gaussiana, e daí obter-se o fluxo elétrico através de cada uma de suas faces, simplesmente dividindo o fluxo elétrico total pelo número de faces do cubo, 6.
Fluxo Elétrico Total através do Cubo
Lei de Gauss
Fluxo Elétrico através de Cada Face do Cubo
observação: é importante observar que não se pode utilizar a Lei de Gauss diretamente para o cálculo do fluxo elétrico através de uma das faces do cubo, já que esta somente pode ser aplicada à superfícies fechadas.
E se a partícula com carga elétrica não estivesse localizada no ponto em questão? Neste caso o problema seria muitoooo mais difícil do que este. Pergunte ao seu professor na Escola Naval e depois me mande um telegrama com a resposta, ok?
Uma partícula com carga elétrica Q positiva está localizada no centro de um cubo de aresta L. Em adição, seis outras partículas com cargas elétricas de mesmo módulo, porém negativas, estão posicionadas simetricamente ao redor de Q, como mostra a figura. Determine o fluxo elétrico através de uma das faces do cubo.
Resolução:
Este problema apresenta simetria semelhante ao da questão anterior. O acréscimo das 6 partículas com carga elétrica certamente irá alterar o fluxo elétrico total através do cubo (superfície gaussiana) em virtude da alteração na carga elétrica interna ou envolvida por este, como mostra a Lei de Gauss, entretanto, ainda assim têm-se para todas as faces do cubo valores idênticos para o fluxo elétrico. Tal fato facilita em muito a resolução do problema! O fluxo elétrico através de cada uma das faces do cubo pode ser obtido simplesmente dividindo o fluxo elétrico total pelo número de faces do cubo, 6.
Fluxo Elétrico Total através do Cubo
Lei de Gauss
Fluxo Elétrico através de Cada Face do Cubo
,
sendo q < 0 C.
E se fossem acrescentadas ao invés de 6, 5 partículas com carga elétrica negativa? Neste caso o problema seria muitoooo mais difícil do que este. Pergunte ao seu professor na Escola Naval e depois aproveite o telegrama anterior para me enviar a resposta, ok?
Lei de Gauss – Relação entre Campo Elétrico (E) e Densidade Superficial de Carga Elétrica (σ)
Considere um condutor eletricamente carregado e em equilíbrio eletrostático. Use a Lei de Gauss para determinar o módulo do vetor campo elétrico (E) em função da densidade superficial de carga elétrica (σ) para um ponto muito próximo de sua superfície e do lado de fora da mesma (Epróx). Para tal utilize um minúsculo cilindro como superfície gaussiana.
Resolução:
Fluxo Elétrico Total através da Superfície Gaussiana Cilíndrica
Lei de Gauss
, pois θ = 0o.
, pois Eint = 0 N/C.
, pois θ = 90o.
, pois Eint = 0 N/C.
De um modo geral, contemplando a possibilidade do condutor estar negativamente carregado, têm-se:
Já na superfície do condutor, temos:
Importante: Este resultado é muito importante, pois explica em parte um fenômeno curioso existente na natureza, o famoso “Poder das Pontas”. Em regiões com maior densidade superficial de carga elétrica (σ), o campo elétrico (E) é mais intenso. Resta provar que nas regiões pontiagudas, a densidade superficial de carga elétrica (σ) é realmente maior, tarefa esta que ficará a cabo do Tópico de Potencial Elétrico a seguir.
Considere uma esfera de raio R em equilíbrio eletrostático com carga elétrica Q positiva. Utilize o resultado obtido na questão anteriore obtenha o módulo do campo elétrico para um ponto qualquer muito próximo a sua superfície (Epróx) e em seguida para um ponto qualquer em sua superfície (Esup).
Resolução:
Campo Elétrico Próximo à Superfície de uma Esfera (Epróx)
Sendo σ > 0 C / m2, então:
Fazendo 
, temos:
Fazendo 
, temos:
Fazendo 
, finalmente:
Campo Elétrico na Superfície de uma Esfera (Esup)
Lei de Gauss – Simetria Plana
Considere uma superfície plana, de espessura desprezível, ilimitada e uniformemente eletrizada com densidade superficial de carga elétrica (σ) positiva gerando um campo elétrico uniforme em cada um dos dois semi-espaços. Use a Lei de Gauss para determinar o módulo do vetor campo elétrico para um ponto qualquer. Para tal utilize o minúsculo cilindro indicado na figura como superfície gaussiana.
Resolução:
Fluxo Elétrico Total através da Superfície Gaussiana Cilíndrica
Lei de Gauss
, pois θ = 0o.
, pois θ = 0o.
, pois θ = 90o.
De um modo geral, contemplando a possibilidade da densidade superficial de carga elétrica (σ) ser negativa, têm-se:
Considere duas placas planas condutoras, paralelas, ilimitadas e uniformemente eletrizadas com densidades superficiais de carga elétrica (σ) de mesmo módulo, porém de sinais opostos. Determine o módulo do vetor campo elétrico resultante nas três regiões distintas formadas: (a) entre as placas; (b) à direita das placas; e (c) à esquerda das placas.
 
Resolução:
entre as placas;
à direita das placas; e (c) à esquerda das placas.
Importante: No caso de placas planas condutoras finitas, de mesmo tamanho, paralelas e relativamente próximas entre si, ou seja, em que a distância que as separam é ordens de grandeza menor do que as dimensões das placas, e para pontos próximos ao eixo central que as corta perpendicularmente pelos seus respectivos centros, tais resultados são considerados excelentes aproximações, dado que o “efeito de borda” em tal situação é desprezível. 
Lei de Gauss – Simetria Esférica
Considere uma esfera condutora de raio R, em equilíbrio eletrostático e com carga elétrica Q positiva distribuída de maneira uniforme sobre a sua superfície. Prove usando a Lei de Gauss que é possível determinar o campo elétrico para um ponto distante d > R utilizando para tal a Lei de Coulomb, ou seja, utilizando o conceito de centro de carga elétrica, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o conceito de centro de massa.
Resolução:
Lei de Gauss
	
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser retirado do somatório.
Nota: Para qualquer ponto sobre a superfície gaussiana em questão, tanto o vetor campo elétrico como o vetor normal são radiais, ou seja, perpendiculares à superfície gaussiana em cada ponto. Além disso, apontam para fora da mesma. Se a carga elétrica da esfera fosse negativa, neste caso, o vetor campo elétrico apontaria para dentro da mesma, mas o vetor normal continuaria apontado como sempre para fora da mesma e de maneira perpendicular, e assim, θ = 180º.
Fazendo 
, finalmente:
De um modo geral, contemplando a possibilidade do condutor estar negativamente carregado, têm-se:
Importante: Este resultado, o conceito de centro de carga elétrica, é muito importante, pois facilita em muito a resolução de uma infinidade de problemas envolvendo condutores com simetria esférica, ou seja, de cargas elétricas distribuídas em esferas, cascas esféricas e superposições de cascas esféricas concêntricas.
Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b com carga elétrica total –q possui em seu centro O uma carga elétrica pontual +2q. 
observação: a casca esférica condutora está em equilíbrio eletrostático.
Determine a distribuição de carga elétrica nas superfícies interna e externa da casca esférica condutora.
Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que r < a, onde r é a distância do ponto P ao centro.
Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que a < r < b, onde r é a distância do ponto P ao centro.
Determine o campo elétrico em um ponto P qualquer, tal que r > b, onde r é a distância do ponto P ao centro.
�
Resolução:
A carga elétrica pontual +2q induz na superfície interna da casca esférica CONDUTORA uma carga elétrica de mesmo módulo, mas de sinal contrário, ou seja, –2q. (Elementos Correspondentes – Livro Texto – pág. 61). Note que se somarmos a carga elétrica das duas superfícies (interna e externa) da casca esférica o total será –q.
 r < a
Lei de Gauss
	
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório.
Fazendo 
, finalmente:
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim:
a < r < b
Lei de Gauss
	
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório.
Logo,
Resultado este esperado, já que no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é sempre nulo. 
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim:
r > b
Lei de Gauss
	
Observação: Na Escola Naval a notação será mais rigorosa, ou seja, será usada a notação do Cálculo: 
Por outro lado, em virtude da simetria (esférica) da questão, E é constante, e, portanto, pode ser colocado em evidência, ou seja, retirado do somatório.
Fazendo 
, finalmente:
Em virtude da simetria esférica em questão, semelhantemente ao que fora feito na mecânica com o conceito de centro de massa, este problema também pode ser facilmente resolvido utilizando o conceito de centro de carga elétrica e a Lei de Coulomb para o cálculo do campo elétrico, assim:
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