lista 4 Cálculo e GA I

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Curso: Física Disciplina: Cálculo e Geometria Analítica I 
Professor: Osvaldo Inarejos Filho Bimestre/Ano: 4º/2017 
 
Lista 4 
 
ATENÇÃO: a lista a ser entregue para avaliação deve contemplar apenas os 12 
exercícios enumerados. Os exercícios não enumerados (marcados com ) não 
precisam ser entregues. Leia o corpo do e-mail para mais informações sobre a lista. 
 
1) Dados e , prove que existem e tais que 
 e . 
 
 Considere as funções e dadas abaixo: 
 
 
 
 
 
Determine: 
a) Seus domínios e imagens; 
b) As curvas de nível; 
c) As fronteiras dos domínios; 
d) Se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas; 
e) Se o domínio é limitado ou não limitado. 
 
 Encontre uma equação para a curva de nível da função que passa pelo 
ponto dado: 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Mostre que as funções e dadas por 
 
 
 
 
 
 
 
não têm limite quando tende a . 
 
 
 
 Calcule os limites: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
3) Defina de maneira a estender 
 
 
 
 
 
a uma função contínua na origem. 
 
4) Uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma 
região aberta deve ser contínua em ? Justifique a sua resposta. 
 
 Sabendo que a equação da onda unidimensional é expressa por 
 
 
 
 
 
 
 
mostre que a função é solução da equação da onda. 
 
5) Mostre que a função satisfaz a equação de Laplace 
bidimensional 
 
 
 
 
 
 
que descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no 
plano. 
 
 Calcule a derivada da função em na direção de : 
a) 
b) 
 
6) Calcule o gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente com a 
curva de nível que passa pelo ponto. 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 Determine as direções nas quais a função cresce e decresce 
mais rapidamente em . Depois, calcule as derivadas de função nessas 
direções. 
 
7) Seja . Esboce a curva de nível juntamente com e a reta 
tangente no ponto . Escreva uma equação para a reta tangente. 
 
8) Identifique todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções: 
a) ; 
b) ; 
c) . 
 
9) A placa circular plana da figura abaixo tem o formato da região . 
 
 
 
 
 
 
 
A placa é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto é 
 
Encontre as temperaturas nos pontos mais quentes e mais frios da placa. 
 
 Aplique o teste da derivada segunda para calcular os valores de e , com , 
tais que 
 
 
 
 
tenha seu valor máximo. 
 
10) Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente a 
 
 
 
 
 
 
com a ordem de integração invertida. 
 
 Calcule a integral de 
 
 
 sobre a região no primeiro quadrante limitada 
pelas retas , , e . 
 
 
 
11) Calcule 
 
, onde é a região limitada pelo quadrado . 
 
 Calcule 
 
, onde é a região delimitada abaixo pela reta e acima 
pela circunferência . Qual a área de ? 
 
 Calcule a área entre as parábolas e . 
 
12) Calcule o centro de massa de uma placa triangular fina limitada pelo eixo e pelas 
retas e , considerando a densidade . 
 
 Determine o centroide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela 
reta . 
 
 Determine o centroide da região cortada do primeiro quadrante pela 
circunferência .