RESUMO MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS

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4º MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
AULA 1 - TEORIAS DOS CONJUTOS 
 
TEORIAS DOS CONJUTOS NUMÉRICOS 
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si 
alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente 
caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos 
irracionais e, por fim, o dos números reais. 
 
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros 
foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão 
vistos nas próximas telas. 
SÍMBOLOS: 
 
 
SÍMBOLOS SOBRE OPERAÇÕES 
 
 
Noções sobre Conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não 
podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
 
 
 
AULA 2 – PONTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, INTERVALOS NÚMERICOS E 
FATORAÇÃO. 
 
Radiciação 
Potenciação de Radicais 
Observando as potências, temos que: De modo geral, para se elevar um radical a um dado 
expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:
 
 
 
 
 
 
 
Potência com expoente racional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade das potências com expoentes racionais 
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes 
inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatoração de expressões matemáticas 
 
 
Casos de Fatoração 
 
 
 
 
AULA 3 – EQUAÇÕES E INAQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
EQUAÇÕES DE 1º GRAU (com uma variável) 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". 
Exemplos de equações (sentenças abertas): 
 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
 
 
Equação geral do primeiro grau 
 
Considere a equação 2x - 8 = 3x -10 
A letra x é a incógnita (desconhecida) da equação. 
A sentença que antecede o sinal da igualdade 
denomina-se 1º membro, e a que sucede, 2º 
membro. 
 
 
 
 Substituir a incógnita por esse número. 
 Determinar o valor de cada membro da equação. 
 Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número 
considerado é raiz da equação. 
 
 
Não são equações: 
 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta); 
x - 5 < 3 (Não é igualdade); 
82 + 35 - 7 (não é sentença aberta, nem igualdade). 
Resolução de uma equação 
Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações que nos conduzem a 
equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os 
elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo: 
5X – 4 = 6X + 8 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro de 
um dado conjunto. 
 
 
 
 
 
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível 
e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. 
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando a = 0 e b = 0. 
 
Observe a sua resolução: 
-3x + 3x = 2 - 10 + 8 
0 . x = 0 
Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui 
infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a 
equação verdadeira, são denominadas identidades. 
 
SISTEMA LINEAR DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Uma equação do 1º grau é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
Poderá ter mais do que uma incógnita. Um sistema de equações do 1º grau tem duas 
incógnitas, por exemplo, x e y; portanto, é formado por duas equações do 1º grau com duas 
incógnitas. 
Seja o sistema de duas equações: 
2 x + 3 y = 24 
3 x - 2 y = 23 
Para resolver este sistema de equações, temos que obter os valores de x e de y que satisfazem 
simultaneamente ambas as equações. 
Método de substituição para resolver este sistema 
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor 
algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e aplicar o resultado à outra equação.Para 
entender o método, consideremos o sistema: Para extrair o valor de x na primeira equação, 
usaremos o seguinte processo: 
 
Substituímos então o valor de x na segunda equação 3x-2y=23: 
 
Substituindo y = 2 na equação x = 12 - (3y/2), obtemos: 
x = 12 - (3×2/2) = 12 - 6/2 = 12 - 3 = 9 
Determinar a solução do sistema: 
 x + y = 2 
 x - y = 0 
 
INEQUAÇÕES 
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma 
desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas 
através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º grau, na variável x, 
a qualquer expressão algébrica que possa ser reduzida a uma das formas: 
 
 
 
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas) 
(I) 1 ≤ 2x + 3 
(II) 2x + 3 < x + 5 
Resolvendo (I): 1 ≤ 2x + 3 
Temos: -2x ≤ 3 – 1.....-2x ≤ 2.....2x ≥ -2....x ≥ -1 
Resolvendo (II): 2x + 3 < x + 5 
2x – x < 5 – 3 ... x < 2 
Logo: -1 ≤ x < 2 
Ao dividirmos ambos os membros por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. 
AULA 4 – RAZÃO E PROPORÇÃO, GRANDEZAS DIRETAMENTE E 
INVERSAMENTE PROPORCIOANI, OPERAÇÕES COM PORCENTAGENS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 – FUNÇÃO CUSTO: CUSTO FIXO, CUSTO VARIÁVEL, CUSTO NO 
GRÁFICO 
 
5.1 CUSTOS 
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, 
médio ou grande porte. Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de 
administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa. 
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação 
tecnológica e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da 
estrutura organizacional e a qualificação da mão de obra. 
 Ao atendimento de exigências legais quanto à apuração dos resultados de suas 
atividades e avaliação de estoques. 
 Ao conhecimento dos custos para tomada de decisões corretas. 
Entende-se por custo a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter 
um novo produto ou serviço 
Quando falamos de custos, não se apuram somente custos de utilidades físicas (bens, 
mercadorias, etc.), mas também custos de serviços (fretes, seguros, etc.). Porém, os custos 
somente ocorrem quando houver consumo ou venda. 
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O 
desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a 
deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido 
na transação. 
O dinheiro gasto na compra de uma máquina não é um custo, mas um investimento. O 
desgaste da máquina em função do uso é um custo, porque existe o “consumo”, a 
deterioração da máquina. Quando uma máquina é adquirida, não há nenhum custo envolvido 
na transação. 
Os três componentes básicos do custo são: 
1. Valor das matérias-primas ou mercadorias adquiridas. 
2. O valor dos serviços (trabalhos) prestados por pessoas físicas (empresários ou 
empregados). 
3. Valor dos serviços prestados por outras empresas como, por exemplo, empresas de 
transporte, empresas fornecedorasde força e luz, empresas de seguros, bancos, etc. 
De acordo com sua natureza, os custos classificam-se em Custos Fixos e Custos Variáveis. 
 
Custos Fixos 
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da 
quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada. 
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, 
honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação. Assim, tanto faz produzir zero 
ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o 
aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da 
empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de 
bens ou serviços. 
 
 
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo 
unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada. 
 
 
 
Veja o gráfico. Observe que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira 
unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo. 
 
Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse 
mesmo mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos. Qual foi o custo fixo 
unitário daquele produto naquele mês? 
 Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos. 
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00. 
 
Custos Variáveis 
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção. São exemplos 
desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a 
necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o 
número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o 
custo). A representação gráfica do custo variável total é: 
 
 
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida 
tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável 
unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na 
quantidade zero não ocorrem custos variáveis. 
 
Quando se vende um produto, o custo do material aplicado será sempre o mesmo por produto 
vendido. Daí dizer-se que o custo variável é fixo por unidade vendida. Porém, quando dizemos 
que pagamos R$2.000,00 pelo aluguel da empresa (custo fixo), se vendermos 1.000 unidades, 
o custo fixo por unidade será de R$2,00. Se aumentarmos as vendas para 1.250 unidades, o 
custo fixo por unidade será de R$1,60 (2.000 divididos por 1.250). Daí dizer-se que o custo fixo 
unitário é variável por unidade vendida. 
 
Custo total 
É a soma dos custos fixos mais os variáveis. A sua representação gráfica é: 
 
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com 
aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, 
supondo computados todos os fatores de produção. Se num determinado mês o custo total da 
indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados? 
Custo total = Custo fixo + Custo variável 
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x) 
sendo x a quantidade de produtos fabricados 
15.500 = 3.500 + 20x 
20x = 12.000 
x = 12.000/20 
x = 600 
 
 
 
Função Custo 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na 
produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa 
e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: 
C(x) = Cf + Cv Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável 
 
Função Receita 
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número 
de vendas de determinado produto. 
R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas. 
 
Função Lucro 
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a 
função receita e a função custo. 
L(x) = R(x) – C(x) 
 
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo 
mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe 
também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a 
unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja 
equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro 
líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para 
que se tenha lucro. 
Função Custo total mensal: 
C(x) = 950 + 41x 
Função Receita 
R(x) = 120x 
Função Lucro 
L(x) = 120x – (950 + 41x) 
Lucro líquido na produção de 1000 pistões 
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000) 
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000 
L(1000) = 120.000 – 41.950 
L(1000) = 78.050 
 
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00. 
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. 
R(x) > C(x) 
120x > 950 + 41x 
120x – 41x > 950 
79x > 950 
x > 950 / 79 
x > 12 
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças. 
Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de 
sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares 
de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partir de 
quantos pares de sapatos haverá lucro? 
Lucro = Receita – Custo 
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos 
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x) 
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000 
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro: 
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x) 
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000 
 
AULA 6 – FUNÇÃO LINEAR, GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO, FUNÇÃO 
CRESCENTE, FUNÇÃO DECRESCENTE 
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos 
em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de 
disciplinas em que o aluno está matriculado. Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a 
ser pago no período. Então, temos: y = f(x). Y = número de disciplinas . x 
EXEMPLOS: 
f(x) = 5x – 3 , onde a = 5 e b = -3 
f(x) = -2x – 7 , onde a = -2 e b = 7 
f(x) = x/3 + 2/5 , onde a = 1/3 e b = 2/5 
f(x) = 11x , onde a = 11 e b = 0 
 
Plano cartesiano 
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está 
associado a um único número real e vice-versa. O ponto 0 (zero) do eixo é chamado origem. 
Portanto, qualquer ponto à direita de 0, o número será positivo. Quando estiver à esquerda, o 
número será negativo. Quando coincidir com o 0, será nulo. 
 
 
Vamos imaginar um número P = -3. Teremos OP = -3. 
Agora vamos praticar: 
Para P = -1 teremos OP = -1 
Para P = +2 teremos OP = +2 
 
 
 
 
 
Consideremos num plano....de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A 
pertencente a ..., existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // 
x. (Note que // significa paralela). 
 
 
Agora, você pode notar que o plano cartesiano fica dividido em quatro quadrantes: 
 
 
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente 
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a = 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e 
Oy. 
EXEMPLO: Construir o gráfico da função y = 3x - 1 
Para x = 0 ... y = 3 .0 – 1 = -1, portanto, um ponto é (0, -1) 
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1.... x = 1/3 então outro ponto é (1/3, 0). 
 
 
 
 
Construir o gráfico para a função y = -2x + 3 
 
Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, 
então, que a função y = -2x + 3 é decrescente. 
 
Variação de sinal da Função de 1° Grau 
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é 
positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de x em que y é negativo. 
Consideremos uma função y = ax + b e vamos estudar seu sinal. 
Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 7 – FUNÇÃO RECEITA; FUNCÃO LUCRO; PONTO DE EQUILÍBRIO 
 
Função Receita, Função Lucro e Ponto de Equilíbrio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R$3.300,00 
 
 
R$8.000.00,00 
 O ponto de equilíbrio é o ponto onde: A oferta igual à demanda é o ponto de 
equilíbrio 
 
 
 
 
AULA 8 – RECEITA QUADRÁTICA, FUNÇÃO LUCRO QUADRÁTICA, FUNÇÃO 
QUADRÁTICA E INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 9 – LIMITES DE UMA FUNÇÃO 
Noção intuitiva de limites 
Limite de função em um ponto 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo 
de um ponto p. Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, 
podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do 
número L. 
 
 
Seja a função f(x)=2x+1. 
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1? 
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e 
pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x): 
 
 
 
 
b) Como se comportam os valores da função y = (x+4).(x – 2x) quando x se aproxima do 
ponto x=3? 
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto 
dos limites das funções. 
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3: 
(x+4) se aproxima de 7; 
 
(x2 – 2x) se aproxima de 3; 
 
Portanto, o limite da função y = (x + 4).(x² – 2x) estará se aproximando do produto dos limites 
de (x + 4) e de (x² – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 10 – DERIVADAS 
 
Derivada da Função Potência 
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de 
gráficos e funções e no cálculo de taxas de variações. 
 
Derivada de uma função 
 
 
Derivadas 
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. 
As regras de derivação são bem simples: 
 
 
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida 
em x. 
EXEMPLOS: 
 
Cálculo da Derivada em um Ponto 
Calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interprete o resultado 
obtido. 
y = 3x2+ 10x – 50 no ponto p=0,8 
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10 
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8: 
y’ (0,8)=6(0,8) + 10 = 14,8 
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y=3x2+10x–50 é crescer 14,8. 
 
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q3 –3q2 + 
100q + 1000, deve-se calcular a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao 
valor do custo quando a quantidade é de 50 unidades. 
 
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de 
quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à 
quantidade. 
CT’ = 3q2 –6q + 100 
 
 
 
 
 
 
 = 0