gabarito casa 11

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MAE116 – Noções de Estatística
Grupo B - 2º semestre de 2010
Gabarito 11 – Teste para Média – CASA
Exercício 1 (2 pontos)
Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos anuncia que seu remédio contra dor de cabeça leva em 
média 14 minutos para aliviar a dor, com desvio padrão de 5 minutos. Um médico sustenta que o tempo é 
maior e seleciona aleatoriamente 40 pacientes. Pede a eles que tomem tais pílulas quando tiverem dor de 
cabeça, anotando o tempo (em minutos) até o alívio da dor. Após coletar todas as respostas, ele verifica que 
o tempo médio de alívio para esses pacientes foi de 19 minutos. Estes resultados confirmam a afirmação feita 
pelo laboratório? Faça as suposições necessárias e use α = 0,05.
Solução
Seja μ o tempo médio até o analgésico aliviar a dor.
Hipóteses:
 H: µ = 14 min. (hipótese nula)
 A: µ >14 min. (hipótese alternativa).
Suposições Básicas : 
Seja a variável aleatória X: o tempo até o analgésico aliviar a dor. Temos que a variável aleatória X na 
população tem distribuição . Como o desvio padrão da população, σ, é conhecido, tem distribuição N(0,1). 
Por outro lado, como n=40 podemos aplicar o Teorema do Limite Central (TLC), em que , para n grande, 
aproximadamente.
De uma amostra (n=40) selecionada aleatoriamente temos que o tempo médio de alívio para esses pacientes 
foi de 19 minutos ().
O nível descritivo para a toma de decisão é dado por
Vemos que para um nível de significância de 5%, temos que P=0,00 < α=0,05. Decidimos por rejeitar a 
hipótese H. Concluímos, ao nível de significância de 5% que há evidência suficiente para confirmar a suspeita 
do médico de que o tempo para o analgésico aliviar a dor é maior do que 14 minutos.
Exercício 2 (3 pontos)
Sabe-se que a pressão sanguínea arterial em homens hipertensos segue um modelo Normal com média 95. 7 
pacientes hipertensos foram medicados com um novo medicamento anti-hipertensivo e após 2 horas tiveram 
sua pressão medida com os seguintes resultados: 84, 81, 77, 85, 69, 80 e 79. Com o objetivo de verificar a 
eficácia do novo medicamento:
(a) (1 ponto) Formule as hipóteses adequadas. 
Seja μ a pressão sanguínea arterial média em homens hipertensos.
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Hipóteses:
 H: µ = 95 (hipótese nula)
 A: µ < 95 (hipótese alternativa).
(b) (1 ponto) Interprete os erros tipo I e tipo II. 
Erro do Tipo I: Rejeitar H quando H é verdadeira, ou seja, afirmar que a pressão sanguínea arterial média em 
homens hipertensos medicados é menor que 95, quando na verdade, é 95, ou seja, concluir que 
o medicamento teve eficácia quando, na verdade, não teve;
 Erro do tipo II: Não rejeitar H quando H é falsa, ou seja, afirmar que a pressão sanguínea arterial média em 
homens hipertensos medicados é de 95, quando na verdade, é menor que 95, ou seja, 
concluir que o medicamento não teve eficácia quando, na verdade, teve.
(c) (1 ponto) Calcule o nível descritivo do teste e conclua ao nível de significância de 1%. 
Seja a variável aleatória X: o tempo até o analgésico aliviar a dor. 
Dados da Amostra:
n=7; 
; 
s = 5,31
Como o desvio padrão da população, σ, é desconhecido, consideramos a seguinte variável padronizada que 
tem distribuição .
Logo, o nível descritivo:
Com um nível de significância de 1%, temos que P < α. Decidimos por rejeitar a hipótese H. Concluímos 
então, que há evidência suficiente para confirmar a eficácia do novo medicamento.
Exercício 3 (3 pontos)
O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos, com um desvio padrão de 15 
minutos. Introduziu-se uma modificação com o objetivo de diminuir esse tempo, e, após certo período, 
sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da 
amostra foi de 12 minutos. 
(a) (1 ponto) Formule as hipóteses adequadas para verificar se houve melhora de desempenho, 
apresentando as suposições básicas para resolver o problema.
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Seja µ o tempo médio por operário para executar uma tarefa.
 
Hipóteses:
H : µ = 100 minutos(hipótese nula)
A : µ < 100 minutos (hipótese alternativa)
Seja a variável aleatória X que representa o tempo por operário para executar uma tarefa. A variável 
aleatória X na população tem distribuição , portanto . Como o desvio padrão da população σ, é conhecido, 
então tem distribuição N(0,1).
(b) (1 ponto) Interprete os erros tipo I e tipo II. 
Erro do Tipo I: Afirmar que o tempo médio por operário para executar uma tarefa depois de introduzir uma 
modificação é menor que 100 minutos, quando na verdade, é 100 minutos, ou seja, concluir 
que a modificação teve efeito quando, na verdade, não teve;
Erro do tipo II: Afirmar que o tempo médio por operário para executar uma tarefa depois de introduzir uma 
modificação é de 100 minutos, quando na verdade, é menor que 100 minutos, ou seja, 
concluir que a modificação não teve efeito quando, na verdade, teve.
(c) (1 ponto) Calcule o nível descritivo do teste e conclua ao nível de significância de 5%. 
Com um nível de significância de 5%, temos que P < α. Decidimos por rejeitar a hipótese H. Concluímos que 
há evidência suficiente para afirmar que depois de introduzir a modificação o tempo médio por operário para 
executar uma tarefa é menor que 100 minutos. 
Exercício 4 (2 pontos)
Segundo estudos efetuados, o comprimento da folha de uma planta tem distribuição normal com média 10 
cm. Alterando-se as condições ambientais, um biólogo acredita que esta média vai aumentar. Para verificar 
sua hipótese, ele toma uma amostra de 16 plantas sob condições ambientais modificadas, obtendo 
comprimento médio amostral de 11 cm e desvio padrão amostral de 2 cm.
(a) (1 ponto) Quais são as conclusões de um teste de hipóteses estatístico apropriado, se o biólogo adota um 
nível de significância de 10%?
Seja µ comprimento médio da folha de uma planta.
Hipóteses:
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H : µ = 10 cm (hipótese nula)
A : µ > 10 cm (hipótese alternativa)
Dados da Amostra:
n=16; 
; 
s = 2 cm.
Como o desvio padrão da população, σ, é desconhecido, consideramos a seguinte variável padronizada que 
tem distribuição .
Nível descritivo:
Com um nível de significância de 10%, temos que P < α. Decidimos por rejeitar a hipótese H. Concluímos que 
há evidência suficiente para confirmar que alterando-se as condições ambientais o comprimento médio da 
folha aumenta.
(b) (1 ponto) Outro biólogo decide adotar o nível de 5%, como fica sua conclusão? 
Com um nível de significância de 5%, temos que P < α. Decidimos por rejeitar a hipótese H. Ou seja, 
concluímos que há evidência suficiente para confirmar que alterando-se as condições ambientais o 
comprimento médio da folha aumenta.
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