Mecânica I - Poli - P1 - 2005

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 13 de setembro de 2005 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (3,0 pontos) 
Dados os pontos O(0,0,0), A(2,0,1) e B (0,1,0) e as forças ( 1F
r
,0), ( 2F
r
,A) e ( 3F
r
,B) com jiF
rrr
21 += ; 
kiF
rrr
222 += ; kjF
rrr
-=3 , determine: 
 
a) O vetor resultante do sistema. 
b) O momento do sistema de forças em relação ao ponto O. 
c) O momento do sistema de forças em relação ao ponto B. 
d) O invariante escalar do sistema de forças. 
e) Se o sistema é redutível a uma única força. Justifique. 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
 
 
 
A placa homogenia ABCDEFHI de peso P é 
suportado por uma articulação em A, por um anel em 
B e por um fio ideal em I no plano Ayz . Determine: 
 
a) O baricentro da placa. 
b) O diagrama de corpo livre (DCL) da placa. 
c) A tração T no fio. 
d) As reações vinculares em A e B. 
 
 
3ª Questão (3,5 pontos) 
A treliça da figura ao lado é formada por 
um conjunto de barras em um arranjo de 
triângulos eqüiláteros, de lado a. Nas 
articulações A e C estão montadas duas 
polias, de massa desprezível e raio r. O 
fio ideal suporta a carga P e está preso 
em Q. O segmento PQ é paralelo a OA. 
Pede-se: 
r B r
D
A C
E
O x
y
ga a
a a
Q
P
 a) O diagrama de corpo livre (DCL) das polias. 
b) O diagrama de corpo livre (DCL) da treliça. 
c) Calcular as reações vinculares em O e D. 
d) As forças nas barras OA e AE, indicando se são de tração ou compressão. 
3 L 
 z 
g 
y 
x 
 2 L 
 L L 
L 
 L 
A 
B C 
D 
E 
 F 
H 
I 
J 
 
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
 Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. 
 Telefone: (0xx11) 3091 5337 Fax: (0xx11) 3813 1886 
 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
PME 2100 – MECÂNICA A – Primeira Prova – 13 de setembro de 2005 
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras) 
 
1ª Questão (3,0 pontos) 
Dados os pontos O(0,0,0), A(2,0,1) e B (0,1,0) e as forças ( 1F
r
,O), ( 2F
r
,A) e ( 3F
r
,B) com jiF
rrr
21 += ; 
kiF
rrr
222 += ; kjF
rrr
−=3 , determine: 
 
a) O vetor resultante do sistema. 
b) O momento do sistema de forças em relação ao ponto O. 
c) O momento do sistema de forças em relação ao ponto B. 
d) O invariante escalar do sistema de forças. 
e) Se o sistema é redutível a uma única força. Justifique. 
 
 
Solução 
 
a) kjiRFFFR
rrrrrrrr
++=→++= 33321 ; (0,5) 
b) jiMFOBFOAFOOM OO
rrrrrrr
2)()()( 321 −−=→∧−+∧−+∧−= ; (1,0) 
c) kjiMRBOMM BOB
rrrrrrr
322)( +−−=→∧−+= ; (0,5) 
d) 9−=→•= IMRI O
rr
; (0,5) 
e) O sistema não é redutível a uma única força pois 0≠I . (0,5) 
 
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Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
 
 
A placa homogênea ABCDEFHI de peso P é 
suportado por uma articulação em A, por um anel em 
B e por um fio ideal em I. O fio está no plano Ayz . 
Determine: 
 
a) O baricentro da placa. 
b) O diagrama de corpo livre (DCL) da placa. 
c) A tração T no fio. 
d) As reações vinculares em A e B. 
 
 
 
Solução 
a) Considerando a placa subdividida em 5 elementos de área 2L , sendo 3 na aresta AI e 2 na BH, 
resulta: ((0,5) pelo equacionamento e (0,5) pelas respostas) 
10
9
5
2
3.2
2
.3
2
22
Lx
L
LLLL
x GG =→
+
= ; 
2
3LyG = (por simetria); 
b) Dcl da placa: (0,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Impondo →=• 0iM A
rr
 
2
2
2
33
2
2 PTLPLT =⇒= 
 
d) 








=++
=−+
=
=
PTZZ
TYY
X
R
BA
BA
A
2
2
0
2
2
0
0
rr
 
 
 




=
=
→=
10
92
0
0 LPLZ
Y
M
B
B
A
rr
 
 
Portanto, as reações vinculares são: 
20
,
2
,0 PZPYX AAA === 
,
20
9,0 PZY BB == 
Itens c) e d): (1,0) pelo equacionamento e 
(1,0) pelas respostas 
3 L 
 z 
g 
y 
x 
2 L 
 L L 
L 
L 
A 
B C 
D 
E 
 F 
H 
I 
J 
YA 
ZA 
XA 
ZB 
YB 
P 
T 
45° 
 
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3ª Questão (3,5 pontos) A treliça da 
figura ao lado é formada por um 
conjunto de barras em um arranjo de 
triângulos eqüiláteros, de lado a. Nas 
articulações A e C estão montadas duas 
polias, de massa desprezível e raio r. O 
fio ideal suporta a carga de peso F e está 
preso em Q. O segmento PQ é paralelo a 
OA. Pede-se: 
r B r
D
A C
E
O x
y
ga a
a a
Q
P
a) O diagrama de corpo livre (DCL) das polias. 
b) O diagrama de corpo livre (DCL) da treliça. 
c) Calcular as reações vinculares em O e D. 
d) As forças nas barras AO, AB e AE, indicando se são de tração ou de compressão. 
Solução 
a) DCL das polias (0,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impondo o equilíbrio das polias: 







==
=−=
FVFH
FVFH
CC
AA
;
2
3;
2
 
 
 
 
b)DCL da treliça (1,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)Impondo as condições de equilíbrio e 
substituindo os valores calculados em a): 









=−−+→=
=−−+
=−+
;0
2
3
222
3
2
520
;0
2
3
;0
2
aFaFaFaVM
FFVV
FFH
DA
DO
O
r
 
Portanto: 
 
( )








−==
=
132
4
;
4
5
;
2
FVFV
FH
OD
O
 
(0,5) equacionamento e (0,5) respostas 
F F 
F 
F 
HA 
VA 
VC 
HC 
VA VC 
HC 
VD VO 
HO 
HA 
 
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d) “Cortando” a treliça nas barras AB, AE e 
OE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impondo o equilíbrio 
1 0;
2
3 5 0;
2 4
3 3 5 30 0;
2 2 4 2
AB OE AE
AE
E AB
F F F F
F F F
M F a F a F a F a
+ + + =
+ − =
= → + + − =
rr
 
Resolvendo, chega-se a: 
3( 1) .
6
3 .
6
3 .
12
AB
AE
OE
F F comp
F F comp
F F comp
= −
= −
= −
 
Finalmente, isolando o nó O: 
 
 
 
 
 
Impondo o equilíbrio na vertical 
3 30 1
2 6OA O OA
F V F F
 
+ = → = −  
 
comp. 
 
(0,5) equacionamento e (0,5) respostas 
 
 
FAB 
FAE 
FOE 
F F 
5F/4 
HO 
FOA
FOE 
VO